数学表达式

(1)

第二章函数与基本初等函数

(2)

(3)

1．函数的表示方法

表示函数的常用方法有：、和三种．

(1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系．

(2)列表法：就是列出来表示两个变量的函数关系．

(3)图象法：就是用表示两个变量之间的关系．

解析法列表法图象法

数学表达式

表格图象

(4)

2．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因而分别用来表示，这种函数称为．

分段函数的等于各段函数的定义域的，其等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

对应关系不同

几个不同的式子分段函数

定义域

并集值域并集

(5)

1．(2010·陕西，5)已知函数 f(x)＝



2^x＋1，x＜1，

x²＋ax，x≥1， 若 f(f(0))＝4a，则实数 a 等于( )

A.1

2 B.4 5

C．2 D．9

(6)

[答案] C [解析] f(x)＝



2^x＋1，x＜1，

x²＋ax，x≥1.

∵0＜1，∴f(0)＝2⁰＋1＝2.

∵f(0)＝2≥1，∴f[f(0)]＝2²＋2a＝4a，

∴a＝2.故选 C.

(7)

[答案] log 2

2．(2009·北京)已知函数 f(x)＝



3^x， x≤1

－x， x＞1， 若 f(x)

＝2，则 x＝________.

[解析] 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值．属于基础知识、基本运算的考查．

由

x≤1

3^x＝2 ⇒x＝log₃2，



x＞1

－x＝2⇒x＝－2 无解，故应填 log₃2.

(8)

3．定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x，

则f(x)的解析式为________．

[解析] ∵对任意的 x∈(－1,1)有－x∈(－1,1)，

由 2f(x)－f(－x)＝x① 得 2f(－x)－f(x)＝－x②

①×2＋②消去 f(－x)，

得 3f(x)＝x

∴f(x)＝x 3.

[答案] f(x)＝x 3

(9)

(10)

一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃) 有一定的关系，图(1)表示某年12个月中每月的平均气温．图(2)表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量．根据这些信息，以下关于家庭用电量与气温关系的叙述中，正确的选项是 ( )

(11)

A．气温最高时，用电量最多 B．气温最低时，用电量最少

C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

(12)

[解析] 本题考查学生对函数的表示方法——图象法的识别与理解能力．

经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高，因此A项错误；同理可判断出B项错误，由5,6,7三个月的气温和用电量可得C项正确．

[答案] C

[点评与警示] 只要把握住图表的特点，加强对图表的认识和理解能力，此类问题不难解决．

(13)

(2011·深圳一模)已知y与x(x≤100)之间的部分对应关 系如下表：

则x和y可能满足的一个关系式是________．

x 11 12 13 14 15 … y 2

97

1 48

2 95

1 47

2

93 …

[答案] y＝ 2 108－x

(14)

在函数 y＝



x＋2，x≤－1，

x²，－1＜x＜2，

2x，x≥2

中，若 f(x)＝3，则 x 的值

是( )

A．1 B．1 或3

2 C．± 3 D. 3

(15)

[答案] D

[点评与警示] 分段函数中的x在不同取值时，对应法则不同，不要认为是三个不同的函数．

[解析]

若



x＋2＝3

x≤－1 无解；若



x²＝3

－1＜x＜2 解得 x＝ 3；

若

2x＝3

x≥2 无解，故选 D.

(16)

[答案] C 在函数 y＝





x＋2 x≤－1 x² －1＜x＜2 2x x≥2

中，若 f(x)＝1，则 x 的值是

( )

A．1 B．－1 C．±1 D.1

2，±1

(17)

(人教版必修1，P₃₉第6题改编)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)．求f(x)的解析式．

[解] 要求出f(x)的表达式，还需要求出x＝0和x＜0时的表达式．

当x＝0时，由f(x)是奇函数知

f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0 当x＜0时，－x＞0.则

f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1＋(－x)]} ＝x(1－x)

(18)

[点评与警示] 求分段函数的表达式的基本思想是：“分 段求”．要求哪段区间上的表达式，就设x属于那个区间．然后 再想方设法构造关于x的一个式子(如－x，a－x，x＋a等)使之属 于已知表达出的区间，再求之．

∴f(x)＝



x1＋x x＞0 0 x＝0 x1－x ＜0

(19)

已知函数f(x)是定义在R上周期为1的函数，且x∈[－1,0]时，

f(x)＝x(1＋x)，求f(x)在[0,1]上的解析式．

[解] 设x∈[0,1]，则x－1∈[－1,0]

f(x－1)＝(x－1)[1＋(x－1)]＝x(x－1)

∵f(x)的周期是1，∴－1也是f(x)的周期．

∴f(x)＝f(x－1)＝x(x－1)．

∴当x∈[0,1]时，f(x)＝x(x－1)．

(20)

(2010·广东)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x

＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x

－2)．

(1)求f(－1)，f(2.5)的值；

(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式．

[解] (1)f(－1)＝kf(1)＝k(1－2)＝－k.

∵f(0.5)＝kf(2.5)，

∴f(2.5)＝1

kf(0.5)＝1

k0.5×(0.5－2)＝－ 3 4k.

(21)

(2)∵对任意实数 x，f(x)＝kf(x＋2)，

∴f(x－2)＝kf(x)，∴f(x)＝1

kf(x－2)，

当－3≤x＜－2 时，1≤x＋4＜2，

f(x)＝kf(x＋2)＝k²f(x＋4)＝k²(x＋4)(x＋2) 当－2≤x＜0 时，0≤x＋2＜2，

f(x)＝kf(x＋2)＝kx(x＋2)；

当 2≤x≤3 时，0≤x－2≤1，

f(x)＝1

kf(x－2)＝1

k(x－2)(x－4)．

(22)

故 f(x)＝







k²x＋4x＋2，－3≤x＜－2，

kxx＋2，－2≤x＜0，

xx－2， 0≤x＜2，

1

kx－2x－4， 2≤x≤3.

(23)

(2011·广州一模)已知函数 f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)满足 f(0)

＝0，对于任意 x∈R 都有 f(x)≥x，且 f(－1

2＋x)＝f(－1

2－x)，求 函数 f(x)的表达式．

[解] ∵f(0)＝0，∴c＝0.

∵对于任意 x∈R 都有 f(－1

2＋x)＝f(－1

2－x)，

(24)

∴函数 f(x)的对称轴为 x＝－1

2，即－ b

2a＝－1

2，得 a＝b.

又 f(x)≥x，即 ax²＋(b－1)x≥0 对于任意 x∈R 都成立，

∴a＞0，且 Δ＝(b－1)²≤0.

∵(b－1)²≥0，∴b＝1，a＝1.

∴f(x)＝x²＋x.

(25)

(26)

1．分段函数是指不能用一个统一解析式表示的函数，它只是一个函数，而不是几个函数．解决分段函数问题的基本思 想是：分段解决，综合结论．要注意x的范围所对应的关系 式．不要把式子搞错．

2．函数的三种表示形式各有利弊，一般情况下研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解决问题．

(27)