1.7 函数的连续性

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第1章 函数与极限

高等数学A

1.7 函数的连续性

1.7.1 连续函数的定义 1.7.2 函数的间断点及其分类 1.7.3 连续函数的运算 1.7.4 闭区间上连续函数的性质 1.7.5 函数的一致连续性 1.7.6 压缩映射原理与迭代法

1.7 函数的连续性

1.7.1 连续函数的定义

函数在一点处连续的定义 函数在区间上的连续性

间断点的定义

1.7.2 函数的间断点及其分类 连续性讨论习例2-6 间断点的分类

1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算 初等函数的连续性

习例7-12

1.7.4 闭区间上连续函数的性质

最值定理

介值定理

1.7.5 函数的一致连续性

有界定理 零点定理

应用习例14-20

1.7.6 压缩映射原理与迭代法

函数 的连 续性

1.增量 设变量u从 u₁ 变到u_2, 则称u₂  u₁为u的增量_,记为

1.

2 u

u u  



. )

( )

( )

( )

(

), (

) (

, ),

(

0 0

0

0 0

0 0

为函数的增量 则称

相应地函数值由

由 当自变量

对于函数

x f x

f x

f x

x f y

x x

f x

f

x x

x x

x f y





























一般地， y随 x 的变化而变化.

一、连续函数的定义

x y

0 x₀ x₀  x )

( x f y 

x

y

x y

0 x₀  x x₀

x

y

) ( x f y 

0 lim

0 



 y

x lim 0

0 



 y

x

) ( .

2函数y  f x 在x₀处的连续性定义

定义1

. )

(

, 0 lim

), ,

( )

(

0 0

0

处连续 在

则称 若

定义在 设

x x

f y

y

x U x

f y

x   









. )

(

), (

) ( lim

), , ( )

(

0 0

0

0

处连续 在

则称 若

定义在 设

x x

f y

x f x

f

x U x

f y

x x











:

"

" ^  定义

. )

( )

( ,

, 0 ,

0  ₀  ₀ 

       

 使当 x x 时 恒有 f x f x

可见，f(x)在x₀处连续必须满足三个条件：

(1)^定义在U x( 0, ) ^{(2) lim ( )存在}

0

x f

xx (3) lim ( ) ( ₀)

0

x f x

f

x

x 



3.左右连续定义

; )

(

), (

) 0 (

, ]

, ( )

(

0

0 0

0

处左连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f x

a x

f  

. )

(

), (

) 0 (

, )

, [

) (

0

0 0

0

处右连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f b

x x

f  

注意:

(1)f(x)在x₀连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:

) (

) 0 (

) 0 (

) (

) (

lim _{0 0 0 0}

0

x f x

f x

f x

f x

f

x

x      



(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续；

对于区间的右端点只要左连续则称为连续.

4.函数在区间上的连续性

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.

. ]

, [ )

(

, ,

, )

, (

上连续 在闭区间

函数

则称 处左连续

在右端点 处右连续

并且在左端点 内连续

如果函数在开区间

b a x

f

b x

a x

b a





对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定!

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

例1 证明函数 y  sin x ^在 (,   )内连续 . 证 x  (,   )

x x

x

y  sin(   )  sin



) cos(

sin

2 2 2

x

x x

y  ^  ^



x

 x  0

即

由x的任意性，知 在 内连续 . 类似可证: 函数 y  cos x ^在 (,   )内连续 .

0

1.间断点的定义

若f(x)至少满足下列条件之一，则称f(x)在x₀处不连续, x₀为f(x)的间断点.

二、函数的间断点及其分类

)无意义

( ) 1

( f x₀

)不存在

( lim

) 2 (

0

x f

x x

) (

) ( lim

) 3

( ₀

0

x f x

f

x x

 

2.连续性讨论习例

. 0

, sgn )

( .

2 设 讨论 处的连续性 例 f x  x x 

. 0

sin , )

( .

3 设 讨论 处的连续性

例  x 

x x x

f

. 1

, 1

,

2

1

1 , 1 )

( .

4

2

处的连续性 讨论

设

例 









 



 x

x x x

x x

f

. 0

1 , )

( .

5 设 讨论 处的连续性 例  x 

x x f

. 0

1 , sin )

( .

6 设 讨论 处的连续性

例  x 

x x f

. 0

, sgn )

( .

2 设 讨论 处的连续性 例 f x  x x 

解: ,

0

, 0

0

, ) 1

( 



 

x x x

 f 又f (0)  0, lim ( ) 1,

0 

 f x

x

), 0 ( )

( lim

0

f x

f

x

  但

. )

( 0

, 0

)

(x 在x 处不连续 x 为f x 的间断点

f  



, 0

) ( ,

1 )

0

( 改变 在 处的定义

若令f  f x x  则f (x)在x  0处连续了. 这种间断点称为可去间断点.

. 0

sin , )

( .

3 设 讨论 处的连续性

例  x 

x x x

f

解： sin 0 ,

)

(  在x  处没有意义 x

x x

 f

. )

(

0为 xf 的间断点

x 



, sin 1

lim )

( lim

0

0  



 x

x x f

x x

又

, 0

) ( ,

1 )

0

( 补充 在 处的定义

若令f  f x x  .

0 )

( 在 处连续了

则f x x 

这种间断点也称为可去间断点.

. 1

, 1

,

2

1

1 , 1 )

( .

4

2

处的连续性 讨论

设

例 









 



 x

x x x

x x

f

解:  f (1)  2有定义,

1 1 lim

) 0 1

(

2

1 

 

   x x f

x 1

lim 1

2

1 

 

  x x

x

, 2 )

1 (

lim

1





   x

x

1 1 lim

) 0 1

(

2

1 

 

   x x f

x 1

lim 1

2

1 

 

  x x

x

, 2 )

1 (

lim

1









   x

x

, )

( lim

1

x 不存在 f

x

 故x  1为f (x)的间断点.

函数图形在间断点x=1处发生跳跃，故称跳跃间断点.

. 0

1 , )

( .

5 设 讨论 处的连续性 例  x 

x x f

解： 1 0 ,

)

(  在x  处没有意义 x x

 f

. )

(

0为 xf 的间断点

x 



1 , lim )

( lim

0 0





 

 f x x

x x

又

这时称x=0为f(x)的无穷间断点.

. 0

1 , sin )

( .

6 设 讨论 处的连续性

例  x 

x x f

解: 1 0 ,

sin )

(  在x  处没有意义 x x

 f

. )

(

0为 xf 的间断点

x 



1 , sin lim

) ( lim

0 0

不存在 又 f x x

x

x  

, 1

1 1 sin ,

0时 在 与 之间振动无限多次

且当  

x x

这时称x=0为f(x)的振荡间断点.

3.间断点的分类

间断点是根据左右极限是否存在进行分类的!

, )

0为 ( 的间断点

设x f x

; ,

) 0 (

) 0 (

) 1

( 若f x₀  与f x₀  都存在 则称x₀为第一类间断点

;

, )

0 (

) 0 (

) 2 (

0

0 0

为第二类间断点 则称

至少有一个不存在 与

若

x

x f x

f  

可去间断点 (左右极限存在且相等的间断点) 跳跃间断点 (左右极限存在但不相等的间断点) 无穷间断点 (极限为无穷大的间断点)

振荡间断点 (极限不确定的间断点)

各类间断点示意图

第 可去型

一类 间 断点

跳跃型

无穷型 振荡型

第 二类 间断 点

o y

x

x0

o y

x

x0

o y

x

x0

1.连续函数的运算

定理1 （连续函数的和差积商还是连续函数）

. )

0 )

( ) (

( ) ), (

( )

(

), (

) ( ,

) ( ),

(

0 0

0

处也连续 在点

则 处连续

在点 若函数

x x

x g g

x x f

g x

f

x g x

f x

x g x

f







证明： lim ( ) ( ₀ ), lim ( ) ( ₀),则

0 0

x g x

g x

f x

f

x x x

x



 

 

) ( lim

) ( lim

)]

( )

( [ lim

0 0

0

x g x

f x

g x

f

x x x

x x

x       f (x₀)  g(x₀)

) ( lim

) ( lim

)]

( )

( [ lim

0 0

0

x g x

f x

g x

f

x x x

x x

x       f (x₀)  g(x₀)

三、连续函数的运算与初等函数的连续性

即，严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.

)].

( lim

[ )

( )]

( [ lim

, )

( ,

) ( lim

0 0

0

x f

a f x

f

a u

f a

x

x x x

x x x

















 则有

连续 在点

函数 若

证明:  f (u)在点u  a连续,

. )

( )

(

, ,

0 ,

0

成立 恒有

时 使当

























a f u

f

a u

定理2 （连续函数的反函数连续）

定理3 （复合函数的连续性）

, )

( lim

0

a

x x

x 

 

又

, 0

, 0 ,

0 使当 ₀ 时

对于     x  x   .

)

( 成立

恒有 x  a  u  a 

将上两步合起来:

, 0

, 0 ,

0  使当 ₀  时

      

 x x

) ( )]

( [ )

( )

(u f a f x f a

f       成立.

) ( )]

( [ lim

0

a f x

x f

x 

   ^{[ lim ( )].}

0

x f

x

x 

 

当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。

定理4 （连续函数的复合函数是连续函数）

2.初等函数的连续性

(1)基本初等函数在其定义区间内是连续的.

三角函数的连续性:

) ,

(

sin 在   内连续

 x

y

) ,

(

cos 在   内连续

 x

y ----由连续的定义可证.





x x x

y cos

tan  sin



x x x

y sin

cot  cos



x x

y cos

sec  1



x x

y sin

csc  1

 ^













----由连续性的四则运算可证.

反三角函数的连续性: 由反函数的连续性得到.

对数函数的连续性:

内连续 在(0, )

ln 

 x

y ^----已证

内连续 也在(0, )

ln

log  ln 

 a

x x

y _a

指数函数的连续性:

x

x y e

a

y  ,  ----由反函数的连续性得到.

幂函数的连续性:

e x

x

y  ^  ^{ ln} ----由复合函数的连续性得到.

(2)定理5 初等函数在其定义区间内是连续的.

注意:

(1)弄清楚定义域, 定义区间, 连续区间的关系; 并会求 求函数的连续区间.

(2)记住初等函数的连续区间即为定义区间; 而分段函 数需考虑分段点的情况.

(3)利用函数的连续性可求极限 .

   

0

lim f x f x

x

x 



3.习例

? ,

sin sin

.

7 求 的定义域 有连续区间吗 例 y  x   x

. 0

, 1

0

sin , .

8

2

连续区间 求

例











 

x x

x x x y

. , 0

0 ,

, 0 ,

) cos (

, .

9

处连续 在

函数 取何值时

当 例

 







  x

x x

a

x x x

f a

).

1 ,

0 (

) 1

( lim log

. 10

0



 

 a a

x

a x

x

计算 例

1. )

lim ln(

. 11

0 x

e x

x



 计算 

例

1. )

1 lim ( .

12

0 x

x ^a

x



 计算 

例

思考题

若 f ( x)^在x₀^连续，则| f (x) |^、 f ²( x)^在x₀^{是否连续？}

又若| f ( x) |^、 f ²(x)^在x₀^连续，f ( x) ^在x₀^{是否连续？}

? ,

sin sin

.

7 求 的定义域 有连续区间吗 例 y  x   x

解： 







0 sin

0 sin

x

 x  sin x  0,

) ,

2 , 1 , 0 (

   



 x k k 为所求函数的定义域.

故没有连续区间.

. 0

, 1

0

sin , .

8

2

连续区间 求

例











 

x x

x x x y

解： ^{f (x)的定义域为(,),}

; sin ,

) ( ,

0时 为初等函数 连续

当 x

x x f

x  

; ,

1 )

( ,

0时 ² 为初等函数 连续 当x  f x  x 

, 1 )

0

(  

而f sin 1,

lim )

( lim

) 0 0

(

0 0







     x

x x f f

x x

, 1 )

1 (

lim )

( lim

) 0 0

( ²

0 0











   f x   x f

x x

. 0

, )

( lim

0

为间断点 即

不存在 

  f x x

x

).

, 0 [ ) 0 , (

 

连续区间为 和

. , 0

0 ,

, 0 ,

) cos (

, .

9

处连续 在

函数 取何值时

当 例

 







  x

x x

a

x x x

f a

解:

x x

f

x x

cos lim

) ( lim

0

0^  ^

   1,

) (

lim )

( lim

0 0

x a

x f

x x



 _

 

  a,

, )

0

( a

f 



), 0 ( )

0 0

( )

0 0

( f f

f    

要使

,

故当且仅当a  1时 函数 f (x)在 x  0处连续.

,

 1

 a

).

1 ,

0 (

) 1

( lim log

. 10

0



 

 a a

x

a x

x

计算 例

a x x

a

x x

x

x ¹

0

0log (1 ) limlog (1 )

lim   





] ) 1

( lim [ log

1 0

x

a x  x

  .

ln log 1

e a

a 



1. )

lim ln(

. 11

0 x

e x

x



 计算 

例

解: x

e x

x

) 1

ln(

lim

0

 

原式  ^{x e}

e

x e

x ¹

0ln(1 )

lim ^

 



x e

x e

x e lim ln(1 ) 1

0



  1ln[lim(1 ) ]

0

x e

x e

x

e 

  1.

1ln e e

e 



解:

1. )

1 lim ( .

12

0 x

x ^a

x



 计算 

例

解： 令(1  x)^a  1  u, (1 x)^a  1  u, ),

1 ln(

) 1

ln(

a  x   u

则

. 0 ,

0 

 u

x 时

且

x u x

x

x a

x 0 0

1 lim )

1 lim (



   

 ln(1 )

) 1

lim ln(

0 u

x a

x u

x 

 

 

x x u

a u

x

) 1

ln(

) 1

lim ln(

0

 

 

   a.

若 f ( x)^在x₀^连续，则| f (x)|^、 f ²( x)^在x₀^{是否连续？}

又若| f (x) |^、 f ²(x)^在x₀^连续， f ( x) ^在x₀^{是否连续？}

故| f (x)|^、 f ²(x)^在x₀都连续.

但反之不成立.









 

0 ,

1

0 ,

) 1

( x

x x

如 f 在 x₀  0^不连续

但| f (x) |^、 f ²(x)^在x₀  0^连续

解：  f ( x)^在x₀^{连续， lim ( ) (} 0⁾

0

x f x

f

x

x 

 

) (

) ( )

( )

(

0  f x  f x₀  f x  f x₀ 且

) (

) (

lim ₀

0

x f x

f

x

x 

 

) ( lim

) ( lim

) ( lim

0 0

0

2 x f x f x

f

x x x

x x

x      f ²(x₀)

思 考题

定义2

. ) (

) ( )

(

)) (

) ( ( )

( )

(

,

), (

0

0 0

0

值 小

上的最大 在区间

是函数 则称

都有 使得对于任一

如果有

上有定义的函数 对于在区间

I x

f x

f

x f x

f x

f x

f

I x

I x

x f I









并不是每一个函数都有最值.

. 1 ,

1 ]

2 , 0 [

sin 

 x在闭区间  上有最大值 最小值 y

. )

1 , 0

( 内没有最值 在开区间

而y  x

定理6(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数一定能取得它的最大值和最小值.

四、闭区间上连续函数的性质

 



 

  



 



f xmaxa,b , xmina,b

  

 



此定理的证明要用实数理论, 从略.