常系数 第七节齐次线性微分方程

常系数 第七节

齐次线性微分方程

基本思路 :

求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 ( 代数方程 ) 之根

转化

二阶常系数齐次线性微分方程 :

) ,

(

0 p q为常数 y

q y

p

y     

x

er

y 

和它的导数只差常数因子 , 代入①得

0 )

(r²  pr  q e^{r x} 

2  pr  q  0 r

称②为微分方程①的特征方程 ,

1. 当p²  q4  0 _{时 , ② 有两个相异实根}r₁, r₂, 方程有两个线性无关的特解 : y₁  e^{r1 x}, y₂  e^{r2 x}, 因此方程的通解为 y  C₁ e^{r1 x}  C₂ e^{r2 x}

(

r

x

er

r 为常数时 函数

因为 ,

①

所以令①的解为

②

则微分 其根称为特征根 .

2. 当p²  q4  0 时 , 特征方程有两个相等实根r₁  r₂ 则微分方程有一个特解

)

1 (

2 y u x

y 

设另一特解 ( u (x) 待定 ) 代入方程得

: e^{r1 x} [ _{(u   2r1u  r1}²_{u )}  p(u  r₁u ) ^{ uq}



r1

注意 是特征方程的重根

 0 u 

取 u = x , 则 得

,

2 xer1 x

y  _{因此原方程的通解为}

x

er

x C C

y  ( ₁  ₂ ) ¹

2 ,

 p

 y₁  e^{r1 x}.

) (

1 u x

e^{r x}



0 )

( )

2

( ₁    ₁²  ₁  

  r p u r p r q u u

3. 当p²  q4  0 时 , 特征方程有一对共轭复根









r₁   , ₂   这时原方程有两个复数解

: y₁  e^{(i  )x}  e^{ x} (cos





x

e i

y₂  ^{(  )}  e^{ x} (cos





) ( _{1 2}

2

2 1 y y

y  _i 

x e^{ x} cos





x e^{ x} sin



 因此原方程的通解为

) sin

cos

(C₁ x C₂ x e

y  ^{ x}





小结 :

) ,

(

0 p q为常数 y

q y

p

y     

,

2  pr  q  0 特征方程 : r

x r x

r C e

e C

y  ₁ ¹  ₂ ²

2 1, : r r 特征根

2

1 r

r  _实根

2 2

1 p

r

r    y  (C₁  C₂x)e^{r1 x}





r_1,2   y  e^{ x} (C₁ cos





解

以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .

若特征方程含 k 重复

根 r 





若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应

项 ^{k r x}

k x e

C x

C

C )

( ₁  ₂  ^1







 C x C x ^ x

C

e^{ x}[( _{1 2}  _k ^{k 1} )cos



] sin

)

( D₁  D₂x   D_k x^k1



 

则其通解中必含 对应项

) (

1 0

) 1 1 (

)

(ⁿ a y ⁿ a_n y a_n y a_k 均 均 均 均

y  ^  _   

特征方程 : rⁿ  a₁ r^n1  a_n1r  a_n  0

) ,

(以上C_i D_i 均为任意常数

推广 :

例 1. 求方程 y   2 y  3 y  0 ^{的通解 .} 解 : 特征方

程

, 0 3

2  r2  

r _{特征根 :} r₁  1, r₂  3 , 因此原方程的通解为 y  C₁ e^x  C₂ e^3x

例 2. 求解初值问题 0 d

2 d d

d

2

2   s 

t s t

s

,

0  4



s t 2

d 0

d t t    s

解 : 特征方程r²  r2 1  0 _有重根 r₁  r₂  1, 因此原方程的通解为 s  (C₁  C₂ t )e^{ t}

利用初始条件得 C₁  4,

于是所求初值问题的解为 s  (4  2t )e^{ t}

2  2 C

例 3.求方程 y⁽⁴⁾  2y   5y   0 ^{的通解 .} 解 : 特征方程r⁴  2 r³  5r²  0, _{特征根 :}

i r

r

r₁  ₂  0, _{3, 4} 1 2 因此原方程通解为





 C C x

y _{1 2} e^x (C₃ cos 2x  C₄ sin 2x ) 例 4. 解方程 y⁽⁵⁾  y⁽⁴⁾  0.

解 : 特征方程 :

,

4 0

5  r 

r _{特征根 :} 1 ,

0 ₅

4 3

2

1  r  r  r  r  r

原方程通解 : y  C₁  C₂x  C₃x²  C₄x³  C₅e^x ( 不难看出 , 原方程有特解1, x, x², x³, e^x )

0 2

)

(r²   ^{2 2}   ²r² 

例 5. 0 ( 0 ).

d

d ₄

4

4 





x 解方程 w

解 : 特征方程 :



 ⁴

4



r

即 (r²  2









2 2

,

1 i

r 



) 1

2 (

4 ,

3 i

r  



e x

w ²



 )

sin 2 cos 2

(C₁





 

 )

sin 2 cos 2

(C₃





例 6. 解方程 y⁽⁴⁾  2y   y  0 . 解 : 特征方程

:

0 1

2 ²

4  r  

r

0 )

1

(r²  ²  即

特征根为 r_{1, 2}  i, r_{3, 4}  i 则方程通解 :

x x

C C

y  ( ₁  ₃ ) cos  (C₂  C₄ x )sin x

内容小结

) ,

(

0 p q 为常数 y

q y

p

y     

特征根 : r1 , r2

(1) 当 r₁  r₂ 时 , 通解为y  C₁ e^{r1 x}  C ₂ e^{r2 x} (2) 当 r₁  r₂ 时 , 通解为 y  (C₁  C ₂ x )e^{r1 x} (3) 当 时 , 通解为

) sin

cos

(C₁ x C ₂ x e

y  ^{ x}





i r_1,2 





可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .

思考与练习

求方程 y   a y  0 _{的通解 .}

答案 : a  0: _通解为 y  C₁  C₂ x :

 0

a 通解为 y  C₁ cos a x  C₂ sin a x :

 0

a 通解为 y  C₁ e ^{a x}  C₂ e^{ a x}

Ex:

y₄  3sin 2 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程 并求其通解 .,

解 : 根据给定的特解知特征方程有根 : r₁  r₂ 1, r_3,4  2i

因此特征方程为 ( r 1)² ( r²  4)  0 即 r⁴  2r³  5r²  8r  4  0

0 4

8 5

) 2

4

(  y   y   y  y  故所求方程为 y

其通解为 y  (C₁  C₂x)e^x  C₃ cos 2x  C₄ sin 2x