四邊形的面積
蔡聰明
一 . 問題的提出
給一個三角形, 已知三邊長, 那麼它的 面積可用著名的 Heron 公式來求算。 這我們 在“談 Heron 公式: 記一段教學經驗”一文 中, 己經有所敘述[1]。 現在要加以推廣, 我們 自然想到了兩個方向: (i) 維數的提高, 從平 面問題變成空間問題; (ii) 邊數的增加, 從三 角形變成四邊形乃至更多邊形。 本文僅限於 討論推廣到四邊形的情形。
問題: 已知四邊形的四邊 a, b, c, d, 有 無類似於 Heron 的面積公式?
在文獻上, 這已經有 Brahmagupta 公 式 (628 年, 印度數學家) 及 Bretschneider 公式 (1842 年)。 不過本文關切的核心問題 是: 追尋、 思考的過程, 亦即如何猜測出公 式? 最好是能“合理地”看出來。 我們希望達 到這樣的目標: 給我“洞悟的眼光” (insight), 不要只給我“邏輯與數字”。 這是面對數學時, 一個基本而謙卑的願望。
不論是三角形或四邊形, 關於邊、 角、 對 角線及面積之間的關係, 有兩個重要的結果:
一個是邊、 角、 對角線的關係式, 例如畢氏 定理 (商高定理)、 餘弦定理與 Ptolemy 定
理; 另一個是面積表成邊、 角或對角線之公 式, 例如 Heron 公式, Brahmagupta 公 式與 Bretschneider 公式。 這些定理與公式 的關係非常密切, 具有一體兩面的偶伴關連, 簡直是屬於同一家族, 因此我們要一併加以 討論。 它們可以說是古典三角學、 平面幾何學 中美麗的珍珠, 令人流連玩味不忍釋手。 事實 上, 幾何學的向量代數化就是以這些素材作 為思考的動機與出發點。 對於高中生來說, 這 是一個鍛練思考的好論題。
二 . 三角形的溫故知新
最著名而熟知的是關於直角三角形的結 果:
畢氏定理:6 C = 90◦ ⇐⇒ c2 = a2+ b2 面積公式:S = 12ab, 參見下圖 1。
) > + ) > +
* *
? = ? =
圖 1 圖 2
1
註: 畢氏定理在文獻上有 370 種證法 [5]。
接著飛躍到一般三角形, 此時比較豐富 多彩。 畢氏定理推廣成
餘弦定理:
a2 = b2+ c2− 2bc cos A
b2 = c2+ a2− 2ca cos B (邊、 角關係) c2 = a2+ b2− 2ab cos C
(1) 面積公式:
S = 1
2absin C
= 1
2bcsin A
= 1
2casin B (2)
或
S =qs(s − a)(s − b)(s − c) (Heron 公式) (3) 其中 s = 12(a + b + c)。
如何直觀地猜出 Heron 公式的討論請 參見 [1]。 上述 (3) 式的證明, 只不過是 (1)、(2) 兩式的簡單應用:
S = 1
2casin B (由(2) 式) 16S2 = 4a2c2sin2B
= 4a2c2(1 − cos2B)
= 4a2c2[1 − (c2+ a2− b2 2ac )2] (由(1) 式)
= 4a2c2− (c2+ a2 − b2)2 令 s = 1
2(a + b + c), 則
S2 = s(s − a)(s − b)(s − c), 證畢。
三 . 推廣到圓內接四邊形
四邊形這一國比三角形國還要靈敏、 詭 譎 (delicate, subtle)。 最顯著的是四邊形沒 有穩固性: 已知四邊 a, b, c, d, 並沒有唯一 決定一個四邊形 (採用全等觀點), 它還是可 以壓縮、 作邊的置換而變形。 例如長方形可以 作各種變形 (四邊保持不變):
c a c a
d d
b b
c b a d
a b c
圖 3
這四個四邊形都不全等, 並且面積都不 同。
問1. 已知四邊形四邊為 a, b, c, d, (i) 邊、 角、 對角線有何關係?
(ii) 面積如何表成邊、 角或對角線?
按數學思考的常理, 我們先退到特例, 再 逐步尋幽探徑, 前進到一般情形。 什麼是四邊 形的簡單特例呢? 我們很自然地想到了長方 形:
a c a bb
圖 4
它由兩個相同的直角三角形 a, b, c 湊在一 起, 因此邊與對角線的關係仍然只是畢氏定 理: c2 = a2 + b2, 並且面積 S = ab。 這 些都沒有新義。
如何“化腐朽為神奇”呢?
如果我們將上述長方形的邊作置換成鳶 形:
a b
y x
a b 圖 5
那麼面積 S = 12xy; 但是邊與對角線的關 係仍然不易看出來。 事實上, 鳶形可以在四邊 保持不變之下, 作壓縮或拉伸, 讓對角線 x, y 變動。 因此還是有點滑溜不易把捉的感覺。
我們知道任何三角形必可內接於一個圓之中, 四邊形則不然。
我們稍退一步: 考慮圓內接矩形與鳶形 db
c a
圖6
ca y bdx
圖 7 圖 7 鳶形的面積為
S= 1 2xy 而邊與對角線的關係是什麼呢?
顯然圖 6 的矩形與圖 7 的鳶形具有相同 的面積 (以圓心連接四頂點立知), 故
1
2xy = ab 因為 a = c, b = c, 所以
xy = 2ab = ab + cd (4) 亦即兩對角線的乘積等於兩對邊乘積之和。
這就是圓內接鳶形的邊與對角線的關係式。
以這個公式來觀看圖 6, 我們發現
αβ = ac + bd (5) 也成立, 因為 (5) 式不過是畢氏定理
α2 = a2+ b2
之“兩元化”或 “兩儀化”(因為 α = β, a = c, b = d)。 因此 (4) 式可以看作是畢氏定理 的一種推廣。
上述結果啟示我們猜測: 圓的任意內接 四邊形, 其邊與對角線具有 xy = ac + bd 的 關係, 參見下面圖 8。
c d a
bE A
DC B
xy
圖 8
事實上, 我們可以證明這個猜測, 而且不 難。 過 D 點作一直線交 AB 於 E 點, 使得
6 CDE =6 BDA。 於是容易看出
△CDE ∼ △BDA 並且 △ADE ∼ △BDC 從而
CD
BD = CE
AB, BC
AE = BD AD 於是
CD· AB = BD · CE AD· BC = AE · BD
兩式相加得
CD· AB + AD · BC = BD(AE + CE)
= BD · AC
亦即
ac+ bd = xy. (6) 證畢。 因此, 我們得到:
定理1: (Ptolemy, 150 年) 設 ABCD 為圓內接四邊形, 四邊分別為 a, b, c, d, 對 角線為 x, y, 則 xy = ac + bd。
這個結果精巧美妙, 又是畢氏定理的推 廣。 天文學家 Ptolemy (90-168 年) 利用它 做出歷史上第一張弦函數表。 他對天文學非 常狂熱, 他說過: “渺小平凡的我, 本應如蜉蝣 一般朝生暮死。 但是每當我見到滿天繁星在 空中依照自己的軌道井然有序地運行時, 就 情不自禁有身在天上人間之感, 好像是天神 宙斯 (Zeus) 親自饗我以神饌。” 真是令人感 動。
B C
A D
db
a c
y x
圖 9
去年 (1992 年) 大學聯考自然組有一考 題如下: 在圖 9 中, AD 為圓之直徑, B, C 為半圓周上兩點。 a = AB, b = BC, c = CD, d = AD, 試證 d 為方程式 x3+ (a2+ b2 + c2)x − 2abc = 0 之一根。
這當然有種種證法, 但是利用 Ptolemy 定理配合畢氏定理的做法是最簡潔漂亮的。
令 x = BD, y = AC, 則 xy = ac + bd
x2 = d2− a2 y2 = d2− c2
於是
(d2− a2)(d2− c2) = x2y2= (ac + bd)2 展開、 化簡得
d3− (a2+ b2+ c2)d − 2abc = 0 這就得證了。
根據筆者閱卷的經驗, 沒有看到考生採 用上述證法。 答對的考生多半是採用: 作補助 線與餘弦定理來做, 較煩瑣。
接著我們探尋圓內接四邊形的面積公 式, 仍然參考圖 8。 首先觀察到, 面積由四邊 a, b, c, d 唯一決定。 四邊形的邊作置換可能 影響全等, 但並不影響面積。 因此圓內接四邊 形的面積理應有對應的 Heron 公式, 我們令 其面積為 S(a, b, c, d)。
問2. S(a, b, c, d) =?
我們進一步觀察到 S(a, b, c, d) 具有下 列性質:
(i) S(a, b, c, d) 的量綱 (dimension) 為 L2 (即長度的平方),
(ii) 邊界條件: 當 a+b+c = d 或 b+c+d = a 或 c+ d + a = b 或 d + a + b = c 時, S(a, b, c, d) = 0, 故由因式定理 知 S(a, b, c, d) 有 (a + b + c − a), (b + c + d − a), (c + d + a − b) 與 (d + a + b − c) 之因子。 四者乘起來, 量綱為 L4。
根據這兩條線索, 啟示我們提出下面的 猜測:
S2 = K(a + b + c − d)(b + c + d − a)·
(c + d + a − b)(d + a + b − c)
其中 K 是待定常數。 以正方形之特例代入上 式, 立即求得 K = 161 。 於是我們的猜測完全 明朗:
S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) (7) 其中 s = 12(a + b + c + d)。
這是我們所要的答案嗎? 我們試驗長方 形, 發現 (7) 式成立。 對於 d = 0 之特例, 四邊形變成三角形, 而 (7) 式變成 Heron 公 式。 因此, 在還沒有證明之前, 我們已經有了 相當的理由相信 (7) 式就是圓內接四邊形的 面積公式。
否證或證明, 要走哪一條路? 讓我們嘗 試證明吧。 仍然參見圖 8。 四邊形的面積
S = △ABC + △ACD
= 1
2absin B + 1
2cdsin D
4S = 2ab sin B + 2cd sin D (8)
由餘弦定律知
a2 + b2− 2ad cos B
= y2= c2+ d2 − 2cd cos D 所以 a2 + b2− c2− d2
= 2ab cos B − 2cd cos D (9)
將 (8), (9) 兩式平方相加得 16S2+ (a2 + b2− c2− d2)2
= 4a2b2+ 4c2d2− 8abcd cos(B + D) (10)
因為 B + D = 180◦, cos(B + D) = −1, 故得
16S2+ (a2+ b2− c2− d2)2 = (2ab + 2cd)2 從而
16S2 = (2ab + 2cd)2− (a2+ b2− c2− d2)2
= [(a + b)2− (c − d)2]·
[(c + d)2− (a − b)2]
= (a + b + c − d)(a + b − c + d) (c + d + a − b)(c + d − a + b)
令 s = 12(a + b + c + d), 則得
S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) 我們的猜測得證。
定理2:(Brahmagupta,628年) 設ABCD 為圓內接四邊形, 四邊為 a, b, c, d, 則其面 積為
S =q(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)。
(10) 註. Brahmagupta 誤以為此公式適用 於任何四邊形。 事實上, Heron 已指出一般 四邊形無法由其四邊唯一決定。
四 . 一般四邊形
一 般 四 邊 形ABCD可 分 成 凸 四 邊 形 (convex quadrilateral), 如下圖 10, 以及 凹四邊形, 如下圖 11。
A
D c C
d a bE
X 1
Y 2 X 2
Y 1
B
OA
D c C
B
d c
y a b
圖
10
圖 11我們先討論凸四邊形的情形。 如圖 10, 設 ABCD 為一個凸四邊形, 並且
AB = a, BC = b, CD = c, DA = d AC = x, BD = y,
s= 1
2(a + b + c + d), S = ABCD 的面積。
我們要研究的論題仍然是問 1, 首先探 討四邊 a, b, c, d 與對角線 x, y 的關係。 對 於圓內接四邊形的情形, Ptolemy 定理告訴 我們: xy = ac + bd。 但是對於一般凸四邊 形, 如何呢?
將圓內接四邊形稍作壓縮, 四邊保持不 變, 即 ac + bd 不變, 但是對角線 x 與 y 卻 一個變長, 另一個變短 , 記為 x0 與 y0。 那
麼 x0y0 與 xy 何者較大呢? 似乎不容易看 出來, 真理藏得比較深了 (但是我們相信有真 理可尋)。 下面我們要採用所謂的“探索性的 演繹法”, 模仿原先 Ptolemy 定理的證明方 法, 試試看會得到什麼結論。
回到圖 10 之一般凸四邊形。 作出點 E, 使得
6 DAE =6 CAB 且 6 ADE =6 ACB
於是 △ADE ∼ △ACB, 故 AD
ED = AC
BC, 即 bd= x · ED (11) 另外也有
AB
AE = AC
AD, 並且 6 DAC =6 EAB 從而 △ABE ∼ △ACD, 故
AB
BE = AC
CD, 即 ac= x · BE (12) (11)+(12) 得
ac+bd = x·BE+x·ED = x·(BE+ED) 因為 DE + ED ≥ BD = y, 故
xy ≤ ac + bd. (13) 在上述演繹過程中, 我們也發現: (13) 式中的 等號成立之充要條件是 E 落在對角線 BD 上, 即 A, B, C, D 四點按序共圓。
對於凹四邊形的情形, (13) 式也成立。
如下圖 12, 將 AB, BC 對 AC 作鏡射, 得 到凸四邊形 AB′CD, 令 B′D= y′, 則由上 述證明知
xy′ ≤ ac + bd
因為 y ≤ y′, 所以
xy ≤ ac + bd.
D c C A B
B ' d x
a b
y
y '
圖 12
進一步, 我們觀察幾種特異與退化的情 形 (詳情請參見 [2]):
(i) 當四邊形 ABCD 凹扭成X形時 (圖 13), (13) 式也成立,
D A
B Cb
y d x
c
圖 13
(ii) 當四邊形 ABCD 退化成三角形時, 不 論是有兩點重合或其中一點落在一個邊 上 (圖 14), (13) 式仍然成立。
A A
B C , D B C
D
圖 14
(iii) 當四邊形ABCD 退化成在一直線上 時, (13) 式成立, 並且當四點在直線上 按 A, B, C, D 之順序排列時, (13) 式 變成等式: 即 AB · CD + BC · AD = AC· BD。 (Euler 定理)。
總結上述之討論, 我們得到
定理3: (推廣的 Ptolemy 定理, 弱型) 對於平面上任意四點 A, B, C, D, 下 式恆成立:
AB· CD + BC · AD ≥ AC · BD 並且等號成立的充要條件是 A, B, C, D 四 點按序共圓或按序共線。
註. 直線與圓具有同等地位, 直線是具有 無窮大半徑之圓。
從直角三角形的畢氏定理: c2 = a2+b2, 到任意三角形的 c2 ≤ a2 + b2 (當 6 C ≤ 90◦) 或 c2 ≥ a2+ b2 (當6 C ≥ 90◦), 有精 確的餘弦定理: c2 = a2+ b2−2ab cos C。 同 理, 從圓內接四邊形的 Ptolemy 定理: xy = ac+ bd, 到任意四邊形的 xy ≤ ac + bd, 應 該也有相應的精確等式吧?
回 到 圖 10 之 一 般 凸 四 邊 形。 由 於△ADE ∼ △ACB 且 △ABE ∼
△ACD, 故
6 AED = 6 B 且 6 AEB=6 D
6 BED = 2π − (6 AEB+6 AED)
= 2π − (6 B +6 D)
由餘弦定理知
y2 = ED2+BE2−2ED·BE cos(6 BED) y2 = ED2+BE2−2ED·BE cos(B + D)
兩邊同乘以 x2 得
x2y2 = (x · ED)2+ (x · BE)2
−2(x · ED)(x · BE) cos(B + D)
再由 (11) 及 (12) 式得
x2y2 = a2c2+ b2d2− 2abcd cos(B + D) (14) 因為 A + B + C + D = 360◦, 故也有
x2y2 = a2c2+ b2d2− 2abcd cos(A + C) (15) 我們注意到兩個特例: (i) 當 B + D = 180◦ 時, 亦即 A, B, C, D 四點共圓時, (14) 或 (15) 式化約成 Ptolemy 定理: xy = ac + bd。 因此 (14) 或 (15) 式均可視為 Ptolemy 定理的推廣。 (ii) 當 B + D = 90◦ 時, (14) 或 (15) 式化約成
x2y2 = a2c2+ b2d2 (16)
另外, (14) 式對於凹四邊形也成立, 其 證明只要參考下面圖 15, 而過程完全跟上述 凸四邊形的論證一樣。
A
ED C
Bd x
cy ba
圖 15
定理4: (推廣的 Ptolemy 定理, 強型) 對於任意的四邊形, 如圖 10 或圖 11, 恆有
x2y2 = a2c2+ b2d2− 2abcd cos(B + D).
對於任意的四邊形, 顯然由 (14) 式可得 (13) 式, 亦即由定理 4 可推出定理 3。
最後我們追尋任意四邊形的面積公式, 這個問題較微妙而麻煩, 不過還是有跡可尋 的。 我們參考下面的圖 16及圖 17
A B
D c C
y x
d b
a
A x C
DB b
a y
d c
圖 16 圖 17
四邊形有四個邊 a, b, c, d, 四個角6 A, 6 B,
6 C, 6 D, 以及兩條對角線 x, y, 總共有 10 個要素, 它們並非完全獨立, 例如我們有強型 的推廣的 Ptolemy 定理以及四個角之和為 360◦, 這兩者都是對於 10 個要素的限制條 件。
四邊不足以決定四邊形的形狀, 這是整 個問題的麻煩所在。 因為我們要追尋的不是 四邊形的全等問題, 而是面積問題 (前者嚴 苛, 後者較寬鬆: 兩四邊形全等則面積相等, 反之不然), 所以從兩條對角線切入較簡潔。
我們分成三個步驟來思考。 先討論凸四邊形 的情形。
A
D B
C x
y
D A
C b B
c a
d
y 2 x 2
x 1 y 1
O
圖18
圖19
(I) 已知四邊形的兩條對角線 x, y, 並 且它們互相垂直, 參見圖 18。 顯然四邊形的 面積為
S = 1
2xy (17) (II) 已知對角線 x, y 及它們的夾角 θ, 參見圖 19。 令四邊形的對角線 x = x1+ x2, y= y1+ y2, 於是四邊形的面積為
S = △AOB+△BOC +△COD+△DOA
= 1
2x1y1sin θ + 1
2x1y2sin(π − θ) +1
2x2y2sin θ + 1
2x2y1sin(π − θ) S = 1
2xysin θ (18)
當 θ = 90◦ 時, (18) 式化約成 (17) 式。
(III) 更進一步, 又知道四邊, 亦即已知 a, b, c, d, x, y。 此時四邊形唯一決定了。 如 何求面積呢? (18) 式仍然成立, 但是如何將 sin θ 消解成 a, b, c, d 呢? 這使我們想到了 餘弦定理。 由 (18) 式得
16S2 = 4x2y2sin2θ= 4x2y2(1 − cos2θ)
= 4x2y2− (2xy cos θ)2
又因為 (參見圖 19)
2xy cos θ = 2(x1+ x2)(y1+ y2) cos θ
= 2x1y1cos θ + 2x1y2cos θ +2x2y2cos θ + 2x2y1cos θ
= 2x1y1cos θ − 2x1y2cos(π − θ) +2x2y2cos θ − 2x2y1cos(π − θ)
= (x21+ y12− a2) − (x21+ y22− b2) +(x22+ y22− c2) − (x22+ y12− d2)
= −a2+ b2 − c2+ d2
所以 16S2 = 4x2y2− (a2− b2+ c2− d2)2 (19)
我們也可將 (19) 式, 透過配方, 改寫為 16S2 = (2ac + 2bd)2− (a2− b2 + c2− d2)2
−4(ac + bd)2+ 4x2y2
= (a + b + c − d)(b + c + d − a) (c + d + a − b)(d + a + b − c)
−4[(ac + bd)2− x2y2] S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
−1
4[(ac + bd)2 − x2y2] (20)
由此立即看出:
A, B, C, D四點按序共圓
⇐⇒ xy = ac + bd (Ptolemy 定理)
⇐⇒ S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) (Brahmagupta 公式)
值得特別注意的是, 在上述對於凸四邊 形的三步驟論證中, (17)、(18)、(19)、(20) 四 個公式對於凹四邊形仍然成立。 這只要參考 下圖 20 並且仿上述論證即可得證。
A BD
Ca d
y 1
x x 1 y 2
bc
圖 20
接著, 透過強型的推廣的 Ptolemy 定 理, (19) 式可以進一步改寫成如下:
16S2 = 4(a2c2+ b2d2− 2abcd cos(B + D))
−(a2− b2 + c2− d2)2
= (2ac + 2bd)2− (a2− b2+ c2− d2)2
−8abcd(cos(B + D) + 1)
= (a + b + c − d)(b + c + d − a) (c + d + a − b)(d + a + b − c)
−16abcd cos2(B+ D 2 )
S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
−abcd cos2(B+ D
2 ) (21) 顯然也有
S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
−abcd cos2(A+ C
2 ) (22) 總結上述討論, 我們得到
定理 5:(Bretschneider 公式,1842 年) 對於任意四邊形 (不論凹凸), 其面 積S為
16S2 = 4x2y2− (a2− b2+ c2− d2)2 或 S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
−1
4[(ac + bd)2− x2y2] 或 S2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
−abcd cos2(B+ D 2 )
推論1. 當四邊形為圓外切四邊形時, 則 S =√
abcdsin(B+ D 2 ).
推論 2. 當四邊形既是圓內接也是圓外 切四邊形時, 則
S =√ abcd
推論 3. 在四邊 a, b, c, d 給定的情形 下, 以圓內接四邊形的面積為最大。
五 . 結語
將本文的討論推廣到五邊形的情形就已 經很困難而不切實際 (事實上是走不通)。 另
一方面, 推廣到三維空間, 這會涉及到面積與 體積的計算, 畢氏定理與 Ptolemy 定理也會 有進一步的推廣, 這些是向量幾何的美麗論 題。
