3-2、3 指數不等式、

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.12.15 範

圍

3-2、3 指數不等式、

對數(1)

班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 設 a = (

2

1

) ⁻¹﹐b = (

2 1

)²

1

﹐c =³

4

﹐d = 8 ³

−1

﹐則 a﹐b﹐c﹐d 之大小順序為____________﹒

解答 a > c > b > d 解析 a = 2¹﹐b = 2 ²

−1

﹐c = 2³

2

﹐d = 2⁻¹ ⇒ 1 >

3 2

> −

2

1

> −1 ∴ a > c > b > d

2. 試比較 2²

1

﹐3³

1

﹐5⁵

1

之大小為____________﹒

解答 3³

1

> 2²

1

> 5⁵

1

解析 (3²)⁶

1

> (2³)⁶

1

⇒ 3³

1

> 2²

1

﹐又(2⁵)¹⁰

1

> (5²)¹⁰

1

⇒ 2²

1

> 5⁵

1

﹐故 3³

1

> 2²

1

> 5⁵

1

3. a = (

2 1

)²

1

﹐b = (

3 1

)³

1

﹐c = (

6 1

)⁶

1

﹐試比較 a﹐b﹐c 的大小關係為____________﹒

解答 b < a < c 解析 a = (

2 1

)²

1

= (

2 1

) ⁶

3 　　⋅1

= (

8 1

)⁶

1

﹐b = (

3 1

)³

1

= (

3 1

) ⁶

2 　　⋅1

= (

9 1

)⁶

1

﹐c = (

6 1

)⁶

1

∵

9 1

<

8 1

<

6 1

∴ (

9 1

)⁶

1

< (

8 1

)⁶

1

< (

6 1

)⁶

1

﹐故 b < a < c

4. 若 x﹐y﹐z 均為正數﹐且 2^x = 3^y = 5^z﹐則 2x﹐3y﹐5z 的大小關係為____________﹒

解答 5z > 2x > 3y

解析 ∵ 2^x = 3^y

⇒

(2^x)⁶ = (3^y)⁶

⇒

(2³) ^2x = (3²) ^3y

⇒

8^2x = 93y ∵ 8 < 9

⇒

2x > 3y 同理﹐2^x = 5^z

⇒

(2^x)¹⁰ = (5^z)¹⁰

⇒

(2⁵) ^2x = (5²) ^5z

⇒

32^2x = 255z

∵ 32 > 25

⇒

2x < 5z ∴ 5z > 2x > 3y 5. 不等式(0.4)^{x2− x5 +2}> (6.25) ²之解為____________﹒

解答 2 < x < 3

解析 (0.4)^{x2− x5 +2}> (6.25) ² ⇒ (

5

2

)^{x2− x5 +2}> (

2 5

)⁴ = (

5 2

)^{− 4}

(∵0 < 底數=

5

2

< 1) ⇒ x² − 5x + 2 < −4

x² − 5x + 6 < 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) < 0 ⇒ 2 < x < 3 6. 2⋅ 4^x − 9．2^x + 4 ≤ 0 之解為__________________﹒

解答 −1 ≤ x ≤ 2

解析 2．(2^x)² − 9．(2^x) + 4 ≤ 0 ⇒ (2．2^x − 1)(2^x − 4) ≤ 0 ⇒

2

1

≤ 2^x ≤ 4 ⇒ −1 ≤ x ≤ 2

7. 解不等式 2^2x − 3．2^x−1 − 1 > 0 為____________﹒

解答 x >1

解析 2^2x − 3．2^x−1 − 1 > 0 ⇒ (2^x)² −

2

3

(2^x) − 1 > 0

⇒ 2(2^x)² − 3(2^x) − 2 > 0 ⇒ (2．2^x + 1)(2^x − 2) > 0 又 2．2^x + 1 > 0 恆成立 ⇒ 2^x − 2 > 0 ⇒ 2^x > 2 ⇒ x > 1 8. 不等式 2．6^x − 3^x − 18．2^x + 9 < 0 之解為____________﹒

解答 −1 < x < 2

解析 2．6^x − 3^x − 18．2^x + 9 < 0 ⇒ (3^x − 9)(2．2^x − 1) < 0

⇒ (3^x − 9)(2^x+1 − 2⁰) < 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 2

9.若 −1 ≤ x ≤ 0﹐f (x) = 2^{x + 2} − 3．4^x −1﹐當 x = x0時﹐f (x)有最小值 y0﹐則(x0﹐y0) = ____________﹒

解答 (0﹐0)

解析 令 t = 2^x ∵ −1 ≤ x ≤ 0

⇒

2^{− 1} ≤ 2^x ≤ 2⁰

⇒ 2

1

≤ t ≤ 1

f (x) = 4t − 3t

² − 1 = −3(t −

3 2

)² +

3

4

− 1 = −3(t −

3 2

)² +

3 1

∴ 當 t = 1﹐即 x = 0 時﹐f (x)有最小值= f (0) = 0

10.不等式 2^1+2x + 2^{1 − 2x} − 7(2^x + 2^−x) + 9 < 0﹐則 2^x + 2^−x的範圍為__________________﹒

解答 2

≤

2^x + 2^−x <

2 5

解析 令 t = 2^x + 2^−x ∵ 2^x + 2^−x ≥2

2 ．

^x

2

^−x ⇒ t ≥2……c 又 t ² = 2^2x + 2．2^x．2^−x + 2^−2x ⇒ 2^2x + 2^−2x = t ² − 2 原式 ⇒ 2(2^2x + 2^{− 2x}) − 7(2^x + 2^−x) + 9 < 0

⇒ 2(t² − 2) − 7t + 9 < 0 ⇒ 2t² − 7t + 5 < 0

⇒

(2t − 5)(t − 1) < 0

∴ 1< t <

2

5

……d

由cd知﹐2 ≤ t <

2

5

_{﹐即 2 ≤ 2}x + 2^−x <

2 5

11.試求函數 f (x) = 2(4^x + 4^−x) − 6(2^x + 2^−x) + 17 之最小值=____________﹒

解答 9

解析 令 k = 2^x + 2^−x﹐由算幾不等式得2 2

2 2 1

2

x x

x x

− −

+ ≥ ．　 = ﹐

∴2^x + 2^−x ≥ 2 ⇒ k ≥ 2﹐又 4^x + 4^−x = 2^2x + 2^−2x = (2^x + 2^−x)² − 2 × 2^x × 2^−x = k² − 2

⇒ f (x) = 2(k² − 2) − 6k + 17 = 2k² − 6k + 13 = 2(k −3 2)² +17

2 ﹐

∴當 k = 2 時﹐f (x)有最小值= 9﹒

12.設− 2 ≤ x ≤ 8﹐若函數 f (x) = 2^x − 2 ²

+4 x

的最大值為 M﹐最小值為 m﹐則 (1)(M﹐m) =____________﹒(2)又方程式 f (x) = 32 的解為____________﹒

解答 (1)(192﹐−4);(2)x = 6

解析 (1) f (x) = 2^x − 2 ²

+4 x

= 2^x − 2²

x

．2²

4

= (2²

x

)² − 4．2²

x

= (2²

x

− 2)² − 4 ∵ −2 ≤ x ≤ 8 ⇒

2 1

≤ 2²

x

≤ 16

∴ 當 2²

x

= 16 時﹐f (x)有最大值 M = (16 − 2)² − 4 = 192

當 2²

x

= 2 時﹐f (x)有最小值 m = −4﹐即(M﹐m) = (192﹐−4)

(2) f (x) = (2²

x

− 2)² − 4 = 32 ⇒ (2²

x

− 2)² = 36 = 6²

⇒ 2²

x

− 2 = 6 ⇒ 2²

x

= 8 = 2³ ⇒

2

x

= 3 ⇒ x = 6

13.設 0 ≤ x ≤ 3﹐求 1 ^{2 2} ( )5

x − x的最小值為____________﹒

解答 1 125

解析 1 ^{2 2 1 2 2 2 2 ( 1)2 1}

( ) (5 ) 5 5

5

x − x = − x − x = − +x x = − −x + ﹐∵ 0 ≤ x ≤ 3﹐∴當 x = 3 時﹐最小值= 5⁻³ = 1 125﹒ 14.設 x ≥ 0﹐y ≥ 0 且 x + y = 1﹐求 4^x + 4^y的(1)最大值為____________﹒(2)最小值為____________﹒

解答 (1)5;(2)4

解析 (1)∵ x ≥ 0﹐y ≥ 0﹐∴ 4^x ≥ 4⁰ = 1﹐4^y ≥ 4⁰ = 1 ⇒ 4^x − 1 ≥ 0﹐4^y − 1 ≥ 0﹐

∴ (4^x − 1)(4^y − 1) ≥ 0 ⇒ 4^x+y − 4^x − 4^y + 1 ≥ 0﹐

∴ 4^x+y + 1 ≥ 4^x + 4^y ⇒ 4^x + 4^y ≤ 4¹ + 1 = 5﹐∴最大值為 5﹒

(2)算術平均數 ≥ 幾何平均數 4^x + 4^y ≥ 2 4 4^x．　 ^y =2 4^{x y+} =2 4= 4﹐∴最小值為 4﹒

15.若 x 為大於 0 的實數﹐則不等式 x^2x3−3x2> x^3x−2的解為____________﹒

解答

2

1

< x < 1 或 2 < x

解析 (1) x >1 時﹐x^2x3−3x2> x^3x−2 ⇒ 2x³ − 3x² > 3x − 2 ⇒ (x + 1)(x − 2)(2x − 1) > 0

⇒ −1 < x <

2

1

或 x > 2……c﹐但 x > 1……d﹐由c﹑d知 x > 2

(2) 0 < x < 1 時﹐2x³ − 3x² < 3x − 2 ⇒ (x + 1)(x − 2)(2x − 1) < 0 ⇒ x < −1 或

2

1

< x < 2……e﹐但 0 < x < 1……f﹐由e﹑f知

2

1

< x < 1

(3) x = 1 時﹐不合

由(1)(2)(3)知此不等式之解為

2

1

< x < 1 或 2 < x

16. 求下列對數的值：

(1)log 16₂ = __________ ﹒ (2) ₂1 log 8=

______________

﹒ (3) ₁

2

log 2 8 =

____________

﹒

(4)log 5₅ ² =______________﹒ (5)10^{log 210} = ____________﹒

解答 (1)4 ; (2)

− 3

; (3)

5

2

^{; (4)}

2

; (5) 2 解析

(1) 16=2⁴﹐故log 16₂ = ﹒ 4 (2) 1 ³

8 2

= − ﹐故 ₂1

log 3

8= − ﹒

(3)

1

5 5

2

2 2

3

2 2 1

2 ( )

8 2 2

= = − = ﹐故 ₁

2

2 5 log 8 = ﹒ 2

(4) log 5₅ ² = 2﹒ (5) 10^log102= ﹒ 2

17. 求下列各式的值：

(1)log 4₁₀ +log 25₁₀ =___________﹒(2)log 24₂ −log 3₂ =__________﹒(3) ₁₀2 ₁₀3 ₁₀ 1

log log log

3+ 5− 25=

________

﹒

解答 (1)2 ; (2) 3; (3) 1;

解析

(1) log 4₁₀ +log 25₁₀ =log (4 25)₁₀ × =log 100₁₀ = ﹒ 2

(2) _{2 2 2}24 ₂

log 24 log 3 log log 8 3

− = 3 = = ﹒

(3) ₁₀2 ₁₀3 ₁₀ 1 ₁₀ 2 3 ₁₀

log log log log ( 25) log 10 1

3+ 5− 25= 3× ×5 = = ﹒

18. ₂4 3 ₄

log log 6

3 + =

__________________

解答

5

2

解析

2 4

log 4 3 log 6

3 + _{2 2} ²

2

log 6 log 4 3 log 3

log 4

= − + _{2 2} 1 ₂

2 log 3 log 3 (1 log 3)

= + − +2 +

2 2 2

1 1 1 5

2 log 3 log 3 log 3

2 2 2 2

= + − + + = ﹒

19.化簡求下列各值：

(1) log10

25

9 − log105 + log10

27 35− log10

3

70= ____________﹒

(2) (log23 + log1681)(log38 − log92) = ____________﹒

解答 (1) 1;(2) 5

解析 (1)原式= log10 (25

9 ÷ 5 ×27 35÷ 3

70) = log10 (25 9 ×1

5 ×27 35×70

3 ) = log10 10 = 1 (2)原式= (log23 +4

4log23)(3 log32 −1

2log32) = 2 log23 ×5

2log32 = 55

20. 3 ^{log 3}

5 log 2

2 2

+ 5^{log 24} = ____________﹒

解答 650

解析 原式= 3^log352+ 5^log216= 25 + 5⁴ = 650

21.設 log4

x = −

3 2﹐logy

16 4

81= ﹐則(1) x = ____________﹒ (2) y = ____________﹒ 3 解答 (1)1

8;(2) 8 27 解析 (1) log4

x = −

3

2 ⇒ x = 4 ²

−3

=2⁻³=1 8 (2) logy

16 4

81= ⇒ 3 16 81= y³

4

⇒ (2 3)⁴ = y³

4

⇒ y³

1

=2

3 ⇒ y = (2 3)³ = 8

27 22.若 log3 = a﹐log2 = b﹐則 10^a−2b+1 = ____________﹒

解答 15 2

解析 log3 = a﹐∴ 10^a = 3﹐log2 = b﹐∴ 10^b = 2﹐ ⇒ 所求= 10^a × (10^b)⁻² × 10 = 3 × 2⁻² × 10 =15 2﹒ 23. 3log2 2− log2

3 2 +1

2log23 = ____________﹒

解答 5 2

解析 原式= 3log₂2²

1

− log₂ 3 2 +1

2log23 =3 2−1

2log23 + 1 +1

2log23 =5 2 24.求 3^log35+ log₂ 8− log₃1 + log₅8．log₂25 = ____________﹒

解答 25 2

解析 3^log35+ log₂

8

− log₃1 + log₅8．log₂25

= 5 + log₂2²

3

− 0 + 3log₅2．log225 = 5 +3

2+ 3log₅25 = 5 +3

2+ 6 =25 2 25.log35．log27．log1258．log499 = ____________﹒

解答 1

解析 原式= log35．log27．log52．log73 = log33 = 1

26.若

log

_x−2

(2 x

²

− 13 x + 20)

有意義﹐則 x 的範圍是____________________﹒

解答

5

2 < < x 2

或

x > 4

解析 真數 > 0，底數 > 0 且

≠

1

2

5 4

2 13 20 0 (2 5)( 4) 0 2

2 0 2 2

2 1 3 3

x or x

x x x x

x x x

x x x

⎧ < >

⎧ − + > ⎧ − − > ⎪

⎪ − > ⇒ ⎪ > ⇒ ⎪ >

⎨ ⎨ ⎨

⎪ − ≠ ⎪ ⎩ ≠ ⎪ ≠

⎩ ⎪

⎩

2 5 4

x 2 x

⇒ < < >