第五章多元一次方程組

(1)

第五章多元一次方程組

5-1 二元、三元一次方程組

二元一次方程組

1.二元一次方程組

聯立方程式中，若所有方程式皆為一次式，稱為「一次聯立方程式」或「一次方程組」，

而方程組中含有二個未知數者，稱為「二元一次方程組」，依此類推。

2.二元一次方程組的解法 (1)代入消去法。

(2)加減消去法。

(3)行列式法（克拉瑪公式）。

★★

分式型二元一次方程組

★★

解

3 1 2 3

14

x y

xy y x

xy

  

 

  



。

原式 

3 1 1 2 3 14

x y x y

  



   



令1

x

 ，

A

1

y



B

 3 1

2 3 14

A B

  



  





泝沴

3泝沴  11

A

   11

A

  1 代入    3 B 1 

B

 4

∴

1 1 1

1 1

4 4

x x

y y

     



   



，故x 1， 1

y

4

解

1 2 2 0 5 9 2 3

x y x y

  



  



。

令 1 2

A

x

 ，1

y

 ，

B

則原方程組  2 0

5 9 3

A B A B

  



 





泝沴 5泝沴  B3

代入    A 6 0  A6

∴

1 1

2 6 12

1 1

3 3

x x

y y

   



   



故 1

x

12， 1

y

 3

(2)

二元一次方程組的幾何意義

二元一次方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 中的兩個方程式圖形為兩條直線，而其解( , )

x y 的組數，

即代表兩直線之交點個數，有下列三種情形：

滿足條件 幾何意義 解的組數 名稱

1 1

2 2

a b

a



b

兩直線交一點恰一組解

相容方程組

1 1 1

2 2 2

a b c

a



b



c

兩直線重合無限多解

相依方程組

1 1 1

2 2 2

a b c

a



b



c

兩直線平行無解

矛盾方程組

★

判斷二元一次方程組的類型

★

判斷下列各方程組為相容、相依或矛盾方程組：

(1) 3 1 6 2 2

y x x y

  

  

 (2) 2 0

2 2 3

x y

  

  

 。

(1)係數比 1 3

6 2

 

  相容方程組 (2)係數比1 1 2

2   矛盾方程組 2 3

判斷下列各方程組為相容、相依或矛盾方程組：

(1) 4 2 1 6 12 3

x y y x

  

  

 (2) 2

1 0

x y

 

  

 。

(1)係數比 4 2 1 12 6 3

 

 

  相依方程組

(2)係數比1

0（不存在） 0

 1  相容方程組

★★

討論方程組的解

★★

兩直線

L

₁: (

a

2)

x y a

   ， 0

2: 3 1 0

L x ay

   ，試求下列情形之a值：

(1)

L

₁

L

₂ (2)

L

₁//

L (3)

₂

L 、

₁

L 交一點。

₂

1 2

2 1

3 1

a a

L L

a

    

由 2 1 ²

2 3 0 3

a a a

a

      (

a

1)(

a

3) 0

      a 1或3

當 3 1 1 ₁ ₂

1 3 1 1

a

 

L L

      



當 1 1 3

3 3 3 1

a

    

L

₁//

L

₂ 故(1)a 1，(2)a3

(3)a R 但a 1且a3

求方程組 3 1

2 ( 5) 3

kx y k

x k y

  

   

 分別為(1)相依

(2)矛盾 (3)相容方程組時之k值。

若 3

2 5

k k

 

 

k

²5

k

  6 0

 (

k

2)(

k

   3) 0 k2或3 (1)當k2  係數比為2 3 3

2 3 3

  



 相依方程組

(2)當k3  係數比3 3 4 2 2 3

  



 矛盾方程組

(3)當k2且_k_₃  係數比 3

2 5

k k

 



 相容方程組

(3)

三元一次方程組

1.三元一次方程組

含有三個未知數的一次方程組，稱為「三元一次聯立方程式」或「三元一次方程組」。

2.三元一次方程組的解法

(1)利用加減消去法或代入消去法，先消去一個未知數，再解二元一次方程組。

(2)行列式法（克拉瑪公式）。

三元一次方程組可能恰有一組解、無限多組解或無解。

★

解三元一次方程組

★

解

2 3 9

2

3 2 4

x y z x y z

x y z

  

    

   



。

令

2 3 9

2

3 2 4

x y z x y z

x y z

   

    

   





泝沴

沊 4 11 x z

    

泝沴沝

2 x 3z 8

     

沊沴沀

3

   z 沀沝

代入沀 _{  }_x ₁

代入沴        1

y

3 2

y

2 故_x_{ }₁，

y

 ，2 z 3

解

4 7 5 x y y z z x

  

  

  



。

令

4 7 5

x y y z z x

  

  

  





泝沴沊

2 2 16 2x

y z

     

泝沴沊

    x y z 8_沝 1

  x 沝沴

3

  

y

沝沊

4

  z 沝泝

故_x_₁，

y

 ，3

z

 4

★★

解三元一次方程組－特殊型

★★

解

2 7 3

2 1

2 4 2 2

x y z x y z x y z

    

    

   





泝沴沊

。

∵ ( 2) 沴沊

∴ 原方程組  ² ⁷ ³

2 1

x y z x y z

    



    





泝沴 2 5

y

5

z

5

y z

1

         

泝沴

令

z t

 

y

   代入 1

t

 2( 1 )      

x t t

1

 x  1 3t

故原方程組有無限多組解，其解為 1 3

x   t，

y

   ， z t1

t

 ，其中t R 解

2 5

3 2 1

3 3 6 10

x y z x y z x y z

   

   

   





泝沴

沊

。

∵ 3泝沊 得_{0 25}_ 矛盾故原方程組無解

(4)

5-2 行列式

二階行列式

凡形如

a b

c d

的式子，稱為「二階行列式」，其中_a、_b、_c、_d稱為元素，且縱向為「行」、橫向為「列」，如

a

c

為第一行，_{c d} 為第二列，並定義

a a c d b b

d c





。  

★

二階行列式求值

★

(1) 1 2

3 4  ？ (2) cos sin sin cos

 

  ？

(3)若 2 3 5 9

x

 ，求 1 3 1 2

x x



 之值。

(1) 1 2

1 4 2 3 4 6 2 3 4         (2) cos sin ² ²

cos sin 1 sin cos

 

   

(3) 2

5 6 9 3 5

x



x

   x3

所求 4 9

24 18 6

 2 6   

(1) 1 1

2 4 2

 



？ (2) tan sec sec tan

 

^{ ？}

(3)

1 2 1 2 3 4

x x

x

 

   ，求_x之值。

(1)

1 1 1

( 1) ( 2) 4 2 2 0

2 2

4 2

         



(2) tan sec ² ²

tan sec 1 sec tan

 

^ ^ ^{ }

(3)原式

 (

x

1)(

x

 3) 2(

x

²  1) 4  3

x

²2

x

  5 0

 (3

x

5)(

x

  1) 0  5

x

 或 13 

三階行列式

1.三階行列式 定義

1 1 1

2 2 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2

3 3 3

a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c

      。

：乘開六項的各項中，每一行與每一列皆恰有一元素相乘。

2.記憶法

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c a b c a b c

或

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

a b c a b a b c a b a b c a b

- - - + + + - +

重複一、二行

(5)

★

求三階行列式值

★

求

2 1 2 5 3 4 1 2 1



之值。

原式 2 3 1 5 ( 2) 2 1 ( 1) 4                      2 3 1 ( 1) 5 1 2 ( 2) 4  6 20 4 6 5 16   

 3

求(1)

1 3 5 2 1 0 6 2 3



(2)

3 5 4 2 2 3 1 1 6



 

。

(1)原式 ( 3) 20 0 30 0 ( 18) 5         (2)原式 ( 36) ( 8) ( 15)     

   8 ( 9) 60  118

行列式的運算性質（以三階行列式為例）

1.行列互換，其值不變。

1 1 1 1 2 3

2 2 2 1 2 3

3 3 3 1 2 3

a b c a a a

a b c b b b

a b c c c c



2.任兩行（列）對調，其值變號。

1 1 1 1 1 1 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 1 1 1

a b c a c b a b c

   

3.任一行（列）可提出公因數，其值不變。

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

ka b c a b c a b c

ka b c k a b c ka kb kc

ka b c a b c a b c

 

4.任一行（列）皆為 0，其值為 0。

(1)

1 1

2 2

3 3

0

0 0

0

a c

 ， (2) ₂ ₂ ₂

3 3 3

0 0 0 0 a b c a b c



5.任兩行（列）成比例，其值為 0。

(1)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 a b ra a b ra a b ra

 ， (2)

1 1 1

3 3 3

0

a b c

ra rb rc

a b c

 第二、三行對調

第一、三列對調

(6)

6.任一行（列）乘上k 倍加到另一行（列），其值不變。

(1)

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

a b c a b c kb



 



， (2)

1 1 1 1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

a b c a ka b kb c kc

a b c a b c

  



7.任一行（列）的元素均為兩數之和，則可拆成兩行列式之和。

(1)

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

a b c d a b c a b d

a b c e a b c a b e

a b c f a b c a b f



  

 (2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

a b c a b c a b c

a d b e c f a b c d e f

a b c a b c a b c

    

★★

利用行列式的運算求值

★★

求(1) 2011 2012

2013 2014 之值。

(2)

3 2

1 1

2 2

3 3

x x x

 

之值。

(1) 2011 2012 2011 1 2013 2014  2013 1

2011 2013 2

   

(2)

3 2

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

x x x x

  

   

  

1 0

2 0 0

3 0 x x x

 

求(1) 3 2 2 3 6 2 3 4 2 2 3 8 2 3

   

  之值。

(2)

4 1 3

20 19 18 12 3 9



 



之值。

(1) 3 2 2 3 6 2 3 4 2 2 3 8 2 3

   

 

 2 2 2

4 2 2 3 8 2  3

 2 2 2

6 4 6 5 6

2 3 3   



(2)∵ 原式第三列為第一列之 3 倍故其值為0

(-1)

(1)

(1) (-4)

(-x²) (-x) ( k )

( k )

(7)

★★

利用行列式的運算求值

★★

求

20 40 20 15 15 31 17 17 34

 



 

之值。

20 40 20 15 15 31 17 17 34

 



 

1 2 1

20 17 15 15 31 1 1 2

 

  

  1 2 1 340 0 0 1

1 1 2



 

 

340 ( 2 1) 1020

     

求

33 19 12 66 16 8 99 3 4

之值。

33 19 12 1 19 3 66 16 8 33 4 2 16 2

99 3 4 3 3 1

 

4 5 3 132 4 0 2 4 5 1







1 1 3 2640 1 0 2 1 1 1

 

1 1 3 2640 1 0 2 0 0 2

 



2640 2 5280

    

★★

利用已知行列式值求值

★★

設

a b

2

c d

 ，求 2 3 2 5 2 3 2 5

a b b a c d d c

 

  之值。

所求 2 3 2 2 3 5

2 3 2 2 3 5

a b b a b a

c d d c d c

  

 

  

2 3 2 3

2 5

2 3 2 3

a b b a b a

c d d c d c

 

 

 

2 3

2 5

2 3

a b b a

c d d c

 

4

a b

15

b a

c d d c

 

4

a b

15

a b

c d c d

 

19

a b

19 2 38



c d

  

設 1

1 3

1

a d b e c f

 ， 1

1 1

1

a g b h c i

 ，

求

2 1 2 3

a d g

b e h

c f i

  

之值。

所求

1 1 2 3

2 1 1 2 3

1 1 2 3

a d g

b e h

c f i

 

   

 

1 2 3

2 1 2 3

1 2 3

a d g

b e h

c f i



  



1 2 1 3

2 1 2 1 3

1 2 1 3

a d a g

b e b h

c f c i

  

 

     

  

 

1 1

4 1 6 1

1 1

a d a g

b e b h

c f c i

  

( 4) 3 6 1 6

      

2 -5

(-3) (-2)

2 3

(-1)

-3 2

20 17

(15)

33 4 (1) (-8)

4 -5

(-1)

(8)

三階行列式的降階

三階行列式可對某一行（列）降階，展開成二階行列式的和與差，而每一個元素的符號規則為

  

  

  

，例如：

(1)對第一列降階展開：

1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 1

3 3 3 3 3 3

3 3 3

a b c

b c a c a b

a b c a b c

b c a c a b

a b c

   。

(2)對第二行降階展開：

1 1 1

2 2 1 1 1 1

2 2 2 1 2 3

3 3 3 3 2 2

3 3 3

a b c

a c a c a c

a b c b b b

a c a c a c

a b c

    。

★

降階運算

★

將行列式

3 1 2 1 2 3 2 4 5



以第二列降階展開，

並求其值。

原式

1 2 3 2 3 1

1 2 3

4 5 2 5 2 4

 

      

( 1) ( 13) 2 11 3 14

        13 22 42 7

    

將行列式

2 0 1 3 7 4 2 1 2



 

以第一行降階展開，

並求其值。

原式

7 4 0 1 0 1

2 3 2

1 2 1 2 7 4

 

     

   

2 ( 10) 3 ( 1) 2 7

        20 3 14 3

     

(9)

★★★

行（列）之和相同  列（行）相加

★★★

求

1 2 3

3 1 2 0

2 3 1

x x

x



 



之實根。

1 2 3

3 1 2

2 3 1

x x

x



6 2 3

6 1 2

6 3 1

x

x x



  

 

1 2 3

( 6) 1 1 2

1 3 1

x x

x

  



1 2 3

( 6) 0 1 1

0 1 2

x x

x

   



以第一行降階展開

1 1 ( 6)

1 2

x x

x

 

 

(

x

6)(

x

2 3

x

3) 0

    

 x 6 0或

x

²3

x

  （無實根） 3 0

 x 6

求

3 2 3

1 4 3 0

4 2 2

x x x



 



之實根。

3 2 3

1 4 3

4 2 2

x x x



8 2 3

8 4 3

8 2 2

x x

x

 

  



1 2 3

(8 ) 1 4 3

1 2 2

x

x x



  

1 2 3

(8 ) 0 2

0 1

x

x x x

x



   



以第一行降階展開

(8 ) 2

1

x x

 

 

(8

x x

)( 2

x

2)

    (

x

8)(

x

2)(

x

1) 0

     

 x8，2， 1

二元一次方程組的克拉瑪（Cramer）公式解

二元一次方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

 

  

 ，其中

a

₁²

b

₁²  ，且0

a

₂²

b

₂²  ， 0

令 ¹ ¹

2 2

a b a b

  ， ¹ ¹

2 2 x

b b c

  c ， ¹ ¹

2 2 y

c c a

  a ，

則方程組之解的情形如下：

(1)若 0，恰有一組解

x  

^x



，

y 

^y

 

（相容）。 (2)若      ，有無限多組解（相依）。 _x _y 0

(3)若 0，但 、_x  至少有一不為 0，無解（矛盾）。 _y (1) (1)

(-1) (-1)

(1) (1)

(-1) (-1)

x + 6

8 - x

(10)

★

利用克拉瑪公式解二元一次方程組

★

已知方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

 

  

 之解( , ) (3,2)

x y

 ，

則 ¹ ¹ ¹

2 2 2

2 3 4 0

a x b y c a x b y c

  

   

 之解為何？

∵

1 1

2 2

1 1

2 2

3 c b c b x x

a b a b

   

 ，

1 1

2 2

1 1

2 2

2 a c a c y y

a b a b

   



又所求之

1 1

2 2

1 1

2 2

4 3

2 3

c b

x x

a b



 

 



1 1

2 2

1 1

2 2

12

6 6

c b c b a b a b



  

1 1

2 2

1 1

2 2

2 4

2 3

a c

y y

a b



 



1 1 8

2 2 8 1 1 3 6

2 2 a c a c a b

a b



  

∴ x 6， 8

y

 3

若方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

0 0 a x b y c a x b y c

  

   

 之解為_x_₃，

1

y

 ，則 ¹ ¹ ¹

2 2 2

3 2

a x b y c a x b y c

 

  

 之解為何？

∵

1 1

2 2

1 1

2 2

3 c b c b x x

a b a b



 

  

 

1 1

2 2

1 1

2 2

3 c b c b a b a b

 

1 1

2 2

1 1

2 2

1

a c

y y

a b a b



 

  

 

1 1

2 2

1 1

2 2

1 a c

a c a b a b

 

所求之

1 1

2 2

1 1

2 2

2 2 3 3

c b

x x

a b



 

 

 



1 1

2 2

1 1

2 2

2

2 3

c b c b a b a b



  



1 1

2 2

1 1

2 2

3 2 3 2 3 3

a c

y y

a b

  







1 1

2 2

1 1

2 2

6

2 3

a c a c a b a b

 



∴ x 2，

y

 2

三元一次方程組的克拉瑪（Cramer）公式解

三元一次方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  

   

   



，其中每式的係數皆不同時為0，

令

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c a b c a b c

  ，

1 2

1

3 3

3

1

2 2

x

b c b c d

d b c

  d ，

1 1

2 1

2 2

3 3 3

y

a c

d a

d

d c

  ，

1 1

2 2 2

3

3 3

1 z

a b

a d

d b a b

d

  ，

則方程組之解的情形如下：

(1)若 0，恰有一組解

x  

^x



，

y 

^y

 

，

z  

^z



（相容）。 (2)若        ，無限多組解或無解（相依或矛盾）。 _x _y _z 0 (3)若 0，但 、_x  、_y  至少有一不為 0，無解（矛盾）。 _z

(11)

★★

利用克拉瑪公式解三元一次方程組

★★

利用克拉瑪公式解

1

2 3 2 7

2 2 5

x y z

x y z

x y z

  

   

   



。

1 1 1 2 3 2 15 2 2 1

 

   



，

1 1 1 7 3 2 45 5 2 1

x

 

   

 1 1 1 2 7 2 15 2 5 1

y



    ，

1 1 1 2 3 7 15 2 2 5

z



  



故 45

15 3

x

x  

 ， 15

15 1

y

y

  

 15 1

15

z

z

  



利用克拉瑪公式解

3 5 2

3 2

2 0

x y z x y z x y z

  

   

   



。

3 1 5 1 1 3 4 1 2 1

 

   



，

2 1 5 2 1 3 12 0 2 1

x

 

   

 3 2 5 1 2 3 8 1 0 1

y



    ，

3 1 2 1 1 2 4 1 2 0

z



  



故 12

4 3

x

 x  

 ， 8

4 2

y

y

  

 4 1

4

z

z

  



★★

求無限多解方程組中的係數

★★

若方程組

2 3 4

3 4 0

2 3 4

x y z

x y az

x y z b

   

   

   



有無限多組解，

求_a、_b之值。

原方程組有無限多解

         _x _y _z 0 1 2 3

3 4 5 0 5

2 3 4

a a a



       

 

4 2 3

0 4 5 4 2 0 2

3 4

x b b

b

 

        

 代入檢驗  _y 0 且  _z 0

故_a_₅，_b_₂

已知方程組

3 2 0

3 5 0

0 kx y z

x ky z x y z

  

   

   



有異於_x_₀，

0

y

 ，z0之解，求_k之值。

原方程組有異於 (0,0,0) 之解

 有兩組以上的解  無限多組解

         _x _y _z 0 顯然      _x _y _z 0

而 ²

3 2

3 5 7

1 1 1 k

k k k

     



 

k k

(   7) 0

 k0或7

(12)

( Ｂ ) 1. 設方程組 2 4

2 3

x y ax y b

 

  

 與

3 5

ax y a b x y

  

  

 有相同的解，則_{a b}_{ } (A)3 (B) 1 (C)0 (D)2。

( Ｂ ) 2. 若方程組

1 3 8 3 2 2 1

x y

  



   



之解為_{x a}_ 、

y b

 ，則a b  (A)4 (B) 1

 (C) 44 

(D)1 4。

( Ｃ ) 3. 設

xy

 ，若0 8 7 3 2 3 4

x y xy x y xy

 

   

 之解為_{x a}_ 、

y b

 ，則a b  (A)3 (B) 1

 (C)3 3 (D)1

3。

( Ｃ ) 4. 小文對小民說：「如果你給我一百元，我的錢就是你的兩倍」，而小民對小文說：「那你給我一百元的話，我的錢就是你的三倍。」，求小文與小民共有多少錢？ (A)240 (B)360 (C)480 (D)720。

( Ａ ) 5. 解

3 8

4 10

3 2 1

x y z x y z x y z

  

   

   



所得之_x、

y 、 z 三數之和為 (A)6 (B)4 (C)3 (D)1。

( Ｄ ) 6. 設x、

y R

 ，且(

x

2

y

3)²| 2

x y

   ，則1| 0 x y  (A)2 (B) 2 (C)1 (D) 0。

( Ａ ) 7. 設

a b

5

c d

 ，

a e

2

b f

 ，則 3 3

2 2

a b

c e d f



  (A)24 (B)36 (C)8 (D)12。

( Ｃ ) 8. 下列何者為真？ (A)

a b c d a c b d e f g h e g f h

 

 

  (B)

ka kb a b

kc kd



k c d

(C)

a b a b

c ka d kb



c d

  (D)

a b a c

c d

 

b d

。

( Ｂ ) 9. 行列式

6 12 18 60 30 60 9 18 9



之值為 (A)0 (B)19440 (C)29160 (D)32400。

( Ｃ ) 10.

1 19 361

1 1 1

1 11 121

 



(A)1331 (B)100 (C)6000 (D)0。

(13)

( Ａ ) 11.

1 1 1

a b c b c a c a b



 



(A)0 (B)a b c  (C)abc (D)1。

( Ａ ) 12. 行列式方程式

1 1 2

1 2 1 0

2 1 1

x x

x



 



之最小根為 (A)0 (B)3 (C) 4 (D)8。

( Ｂ ) 13. 解

3 5

5 3 0

3 5

x x x

 

  

 

，可得_x_ (A)0 (B) 8

 (C)8 (D)無實根。 3

( Ａ ) 14. 若 1 2 ( 1) 4

ax y a

ax a y

  

    

 無解，則_a_ (A)0 (B)3 (C) 1 (D) 2 。 ( Ｂ ) 15. 使 3

5 3

x y kx

x y ky

 

  

 有異於(0,0) 之解的所有k值和為 (A)2 (B)4 (C)8 (D) 2 。

( Ｄ ) 16. 設 7 a d g b e h c f i

 ，則

2 5 2

a d g g a

b e h h b

c f i i c

 

  

 

(A)7 (B)0 (C)14 (D)35。

( Ｃ ) 17. 已知a0，且

2 2

ax y z x x ay z y x y az z

  

   

   



有異於_x_₀、

y

 、0 z0之解，則_a_ (A) 1

(B) (C)2 3 (D) 。 4

( Ｂ ) 18. 若

(1 ) 7 0 0

2 0

a x y x y az

ay z

  

   

  



有無限多組解，則實數_a_ (A)1 (B)2 (C)0 (D)3。

( Ｃ ) 19. 下列對 605 40 2015 505 100 2015

x y

 

  

 之解_x、

y 的敘述何者正確？ (A)

x為偶數 (B) y 小於 3 (C)

x y

  (D)8

x y

  。 2

( Ｃ ) 20. 若

2 2

2 3

4 3

x y z x y z x y z k

  

   

   



為相依方程組，則_k _ (A)5 (B)2 (C)7 (D)3。

(14)

( Ａ ) 1. 行列式  5 1 10

1 50 5

20 10 1

？ (A)99² (B)100² (C)99² (D)100²。

【97 年統測 A】

( Ｃ ) 2. 若a、b為方程式 0 1 3

2 7 2 1

5

2 9





x

x x

的二根，則_a² __b² _？ (A)9 (B)11 (C)13

(D)15。【98 年統測 B】

( Ａ ) 3. 設 、



^{為行列式方程式} 0 7 5 2

4 2 1

6 4 2

2





 x

x 的兩個根，則







？ (A) 2

1

(B)2 1

(C)2 3 (D)

2

5。【99 年統測 B】

( Ｄ ) 4. 設二元一次方程組



   11 7 3

11 7 3

x y

y

x

，則其解為何？ (A)無解 (B)無限多組解

(C)x6，

y

 (D)1 11

x

  4 ， 11

y

  4 。【100 年統測 B】

( Ｂ ) 5. 某餐廳有 A、B 及 C 三種套餐。今志志訂 2 個 A 套餐，2 個 B 套餐，總共 2000 元；

敏敏訂 3 個 A 套餐，1 個 B 套餐，總共 2400 元；耀耀訂 1 個 A 套餐，1 個 B 套 餐，2 個 C 套餐，總共 3200 元。若訂 6 個 A 套餐，4 個 B 套餐及 2 個 C 套餐，則 總共為多少元？ (A)7400 (B)7600 (C)7800 (D)8000。【100 年統測 B】

( Ｂ ) 6. 已知

x x

x







3 2 1

3 2

1

3 2

1

，則 與下列哪一式不恆等？

(A)

x x

x



 



3 2 6

3 2

6

3 2

6

(B)

x x



 3 2 1

3 2

1

3 2

1

(C)

x x x



0 0

3 2 1 ) 6

( (D)

x

²(6 。

x

)

【101 年統測 B】

( Ｃ ) 7. 有關方程式

x x

( ²5

x

6) 4

x

的解，下列敘述何者正確？ (A)只有二實數解 (B)所有解的乘積為 2 (C)沒有負實數解 (D)所有解的和為 9。【101 年統測 B】

( Ｄ ) 8. 已知a0，且方程組 3 3

x y ax x y ay

  

  

 有無限多組解，則a？ (A)1 (B) 2 (C) 5

(D) 10 。【102 年統測 C】

(15)

( Ｂ ) 9. 若三階行列式

13 16 11 14 17 12 15 18

x

之值為3，則三階行列式

2 13 16 11 14 17 12 15 18 x

之值為何？

(A)9 (B)3 (C)3 (D)9。【102 年統測 C】

( Ｄ ) 10. 設x、y、k均為實數，若|

x

 1 | | 2

x y

  4 | |

x

3

y k

 | 0 ，則k之值為何？ (A)3 (B)1 (C) 4 (D)5。【103 年統測 C】

( Ｄ ) 11. 三階行列式

101 102 103 201 202 203 301 302 304

之值為何？ (A) 202 (B) 201 (C) 101

(D)100。【103 年統測 C】

( Ａ )12. 若二元一次方程組 2 3 4 3 4 5

x y x y

  

  

 的解為 _{x a}_ 、

y b

 ，則a b ？ (A) 23 17



(B) 21 17

 (C)21

17 (D)23

17。【104 統測】

( Ｂ )13. 若行列式

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2 a b c a b c a b c

 ，則

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2 2 2

a c a b c

 

  

 

？ (A) 4 (B) 2 (C)2

(D)4。【104 統測】

( Ｄ )14. 若三元一次聯立方程式

5

(1 ) 3 (1 ) (2 3) 1 ax ay

ax y a z

a y a z

 

    

    



恰有一解，則

a 可能為下列何值？

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3。【105 統測】

( Ｄ )15. 設

a 、 b 、 c 均為實數，若

(

a



b

)(

b



c

)(

c



a

)2，則 2

6 3 3

2 2

a b b

c c b

c a c a c a  之值

為何？ (A)12 (B) 6 (C)6 (D)12。【105 統測】

( Ｂ ) 16. 設x、

y、z 為整數，且 2 | x y

 | 3 |

x y

  4 | 5 | 2

x

3

y z

  ，則 z 可為下列何者？ | 4 (A) 0 (B) 3 (C) 5 (D) 11。【106 統測】

( Ｃ ) 17. 設 t 為實數，且三元一次聯立方程式

( 1) ( 1) 1

( 1) 3

( 1) 5

t x t z

t y z t y tz

   

   

   



無解，則

t 可為下列何者？

(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 2。【106 統測】

(16)

( Ｄ ) 18. 求三階行列式 ² 1 1 1

1 0

1 10 121

x x  所有解的和為何？ (A) 11 (B) 34

3 (C) 12 (D) 40

3 。【106 統測】

( Ａ ) 19. 設

b 、

₁

b 、

₂

b 、

₃

c 、

₁

c 及

₂

c 均為實數，若二階行列式

₃ ² ²

3 3

b c 13

b c  、 ¹ ¹

3 3

b c 7

b c  、

1 1

2 2

b c 2

b c  ，則三階行列式

1 1

2 2

3 3

1 2 3

b c b c b c

 ？ (A) 5 (B) 13 (C) 25 (D) 33。

【107 統測】

( Ｂ )20. 設

3 5 15

2 4 12

5 2 3

x y z x y z x y z

  

   

   



，則

y

 ？ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。【107 統測】

第五章 多元一次方程組