單元二：多項式與其加減運算

單元二：多項式與其加減運算

課文Ａ：多項式

介紹完乘法公式後，接著我們要談的是「多項式」。

什麼是多項式呢？

如3x²− 2x + 1 和 2x + 3這樣的數學式，就稱作「x 的多項式」。多項式

是一種包含「變數」和「係數」的式子，並且只運用到加法、減法和乘

法。

但是，當變數 x 出現在分母或絕對值時，就不屬於多項式，

如 ¹

x²+2x−3 和 |2x²− 3x + 5|。

而既然稱作「多項式」代表是由很多「項」所構成，以3x²− 2x + 1來

說，就包含3x²、−2x 和+1三項，如下圖

3x²− 2x + 1

※項與係數

多項式由許多「項」組成，這些不同的「項」，各有不同的名稱，每個

「項」裡又包含了「係數」。

以 3x²這一項來說，因為 x 的次數為二次方，所以我們稱它為「二次

項」，而 3 則是它的「係數」。

項 項 項

2

3 x²

再以−2x這一項來說，因為 x 的次數為一次方，所以我們稱它為「一次

項」，而－2 則是它的「係數」。

−2 x

而最後一項+1，乍看之下似乎沒有任何的變數 x，但其實它的項式是 x⁰

（x 的 0 次方），也就是+1 代表+1x⁰，所以我們稱它為「零次項」，而因

為任何數的 0 次方都等於 1（除了 0 以外），所以我們把+1x⁰簡寫成+1，

由於它是一個固定不變的數，所以我們又稱它為「常數項」，並說這個多

項式的常數項為+1。

※次數與項數

一個多項式所有「項」中的最高次方，我們稱作這個多項式的「次數」

。比方說，多項式 2x²− 3x + 1中，總共有2x²、−3x和+1三個項，其中

的最高次方數是 2 次方（即2x²項的次方數），所以我們稱這個多項式為

「二次多項式」。而因為它有三個項，所以它的「項數」為 3。當一個多

項式項數為 1 時，我們叫做「單項式」，如5x²或−4x。

係數

係數

3

如果一個單項式是一個不是 0 的常數時，如−7，因為它的最高次方數是

0 次方（即−7 = −7x⁰），所以我們稱它為「零次多項式」。

上面我們提到，如果單項式是一個不是 0 的常數時，我們稱它為「零次

多項式」。換句話說，0 並不是「零次多項式」，因為 0 可能代表 0 乘以任

何的項式，如0𝑥⁸

、

那麼 0 是不是一個多項式呢？

雖然 0 不是「零次多項式」，但 0 確實也是一個多項式。

由於我們從小認識的 0，竟然不只是數字，也是一個「多項式」，所以我

們給它取一個專屬的名字叫做「零多項式」。

※降冪與升冪

一個多項式是由許多「項」組成，每一項都有它的次數，我們怎麼去排

列這些項呢？我們舉一個四次多項式x³+ 2x²− 5x⁴− 3x + 1為例。它總

共有 5 項，分別是x³、+2x²、−5x⁴、−3x和+1。如下圖

x

+ 2x

− 5x

− 3x + 1

你有沒有發現，如果以各項的次數來說，這 5 項的排列是沒有按照次方

大小順序的。它的排列順序是三次項→二次項→四次項→一次項→常數

項（零次項）。

三次項 二次項 四次項 一次項 常數項

4

如果我們要依各項次數大小順序來排，就可以有兩種排法，第一是由小

至大，也就是常數項（零次項）→一次項→二次項→三次項→四次項。

排出來就是

1 − 3x + 2x²+ x³− 5x⁴

這樣的排列方式我們叫做「升冪」。「冪」指的就是次方，因此升冪就是

按照各項的次數由低至高進行排列。

第二種則是由大至小，也就是四次項→三次項→二次項→一次項→常數

項（零次項）。排出來就是

−5x⁴+ x³+ 2x²− 3x + 1

這樣的排列方式我們叫做「降冪」。也就是按照各項的次數由高至低進行

排列。

升冪和降冪都是按照各項的次數進行排列，其中降冪排列是我們比較常

用的方式。

5

下面我們就來做一些題目，練習上面的觀念。

Ex 1：判斷下面式子是不是多項式，並且在□內打勾。

式子 是否為多項式 式子 是否為多項式

2x²− 5x □是 □否 1 x²+1

x+ 1 □是 □否

3 □是 □否 |x²− 3x + 1| □是 □否

−x²+1

2x □是 □否 0 □是 □否

Ex 2：下面選項(A)到(F)都是 x 的多項式，依據下面的問題，填入適當

的代碼

(A) 2x²+ 3x + 1 (B) 0 (C) −4x²− 2

(D) 2x (E) −³

5 (F) ¹

2x + 1 (1) 哪些是二次多項式？____________

(2) 哪些是一次多項式？____________

(3) 哪些是單項式？____________

(4) 哪些是零次多項式？____________

(5) 哪些是零多項式？____________

6

Ex 3：依據下列各多項式完成下列表格

多項式 次數 二次項係數 一次項係數 常數項

−2x³− 5x²+ x − 1

3x − 5

−2 3

Ex 4：請將多項式8 − 2x²− 5x − 2x³，分別依升冪和降冪排列。

Ex 5：已知(a − 5)x³− (b + 2)x² − (a + b − 5)x + (a − b + 3)為一次多

項式，求 a、b 的值與原多項式。

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Ex 1：判斷下面式子是不是多項式，並且在□內打勾。

式子 是否為多項式 式子 是否為多項式

2x²− 5x □是 □否 1 x²+1

x+ 1 □是 □否

3 □是 □否 |x²− 3x + 1| □是 □否

−x²+1

2x □是 □否 0 □是 □否

解：

因為當文字符號 x 出現在分母或絕對值時，就不屬於多項式，所以

1 x²+¹

x+ 1和|x²− 3x + 1|都不是多項式。而2x²− 5x、3、−x²+¹

2x和 0 都是多項式。

Ex 2：下面選項(A)到(F)都是 x 的多項式，依據下面的問題，填入適當

的代碼

(A) 2x²+ 3x + 1 (B) 0 (C) −4x²− 2

(D) 2x (E) −³

5 (F) ¹

2x + 1 (1) 哪些是二次多項式？____________

(2) 哪些是一次多項式？____________

(3) 哪些是單項式？____________

8

(4) 哪些是零次多項式？____________

(5) 哪些是零多項式？____________

解：

(1)二次多項式代表最高次方是二次，所以(A)、(C)都是二次多項式。

(2)一次多項式代表最高次方是一次，所以(D)、(F)都是一次多項式。

(3)單項式代表只有一項，所以(B)、(D)、(E)都是單項式。

(4)零次多項式指的是一個不為 0 的常數，所以(E)都零次多項式。

(5)零多項式指的就是 0，所以答案是(B)。

Ex 3：依據下列各多項式完成下列表格

多項式 次數 二次項係數 一次項係數 常數項

−2x³− 5x²+ x − 1

3x − 5

−2 3

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解：

多項式 次數 二次項係數 一次項係數 常數項

−2x³− 5x²+ x − 1

3 －5 1 －1

3x − 5

1 0 3 －5

−2

3

0 0 0 − 2

3

解：

當多項式不包含每一項式時，我們稱那一項的係數為 0。如3x − 5並不包

含二次項，所以我們說多項式3x − 5的二次項係數為 0。

Ex 4：請將多項式8 − 2x²− 5x − 2x³，分別依升冪和降冪排列。

解：

升冪排列：8 − 5x − 2x²− 2x³

降冪排列：−2x³− 2x²− 5x + 8

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Ex 5：已知(a − 5)x³− (b + 2)x² − (a + b − 5)x + (a − b + 3)為一次多

項式，求 a、b 的值與原多項式。

解：

因為 (a − 5)x³− (b + 2)x²− (a + b − 5)x + (a − b + 3)為一次多項式

所以三次方項(a − 5)x³與二次方項−(b + 2)x²應該都為 0

故三次方項係數a − 5 = 0，且二次方項係數−(b + 2) = 0

所以a = 5、b = −2

代入原多項式，得到

−(a + b − 5)x + (a − b + 3) = −[5 + (−2) − 5]x + [5 − (−2) + 3]

= 2x + 10

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重點提問

在這一個段落裡，我們介紹了很多跟多項式有關的概念，包括什麼是多項

式、項、係數、項的次數、多項式的次數和項數、單項式、零次多項式、

常數項、零多項式、升冪和降冪等。

你對這些概念熟悉嗎？

請你參考課文的說明，完成下面的問答，並舉例說明

1. 什麼是「項」？

2. 什麼是「係數」？

3. 什麼是「項的次數」？

4. 什麼是「多項式的次數」？

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5. 什麼是「零次多項式」？

6. 什麼是「常數項」？

7. 什麼是「零多項式」？

8. 什麼是「升冪和降冪」？

․隨堂練習：

1. 判斷下面式子是不是多項式，並且在□內打勾。

式子 是否為多項式 式子 是否為多項式

3x²+ 2x □是 □否 1

x²+ 2x − 1 □是 □否

−3

5 □是 □否 |2x + 1| □是 □否

x

3 □是 □否 0 □是 □否

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2. 下面選項(A)到(F)都是 x 的多項式，依據下面的問題，填入適當的

代碼

(A) −3x² (B) 0 (C) 2x²− 2

(D) 2x − 3 (E) −³

5 (F) ¹

3x + 2 (1) 哪些是二次多項式？____________

(2) 哪些是一次多項式？____________

(3) 哪些是單項式？____________

(4) 哪些是零次多項式？____________

(5) 哪些是零多項式？____________

3. 依據下列各多項式完成下列表格

多項式 次數 二次項係數 一次項係數 常數項

3x⁴+ 2x − 1

x − 3

2

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4. 請將多項式3x²− 2x⁴+ 8 − 5x − 2x³，分別依升冪和降冪排列。

5. 已知(a + 2)x³− (b − 3)x²− (a + b − 2)x + (a − b + 1)為一次多項

式，求 a、b 的值與原多項式。

1.多項式(項與係

數)

2.多項式(2) 3 多項式(例 1~例 6)

https://www.youtube .com/watch?v=RJd- FsJQPVc

https://www.youtube.com /watch?v=zoFdnGwo6lE

https://www.youtube.com/

watch?v=cGaX2ZAwPOI

15

16

課文 B：多項式的加減

介紹完什麼是多項式後，接下來我們就要學習對多項式做加、減、乘、

除的四則運算了。

首先我們要來做多項式的加減。

與其說多項式的加減是加減運算，倒不如說是做「同類項合併」。

什麼是「同類項」呢？

多項式中次方相同的項我們就稱為同類項，像是2x²和−3x²都是二次方

項，所以2x²和−3x²就是「同類項」。而−2x²和3x³,一個是二次項、一個

是三次項，次數不同，所以就不是「同類項」。

同類項怎麼合併呢？

我們用一個例子來看看。

Ex 1：化簡多項式 3x²+ 4x − 1 − 2x³+ x²− 5x + 3

◎解題思維：

在這道題目裡，有三組同類項，分別是x²項、x項和常數項。如下圖

3x²+ 4x − 1 − 2x³+ x²− 5x + 3

x項 x²項

常數項

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我們可以將這三組同類項分別合併。如下

x²項：3x²+ x²＝4x²

x項：+4x − 5x = −x

常數項：−1 + 3 = +2

另外x³項只有−2x³，沒有同類項可以跟它合併，所以維持不變。

解：3x²+ 4x − 1 − 2x³+ x²− 5x + 3

= −2x³+ 3x²+ x²+ 4x − 5x − 1 + 3

= −2x³+ 4x²− x + 2

從上面的例子中，我們介紹了同類項合併的做法，下面就讓我們來看一

些多項式加減的例子。

Ex 2：計算 (x²+ 3x − 2) + (−2x²− 5x + 1)

Ex 3：計算 (−x²+ 2x + 3) − (3x²− 2x + 1)

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Ex 2：計算 (x²+ 3x − 2) + (−2x²− 5x + 1)

解：

(x²+ 3x − 2) + (−2x²− 5x + 1)

= x²+ 3x − 2 − 2x²− 5x + 1

= x²− 2x²+ 3x − 5x − 2 + 1

= −x²− 2x − 1

Ex 3：計算 (−x²+ 2x + 3) − (3x²− 2x + 1)

解：

(−x² + 2x + 3) − (3x²− 2x + 1)

= −x²+ 2x + 3 − 3x²

+

−

= −x²− 3x²+ 2x + 2x + 3 − 1

= −4x²+ 4x + 2

先依照去括號規則把 括號去掉!

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重點提問

請你依據課文的說明，解釋一下什麼叫作「同類項」？並以2x²+ 3x − 5 −

3x³ + 2x²− 7x + 4為例，寫出所有的同類項。

․隨堂練習：

1. 化簡多項式 −5x²+ 2x − 1 − 2x³+ 4x²− 5x − 3

2. 計算(2x²+ x − 3) + (−x²− 2x + 5)

3. 計算(−x²− 2x − 5) − (x²− 3x − 4)

還是不太懂，請看下面影 片

https://www.youtube.com/watch

?v=BhMeyDpjl_4

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課文 C：多項式加減的進階應用

Ex 1：計算下列各式，並用降冪排列

(1) (−2x³+ 5x) + (−2x − 5x²+ 7) − (x³− 3x²+ 5)

(2) (2x³+ 3x²− 5x + 7) − [(4x³ + 5x) − (2x²− 3x − 4)]

解：(1) (−2x³+ 5x) + (−2x − 5x²+ 7) − (x³− 3x²+ 5)

= −2x³+ 5x − 2x − 5x²+ 7 − x³

+

−

= −2x³− x³− 5x²

+

−

= −3x³− 2x²+ 3x + 2

解：(2) (2x³+ 3x²− 5x + 7) − [(4x³+ 5x) − (2x²− 3x − 4)]

= (2x³+ 3x²− 5x + 7) − (4x³+ 5x

−

+

+

= (2x³+ 3x²− 5x + 7) − (4x³− 2x²+ 8x + 4)

= 2x³+ 3x²− 5x + 7

−

+

−

−

= 2x³

−

+

−

−

= −2x³+ 5x²− 13x + 3

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Ex 2：化簡(ax²− 3x + 2) − (x²− bx + c)後會得到2x − 5則 a、b、c 的

值各為何？

解：

因為 (ax²− 3x + 2) − (x²− bx + c)

= ax²− 3x + 2

−

+

−

= (a − 1)x²+ (b − 3)x + 2

−

= 2x − 5

比較係數後可以知道 a − 1 = 0、b − 3 = 2、2

−

故 a = 1、b = 5、c = 7

Ex 3：曉華做一道數學題如下：

A、B 為兩多項式，A＝3x²− 4x + 5，B＝ ，求 A＋B。

結果他將 A＋B 看錯成 A－B，並算出答案 x²− 2x + 1。

若題目的 B 已經污損，請你試著用他算出來的結果，找出原來的 B，並

幫他算出正確答案。

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解：

因為小華實際上算的是 A－B，並且作出答案x²− 2x + 1

所以我們可以列出式子如下

(3x² − 4x + 5) − B = x²− 2x + 1

所以

−B = x²− 2x + 1 − (3x²− 4x + 5)

= x²− 2x + 1

−

+

−

= −2x²+ 2x − 4

兩邊同乘以－1，得到

B = 2x² − 2x + 4

故

A + B = (3x²− 4x + 5) + (2x²− 2x + 4)

= 3x²− 4x + 5 + 2x²− 2x + 4

= 5x²− 6x + 9

答：B = 2x² − 2x + 4，正確答案為5x²− 6x + 9

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․隨堂練習：

1. 計算下列各式，並用降冪排列

(1) (−x³+ 4x) + (−3x − 3x² + 5) − (x³− 2x²+ 3)

(2) (3x³+ 5x²− 7x + 9) − [(2x³+ 3x) − (5x²− x − 4)]

2. 化簡(ax²− x + 3) − (2x²+ bx − c)後會得到3x − 4則 a、b、c 的值

各為何？

3. 曉華做一道數學題如下：

A、B 為兩多項式，A＝2x²− x + 3，B＝ ，求 A＋B。

結果他將 A＋B 看錯成 A－B，並算出答案2x²− 3x + 5。

若題目的 B 已經污損，請你試著用他算出來的結果，找出原來的 B，

並幫他算出正確答案。

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/watch?v=J mfuhSZnOlo