由此可見，直觀必然影響學生的學習

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第六章階段性研究的結論和建議

第一節本研究的結論和啟示

經驗是形成直觀的重要來源，而人類的經驗總是限制在有限的環境，例如時間、空間、可能性的範圍(Fischbein, 1987)。Von Glasersfeld(1987) 認為，知識不是被動的接受而是認知個體主動的建構，而且，認知的功能在於能夠適應環境，以及重新組織經驗世界，而不是去發現客觀存在的現實世界。由此可見，直觀必然影響學生的學習。個人嘗試從直觀的角度，重新發展高三學生的機率思考，研究發現學生的機率直觀迷思，

除了在一般非機率問題都可能會出現的More A-More B或Same A-Same B外，還包括與建構樣本空間能力有關的複合事件等機率迷思，和受時間軸及決定論的影響，而混淆了因果關係的條件機率。因為，日常生活經驗充滿了與機率概念有關的語言，而經驗又會直接地影響直觀，所以，

直觀在學生的機率學習過程中扮演著兩種極端的角色，它「既是學習的助力又是學習的障礙」。因此，教師應該讓學生瞭解，學習機率概念時可能會產生的直觀迷思，提供概念衝突的情境，讓學生察覺這種衝突，

進而學習去分析這些迷思和衝突的原因；多利用樹狀圖來加強建構完整的樣本空間，釐清獨立和條件機率的概念，來制衡這些直觀迷思；以及，

善用學生正確的原生直觀，連結抽象的數學形式。

直觀認知是很頑固的、具有整體性的特質，學生會因而傾向於將它應用在所有物件上，而忽略了其他重要的的資訊；它還具有強迫性，除了直觀認知之外，其它的答案可能因而被排除在外，不被學生所接受。

這些直觀的原生屬性將深深地影響到學生機率概念的學習。在研究的過程中，個人一再地看到直觀的特性影響著學生的學習：科學知識與原生直觀的相互競爭，由於原生直觀的如影隨形，因而在不熟悉的狀況下又產生折返的現象。這些都說明了，克服直觀迷思教學所面對的困難。但

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是，研究過程中學生的表現也給個人許多鼓舞和感動，證明直觀的學習不是不可能的。在嘗試透過數學直觀，引導高三學生重新建構某些機率概念的過程中，發現學生因直觀教學的介入，而衍生出三種不同直觀表現的類型：教學對其有正面影響者、教學後想法在直觀迷思與正確答案間擺盪者、教學對其沒有正面影響者。第一階段教學後，有大半的學生 (40

21)屬於 II，40%(

40

16 )的學生屬於 I；第二階段教學後，有約 76%(

37 28)的學生屬於 I，且沒有屬於 III。有如此多屬於第 I 類的學生，可能是本校學生的特殊性使然，也有可能受到一些其它潛在因素的影響，即便如此，

卻仍然可以感受到直觀教學鷹架的成效。例如，有些個案學生提出「修正直觀」的說法，有些學生更由原先直觀迷思轉而認為正確答案是非常直觀。這些學生表明，經由學習仍有可能使原始的一階直觀轉化為科學性的二階直觀。

本研究所構思的機率直觀教學鷹架(認知圖)中，教學的 Delta2 引領著教學 Delta1 的方向，學生不斷地反思外在的經驗世界(教學 Delta1 的刺激)，使學生的 ZPD 在師生與同儕的互動中，不斷發展向前遷移。在研究過程中，看到學生不再輕率憑自己的原生直觀作答，而且，學會用多種方法驗證自己的原生直觀，能夠在原生直觀與科學驗證中取得平衡以釐清自己的機率觀念，有些更會從不同觀點看問題並修正自己的原生直觀。而學生在學測(93)非機率的問題中，也體會到了直觀法則的意義，不再急著做反應受制於直觀。這使個人感受到，直觀教學應融合在一般的教學中，而非鎖定在某一特定單元，應該讓學生養成批判與反思的習慣，

遇到問題先讓學生直觀地猜一猜，再用科學概念來檢驗，培養她們的數學感。希望，高中生的數學學習不但要知其然，更要知其所以然。

個人大膽地推測，本研究的教學鷹架應可以適用於其它單元的直觀教學。不過，在運用此一架構之時，應該要有足夠的溝通，教師也應提升溝通的層次，注意所強調的並非「解決問題的技巧」，而是提昇學生

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「解決問題的思考能力」，如此，才不會使學生對答案的正確性耿耿於懷，對直觀失去信心。例如，在第一階段教學中，個人太過強調驗證直觀的迷思，且因為溝通的不足，致使有些學生誤認直觀都是錯的，因而否定直觀的價值。其實，正確地運用直觀應有助於學生對抽象數學概念的瞭解，但是，為避免直觀迷思的影響和妨礙抽象思維的發展，在教學之時，直觀與邏輯應相互輔助，若是學生直觀上瞭解數學敘述時，教師應該也需要將此敘述用邏輯的方式來再次解釋，讓學生瞭解直觀上正確仍需要邏輯的檢驗；而在直觀與邏輯發生衝突時，也需要立即讓學生知道是什麼衝突，進而學習去分析這些衝突的原因。

個人認為，在全班教學時使用類比和認知衝突策略，仍應著重學生反思的過程，正如許多研究文獻均指出，後設認知是影響學生概念改變的重要因素與機制。所以，教師應提昇溝通的層次至，以師生之間的對話作為深入探索之起點的反思式溝通，或完全使用對話來產生、支持、

助長和修正學生數學知識的教導式溝通(Brendefur & Frykholm, 2000)。訓練學生說話或要求學生透過自己的語言表達數學概念，是一件重要的事情。會說代表一定程度上的理解，學生可以透過表達、內省、反思、修正的過程學習數學概念，而且，教師更容易掌握與了解學生的迷思所在。

課堂討論教學是否成功，討論問題的設計是一重要的因素。根據個人經驗，問題的設計要能引起學生探究的動機，要能銜接學生過去的經驗，循序漸進，有一點挑戰性但又不會令學生無從下手；若有引發學生衝突的設計，應注意在問題中隱含著正確的引導，才不會造成學生更多的混淆。例如，在全班討論問卷中，個人將正確與錯誤的答案混合，讓學生判斷和猜測，雖然造成學生一時的衝突，但是，並未完全達到認知衝突的目的，有些學生還因此覺得混淆的時間太長，而感覺很不好。個人覺得這可能是，學生的概念不清而問題又對錯混雜，使學生陷在迷霧中，找不到依循的方向。所以，將來的研究或教學中，問卷題目的設計

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可以略做修正，例如，可告訴學生哪些想法是錯誤的，請自行改正。討論教學中，教師所扮演的角色應是適時引導和介入而非直接告知。當發現有學生“卡”住時，教師應提出一些引導性的問題來幫助她們，答案常常就在師生之間一來一往的對話中發展出來。這樣的教學模式成敗的關鍵，在於，老師的引導是否有助於學生建構數學知識？是否可以啟發全班學生進行數學性的思考？(許馨月和鍾靜，2004)。因此，教師要熟悉溝通技巧，要有足夠的數學和教學知識，才能站在高觀點，提出適當的問題引導學生深層的思考和促進反省的活動，而教師也必須對自己的教學進行反思，才能隨時調整教學的策略。

焦點小組晤談教學，其實也是一種較理想狀況的分組討論教學，教師是引導者也是晤談者，其角色比在討論教學中更為吃重。Ginsburg(1997) 認為，晤談前應閱讀文獻和利用經驗，瞭解一般學生的狀況；在晤談中應與學生建立互信，使其覺得表達心中的想法是安全的，應努力溝通重點在於思考而不在於正確的答案；要依對學生的了解來適當的回應，鼓勵學生多做語言的表達，協助學生反省。因此，在焦點小組晤談教學中，

教師除了需要更多的數學知識、教學知識、和晤談溝通能力之外，為了要依學生的反應做適時的調整、做更適切的引導，教師需要提升反思能力的層次至學理的反思。

第二節接續研究的建議

由於機率直觀教學的相關研究在國內仍然少見，所以，未來有許多更進一步的研究方向可以嘗試。首先，關於機率直觀的教學，由於本研究中所使用的各評量問題相似度較高，因此，熟悉題目可能影響學生的表現，而無法完全確定學生是否真正瞭解。因此，如何更有系統評估學生數學概念的學習成效？仍有待進一步修正和發展。其次，在研究過程中，個人感受到學生對其原生數學直觀想法的堅持，概念改變的教學是

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很困難的，因而體會到：學生剛接觸一個新數學概念時的教學活動是非常重要且關鍵的。正如 Skemp(1989)認為，由於概念重建對學生是困難的，因此，為免學生將來需要經常重建基模，對教授一個基模的基本概念需要認真規劃。事後的補救教學，有時很難改變學生根深蒂固的想法，

造成學生在迷思與科學概念之間擺盪，而且，一再地基模重建會使學生失去學習的興趣與動機。所以，如果在學生第一次接觸機率課程時，就先了解和介入學生原有的機率直觀迷思，這樣的直觀教學是否就會更有效果？此時的教學活動設計又該如何修正，才能避免或面對學生的直觀迷思？這是一個實際又值得探討的問題。

再者，對於其他單元的直觀教學，個人覺得本研究所構思的教學鷹架或教學認知圖具有一定的參考價值，但是，實際情形會是如何？是否有某些地方仍須隨單元性質的不同而修正？是否仍需搭配其它的教學策略與內容？另外，學生的直觀迷思是否會因不同的數學概念而有不同的影響因子？例如，幾何單元對視覺化的依賴程度較其他單元高，而機率單元與日常生活經驗的相關程度較高。這些因素是否會對教學產生不同的影響？另外，數學及科學能力與直觀反應是否有關係？是否學科能力高的學生比較不受直觀迷思的影響？學科能力高的學生是否比較容易克服直觀的迷思而進入二階的直觀？在本研究中，有少數學生在教學之後到達二階直觀的教學目標，這是否是因本校學生的特殊性使然？其他學校的學生是否也有可能出現？這些都待進一步的研究釐清，也是日後研究可加以探究的向度。

個人的教學行動研究經驗和本研究直觀教學策略的運用，對同校其他數學教師而言，應該或多或少有一些啟示。有些同事在和個人交換機率單元學生的直觀想法後，在教學中便特別注意學生建構樣本空間的能力和直觀的迷思，並準備用本研究中的一些問卷，來檢驗高二學生剛學完機率單元之後的機率概念情況；對於個人認為，在社會組課程中應該

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介紹條件機率的看法，有些同事也表示認同。對於其他學校想進行直觀教學的老師，個人認為，應該先了解學生的先前知識。這是一件非常重要的教學前準備，可能必須針對學生的不同背景，修正本研究的教學鷹架，擬定更適合自己學生的的直觀教學策略。

在實務工作中試驗想法是行動研究的基本特徵，利用行動研究立即發現問題、立即設法解決問題，並且透過計劃、執行、省思、修正的螺旋式重複循環，作全面性的檢討與改進，這樣所得的結果發現和實踐歷程的收穫，是最貼近教師的教學實務需求。這次的研究經驗使個人體會到：任何有效的教學法在自己未嘗試之前，都將只是理論，只有確實放入自己的教學脈絡之中，才有機會體驗到真正的利弊得失。但是，為了不讓學生當教師實施新教學方法的白老鼠，和為了減少教師身兼研究者所面臨角色不同的矛盾，個人認為，應該建立教師教學 COP 的形式與機制，再借助教育專業人士的引導，讓教師在自己的職場研究中學習與成長。藉由教學 COP 的運作方式，做更客觀的檢視，如此可使行動研究對教師的專業成長有更多的助益。

這次的研究經驗顯示，學生的潛力無窮，教師若能培養和引動有效的後設認知能力，她們的表現會更令人感動；而勤於反思的教師，除了能使學生受益，也能使教師獲得專業成長的喜悅。例如，有些學生在指考(大學指定考科考試)後，回到學校告訴個人，「考數學時慌成一片，不知該從何寫起，最後，決定從最有把握的機率問題開始做。」原本最害怕的單元成了最有把握的單元，這對個人研究的努力是個非常大的鼓勵。經由這次個人的教學行動研究，除了解決了部分個人經常面臨的教學問題之外，也希望，這些經驗也能提供其他數學教育研究者及中學數學教師教學與研究的參考。