3-3 平面向量的內積

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch3 平面向量

3-3 平面向量的內積

甲、向量的內積

課本頁次： 176

(

 a ^  ^b

對於兩個非零向量

 _a

 _b

將它們平移 , 使其始點重合 , 此時它們的夾角





 _a

 _b

甲、向量的內積

課本頁次： 176

(

例如：在正三角形 ABC 中 , (1)

_AB 

_AC 

A B

C

60

的夾角為

60

甲、向量的內積

課本頁次： 176

(

例如：在正三角形 ABC 中 , (2)

_AB 

_BC 

_120

A B

C

120

甲、向量的內積

課本頁次： 176

(

例如：在正三角形 ABC 中 , (3)

_BC 

_AC 

_60

A B

C

甲、向量的內積

課本頁次： 177

(

在物理學中 , 當用定力拖動一物體時 , 如果拖力

 f



 f

 _d

 _f

作的功

W

_{W }

 ^f

 _d

_

  _d

 f

為向量

 f

 _d

 f

| | ^|

 d



課本頁次： 177

向量的內積的定義

當兩個非零向量

  _{a b ,}



 a

 _b

  _{a b }

另外 , 我們規定對任意向量

 _a

 ₀

即

    _{a  0  0  a  0.}

a b 

  

 _a

 _b

_

甲、向量的內積

課本頁次： 177

(

(1) 內積

  _{a b }



符號

  _{a  b}

因為 _{| |}

 a

 _b

_

例 1

課本頁次： 178

已知

△ ABC

AB AC   

解 ：

的值

A B

C

60

AB AC   

6

6 6 6 cos60

    1

2

8

1

   6

例 1

課本頁次： 178

已知

△ ABC

AB BC   

解 ：

的值

A B

C

120

AB BC   

6

6 6 6 cos120

    1

2

8

6

1

6 ( )

    



隨 1

課本頁次： 178

已知向量

 _a

求

 b

解 ：

 a

| | |

 _b

的夾角為 45 ﹐

|

 _a

 _b

  _{a b }

2 45

2 2

  

3



3 2



a b 

 

 a

 b

甲、向量的內積

課本頁次： 178

(

2 2

( , ) b  OB  x y

    ^{a  OA  ( , ), x y}

設

的夾角﹒

2 2 2

2 cos

AB

OA

OB

OA OB



cos



 2 |

 a

 _b

2 2 2

AB

OA

OB



為坐標平面上兩不平行向量 ,

　 且



△ OAB



甲、向量的內積

課本頁次： 179

(

2 2

( , ) b  OB  x y

    ^{a  OA  ( , ), x y}

設

cos



2 |

 a

 _b

OA ²

OB ²

AB ²



2 2

1 2

2 2

1 1 2

2

2 2 1

2 a b ( x y ) ( x y

) ( ( x x ) ( y y ) )

           

1 2 1 2 1 2 1 2

2 a b 2 x x 2 y y a b x x y y

           

cos



 2 |

 _a

 _b

2 2 2

OA

A B

O B



甲、向量的內積

課本頁次： 179

(

2 2

( , ) b  OB  x y

1 1

 

( , ), a  OA  x y

 

為坐標平面上兩平行向量﹒　

( ) a r b r

      _{ ( , ) x}

_y

_{ r x ( , )}

_y

( )

a b   r b  b

     r |  b

_{ r x (}

_{ y}

₎



2 2 2 2 1 2 1 2

( rx x ) ( ry y ) x x y y

   

 ^若

 _a

 _b

 ₀

  a b   x x

 y y

 0

內積的坐標表示

課本頁次： 179

2 2

( , ) b  x y

1 1



( , ), a  x y



是坐標平面上任意兩個非零向量 , 　

1 2 1 2

a b   x x  y y

則

 _a

   _b

  _{a b }

例 2

課本頁次： 180

已知

 _{a  (7,1)}

(1)

(3,4) b 



解 ：

﹐ 求

a  b

 

4

3

   



25

(7,1)

(3,4)

 

a  b

 

 25

例 2

課本頁次： 180

已知

 _{a  (7,1)}

(1)

(3,4) b 



解 ：

﹐ 求

a  b

 

_{ a}

_{ b}

設

 a

 _b

_

cos





 a

| | |

 _b



  ^{a b }

2 2

7 1 50 5 2

   

 a

| |

2 2

5

3 4 25

   

 b

| |

5

 5 2



1

 2

∴

  45 

隨 2

課本頁次： 180

在

_{△ ABC}

﹐求 (1)

( 2,3), (2, 2), (3,7)

A  B  C

解 ：

已知三頂點坐標為

AB   AC 

 

4

5

4

    



0



   ^5,4

 

AB AC   

隨 2

課本頁次： 180

在

_{△ ABC}

﹐求 (2)

( 2,3), (2, 2), (3,7)

A  B  C

解 ：

已知三頂點坐標為

 BAC

 

4

5

4

    

 0



   ^5,4

 

AB AC   

AB 

| | |

_AC 



^{AB AC}   ^

 0

∴

   90

AB 

| | |

_AC 



⁰

內積的性質

課本頁次： 180

a a  

 

(1) (2) (3) (4)

a b   b a 

   

( r a     )  b  r a b (  )

( )

a  b  c  a b   a c 

      

,

a b c

   _與

為實數 ,

設

r

|

 a

甲、向量的內積

課本頁次： 181

(4)

       _{a  ( b  c )  a b   a c }



^,

 ^, 

^,

 ^, 

^,



a  x y b  x y c  x y

  

證： 設



 



( ) , ,

a  b  c  x y  x  x y  y

  

   

1 2 3 1 2 3

x x x y y y

   

1 2 1 3 1 2 1 3

x x x x y y y y

   



^,

 

^,

 

^,

 

^,



a b   a c   x y  x y  x y  x y

   

1 2 1 2 1 3 1 3

x x y y x x y y

   

∴        _{a  ( b  c )  a b   a c }

例 3

課本頁次： 181

已知

 _a

求 (1)

 b

的夾角為 60 ﹐

|

 _a

 _b

₃

(     a  b ) (  a  b )

2

3

 2 



 5

(     a  b ) (  a  b )

a a a b b a b b

               

 |

 _a

 _b

例 3

課本頁次： 181

已知

 _a

求 (2)

 b

的夾角為 60 ﹐

|

 _a

 _b

₃

的值 .

 36

(3 a 2 b ) (3 a 2 b )

       

9 a a 6 a b 6 b a 4 b b

                3 a 

|

_{ 2 b} 

3 a 

|

_{ 2 b} 

 9|

 a

_{ 12 a b}   _

 b

2 2

2 2 3

9 12 cos60 4 3

        

∴ ^|

_{3 a}  _{ 2 b} 

⁶

  b

隨 3

課本頁次： 182

已知

 _a

求

 b

的夾角為 120﹐

|

 _a

 _b

₄

的值 .

 13

( a b ) ( a b )

       

a a a b b a b b

               

 a

| |

 a

|

_  _b

 |

 a

_{ 2 a b}   _

 b

2

2 cos1

3 3 4 20 4

      

∴ ^|

 _{a }  _b

13

 a

|

_  _b

 _{b }  _a

例 4

課本頁次： 182

已知 ABCD 為平行四邊形，試證：

證明 ：

2 2 2 2

2( )

AC

BD

AB

AD ,

AB     a AD   b

A B

D C

 a

 b



_AC

_{ B D}

_{ A}  _C

_{ B}  _D

 b

|

 a

_{ 2 a b}   _

 _b

_{ 2 b a}   _

 a

＝ (

= 2( |

 a

 _b

)

＋

2 2

2(

AB AD

 

「平行四邊形定理」

隨 4

課本頁次： 182

在

_{△ ABC}

的長﹒

6, ,

4, AC 8

AB   BC 

解 ：

已知

D 為 BC

_AD

A

B

6 C

8

x D x

E

為平行四邊形

 四邊形

ABEC

得

8

x

6

 64 4

x



x

x

∴ AD  10

甲、向量的內積

課本頁次： 182

(

當向量

 _a

 _b

a  b a  



 _b

兩向量垂直的定義

甲、向量的內積

課本頁次： 183

(

a b 

 

 _a

 _b

_

cos





  ^{a b }

 a

| | |

 _b



cos



 

_   _{a b   0}



  _{a b   0}







  





甲、向量的內積

課本頁次： 183

(

若

  _a  ^a _

_b 

_b

(1) 設 為任意兩個向量 .

0

a b  

 

1 1

( , ) a  x y



 _{b  ( , ) x y}

(2) 為任意兩個向量 .

若

  _{a  b}

x x

 y y

 0

例 5

課本頁次： 183

設向量

 _{a  (1, 3) }

(1) 已知

(2, 1) b  



解 ：

﹐

a  c

 

 

1

3

s

    

1



s 



   ^{3 , s}

   

0 a    c   a  c 



(3, ) c  s



例 5

課本頁次： 183

設向量

 _{a  (1, 3) }

(2) 已知

(2, 1) b  



解 ：

﹐

(  a  t   b )  b

(1 2 ) 2 ( 3

t t

         5

t

  

 

(1

2 t

 t

2, 1

   



(  a  t   b )  b  (  a  t   b )  b  0

求實數 t 的值﹒

﹐

(3, ) c  s



(2,

(1, 3) 1 ) ( 1 2 , 3 )

b t

t

a     t      t

 

1



t  

隨 5

課本頁次： 184

已知

 _{a  ( ,2) k}

 _{b   ( 4,3 k  1)}

解 ：

﹐

( 4)

(3 k 1)

 

k 



1



k 

( 4,3

2) 0

(

k

k  1)

 



0

a    b   a  b 



例 6

課本頁次： 184

設向量

 _a

 b

垂直 , 且 |

 _a

 _b

₄

r a    b

_{2 a}   _{ b}

( r a    b )  ( 2   a  b )

 b

2r |

 a

_{ r}  _{a }  _{b  2}  _{a }  _b



 b

2r |

 a



2

4

2 2 0

 r    8

r

   

r  2

(   a    b   a  b  0) ( r a b ) ( 2 a b ) 0

        

隨 6

課本頁次： 184

設向量

 _a

 b

的夾角為 30°, |

 ^a

 _b

₃

 a

_{r a}   _{ 2}

_b

( 2 )

a  r a  b

  

r |  a

_{ 2}  _{a }  _b



22 2

3

  r   

2 r 3



 

( 2 3 3

2 3 ) b

a     

  

( 2 ) 0

a r a b

      

乙、兩直線的交角

課本頁次： 185

直線法向量的定義

 n

當非零向量 與直線 L 的一個方向向量垂直時﹐

 n

稱向量 與直線 L 垂直﹐並稱其為直線 L 的 一個法向量﹒

 n

L

乙、兩直線的交角

課本頁次： 185

: 0

L ax by c   

: 0

L ax by   

 ^, 

P  b a L

在直線



_OP  _{  ( b a , ) / / L}

_{( , )  b a}

_方向向量

x y

O L

( , ) Q a b ( , )

P b a 

L

 ^, 

Q a b

在平面上取一點 得向量

_OQ  _{ ( , ) a b}

為 L 的一個法向量

( , ) a b

∴

( , ) 0

( , )

OP   OQ    b a  a b    ab a b  O

OQ P

    _{ OQ}  _{ L}

直線的方向向量與法向量

課本頁次： 186

: 0

L ax by c   

若直線 L 的方程式 ﹐則

 ^, 

v   b a

(1) 向量



 ^, 

n  a b

(2) 向量



 ^, 

n  a b



: 0

L ax by c

 ^, 

v   b a



隨堂

課本頁次： 186

設直線

L : 4 x  6 y   5 0

解 ：

下列哪些向量可為 L 的法向量﹖

﹐

1

  4,6 n 

(1)



 ⁿ

^{ }  ^6,4 

1

  4,6

n  n 

 

(3)

 n

   2,3

 ⁿ

^  ^{3, 2 } 

_{ }

5

6,9

n 



是 L 的一個法向量﹒

(1) ○﹒ (2) ×﹒

(3) ○﹒

 ⁿ

^   ^{2,3 / /}  ^{n }   ^4,6

(4) ×﹒

(5) ○﹒

 ⁿ

^   ^{6,9 / /}  ^{n }   ^4,6

乙、兩直線的交角

課本頁次： 186

兩直線

^{L L}

^,

其交角形成兩雙對頂角

1 ^和



^{ }

^{ 180 } n

  n

設 與 分別為

L

L

的一個法向量 , 且其夾角為

  

 180 

若求兩直線的交角 , 則求兩直線法向量的夾角即可 . 　

  

∴

即

 _n

 _n



L

L

例 7

課本頁次： 187

求兩直線

解 ：

1

: 3 3 0

L x y   

L

: 2 x y    1 0

cos



 

  ^{n n}

n

| | |

  n

⁵





1

(3,1) n 

L

的法向量為 

2

(2, 1) n   L

的法向量為 

設 L₁ 與 L₂ 的銳夾角為 θ

∴交角為 45° 或 180° － 45° ＝ 135°

隨 7

課本頁次： 187

求兩直線

解 ：

1

: 3 1 0

L x y   

L x

:  3 y   2 0

cos





n

| | |

  n



  ^{n n}

4

4

 3

 

2 3 3 4 2

 





1

( 3, 1)

n  

L

的法向量為 

2

(1, 3)

n   L

的法向量為 

設 L₁ 與 L₂ 的銳夾角為 θ

∴交角為 30° 或 180° － 30° ＝ 150°

丙、點到直線的距離

課本頁次： 188

0 0

( , )

P x y  ^{n }  ^{a b ,} 

L

1 1

( , ) Q x y

: 0

L ax by c   

設 與點

^{P x y ( , )}

0 0

( ) ( ) 0

a x at b y bt c

      _t ^ax

^by

^c

a b

 

  

1 1 0 0

( , ) ( x y x at y , bt )

   

0 1 0 1

( x x y , y ) t a b ( , )

   

1 1

( , )

Q x y

ax

 by

  c 0

∵

/ / ( )

QP     ^QP  n



QP t n t   

丙、點到直線的距離

課本頁次： 188

: 0

L ax by c   

設 與點

0 0

( , )

P x y  ^{n }  ^{a b ,} 

L

＝點 P 到直線 L 的距離

0 0

( , ) P x y

1 1

( , ) Q x y

0 0

2 2

ax by c

t a b

 

 

/ / ( )

QP     ^QP  n  QP t n t   

0 0

2 2

ax by c a b

 

 

2 2

0 0

2 2

ax by c

a b a b

 

  

 =

QP     t n t n

點到直線的距離公式

0 0

2 2

.

ax by c

d a b

 

 

課本頁次： 188

0 0

( , )

P x y L ax by c :    0

點 到直線 的距離 d 為

例 8

課本頁次： 188

求點 解 ：

( 3 , 1 )

P L : 3 x  4 y   5 0

2 2

3 3 4 1 4 ( ) 3

d    5





 

10

 5

到直線

 2

隨 8

課本頁次： 189

求點 解 ：

2 ( 1 , )

P  L : 12 x  5 y   4 0

2 2

( 1) 2

12 5

12 ( ) 5

d   4







  

26

 13

到直線

 2

P(2 1) 且與圓 C 相切的直線方程式

例 9

課本頁次： 189

已知圓

C x

y

解：

﹐ 求通過圓外一點

設 m 為過 P 的切線 L 的斜率 : 1 ( 2)

L y m x

   

y

O (5,0)

x

P

mx y m

    

2 2

| 5 0 2 1|

( 1) 5

m m

m

  

 

 

2 2

49 14 1 1 25

m m

m

 

 



12

m

m

   

P(2 1) 且與圓 C 相切的直線方程式

例 9

課本頁次： 189

已知圓

C x

y

解：

﹐ 求通過圓外一點

: 1 ( 2)

L y

m x

y

O (5,0)

x

P

m

m

   

(4

m

m

   

3 4 4 3

 

m

∴切線方程式為 3

1 ( 2)

y

x

1 ( 2)

y

x

3 x  4 y  10 0 

即

和 4 x  3 y   5 0

P(7 4) 且與圓 C 相切的直線方程式

隨 9

課本頁次： 190

設圓

C x

y

解：

﹐ 求通過圓外一點

設 m 為過 P 的切線 L 的斜率 : 4 ( 7)

L y m x

   

y

O

x

(2, 1)

(7,4)

P

7 4 0

mx y m

    

2 2

| 2 1 7 4 | ( 1) 5

m m

m

  

 

 

2 2

25 50 25 1 25

m m

m

 

 

  

m

P(7 4) 且與圓 C 相切的直線方程式

隨 9

課本頁次： 190

設圓

C x

y

解：

﹐ 求通過圓外一點

y

O

x

(2, 1)

(7,4) : 4 ( 7)

P

L y

m x

 

m

 

y

∴切線方程式為 y  和 4 x  7

x

( 水平切線 )

兩平行直線的距離公式

2 1 2

2 2

1

2 2

.

c c c

d a b a b

c  

  







課本頁次： 190

1

:

0

L ax by c    L ax by c

:  

 0

兩平行直線 與

1 1

( , )

P x y L

L

d

^{P x y ( , )}

L

∴

的距離 d

L

L

_P

^L

1 1 2

2 2

ax by c

d a b





 

1 1 1

ax  by   c

1 1 1

0

ax  by   c

兩平行直線的距離公式

1 2

2 2

.

c c

d a b

 



課本頁次： 190

1

:

0

L ax by c    L ax by c

:  

 0

兩平行直線 與

的距離 d 為

例 10

課本頁次： 190

求兩平行直線

解 ：

1

: 3 4 2 0

L x  y  

2

: 6 8 7 0

L x  y  

與 的距離 .

2 2

6 8 d 4 7 

 

3

 10

1

: 3 4 2 0

L x  y    6 x  8 y   4 0

2

: 6 8 7 0

L x  y  

∴

隨 10

課本頁次： 191

求兩平行直線

解 ：

1

: 2 3 0

L x  y  

2

: 2 2 0

L x  y  

與 的距離 .

2 2

1

3 (

) 2) d  ( 2

  

 5 5

 5 

1

: 2 3 0

L x  y  

2

: 2 2 0

L x  y  

∴

例 11

課本頁次： 191

已知兩直線

解 ：

1

: 2 1 0

L x y   

L x

:  2 y   5 0

2 2 2 2

2 5

1 ( 2

2) 1

2 ( 1)

x

y y

x   



 



 

∴ 兩直線的交角平分線方程式為

,

2 x y 1 x

y



 

即

^{2 x y   1   ( x  2 y  5 )}

4 0

x y    或 ^{x y    2 0}

隨 11

課本頁次： 191

求兩直線

解 ：

1

: 3 4 7 0

L x  y  

L

: 4 x  3 y   2 0

2 2 2 2

3 4 7

3 4

4 3 2

4 3

x y x y

  

 

 

∴ 兩直線的交角平分線方程式為

,

3 x 4 y 7

x

y



 

即

^{3 x  4 y  7   ( 4 x  3 y  2)}

9 0

x y    或 7 x  7 y   5 0

丁、柯西不等式

課本頁次： 192

 a  b

設 與 為兩個非零向量﹐ 且



 a

| | ^|

 b



   a b  





   a b  

 a  _b

 a  _b





   或



 a

 b

當

 _a

 _b

 ₀

柯西不等式

課本頁次： 192

,

 a  _{b ,}

對於任意兩向量 不等式

a b  

 

 _a  _b

恆成立 , 且等號成立於

  _a

_b

或

 _a

 _b

 ₀