2-3多項式方程式我們知道：任一個實數的平方必為正數或

(1)

2-3 多項式方程式

我們知道：任一個實數的平方必為正數或0﹒因此﹐方程式x²  1在實數系中無解﹒於

是數學家們引進「虛數」﹐把實數系擴張成一個較大的數系─複數系﹐使得所有的多項式方程式在這個數系中都有解﹒

i的規定

規定_i_{ }₁﹐且i滿足

(1)i²  1﹒ (2)當b0時﹐ _{ }_b _bi 例如： _{ }₃ _3i﹐ _{ }₉ ₉_i_₃_i﹒

複數的定義

設^a﹐b為實數﹐形如a bi 的數稱為複數﹐其中^a稱為a bi 的實部﹐b稱為a bi 的虛部

實數：實數就是虛部為0 的複數

虛數：虛部b0的複數﹐稱為虛數

純虛數：實部為0 的虛數bi（b0）

例題1--- 已知^a﹐b是實數﹐且滿足



^a^{   }²



⁴ⁱ ¹ ^bi﹐求^a﹐b的值﹒

---

隨堂練習--- 已知^a﹐b是實數﹐且滿足²^{ }



⁴ ^{a i}

 

^ ^b^{ }³



^bi﹐求^a﹐b的值﹒

---

複數的運算與性質

設^a﹐^b﹐^c﹐^d為實數﹐我們有

(1)加法：



^{a bi}^

 

^{ }^{c di}

 

^ ^{a c}^{  }

 

^{b d i}



﹒ (2)減法：



^{a bi}^

 

^{ }^{c di}

 

^ ^{a c}^{  }

 

^{b d i}



﹒ (3)乘法：



^{a bi c di}^

 

^

 

^ ^{ac bd}^

 

^ ^{ad bc i}^



﹒

(2)

例題2--- 已知複數z₁ 3 4i﹐z₂  5 3i﹐求下列各值：

(1)z1z2 (2)z1z2 (3)z z1 2

---

隨堂練習--- 已知複數z1 2 3i﹐z2  2 3i﹐求下列各值：

(1)z1z2 (2)z1z2 (3)z z1 2

---

重要性質

若^z¹﹐^z²﹐^z³為複數﹐則

(1)^z¹^^z² ^^z²^^z¹﹐^{z z}¹^{  }² ^{z z}² ¹﹒ 【交換律】

(2)z1



z2z3

 

 z1z2



z3﹐z1



z z2 3

 

 z z1 2



z3﹒ 【結合律】

(3)z1



z2z3



   z z1 2 z z1 3﹒ 【分配律】

(4)z1 0 z1﹐z1 1 z1

設^z為複數﹐正整數ⁿ^¹﹐規定zⁿ zⁿ^¹z﹒

例題3--- 計算i﹐_i²﹐…﹐_i⁸的值。

---

(3)

i的性質

4k 1

i ^ i﹐i⁴^k^²  1﹐i⁴^k^³ i﹐i⁴^k^⁴ 1﹐ 其中^k為正整數或 0﹒

隨堂練習--- 求下列各式的值：(1)i⁵⁰ (2)i i   ² i³  i⁵⁰

---

複數的除法公式

除法：a bi ac bd₂ ₂ bc ad₂ ₂

c di c d c d i

       

       （c﹐d不同時為0）﹒

例題4--- 將下列複數表示成a bi 的形式﹐其中^a﹐b是實數：(1) 1

3 4i (2) 2 3 4

i i



 

---

隨堂練習--- 將下列複數表示成a bi 的形式﹐其中^a﹐b是實數：(1)1 3

1 3

i i



 (2) 1 ii

(4)

一元二次方程式的公式解

實係數一元二次方程式ax²bx c 0的解為 ² 4 2

b b ac

x a

  



例題5--- 解下列各方程式：

(1)x²2x 4 0﹒ (2)2x²2x 5 0

---

隨堂練習--- 解下列一元二次方程式：

(1)x²  x 1 0﹒ (2)2x²2x 1 0

---

根的性質設實係數一元二次方程式ax²bx c 0﹐判別式D b ²4ac﹒ (1)當D0時﹐方程式有兩相異實根﹒

(2)當D0時﹐方程式有兩相等實根﹒

(3)當^D^⁰時﹐方程式有兩共軛虛根﹒

例題6--- 求實數k的範圍﹐使方程式₃_x²_₄_x_₂_k _₀的兩根均為實數

---

(5)

隨堂練習--- 求實數k的範圍﹐使方程式_x²_₃_{x k}_{ }₀的兩根為共軛虛數

---

根與係數的關係

若 ﹐  為實係數一元二次方程式ax²bx c 0的兩根﹐則 ,

. b a c a

 



   



 



兩根的和：

兩根的積：

例題7--- 已知 ﹐  為方程式₂_x²_₄_x_{ }_{5 0}的兩根﹐求下列各式的值：

(1)²²﹒ (2) 1 1

  ﹒ (3) ³³

---

隨堂練習--- 已知 ﹐  為方程式x²4x 7 0的兩根﹐求下列各式的值：

(1)²²﹒ (2) 

  ﹒ (3)³³

(6)

n次方程式

當 ^{f x}

 

是ⁿ次多項式時﹐我們稱 ^{f x}

 

^⁰為ⁿ次多項式方程式﹐簡稱為ⁿ次方程式。如果有一個數 滿足 ^f

 

^ ^⁰﹐就稱 是 ^{f x}

 

^⁰的根或解﹒有時候為了強調這個根 所在的數系﹐將 稱為整數根﹐有理根﹐實根或複數根。

例題8--- 已知x2i是三次方程式_x³__x²_₄_{x a}_{ }₀的一根﹐求^a的值？

---

隨堂練習--- 下列哪些是三次方程式x³2x²  x 2 0的根？

(1) ₂ (2)2 (3)i (4)i (5)1 i

---

並不是所有實係數ⁿ次方程式﹐都一定有實根﹒例如：實係數二次方程式_x²_{ }_{1 0}就沒有

實根﹐但有兩個共軛虛根i與i﹒如果把根的範圍由實數擴大到複數﹐那麼是不是所有ⁿ

次方程式都一定有根？在西元1799年﹐德國數學家高斯在他的博士論文中成功地證明：

代數基本定理：任意一個複數係數ⁿ次方程式﹐只要次數ⁿ^¹﹐就至少有一個複數根。

說明：

(1) 實數也可看作是複數﹐所以上面這個定理保證了實係數ⁿ次方程式一定有根。

(2) 每一個實係數ⁿ次方程式﹐都恰好有ⁿ個複數根。

(3) 虛根成對定理：設 ^{f x}

 

_是實係數ⁿ_（n2）次多項式﹒若虛數^{a bi}^ 是方程式

 

⁰

f x 

的一個虛根﹐則它的共軛複數a bi 也是 ^{f x}

 

^⁰的一個虛根（^a﹐b是實數且b0）

(7)

設實係數方程式_x⁴_₃_x³_₆_x²__{ax b}_{ }₀有一根為1 3i ﹒ (1)求^a與b的值﹒ (2)解此方程式

---

隨堂練習--- 已知2 i 為方程式_x⁴_₅_x³_₈_x²_{  }_x _{5 0}的一根﹐求其他的根

---

重要性質：

(1) 實係數奇數次方程式至少有一個實根。

(2) 每一個實係數ⁿ（n1）次多項式都可以分解為實係數一次式或實係數二次式的乘積

(3) 一般的五次或五次以上的方程式﹐公式解不存在。

例題10--- 求方程式 ^{f x}

 

^²^x³^³^x²^⁸^x^{ }^{3 0}^{的有理根。}

---

(8)

解方程式₂_x⁴__x³_₇_x²_₉_x_{ }_{6 0}

---

勘根定理

設 ^{f x}

 

^⁰是一個實係數多項式方程式﹐而^a與b是兩個相異實數﹒如果 ^{f a f b}

   

^ ^⁰

（即 ^{f a}

 

與 ^{f b}

 

異號）﹐那麼方程式 ^{f x}

 

^⁰在^a與b之間至少有一個實根。

例題12--- 方程式_x³_₈_x_{ }_{1 0}在哪些連續整數之間有實根。

---

隨堂練習--- 方程式_x³__x²_₂_x_{ }_{1 0}在哪些連續整數之間有實根。

---

(9)

已知方程式_x³_₈_x_{ }_{1 0}恰有一負根﹐求與此負根最接近的整數。

---

隨堂練習--- 已知方程式_x³__x²_₂_x_{ }_{1 0}恰有一正根﹐求與此正根最接近的整數

---

例題14--- 已知整係數多項式 ^{f x}

 

^^x³^^ax²^^{bx c}^ 滿足 ^f

 

⁰ ^⁰﹐ ^f

 

² ^{ ﹐}⁰ ^f

 

⁵ ^⁰^﹐

 

¹⁰ ⁰

f  ﹐且方程式 ^{f x}

 

^⁰的三根均為有理根﹐求整數^a﹐b﹐^c的值。

---

(10)

已知整係數多項式 ^{f x}

 

^²^x³^^ax²^^bx^³滿足 ^f

 

^{ }¹ ⁰﹐ ^f

   

² ^f ³ ^{ ﹐}⁰

且方程式 ^{f x}

 

^⁰的三根均為有理根﹐求整數^a﹐b的值。

---

例題15--- 設a0﹐n是正整數﹒證明：方程式_xⁿ __a恰有一正根。

---

隨堂練習--- 已知正整數n 滿足n ³100 n 1﹐求n 的值

---

(11)

習題一、基礎題

1. 將下列複數化成a bi （a﹐b為實數）的形式：

(1)



^{2 3}^ ⁱ

 

^{  }^{3 5}ⁱ



﹒ (2)



^{1 2}^ ⁱ

 

²^ⁱ



﹒

(3)2 1

i i



 ﹒ (4)



¹^ⁱ

 

²^{ }¹ ⁱ



⁴﹒

2. 已知



^{3 2}^ ^{i x}



^



^{2 2}^ ^{i y}



^^{17 2}^ ⁱ^﹐求實數^x^﹐^y^的值﹒

3. 解下列方程式：

(1)x² 3 0﹒ (2) 2x²  x 1 0﹒ (3) x²2x 4 0﹒

4. 設方程式x²4x k 0﹐求在下列各條件下實數k的值或範圍：

(1)兩根為相異實根﹒ (2)兩根為相等實根﹒ (3)兩根為共軛虛根﹒

5. 設x²8x 1 0之兩根為 ﹑  ﹐求下列各式的值：

(1)²²﹒ (2) 

  ﹒ (3)³³﹒

(12)

3 17 13 0

x  x  x  ﹒ 2x 5x 4x 3 0﹒

7. 已知方程式x⁴3x³6x²2x60 0 有一根為1 3i ﹐求其他的根﹒

8. 已知 1 2i為實係數方程式_x⁴_₃_x³__ax²__bx__{10 0}_ 的一根﹐求a﹐b的值﹒

9. 已知方程式x³8x 2 0有三個相異實根   ﹐且  , , ^{ } ﹐求  小數點後的第1 位數字﹒

10. 設 ^{f x}

 

為四次實係數多項式﹐且 ^{f x}

 

的一些取值如下表所示：

有關方程式 ^{f x}

 

^⁰^的4 個根所在的數系﹐選出正確的選項：

(1)4 實根

(2)3 實根 1 虛根 (3)2 實根 2 虛根 (4)1 實根 3 虛根 (5)4 虛根﹒

x 0 1 2 3

 

f x 2 1 1 3

(13)

11. 求滿足



^{x yi}^



² ^{ }^{8 6}ⁱ^的實數^x^與^y^的值﹒

12. 已知 ^{f x}

 

是滿足下列兩條件的最低次實係數多項式：

(1) ^{f x}

 

^{的最高次項係數為}²﹒

(2)複數2 3 , , 2 i i  皆為方程式 ^{f x}

 

^⁰^的根﹒

求 ^{f x}

 

^{的常數項﹒}

13. 已知整係數方程式x³ax²bx 5 0有三個相異的有理根﹐求a﹐b的值﹒

14. 設^m﹐n為實數﹐且方程式_x³_₁₇_x² __{mx n}_{ }₀有兩個複數根a i 與1 bi ﹐其中a﹐b

m n

(14)

面的新牆正中央留著寬2 公尺的出入口﹐如圖所示﹒舊牆的整修費用為每公尺 1 千元﹐

新牆的造價費用為每公尺3 千元﹐總工程費用為 4 萬 2 千元﹒設矩形菜圃的舊牆長度為^x

公尺﹒

(1)已知^x滿足 a

x b

  ﹐求常數x ^a﹐b的值﹒

(2)求^x的值﹒

16. 將長 6 公尺﹑寬 4 公尺的矩形鐵片﹐四個角各截去一個面積相等的正方形﹐然後將各邊

摺起來﹐做成一個無蓋的長方體容器﹐如果此容器的容積為8 立方公尺（鐵板厚度不

計）﹐求截去的正方形邊長﹒