勾股定理證明-G169
【作輔助圖】
1. 以AB為邊，向外作一正方形ABDE，以AC為邊，向內作一正方形ACFG。 2. 連接GE（由證明過程第 1 點可知F G E 三點共線）。
3. 延長AC作AH BC。
4. 連接HE，在HE上作HI BC，從I 點作垂線交AG於J點，形成正方形AHIJ且IJ 交
AE於M點（由第 2 點全等三角形的對應角可推得，四邊形AHIJ為平行四邊形，因 為AH HI，所以形成正方形AHIJ）。
5. 從D點作DK垂直GF。
C
A B
E D
F
G
H J
I
K L M
【求證過程】
如圖正方形ABDE被分割四大部分，利用三角形的全等及圖形的拼湊，可將正方形 ABDE改寫為另外兩的正方形的和，即可推得勾股定理關係式。
1. 證明三角形AEG與三角形ABC全等，並由此說明F G E 三點共線：
因為EAG BAG 90 , CAB BAG 90 , 所以EAG CAB. 因為前述 EAG CAB
, 及AEAB, AG AC, 所以 AEG ABC
(SAS 全等),
由上述結論推得AGE AGF 90 90 180, 因此F G E 三點共線。
2. 由第一點結果證明三角形EAH與三角形AEG全等，推得四邊形AHIJ為正方形：
因為EAH EAG 90 , AEG EAG 90 , 所以EAH AEG; 因為由第 1 點結
論可推得BCEG, 又AH BC因此可得AH EG, 因為AH EG, AE AE, 及前 述EAH AEG, 所以
EAH AEG
(SAS 全等).
因此可由前述全等三角形的對應角推得，四邊形AHIJ為平行四邊形，且因為 AH HI ，所以四邊形AHIJ為正方形。
3. 證明三角形EMI與三角形BLF全等：
因為四邊形AHIJ為正方形，且邊長為BC, 由第 2 點結論可推得HE AG, 又
AGCF, 因此HECF, 所以由圖形可知IEHEHI CFBCBF, 即
IEBF；
因為IE//BF, ME//BL, 所以MEI LBF, 因為前述IEBF, MEI LBF, 及 90
EIM BFL
, 所以
EMI BLF
(ASA 全等).
4. 證明三角形AMJ與三角形DLK全等：
因為第 3 點結論得EM BL, 又AEBD, 所以AM DL；因為AG//DK, AE//BD, 所以MAJ LDK, 因為前述AM DL, MAJ LDK, 且AJM 90 DKL, 所以可推得
AMJ DLK
(AAS 全等).
5. 運用作圖將正方形ABDE分割為四區塊，利用前述證明將正方形ABDE重新拼湊：
( ) ( )
, ABDE
ABD
ABDE AGLB EDK AEG DLK AGLB ABC EAH AMJ
AGLB ABC EMI AHIM AMJ AGLB ABC BLF AHIM AMJ
ACFG AHI E
ABDE
ABDE J
即
ABDE ACFG DIFJ. 6. 整理第 5 點的結果，找出直角三角形ABC三邊長關係：
因為正方形ABDE邊長為AB, 正方形ACFG邊長為AC, 正方形AHIJ邊長為BC,
所以由第 5 點結論可得
2 2 2
AB AC BC , 即
2 2 2
c a b .
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1899). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 6(2), 33-34.
2. 心得：此證明的圖形與 G168 的分割圖形雷同，差別僅在於分割出來的圖形位置不 同，和 G168 皆可讓學生運用全等圖形的關係，用拼圖方式操作體驗。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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