第四章 向量空間

第四章 向量空間

4.1 Rⁿ上的向量 4.2 向量空間

4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度

4.6 矩陣的秩與線性方程式系統 4.7 座標和基底變換

4.8 向量空間的應用

Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

2/130

4.1 R

上的向量

有序的n項 (ordered n-tuple)

所有有序的n項所構成的集合 n個實數的序列 ⁽x1,x2,,xn⁾

n維空間 (n-space)： Rⁿ

線性代數: 4.1節 p.222

3/130

R¹ = 1維空間



範例：n=1 一個實數 x

n=2 一個有序的對 R² = 2維空間

= 所有有序成對實數 所構成的集合



) , (x₁ x₂

) , (x₁ x₂ n=3 一個有序的三項

R³ = 3維空間



= 所有有序三項實數 所構成的集合

) , , (x₁ x₂ x₃

) , , (x₁ x₂ x₃



n=4 一個有序的四項

= 所有有序四項實數 所構成的集合

 R⁴ = 4維空間

) , , ,

(x₁ x₂ x₃ x₄

) , , ,

(x₁ x₂ x₃ x₄

= 所有實數所構成的集合

線性代數: 4.1節 p.227

4/130

 注意：

範例：

一個點





一個向量





 

(1) n項 可以被視為Rⁿ上的一個點，其 中x_i為它的座標值

(2) n項 可以被視為Rⁿ上的一個向量 )

, , ,

(x₁ x₂  x_n ) , , ,

(x₁ x₂  x_n ) , , ,

(x₁ x₂ x_n

x 

線性代數: 4.1節 p.227

5/130









 v

u (Rⁿ上兩個向量)

 相等 (equal)

若且唯若 v

u u₁ v₁, u₂ v₂,,u_n v_n

向量加法 (vector addition)







v _{1 1}, _{2 2} , , u

純量乘法 (scalar multiplication)





cu  ₁, ₂,,

注意：

上述所定義的向量加法與純量乘法二者被稱為 在Rⁿ上的標準運算(standard operations in Rⁿ)

線性代數: 4.1節 p.228

6/130

負向量 (negative)

) ,..., ,

,

(u₁ u₂ u₃ u_n



 u

向量差 (difference)

) ,...,

, ,

(u₁v₁ u₂v₂ u₃v₃ u_nv_n



 v u

零向量 (zero vector) ) 0 ..., , 0 , 0

( 0

注意：

(1) 零向量0被稱為加法單位元素(additive identity) (2) 向量-v被稱為v的加法反元素(additive inverse)

線性代數: 4.1節 p.228

7/130

 定理 4.2：向量加法與純量乘法的性質

令 u, v, 與w為在Rⁿ中之向量，及c,d為純量 (1) u+v為Rⁿ中之向量

(2) u+v=v+u

(3) (u+v)+w=u+(v+w) (4) u+0=u

(5) u+(-u)=0

(6) cu為在Rⁿ中之向量 (7) c(u+v)=cu+cv (8) (c+d)u=cu+du (9) c(du)=(cd)u (10) 1(u)=u

線性代數: 4.1節 p.230

8/130

 範例 5： R⁴中的向量運算

解：(a)

令u=(2,-1,5,0)，v=(4,3,1,-1)，與w=(-6,2,0,3)為R⁴ 中的向量，求解下列中的每個 x

(a) x = 2u - (v + 3w) (b) 3(x+w)= 2u-v+x

).

8 , 9 , 11 , 18 (

) 9 1 0 , 0 1 10 , 6 3 2 , 18 4 4 (

) 9 , 0 , 6 , 18 ( ) 1 , 1 , 3 , 4 ( ) 0 , 10 , 2 , 4 (

3 2

) 3 ( 2



















































w v u

w v u x

線性代數: 4.1節 p.230

9/130

(b)

     





3 2

2

3 2

3

2 3 3

2 ) ( 3

2 9 2 11

2 9 2

1 2

1 2

3 2 3 2 1



























































w v u x

w v u x

w v u x x

x v u w x

x v u w x

線性代數: 4.1節 p.230

10/130

 定理 4.3：加法單位元素與加法反元素的性質 令v為Rⁿ中的向量，c為純量。則下列性質為真

(1) 加法單位元素具有唯一性，也就是若u+v=v，則u=0 (2) 加法反元素具有唯一性，也就是若 v+u=0，則u=-v (3) 0v=0

(4) c0=0

(5) 若cv=0，則c=0或v=0 (6) -(-v)=v

線性代數: 4.1節 p.231

11/130

線性組合 (linear combination)

範例 6：

在R³中 x=(-1,-2,-2)，u=(0,1,4)，v=(-1,1,2)，以及 w=(3,1,2)。求 a, b 與 c 使得 x=au+bv+cw

解：

2 2

2 4

2 1 3

























c b

a

c b

a

c b



a1, b2, c1 w v u x 2  所以

向量x被稱為v1,v2,...,vn的線性組合，若它可以被表示為

n 2

1 v v

v

xc₁ c₂ c_n

線性代數: 4.1節 p.232

:純量 , ,

, _{2 n}

1 c c

c 

12/130

 注意：

在Rⁿ的一個向量u(u₁,u₂,,u_n)可以被表示成 ] , , ,

[u₁ u₂  u_n

 u



















un

u u



2 1

u

(因為加法與純量乘法的矩陣運算所得到的結果與相對應 的向量運算的結果一樣)

或

一個nx1的行矩陣(行向量) 一個1xn的列矩陣(列向量)

線性代數: 4.1節 p.232

13/130

) ,

, ,

(

) , , , ( ) , , , (

2 2 1 1

2 1 2

1

n n

n n

v u v u v u

v v v u u u



















 v

u

] ,

, ,

[

] , , , [ ] , , , [

2 2 1 1

2 1 2

1

n n

n n

v u v u v u

v v v u u u



















 v

u































































n n n

n u v

v u

v u

v v v

u u u







2 2

1 1

2 1

2 1

v u

向量加法 純量乘法





































n

n cu

cu cu

u u u c

c  

2 1

2 1

u

) , , , (

) , , , (

2 1

2 1

n n

cu cu

cu

u u

u c c







 u

] , , , [

] , , , [

2 1

2 1

n n

cu cu

cu

u u

u c c







 u

線性代數: 4.1節 p.233

14/130

摘要與複習 (4.1節之關鍵詞)

 ordered n-tuple：有序的n項

 n-space：n維空間

 equal：相等

 vector：向量加法

 scalar multiplication：純量乘法

 negative：負向量

 difference：向量差

 zero vector：零向量

 additive identity：加法單位元素

 additive inverse：加法反元素

15/107

4.2 向量空間

 向量空間 (vector space)

令V為一集合且在V上定義了兩個運算(向量加法與純量乘法)。

若對V在上的每個向量u, v與w及每個純量c與d都符合下列的 公理時，則稱V為向量空間

加法：

(1) u+v 屬於V 加法封閉

(2) u+v=v+u 交換性

(3) u+(v+w)=(u+v)+w 結合性 (4) 對在V中所有的u，V有零向量0使得u+0=u 加法單位元素 (5) 對在V中所有的u，在V中存在一向量使得u+(-u)=0 加法反元素

線性代數: 4.2節 p.237

16/130

純量乘法：

(6) 屬於cu V 純量乘法封閉 (7) c(u )v cucv 分配性

(8) (c )d ucudu 分配性 (9) c(du)(cd)u 結合性

(10) 1(u)u 純量單位元素

線性代數: 4.2節 p.238

17/107

 注意：

(1) 一個向量空間包含四個部分：

(2)純量集合為實數集合 實數向量空間 純量集合為複數集合 複數向量空間 (3) V 

 

V：非空集合 c：純量

) ： , (

) ： , (

u u

v u v u

c c 







 向量加法

純量乘法





一個向量集合、一個純量集合、與兩個運算

線性代數: 4.2節 補充

18/107

 常見的向量空間 (1)n維空間： Rⁿ

向量加法

) ,

, ( ) , , ( ) , ,

(u₁ u₂ u_n  v₁ v₂ v₂  u₁v₁ u₂v₂ u_nv_n

純量乘法

) , , ( ) , ,

(u₁ u₂ u_n ku₁ ku₂ ku_n

k   

(2)矩陣空間：V M_mn(所有具有實數項的 mn矩陣集合) 範例：(m=n=2)



 











 



 







 





22 22 21 21

12 12 11 11 22

21 12 11 22

21 12 11

v u v u

v u v u v

v v v u

u u u



 







 





22 21

12 11 22

21 12 11

ku ku

ku ku u

u u k u

向量加法

純量乘法

線性代數: 4.2節 補充

19/107

(3) n次多項式空間：

(所有小於或等於n次之多項式的集合) )

(x P V  _n

n n

n b x

a x

b a b a x q x

p( ) ( )( ₀ ₀)( ₁ ₁) (  )

n nx ka x

ka ka x

kp( ) ₀ ₁ 

) ( ) ( ) )(

(f g x  f x g x ) , ( 

 c (4) 函數空間： V

(定義在實數線上所有連續函數的集合)

) ( ) )(

(kf x kf x

線性代數: 4.2節 補充

20/107

 定理 4.4： 純量乘法的性質

令v是向量空間中的任意元素，c是任意純量，

則以下的性質成立

v v

0 v 0

v 0 0

0 v

















) 1 ( (4)

0

(3) (2)

0 (1)

或 則

，

若c c

c

線性代數: 4.2節 p.242

21/107 (1) u+v 屬於V 加法封閉

(2) u+v=v+u 交換性

(3) u+(v+w)=(u+v)+w 結合性 (4) 對在V中所有的u，V有零向量0使得u+0=u 加法單位元素 (5) 對在V中所有的u，在V中存在一向量使得u+(-u)=0 加法反元素

(6) 屬於cu ^V 純量乘法封閉 (7) c(u )v cucv 分配性

(8) (c )d ucudu 分配性 (9) c(du)(cd)u 結合性

(10)1(u)u 純量單位元素

22/107

 注意：只要找到一個公理不符合就可以證明這集合不是 向量空間。

範例 7：二次多項式集合不是向量空間 證明：令 p(x)x²和q(x)x²x1

V x x q x

p    

 ( ) ( ) 1 在向量加法下不封閉

R , V 

 ¹₂ 1

V

₂¹

2 1)(1)

( (在純量相乘下並沒有封閉)

 純量 

證明：

範例 6：整數集合不是一個向量空間

整數非整數

線性代數: 4.2節 p.243

23/107

 範例 8：一個不是向量空間的集合 V=R²=所有實數有序對的集合

向量加法：(u₁,u₂)(v₁,v₂)(u₁v₁,u₂v₂) 純量乘法：c u u( ,1 2)(cu1, 0)

) 1 , 1 ( ) 0 , 1 ( ) 1 , 1 (

1  



這集合(與兩個給定的運算)不是一個向量空間



證明V不是向量空間 解：

線性代數: 4.2節 p.244

24/130

摘要與複習 (4.2節之關鍵詞)

 vector space：向量空間

 n-space：n維空間

 matrix space：矩陣空間

 polynomial space：多項式空間

 function space：函數空間

25/107

4.3 向量空間的子空間

 子空間 (subspace) ) , ,

(V  ：一個向量空間







 V W

W 

一個非空子集合 )

, ,

(W  ：一個向量空間(在V的加法和純量乘法 的運算定義下)

 W是一個V的子空間

 顯然子空間 (trivial subspace)

每個向量空間V至少有兩個子空間 (1)零子空間{0}是V的子空間 (2) V是V的子空間

線性代數: 4.3節 p.247

26/130

 定理 4.5：子空間的測試

若W是向量空間V的非空子集合，則W是V的子空間 若且唯若下列的封閉條件成立

(1) 若 u 與 v 都在W上，則 u+v 也是在W上

(2) 若 u 在W上且 c 是任意純量，則 cu 也是在W上

線性代數: 4.3節 p.248

27/130

 範例：

 範例：Ｒ^２的子空間

 

 

(1) 0 0 通過原點的直線

(2) R2

(3)

3 的子空間

R

通過原點的直線

(2)

通過原點的平面

(3) R3

(4)

 





(1) 0 0

線性代數: 4.3節 p.249

28/130

 範例 2：對稱矩陣集合是M_2×2的子空間

M_2×2為具有矩陣加法及純量乘法標準運算的向量空間 W為所有2×2對稱矩陣的集合

在標準運算下證明W是向量空間M_2×2的子空間 向量空間

: M M

W  _{22 22} 解：

) ( _{1 1 2 2}

2

1,A W A A,A A

A  ^T  ^T 

令

)

( _{1 2 1 2 1 2}

2

1 W,A W A A A A A A

A     ^T  ^T  ^T   )

(kA kA kA W

A , R

k   ^T  ^T  的子空間

是 _22

W M

) (A₁A₂W

) (kAW

線性代數: 4.3節 p.249

29/130

W B

A 



 







 0 1

0 1

的子空間 不是 _{2 2}

2 

W M

 範例 3：奇異矩陣集合不是M_2×2的子空間

M_2×2為具有矩陣加法及純量乘法標準運算的向量空間 W為二階奇異矩陣的集合

在標準運算下證明W不是向量空間M_2×2的子空間

W B

, W

A 



 









 





1 0

0 0 0

0 0 解： 1

線性代數: 4.3節 p.250

30/130

範例 4：第一象限的集合不是R²的子空間 證明在標準運算下的

不是R²的子空間 解：

W

(1,1) 令 u

     



 (純量相乘不封閉)

的子空間 不是R²

W

} 0 0

: ) ,

{( _{1 2 1} ₂ 

 x x x x

W 與

線性代數: 4.3節 p.250

31/130

範例 6：判斷R²的子空間

下列兩個子集合中，何者是R²的子空間

(a) 在直線 上點的集合

(b) 在直線 上點的集合

解：(a) W 



 











 





v₁ ₂  2 ₁ _{2 1} ₂ 



 





的子空間 是R²

W

0 2 

 y x

1 2 

 y x

(加法封閉) (乘法封閉)

線性代數: 4.3節 p.253

32/130

 





 x,y x y W

W v(1,0) 令

  





的子空間。

不是R²

W (b)

線性代數: 4.3節 p.253

33/130

範例 8：判斷R³的子空間

 





W

R x x x x W

R











3 1 3 3 1 1

2 1 2 1

3

, ) , ,

( (b)

, ) 1 , , ( (a)

的子空間? 下列子集中，何者是

解：(a) 令 v(0,0,1)W

W







( 1)v (0,0, 1) 的子空間 不是R³

W

W

W   





(v ,v v ,v ) , (u ,u u ,u )

(b) 令 v _{1 1 3 3} u _{1 1 3 3}

   







 u

v

   





 k k k k kv

的子空間 是R³

W

線性代數: 4.3節 p.255

34/130

定理 4.6：兩個子空間的交集也是子空間

的子空間。

也是 表示成

交集

的 與 的子空間，則 都是向量空間

和 若

U U) V (

W V U

W V



線性代數: 4.3節 p.252

35/130

摘要與複習 (4.3節之關鍵詞)

 subspace：子空間

 trivial subspace：顯然子空間

36/130

4.4 生成集合與線性獨立

k

ck

c

cu u u

v _{1 1} _{2 2}

的線性組合。

稱為向量

則向量v u₁,u₂,,u_k

線性組合 (linear combination)

若向量v可被表示成下列的形式

純量

2 ：

1,c , ,ck

c 

線性代數: 4.4節 p.258

37/130

範例 2：

的線性組合。

不是

的線性組合。

是

, , 2,2)

(1,

(b)

, , (1,1,1)

(a)

1,0,1) (

(0,1,2)

(1,2,3)

3 2 1

3 2 1

3 2

1

v v v w

v v v w

v v

v

















解：

3 3 2 2 1

1

(a) wcv c v c v

















) 2

3 , 2 ,

(c₁c₃ c₁c₂ c₁ c₂c₃



1 2

3

1 2

1 -

3 2 1

2 1

3 1















c c c

c c

c c

線性代數: 4.4節 p.259

38/130















 



1 1 2 3

1 0 1 2

1 1 0 1



 

^{G. J .}





















0 0 0 0

1 2 1 0

1 1 0 1

3 2 1 1

3 2v v v

w  

^t

t c t c

t

c     

 ₁ 1 , ₂ 1 2 , ₃ 此系統有無線多組解

線性代數: 4.4節 p.260

39/130

3 2

1 v v

v

w _{1 2 3}

) (

c c c b

























2 1 2 3

2 - 0 1 2

1 1 - 0 1

^Guass^Jordan ^Eliminatioⁿ





















7 0 0 0

4 2 1 0

1 1 0 1

此系統無解



3 3 2 2 1

1v v v

wc c c



線性代數: 4.4節 p.260

40/130

為向量空間V的子集合，若在V中的 向量均可以寫成集合S中向量的線性組合，則稱S為V的 生成集合

生成集合 (spanning set)

 ) (S

span

 

) (

2 2 1 1

所構成的集合 中所有向量之線性組合

S

R c c

c

cv  v  _kv_k  _i





S v₁,v₂,,v 令

線性代數: 4.4節 p.261

41/130

 

(1) span  ) (

(2) Sspan S

) ( )

(

, (3)

2 1

2 1

2 1

S span S

span S

S

V S S









注意：

V S span( )

)

(

S 生成V S spans V



生成 被 S V

的生成集 是 V

S

注意：

線性代數: 4.4節 p.261

42/130





證明集合S   R

範例 5：

,

,

) u , u , (u

3 2 1

3 2 1 3

的線性組合。

是否可以為

中任意一個向量 我們必須確定在

v v v

u R

解：

R³ u ₁v_{1 2}v_{2 3}v₃ u  c c c

3 3 2 1

2 2

1

1 3 1

2 3

2

2

u u u

















c c c

c c

c c

有的值一致。

所 這個系統是否和

問題因此被化簡來確定 u₁,u₂,u₃

線性代數: 4.4節 p.261

43/130

0 1 2 3

0 1 2

2 0 1







 A

均有唯一解 對所有的 xb

 A

) 3

(S R span 



線性代數: 4.4節 p.261

44/130

 定理 4.7： span(S)為V的子空間





S v ,v , ,v  _{1 2}  若

子空間 的

為 ) ( (a) span S V

的最小子空間 中包含

是

) (

(b) span S V S V為一向量空間

為向量空間V的一個向量集合，則

(包含S之其他V的子空間一定包含span(S))

線性代數: 4.4節 p.263

45/130

稱為線性相依 則

若方程式有非顯然解

(2) S

稱為線性獨立。

則

若方程式只有顯然解

) 0 (

(1) _{1 2}

S

c c

c   _k 

 

0 v v

v

v v v











k k k

c c

c S





2 2 1 1

2

1, , ,

線性獨立 (linear independent)

線性相依 (linear dependent)

線性代數: 4.4節 p.264

46/130

是線性獨立

(1) 

為線性相依 (2) 0SS

 

(3) v0 v

2

1

(4) S S

為線性相依

為線性相依 ₂

1 S

S 

為線性獨立

為線性獨立 ₁

2 S

S 

注意：

線性代數: 4.4節 p.264

47/130

     





 S

範例 8：線性獨立的測試

0 2 3

0

2

0 2

3 2 1

2 1

3 1

















c c c

c c

c c







 _{2 2 3 3} 0

1

1v c v c v

c 解：

確定下列在R³中的向量集合是線性獨立或線性相依















 



0 1 2 3

0 0 1 2

0 2 0 1











 

^{Gauss-Jordan Elimination}

















0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





0 c c

c₁ ₂  ₃ 



為線性獨立

S

線性代數: 4.4節 p.265

v₁ v₂ v₃

48/130

 範例 9：線性獨立的測試

判斷下列在P₂中的向量集合是線性獨立或線性相依 S = {1+x-2x², 2+5x+x², x+x²}

即

c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃= 0

c₁(1+x-2x²) + c₂(2+5x+x²) + c₃(x+x²) = 0+0x+0x²

 c₁+2c₂ = 0 c₁+5c₂+c₃= 0 -2c₁+ c₂+c₃= 0

v₁ v₂ v₃

















2 1 1 0 0 1 5 1

0 2 1 1

















0 0 0 0

3 0 1 1 1

0 0 2 1





 

^{高斯消去法}

 解：

系統有無限多組解 (系統有非顯然解)

 S是線性相依 (例如 c₁=2 , c₂=-1 , c₃=3)

線性代數: 4.4節 p.267

49/130

 範例 10：線性獨立的測試

判斷在下列2×2矩陣空間的向量集合是線性獨立或 線性相依







 



 



 



 



 



 



 

0 2

0 , 1 1 2

0 , 3 1 0

1 S 2

解：



 







 



 



 



 



 





0 0

0 0 0 2

0 c 1

1 2

0 c 3

1 0

1

c₁ 2 _{2 3}

c₁v₁+c₂v₂+c₃v₃= 0

v₁ v₂ v₃

線性代數: 4.4節 p.267

50/130

















0 0 1 1

0 2 2 0

0 0 0 1

0 1 3 2

















0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





 





(系統只有顯然解) c₁= c₂= c₃=0



S是線性獨立



 2c₁+3c₂+ c₃= 0

c₁ = 0

2c₂+2c₃= 0 c₁+ c₂ = 0

線性代數: 4.4節 p.268

51/130

 定理 4.8：

集合 S = {v₁,v₂,…,v_k}, (k2) 是線性相依若且唯若至少 有一個向量v_i可以寫在S中其他向量的線性組合

線性相依

 c_i 0不是全為零

1 i 1 i 1 k

1 1 1

i i i i

c c c c

( )

c c c c

i i i k

 

 

v   v   v  v   v () c₁v₁+c₂v₂+…+c_kv_k= 0

證明：

線性代數: 4.4節 p.269

52/130

() 假設

(非顯然解)

 S是線性相依

 定理 4.8 的推論：

在向量空間V中的兩個向量u和v是線性相依 若且唯若其中一個是另一個向量的倍數。

v_i= d₁v₁+…+d_i-1v_i-1+d_i+1v_i+1+…+d_kv_k

 d₁v₁+…+d_i-1v_i-1-v_i+d_i+1v_i+1+…+d_kv_k= 0

 c₁=d₁, c₂=d₂,…, c_i=-1 ,…, c_k=d_k

線性代數: 4.4節 p.269

53/130

摘要與複習 (4.4節之關鍵詞)

 linear combination：線性組合

 spanning set：生成集合

 trivial solution：顯然解

 linear independent：線性獨立

 linear dependent：線性相依

54/130

4.5 基底與維度

 基底 (basis)

V：向量空間



 ) (

) (

b

a S生成V (即 span(S)=V ) S為線性獨立

生成集 基底 線性獨

立集

 S被稱為V的基底

注意：

(1) Ø是{0}的基底 (2) R³的標準基底：

{i, j, k} i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1) S={v₁, v₂, …, v_n}V

線性代數: 4.5節 p.275

55/130

(3) Rⁿ的標準基底

{e₁, e₂, …, e_n} e₁=(1,0,…,0),e₂=(0,1,…,0), e_n=(0,0,…,1) 範例：R⁴ {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}







 



 



 



 



 



 



 



 





1 0

0 , 0 0 1

0 , 0 0 0

1 , 0 0 0

0 1 2 2

範例： 矩陣空間

(4) mn 矩陣空間的標準基底 { E_ij| 1im , 1jn }

(5) P_n(x)的標準基底 {1, x, x², …, xⁿ}

範例：P₃(x) {1, x, x², x³}

線性代數: 4.5節 p.276

56/130

範例： 令v₁=(1,0) , v₂=(0,1) , v₃=(1,1) , v₄=(2,0)

集合 生成集 線性獨立集 基底

   

{v₁}{v₂}{v₃}{v₄}   

{v₁,v₂}{v₁,v₃}{v₂,v₃}{v₂,v₄}{v₃,v₄}   

{v₁,v₄}   

{v₁,v₂,v₃}{v₁,v₂,v₄}{v₁,v₃,v₄}{v₂,v₃,v₄}   

{v₁,v₂,v₃,v₄}   

線性代數: 4.5節 補充

57/130

 定理 4.9：基底表示的唯一性

若 是向量空間V的基底，則在V中

的每一個向量可被寫成唯一的一種在S中向量的線 性組合方式。





S  v₁,v₂,,v

線性代數: 4.5節 p.279

58/130

證明：



 是一個基底

S 1. span(S)=V 2. S是線性獨立

 span(S)=V

假設 v = c₁v₁+c₂v₂+…+c_nv_n v = b₁v₁+b₂v₂+…+b_nv_n

 0 = (c₁-b₁)v₁+(c₂-b₂)v₂+…+(c_n-b_n)v_n 是線性獨立

S

(即唯一性)

 c₁=b₁, c₂=b₂,…, c_n=b_n

線性代數: 4.5節 p.279

59/130

 定理 4.10：基底與線性相依

若 是向量空間V的基底，則在V中

包含n個向量以上的每個集合是為線性相依。





S v₁,v₂,,v

證明：

S₁= {u₁, u₂, …, u_m} , m>n 令

V S span( )



u_iV

n nm 2

m 2 1 m 1 m

n 2 n 2

22 1 12 2

n 1 n 2

21 1 11 1

c c

c

c c

c

c c

c

v v

v u

v v

v u

v v

v u



































線性代數: 4.5節 p.280

60/130

是線性獨立

S  d_i=0 i 即

0 0 0

m nm 2

2 n 1 1 n

m m 2 2

22 1 21

m m 1 2

12 1 11

























k c k

c k c

k c k

c k c

k c k

c k c







 令 k₁u₁+k₂u₂+…+k_mu_m=0

(d_i=c_i1k₁+c_i2k₂+…+c_imk_m) d₁v₁+d₂v₂+…+d_mv_n=0

定理 1.1：當齊次系統的方程式比變數還少，

此系統必定會有無限多組解



m>n k₁u₁+k₂u₂+…+k_mu_m= 0 有非顯然解

 S₁是線性相依 可得

線性代數: 4.5節 p.280

61/130

 定理 4.11：基底的向量數

若向量空間V有一個具有n個向量的基底，則對於V 的每一個基底都有n個向量(對於一個有限維度向量 空間內的所有基底具有同樣n個向量)

證明：

S={v₁, v₂, …, v_n}

S’={u₁, u₂, …, u_m} 向量空間中的兩個基底

m n m S n

S

m S n

S



























是一個基底 是線性獨立

是線性獨立 是一個基底

' '

線性代數: 4.5節 p.281

62/130

 有限維度(finite dimension)

當向量空間V之基底的元素是有限的，則稱V為有限維度

 無限維度 (infinite dimension)

當向量空間V不是有限維度，則稱V為無限維度

 維度 (dimension)

一個有限維度的向量空間V的基底有n個向量，

則向量空間V的維度為 n

V：向量空間 S：V的一個基底

 dim(V) = #(S) (S中向量的數目)

線性代數: 4.5節 p.282

63/130

 注意：

(1) dim({0}) = 0 = #(Ø) (2) dim(V) = n , SV

S：生成集  #(S)  n S：線性獨立集  #(S)  n S：基底  #(S) = n

(3) dim(V) = n , W是V的子空間  dim(W)  n

生成集 基底 線性獨

立集

#(S) > n #(S) = n #(S) < n dim(V) = n

線性代數: 4.5節 補充

64/130

 範例：

(1) 向量空間 Rⁿ  基底 {e₁, e₂,  , e_n}  dim(Rⁿ) = n (2) 向量空間 M_mn  基底 {E_ij| 1im , 1jn}  dim(M_mn)=mn

(3) 向量空間 P_n(x)  基底 {1, x, x²,  , xⁿ}  dim(P_n(x)) = n+1 (4) 向量空間 P(x)  基底 {1, x, x², }  dim(P(x)) = 

線性代數: 4.5節 補充

65/130

 範例 9：求子空間的維度

(a) W={(d, c-d, c)：c與d為實數}

(b) W={(2b, b, 0)：b為實數}

解： (找出能生成子空間的一個線性獨立的向量集合) (a) (d, c-d, c) = c(0, 1, 1) + d(1, -1, 0)

 S = {(0, 1, 1) , (1, -1, 0)} (S是線性獨立 且 S生成W)

 S是W的基底

 dim(W) = #(S) = 2

 S = {(2, 1, 0)}生成W 且 S是線性獨立

 S是W的基底

 dim(W) = #(S) = 1

 ^{2 b , b , 0}    ^{b 2 , 1 , 0} 



(b)

線性代數: 4.5節 p.283

66/130

範例 11：

令W是M_22中所有對稱矩陣所形成的子空間，

求W的維度 解：











  



 



  a b c R c

b b

W a , ,



 



 



 



 



 



 



 





1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0

1 b c

c a b

b

 a







 



 



 



 



 



 



 

 0 1

0 , 0 0 1

1 , 0 0 0

0

S 1 生成W 且 S是線性獨立

 S是W的基底

 dim(W) = #(S) = 3

線性代數: 4.5節 p.284

67/107

 定理 4.12：n維空間的基底測試 令V是一個n維的向量空間

(1) 若 是一個在V中的線性獨立集合，

則 S是V的基底。

(2) 若 生成V，則S是V的基底。

生成集 基底

線性 獨立集 dim(V) = n

#(S) > n

#(S) = n #(S) < n





S v v  v





S v v  v

線性代數: 4.5節 p.285

68/130

摘要與複習 (4.5節之關鍵詞)

 basis：基底

 dimension：維度

 finite dimension：有限維度

 infinite dimension：無限維度