教師應該敢於直接面對學生的

數學傳播 40 卷 2 期, pp. 94-96

教師應該敢於直接面對學生的 _“ 質疑 _”

趙國瑞

學完 《畢氏定理》, 筆者引導學生對 《畢氏定理》 章節的內容進行了復習。 復習完畢, 例行 佈置了一組練習題, 其中一道題目如下:

如圖 1, 在 Rt △ABC 中, ∠C = 90^◦, AC = 6cm, BC = 8cm, CD是斜邊上的高, 求 CD 的長。

圖 1 解答此題顯然要用到畢氏定理和三角形的面積公式, 即先由

畢氏定理求出 AB = √

AC²+ BC² =√

6²+ 8² = 10, 然後 由三角形的面積公式利用等積思想, 得 1

2AC·BC = 1

2AB·CD, 即 AC · BC = AB · CD。

於是 6 × 8 = 10 × CD, 所以 CD = 4.8cm。

講完此題, 一位學生突然提出這樣一個問題:

如圖 1, 在 △ABC 中, CD 是高, 且 AC · BC = AB · CD, 能不能判斷 △ABC 是直 角三角形?

提出這個問題的學生數學成績並不突出, 只是班上的一位中等生。 但說實在話, 這個問題 卻有點讓我始料未及。 我對這個問題進行了短暫的思考, 想到如果應用三角形的面積公式 S =

1

2absin α (其中 a, b 表示三角形的兩邊, α 表示這兩邊的夾角, 即三角形的面積等於兩邊的長 與其夾角的正弦值的乘積的一半), 這個問題不難回答, 可這個公式屬於高中內容, 用這個公式 給學生講解顯然不合適。 除了應用這種方法, 我也對這個問題進行了深思, 不過確實想不出其他 可以讓初中生易明白快接受的方法。

在聽其他老師講課時我也見到過類似的情形 : 一次學校數學組聽一位年輕教師講“畢氏定 理的逆定理”, 課堂上一位學生提出這樣一個問題　 若一個三角形的三邊長分別為 120, 3599, 3601, 那麼這個三角形是否為直角三角形? (事後知道這道題出自一本數學教輔資料)。 可能由 於數字較大, 加上那位年輕教師教學經驗不足 (他認為要先計算 120²,3599²,3601², 然後再看 120²+ 3599² 與 3601² 是否相等, 其實可以先利用平方差公式計算 3601²− 3599², 然後再 看 3601²− 3599² 與 120² 是否相等, 這樣問題就變得簡單多了), 一時半會不能給出解答, 於

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是年輕教師就以“給出的數字太大, 平時測驗或大型考試不會出現這樣大的數字, 提出的問題沒 有什麼價值” 為由, 搪塞過去, 並微有怒色 (年輕教師認為學生在刁難他, 當著眾多學生和老師 的面讓他出醜)。 課後在點評時, 數學組同仁認為, 學生能夠提出問題, 說明學生在認真聽講並積 極思考問題, 即使本題要通過計算 120²+ 3599² 與 3601² 是否相等的方法來做, 也不能說學 生提出的問題沒有價值, 最起碼可以培養學生的計算能力, 而不能挫傷學生的積極性, 應該對提 出問題的學生進行表揚和適當鼓勵, 即使自己未能及時想出好的方法來, 也要敢於承認, 同時也 可以發揮集體的力量, 讓學生們一起來討論研究是否有更好的方法解決。

想到這裏, 我和聲細語地問那個學生為什麼會提出這個問題, 學生說 《畢氏定理》 一章中 學習了逆命題和逆定理這樣的內容, 於是就想到了交換原命題的題設和結論, 看看所得命題是 否是真命題。 我當著全班學生的面對他現學現用、 敢於質疑的精神進行了表揚和鼓勵。 不過我 也告訴這個學生, 這道題用高中知識解答比較簡單, 運用初中知識解答, 我還沒有想出來, 課後 我再想一下, 然後再答覆他。

課後, 我對這個問題進行了深入研究。 首先可以斷定這個三角形是直角三角形 (因為只有 直角三角形才有這個性質, 即兩邊乘積等於第三邊與該邊上的高的乘積), 而且 AC、 BC 是直 角三角形的高。 首先我想到的是幾何方法, 即“同一”法。 即先過點 A (或 B) 作對邊的垂線段, 然後看這條垂線段是否與 AC(或BC) 重合。

經過嘗試, 我用“同一” 法解決了該題。

如圖 2, 過點 A 作 BC 的垂線段 AM, 則 1

2AM · BC = 1

2AB · CD,

即 AM · BC = AB · CD。 而 AC · BC = AB · CD, 圖 2

∴ AM = AC。 由垂線段最短 (唯一性) 可知, AM 與 AC 重合。

∴ AC 就是點 A 到 BC 的垂線段。 ∴ ∠ACB = 90^◦。

“同一” 法教材雖然未作介紹, 但這種方法學生容易看懂, 相對容易接受。

對於該題, 我也曾想過能否運用代數方法解決, 即運用畢氏定理的逆定理解決。 我的思路 非常明確, 分別用字母 a, b, c 表示出三角形的三邊 (a, b, c 分別是 ∠A、 ∠B、∠C 的對邊), 利 用三角形的面積不變可以表示出 CD, 然後利用畢氏定理分別表示出 AD 和 BD, 最後根據 AD+ BD = AB 得到一個含有 a, b, c 的式子, 從這個式子看看能不能推出 a²+ b² = c²。

經過反復嘗試, 終於解決, 過程如下:

設 BC = a, AC = b, AB = c, 由 AC · BC = AB · CD 得 CD = ab c , 在 Rt△ADC 中, 由畢氏定理, 得 AD² = AC²− CD²,

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∴ AD=√

AC²− CD² = r

b²− a²b²

c² 。 同理, BD = r

a²− a²b² c² ,

∴ r

b²− a²b² c² +

r

a² −a²b²

c² = c, 即 √

b²c²− a²b² +√

a²c²− a²b² = c², 即 √

b²c²− a²b² = c²−√

a²c²− a²b²,

兩邊平方, 得 b²c²− a²b² = c⁴+ a²c²− a²b²− 2c²√

a²c²− a²b², 整理, 得 c²+ a²− b² = 2√

a²c²− a²b²,

兩邊平方, 得 c⁴+ a⁴+ b⁴+ 2a²c²− 2b²c²− 2a²b² = 4a²c² − 4a²b²,

即 c⁴− 2a²c²− 2b²c²+ a⁴+ 2a²b²+ b⁴ = 0, ∴ c⁴− 2c²(a²+ b²) + (a²+ b²)² = 0,

∴ [c²− (a² + b²)]² = 0, ∴ c²− (a²+ b²) = 0, ∴ a²+ b² = c²,

∴ △ABC 是直角三角形。

這種方法思路比較清晰, 但過程相對複雜, 對學生來說有較大的挑戰性, 學生不易想到, 但 是學生可以聽懂。

在用幾何、 代數兩種方法解答完此題, 我總算鬆了一口氣, 因為該題無論對學生還是對我 都是一個挑戰。 我抽時間將兩種方法的解答過程寫到了教室後面的黑板上, 供學有餘力的學生 學習參考, 同時也是對那位提出問題的學生的一個交待。

感悟: 無論在數學課堂上, 還是在課堂外, 學生可能會提出形形色色的問題, 甚至是“古怪” 的 問題。 面對學生的質疑, 作為教師要認真、 平等對待每位學生提出的問題, 即使這個問題用現階 段的知識難以回答。

要給學生一碗水, 教師首先要有一桶水。 作為教師, 要敢於面對學生的“質疑”, 敢於面對學 生的“難題”, 通過不斷學習和鑽研, 不斷給自己充電, 盡自己最大努力解答學生的“質疑”和“難 題”, 努力提高自己的素養。

—本文作者任教湖北省襄陽市襄州區黃集鎮初級中學—