坐標系與函數圖形

(1)

^信樺文化

01 坐標系與函數圖形

CHAPTER

(2)

01 坐標系與函數圖形

CHAPTER

1-1 實數

1-2 平面坐標系 1-3 函數及其圖形

學習評量 1-1 習題 1-2 習題 1-3 習題

(3)

實數

0 1

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課本 P.

1-

1-1.1 數與數線 1

一、數線

 數線是用來表示數的直線，主要由原點、單位

長、正負方向三個要素組成。

 以圖 1-1 的水平數線為例：在一條直線上任意選定一個點作為基準點，稱為「原點」，通常以字 母 O 標記。

2

原點

(4)

實數

0 1

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課本 P.

1- 1

一、數線

 選定一線段長度作為測量基本單位，即稱為「單位長」

1-1.1 數與數線

2

單位長

(5)

實數

0 1

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1- 1

一、數線

 原點 O 將直線分成兩段，因此由原點出發沿數 線前進有兩個方向，以原點右方為正向，左方為負向。

1-1.1 數與數線

2

正向負向

(6)

實數

0 1

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課本 P.

1- 1

一、數線

根據圖 1-1 ，其坐標描述說明如下：

 原點 O 的坐標為「 0 」，以「 O(0) 」表示。

 在 O 右方距離 2 單位長的一點坐標為「 +2 」，

以「 P(+2) 」表示，其中正號可省略。

 在 O 左方距離 3 單位長的一點 Q 坐標為「 - 3 」，以「 Q(-3) 」表示。

1-1.1 數與數線

P(+2)

2

Q(-3)

O(0)

(7)

實數

0 1

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課本 P.

1- 1

二、實數

 整數

圖 1-1 中，從原點往左右兩邊以 1 單位長為間隔依序找，即可找到所有整數點，其坐標對應到全部的整數…，，，， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，…。事實上，整數是由正整數、零、負整數所組成。

 有理數

任何一個分數都可化為整數、有限小數或無限循環小數我們稱之為「有理數」。

1-1.1 數與數線

3,4

(8)

課本P.

定理 ⁴

可表示成的數稱為「有理數」，其中 p 、 q 都 是整數且。

有理數的定義

q p p  0

(9)

課本P.

例題

1

將下列各有限小數化為最簡分數：　 (1) 0.2 　 (2) 0.

46 　 (3) 3.14 。

5

解 (1) 0.2 (2) 0.46 (3) 3.14

【另解】3.14

= 2

10

=1 5

= 46

100

=23 50

=314 100

=157 50

=3 14

100

=3 7 50

(10)

課本P.

隨堂練習

將下列各有限小數化為最簡分數： (1)0.05 　 (2)0.31 6

(3)12.4 。

1

5

解 (1) 0.05 (2) 0.316

(3) 12.4

= 5

100

= 1

20

= 316

1000

= 79

250

=12 4

10

=122 5

(11)

課本P.

例題

6

解(1) 令 …，

則 100x ＝ 12.1212… 。 因此 100x － ^x ＝ 12 ，

故。

=0.12=0.1212 x

12 4

= =

99 33 x

0.12 0.753 1.28

(15)

課本P.

隨堂練習

2

6

解(2) 令 …，

則 100x ＝ 75.333… ， 1000x ＝ 753.333…

因此 1000x － ^100x ＝ 678 ， 故。

=0.753=0.75333 x

678 113

= =

900 150 x

0.12 0.753 1.28

(16)

課本P.

隨堂練習

2

6

解(3) 令 …，

則 100x ＝ 28.2828… 。 因此 100x － ^10x ＝２ 8 ，

故，所以　　　　　。

=0.28=0.2828 x

=28 x 99

0.12 0.753 1.28

1.28=1+ =128 x 99

(17)

課本P.

定理 ⁷

設、為兩有理數（即 a 、 b 、 c 、 d 均為整 數，且 b 、 d 均不為 0 ），則：

有理數的性質

a b

c d

(1) 



=  =

a c a c a + c

+ d + d

b d b d

b d

b

b bd

(2) 

 



= b = b

b

a c a c a c

b d b

d d

d

d bd

(3) a c = ac b d bd

(4)當0時 ，  = =

a a

c a c b = b ×bd ad c c

d b d ×bd bc

d d



(18)

實數

0 1

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課本 P.

1- 1

二、實數

 無理數

可化為分數的實數稱作「有理數」，而不可化為

分數的實數稱作「無理數」。

1-1.1 數與數線

7

(19)

課本P.

定理方根的性質與化簡 ⁹

(4) 若 a 、 b 均①②為正數，則：

①

②

①

②

(1) 0 = 0

2 3 3 4 4

) ( )  ( ) 

(2)( a  a， a a， a a，...

4 6

2 4  6 

(3)　　 a  a ， a a ， a a ，...

3 3  5 5  7 7 

　　 a a ， a a ， a a ，...

 

a b  a b

a a

b  b

(20)

課本P.

例題

化簡下列各式：　 (1) 　 (2) 。

3

⁹

解 (1) (2)

27 ³ ^-320

    

27 9 3 9 3 3 3

   ³  

3-320 3 -64 35 3(-4) 35 -4 53

(21)

課本P.

隨堂練習

化簡下列各式：　 (1) 　 (2) 。

3

9

解 (1) (2)

8 ³ 72

    

8 4 2 4 2 2 2

    

3 72 3 8 9 3 8 3 9 2 93

(22)

課本P.

定理 ¹⁰

若 a 、 b 均為正數，則。 當時， a ＝ b 。

算幾不等式

  2

a b ab

  2

a b ab

(23)

課本P.

定理 ¹⁰

若 a _１、 a _２、…、 a_n 均為正數（其中　　），

則　　　　　　　　　　。

當　　　　　　　　時，

a _１＝ a _２＝ … _＝ a_n 。

算幾不等式（推廣）

... ...

  

   

1 2

n n

n

a a a

n

 2 n

... ...

  

   

1 2

n n

n

a a a

n

(24)

課本P.

例題

以長度 36 公尺的鐵絲網圍成矩形花圃，則如何圍可圍出最大面積？此時面積為何？

設矩形的兩鄰邊長度分別為 x 公尺、 y 公尺，

則矩形面積為 xy 平方公尺，

又由題意知，即。

由算幾不等式知。

代入可得，化簡得，

故 xy 的最大值＝ 81 。

由算幾不等式知 xy ＝ 81 時， x ＝ y 。

代入得。

故邊長均為 9 公尺時，矩形有最大面積 81 平方公尺

4

¹¹

解

 

2x 2y 36 x y  18

  2

x y

xy

  18

x y ¹⁸ _

2 xy xy  81

  18

x y ¹⁸ 9

x = y = 2 =

(25)

課本P.

隨堂練習

今欲設計一長方形紙盒，其高度固定，長度與寬度之和為 12 公分，則如何設計可得最大容積？

即求如何設計可得最大底面積。

設長度為 a 公分，寬度為 b 公分 由算幾不等式知

將 a+b ＝ 12 代入得，

故 ab 的最大值＝ 36

由算幾不等式知 a+b ＝ 1 時， a ＝ b 故 a ＝ b ＝ 6

因此當長度、寬度均為 6 公分時，可得最大容積。

4

11

解

  2

a b ab



6 ab ab  36

(26)

課本P.

例題

設 a>0 ， b>0 。已知 ab ＝ 18 ，求：

(1)2a+b 的最小值　 (2) 此時的 a 、 b 之值。

(1) 由算幾不等式知。

將 ab ＝ 18 代入得 ，

化簡得，故最小值為 1 2 。

(2) 由算幾不等式知 2a+b ＝ 12 時， 2a ＝ b ， 即，故 a ＝ 3 ， b

＝ 6 。

5

¹²

解 ²^{a b}₂^ ^ ²^{a b}^

    

2 2 18 36 6

2 a b 2a b  12

2 12 6

a = b = 2 =

(27)

課本P.

隨堂練習

設 x>0 。求： (1) 的最小值　 (2) 此時 的 x 之值。

(1) 由算幾不等式知

化簡得，故最小值為 6 。

(2) 由算幾不等式知時，

故。

5

12

解 ^ _ _ _ _

9 9

2 9 3

x x x

x

 9 x x

 9 6

x x  9

x x

 9 6

x x  9

x x

 6 2 3 x

(28)

實數

0 1

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課本 P.

1- 1

二、實數

實數的組成

1-1.1 數與數線

13

實數

有理數

無理數

整數

有限小數

無限循環小數無限不循環小數

(29)

課本P.

定理 ¹³

設 a 、 b 、 c 為實數。

(1) 加法交換律： a ＋ b ＝ b ＋ a 。 (2) 乘法交換律： a×b ＝ b×a 。

(3) 加法結合律： (a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋ (b ＋ c) 。 (4) 乘法結合律： (a×b) ×c ＝ a× (b×c) 。

(5) 乘法對加法的分配律： (a ＋ b)×c ＝ a×c ＋ b×c 。 (6) 等量公理：①若 a ＋ c ＝ b ＋ c ，則 a ＝ b 。

② 若 a － c ＝ b － c ，則 a ＝ b 。

③ 若 a×c ＝ b×c 且 c ≠ ０，則 a ＝ b 。

④ 若 a÷c ＝ b÷c （此時 c ≠ ０），則 a ＝ b 。

實數的四則運算規則

(30)

課本P.

定理 ¹⁴

(1) 完全平方： (a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² (a － b)² ＝ a² － 2ab ＋ b²

(2) 完全立方： (a ＋ b)³ ＝ a³ ＋ 3a²b ＋ 3ab² ＋ b³ (a － b)³ ＝ a³ － 3a²b ＋ 3ab² － b³ (3) 平方差： a² － b² ＝ (a ＋ b)(a － b)

(4) 立方和： a³ ＋ b³ ＝ (a ＋ b)(a² － ab ＋ b² ) (5) 立方差： a³ － b³ ＝ (a － b)(a² ＋ ab ＋ b² )

常用的乘法公式如下：

(31)

課本P.

例題

化簡下列各式： (1) 　 (2) (3) 。

(1)

(2) (3)

【另解】

6

¹⁴

解

1 3 2

4 12

5 5 1

3 2



1 2

=3 2 2  ( )²

= 2

3 2 

= 2

3 2

= 2 6 4

12 

= 4

4 3

= 4

2 3

= 2

3



2 3

= 3 3

=2 3 3 5

5



5 5

= 5 5 ( )²

= 5 5 5

=5 5

5 = 5 5

5

( 5)²

= 5 ^{= 5}

(32)

課本P.

隨堂練習

化簡下列各式： (1) 　 (2) (3) 。

(1)

(2) (3)

6

15

解

1 2 3

6 24

3 3 1

2 3



 1 3

=2 3 3 

= 3

2 3

= 3 6 6

24 

= 6

4 6

= 6

2 6

= 3

6



 3 6

= 6 6

=3 6 6 3

3

( 3)²

= 3 ^{= 3}

= 6 2

(33)

課本P.

例題

化簡下列各式： (1) 　 (2)

(3) 。 (1)

7

¹⁵

解

 1

7 6 

 

1 1

3 2 2 3

 1

7 6

( )

( ) ( )

 

  

1 7 6

= 7 6 7 6

 

1 1

3 2 6 2

( ) ( )



2  2

7 6

= 7 6





7 6

= 7 6 = 7  6

(34)

課本P.

例題

化簡下列各式： (1) 　 (2)

(3) 。 (2)

7

¹⁵

解

 1

7 6 

 

1 1

3 2 2 3

  

1 1

3 2 2 3

 

1 1

3 2 6 2

( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

   

 

     

1 3 2 1 (2 3

3 2 3 2 2 3 2 3

( ) ( )

 

 

  ²

2 2 2

3 2 2 3

 

 

 

3 2 2 3

3 2 4 3

 2 2

(35)

課本P.

例題

化簡下列各式： (1) 　 (2)

(3) 。 (3)

7

¹⁵

解

 1

7 6 

 

1 1

3 2 2 3

 

1 1

3 2 6 2

 

1 1

3 2 6 2

( )

( ) ( )

  

 

   

1 2 1 6 2

3 2 2 6 2 6 2

( ) ( ) ( )

  

 ² ²  ²

2 6 2

3 2 6 2

 2  6  2

6 4

( )

  

 

 

2 2 6 2 3

6 2 4 3

 5 2 3 6 12

(36)

課本P.

隨堂練習

化簡。

7

16

解

 

  

1 1 1

1 2 2 3 3 4

 

  

1 1 1

1 2 2 3 3 4

2- 1 3- 2 4- 3

= + +

2-1 3- 2 4-3

=( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3)

= 4- 1

=1

(37)

課本P.

例題

設 n 為整數，若， 則 n 之值為何？

8

¹⁶

解

  

n 1 n

2 1 1

( )

    

    

1 1 ( 2+1) 2+1

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

由1< 2< 4可知1< 2<2，即 2=1....

2+1=1....+1=2....

故，

n n n

代回題目可得 <2....< +1，故 =2

(38)

實數

0 1

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課本 P.

1- 1

一、絕對值的幾何意義

 數線上點的坐標包含相對於原點的方向和距離。

 坐標的正負只是表示該點相對於原點的方向，去掉正負符號後的數字才是該點到原點的距離。這個「去掉正負符號後的數字」就被定義為原數的絕對值，表示其到原點的距離。

 例如 2 的絕對值為 2 ， -3 的絕對值為 3 。

 為了方便敘述，我們常以符號「」表示「 a 的絕對值」。

1-1.2 絕對值

16

a

(39)

課本P.

定理 ¹⁷

(1) ：數線上 (a) 到 (0) 的距離。

(2) 。 (3) 。

絕對值的定義與性質

a

( )

a a a

a a

 

   0

0 時

時 a   a

(40)

課本P.

公式 ¹⁷

設 A (x₁) 、 B (x₂) 為數線上兩點， A 、 B 間的距離 。

數線上兩點間的距離公式

AB  x₁  x₂

(41)

課本P.

例題

求滿足下列各式的整數解：

(1) 　　　　 (2) 　　　　 (3) 　　　　 (4) 　　　。

(1) 即求滿足「數線上一點 (x) 到原點 (0) 的距離 等於 0 」的整數 x 。由圖可知，只有原點 (0) 可滿足該條件，故 x =0 。

(2) 即求滿足「數線上一點 (x) 到原點 (0) 的距離 等於 3 」的整數 x 。

由圖可知，。

9

¹⁸

解

-3 -2 x

3 3

-1 0 1 2 3

x  0 x  3 x  3 x  3

x  3

(42)

課本P.

例題

求滿足下列各式的整數解：

(1) 　　　　 (2) 　　　　 (3) 　　　　 (4) 　　　。

(3) 即求滿足「數線上一點 (x) 到原點 (0) 的距離 等於 -3 」的整數 x 。

但距離不可能是負的，故 x 無解。

(4) 即求滿足「數線上一點 (x) 到原點 (0) 的距離 小於 3 」的整數 x 。

由圖可知，。

9

¹⁸

解

x  0 x  3 x  3 x  3

x = 0, 1, 2 

(43)

課本P.

例題

求滿足下列各不等式的實數解：

(1) 　　　　 (2) 　　　　。

(1) 即求滿足「數線上一點 (x) 到原點 (0) 的距離 小於 3 」的整數 x 。因此，點 (x) 比點 (3) 、 點 (-3) 離原點 (0) 更近，由圖可知， -3< x <

3 。

(2) 即求滿足「數線上一點 (x) 到原點 (0) 的距離 大於或等於 3 」的實數 x 。因此，點 (x) 比 點 (3) 、點 (-3) 離原點 (0) 更遠或正好是這兩點，

由圖可知，。

10

¹⁸

解

-3 x

3 3

0 3

x  3 x  3

x  3或3x 

(44)

課本P.

定理 ¹⁹

設 a >0 ， x 為實數。

(1) 若，則；反之亦然。

(2)① 若，則；反之亦然。

　 ②若，則；反之亦然。

(3)① 若，則

；反之亦然。

② 若，則；反之亦然。

絕對值方程式、不等式

( 由例題 9,10 得到以下結論 )

x  a x  a

x  a ^{  }^a ^{x a} x  a   a x a

x  a x > a 或 x < a x  a ^{x a}^ 或 ^x ^{ }^a

(45)

課本P.

例題

求滿足下列各式的實數解：

(1) 　　　　　　 (2) 　　　　　　 (3) 　　　　　。

11

¹⁹

解

-1 2 5 x

3 3

x  2  3

x x

(1)即 - 2=±3，故 =2±3=5或-1

( ) ( )

x x

【另解】 - 2 =3即表示點和點的距離為3，2 x =2±

故 3=5或-1

 x 

(2) -5 2 +1 5即，

x x

   

化簡可得-6 2 4，故-3 2。

x x

(3) 3 -1>2即 或3 -1<-2，

x > x < x > x < 1 化簡可得3 3或3 -1，故 1或-

3。 x  

2 1 5 3x 1 >2

(46)

課本P.

隨堂練習

求滿足下列各式的實數解：

(1) 　　　　　　 (2) 　　　　　　 (3) 　　　　　。

8

19

解

x  

4 3 1 x  3  2 2x  3  5

x x x 1

(1) 4 - 3=±即 1，所 4 =4以或2，故 =1或 2

x x <

(2) - 2< -3<2即，故1< 5

x +  x +  

(3) 2即 3 5或2 3 5

x  x   x  x   所 2以 2或2 8，故 1或 4

(47)

課本P.

習題

1-1

²⁰

²⁰

2. 化簡下列各式： (1) (2) 。

　 (1) 　 (2)

解

343

　 (2) 　

　 (3) 　

解

1 3

2 18

7

(56)

課本P.

習題

6. 化簡下列各式： (1) 　　　 (2) 　　　　　　

　 (1)

1-1

20

解

1 2  3

1 1

5 3  5 3

 

(57)

課本P.

習題

6. 化簡下列各式： (1) 　　　 (2) 　　　　　　

　 (2)

1-1

20

解

1 2  3

1 1

5 3  5 3

 

(58)

課本P.

習題

7. 求滿足下列各式的實數解：

(1) 　　　 (2) 　　　　　　 (3) 。

　 (1)

　 (2)

1-1

20

解

3 x   1 8 2 x  3  7 x  3  4

(59)

課本P.

習題

7. 求滿足下列各式的實數解：

(1) 　　　 (2) 　　　　　　 (3) 。

　 (3) 　　

1-1

20

解

3 x   1 8 2 x  3  7 x  3  4

(60)

課本P.

習題

8. 化簡循環小數　　為最簡分數或整數。

1-1

20

解

0.9

(61)

課本P.

習題

９ . 設 a ＞ 0 ， b ＞ 0 。已知 a ＋ b ＝ 12 ，求：

　 (1) a ^２ b 的最大值　 (2) 此時的 a 、 b 之值。

　 (1) 　

1-1

20

解

(62)

課本P.

習題

９ . 設 a ＞ 0 ， b ＞ 0 。已知 a ＋ b ＝ 12 ，求：

　 (1) a ^２ b 的最大值　 (2) 此時的 a 、 b 之值。

　 (2) 　

1-1

20

解

(63)

課本P.

習題

10. 已知不等式　　　　　的實數解為　　　　，

則 a 、 b 之值為何？

1-1

20

解

 3 

ax b    1 x 3

(64)

平面坐標係

0 1

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課本 P.

1- 2

• 直角坐標系中，由一條水平數線、一條鉛直數線建構出坐標系統。其中水平數線稱作

「 x 軸」，鉛直數線稱作「 y 軸」，兩者均 為「坐標軸」。一般來說，會讓兩數線的原點重疊，此交點即稱作坐標系統的「原點」。

1-2.1 直角坐標系

21

(65)

平面坐標係

0 1

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課本 P.

1- 2

• 平面上一點，若其分別向 x 軸、 y 軸作垂 直線，對應到的數線坐標分別為 a 、 b ，則 以數對表示 (a,b) 點的平面坐標，記作「 P ( a , b ) 」；其中為點的「 x 坐標」或稱

「橫坐標」，為點的「 y 坐標」或稱「縱 坐標」。

21

(66)

平面坐標係

0 1

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課本 P.

1- 2

• 兩坐標軸將坐標軸以外的平面分成四塊區域，這四塊區塊由右上角開始，

依逆時針順序分別為「第一象限」、

「第二象限」、

「第三象限」、

「第四象限」，常以羅馬數字

「Ⅰ」、「Ⅱ」、

「Ⅲ」、「Ⅳ」來簡單標記。

21

(67)

課本P.

定理 ²²

1. (1) 若點在 x 軸上，則其 y 坐標為 0 。

(2) 若點在 y 軸上，則其 x 坐標為 0 。

2. (1) 點 P(a,b) 在第一象限內：且 。

(2) 點 P(a,b) 在第二象限內：且 。

(3) 點 P(a,b) 在第三象限內：且 。

(4) 點 P(a,b) 在第四象限內：且 。

坐標平面的性質

a > 0 b > 0 a < 0 b > 0 a < 0 b < 0 a > 0 b < 0

(68)

課本P.

例題

1

若點在第四象限，則點在第幾象限？

由於點在第四象限，故且

。由可知，的正負情形必為 (+ ， +) 或 (- ， -)

。再由可知， (+ ， +) 不合，因此只 可能是

(- ， -) ，故在第三象限。

22

解

a a b b

 

 

 , + 



^a,b



 

 

 

a ,a + b b

a > 0

b a + b < 0 a > 0

b



^{a b}^,



a + b < 0



^{a b}^,