在第一冊我們學習一元一次方程式時 ，先學習如何根據題意列出含有

二元一次式

二元一次式的化簡 二元一次方程式

自我評量

在第一冊我們學習一元一次方程式時

，先學習如何根據題意列出含有 x 的一次式，

例如：買每個 10 元的麵包 x 個，一共需付 10x 元。現在為了解決含有兩個未知數的問題，

我們先來學習依據題意列出含 x 與 y 的一次

式的方法。

1

列二元一次式

媽媽到麵包店為全家購買早餐，買了每個 25 元

的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，她一 共要

付多少元？

解解

1 個麵包 25 元， x 個麵包共 25×x ＝ 25

（元）；

1 瓶果汁 18 元， y 瓶果汁共 18×y ＝ 18

（元）；

所以媽媽一共要付（ 25x ＋ 18y ）元。

1. 為了響應救濟活動，力宏將撲滿中的 x 枚 50 元硬幣與 y 枚 10 元硬幣全部捐出來，

力宏一共捐了 _________ 元。

2. 心凌買了每張 15 元的卡片 x 張及每張 1 2 元的卡片 y 張，則心凌一共要付 ________

_ 元。

50x ＋ 10y

15x ＋ 12y

2

列二元一次式

一桶 5000 毫公升的水，倒滿每杯容量 x 毫公

升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫公升的杯子

5 杯後，桶內還剩下多少毫公升的水？

解一解一

逐一減去先後倒出的量

倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，就是 倒出了 3x 毫公升的水；

倒滿每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯，就是 倒出了 5y 毫公升的水；

所以桶內剩下（ 5000 － 3x － 5y ）毫公升水

。

解二解二

一次減去全部倒出的量

因為分別倒出了 3x 毫公升及 5y 毫公升的 水，

也就是共倒出（ 3x ＋ 5y ）毫公升的水，

所以桶內剩下〔 5000 －（ 3x ＋ 5y ）〕毫公 升的水。 5000 － 3x － 5y

與

5000 － （ 3x ＋ 5

兩個式子代表的水

量相等。

1. 志忠有 83 元，買文具花掉了 x 枚 1 元硬 幣與 y

枚 10 元硬幣，則志忠還有 ___________ 元

。

83 － x － 10y 或 83 －（ x ＋ 10y ）

2. 佩君有 200 元，買了每枝 x 元的原子筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後，還剩下 _____

_______ 元。

200 － 2x － 3y 或 200 －（ 2x ＋ 3y ）

在例題 1 與例題 2 中，像 25x ＋ 18

（二元），且這兩種文字符號的次方都是一次的 式子，稱為二元一次式。

　　例題 1 中，如果媽媽買了 3 個麵包和 2 瓶果汁，即表示

，

，所以媽媽應 付的錢為 25x ＋ 18y ＝ 25×3 ＋ 18×2 ＝ 75 ＋ 36

＝ 111 （元）。

由上面的說明，可以發現：

一個含有 x 、 y 的二元一次式，當 x 和 y 的

值給定後，就可求出該式子的值。

3

代入求值

依據下列各小題的 x 、 y 值，分別求出二元 一次式 3x － 4y 的值。

(1)x ＝ 2 ， y ＝ 5 (2)x ＝－ 2 ，

(3)x ＝－ ， y ＝－ 3 2

5 2

解解

(1) 當

，

時，

3x － 4y ＝ 3×2 － 4

×5

＝ 6 － 20 ＝－ 14

(2) 當

，

3x － 4y ＝ 3 × ( － 2) － 4×

3

＝ ( － 6) － 12

＝－ 18

(3) 當 x ＝

， y ＝

時，

3x － 4

＝ 3× （

）－ 4× （

） ＝（－ 2 ）＋ 10

＝ 8 3 2

2 5 3 2

2 5

我們也可以用表格的方式來呈現例題 3 ，如下表：

2 － 2

5 3

3x － 4y － 14 － 18 8 3 2

 2 5 二元一次式 

x y

在下表空格中，填入各二元一次式的值。

1 － 2 0 0.6 3 － 1 － 3 － 0.

2 2x ＋ 7y

3x － 5y 10 － x － 2y 二元一次式

x

y

 2 1

2 5 33 2

1 2 5

-12 3

-11 -1 14

-21 15 16

-14

-0.2 2.8 9.8

學習一元一次式時，對於同類項會先合 併化簡，在二元一次式也是如此。但是，含不同 文字符號的項，並不是同類項，是不能合併的。

例如在例題 1 中， 25x ＋ 18y 是不能再進一步

合併的。

4

合併同類項 化簡下列各式：

(1)2x ＋ 2y ＋ 4x ＋ y (2)6x － 7y － 4 ＋ y － 1

(3)3x － 4y ＋ 9 ＋ 5x － y － 7

(4) － 4x ＋ 3y － 8 － y ＋ 5 － 5x

解解

(1)2x

＋

＋

＋

＝

＋

＋

＋

＝ 6x ＋ 3y

2x 與 4x 為同類項， 2y 與 y 為同類項。

(2) 6x － 7y － 4 ＋ y － 1

＝

＋

＋

＋

＋

（－ 1 ）

＝

＋

＋

＋

＋

（－ 1 ）

＝

＋

＋

＝ 6x － 6y － 5

以「＋」號作區隔，所以 6x － 7y ＝ 6x ＋（－ 7y ）

。

(3) 3x － 4y ＋ 9 ＋ 5x － y － 7

＝

＋

＋

＋

＋

＋

＝

＋

＋

＋

＋

＋

＝

＋

＋

＝ 8x － 5y ＋ 2

(4) － 4x ＋ 3y － 8 － y ＋ 5 － 5x

_{＝（－ 4x}

）＋

＋

＋

y ）

＋

＋

（－ 5x ）

＝（－ 4x ）

＋

＋

＋（－

y ）

＋

（－ 8 ）

＋

＝（－ 9x ）

＋

＋

＝－ 9x ＋ 2y － 3

省略！

化簡下列各式：

(1)3x ＋ 4y ＋ 5 ＋ 2x ＋ 3y

－ 3

－ 2x ＋ 4y ＋ 2

(2)x ＋ 4y － 3x ＋ 2

(3)5x － 6y － 4 － 6x － 2y

＋ 4

(4) － 7x ＋ y － 6 － 4y － 3

－ 8x

－ x － 8y

－ 15x － 3y － 9

當二元一次式中有括號時，化簡的方 法也如同一元一次式，可以先利用分配律，即 a

× （ b ＋ c ）＝ a × b ＋ a × c ，去掉括號後，再

將同類項合併。

5

去括號再合併 化簡下列各式：

(1) 2 （－ 2x ＋ 3y ） (2) 5 （ 2x － 3y － 1 ）

(3) （ 2x ＋ 4y － 5 ）＋（ 4x － 5y ＋ 6 ）

(4) 2 （ 3x － y ＋ 9 ）＋ 3 （ x － 2y － 5 ）

解解

(1) 2 （－ 2x

）

＝

(2) 5 （

）

＝

－ 5

(3) （

）＋（

）

＝

＝

(4) 2 （

）＋ 3 （

） ＝

＝

化簡下列各式：

(1)3 （ x ＋ 5y ）

(2)4 （－ 3x ＋ y － 5 ）

3x ＋ 15y

－ 12x ＋ 4y － 20

(3) （ 4x － 5y － 9 ）＋（ 3x ＋ 4y － 8 ）

(4) 4 （－ 2x ＋ y ＋ 3 ）＋ 3 （ x － 2y

－ 5 ）

＝ 4x － 5y － 9 ＋ 3x ＋ 4y － 8

＝ 7x － y － 17

＝－ 8x ＋ 4y ＋ 12 ＋ 3x － 6y

－ 15

＝－ 5x － 2y － 3

在例題 5 的第 (3) 小題，也可以將同類項上下 對齊，用直式運算記錄如下：

2x ＋ 4x － 5 4x － 5y ＋ 6 6x － y ＋ 1

＋ )

也就是 2x ＋ 4x

＝ 6x 4y ＋ ( － 5y) ＝

－ _y

( － 5) ＋ 6 ＝

1

化簡下列各式：

7x － y ＋ 5 3x － 5y － 9

＋ )

(1)

10x － 6y － 4

3x － 5y － 7

－ x ＋ 8y ＋ 8

＋ )

(2)

2x ＋ 3y ＋ 1

6

去括號再合併 化簡下列各式：

(1) －（ 4x ＋ 2y － 5 ） 　 (2) － 5 （ x － 2y ＋ 3 ）

(3) （ 3x － 2y － 1 ）－（ 2x ＋ y － 3 ） 　 (4)4 （ 3x － 2y ＋ 1 ）－ 3 （－ 2x ＋ 4y ＋ 3 ） (5) （ 2x － y ＋ 2 ）－ （ 3x ＋ y ＋ 6 ） 2 3

1 3

解解

(1) －（

）

＝（－ 1 ） × （

）

＝

，則去括號時要將括號 內的每一項都變號。

(2) － 5 （

） ＝－ 5x

(3) （

）－（

）

＝

＝

(4) 4 （

）－ 3 （－ 2x

）

＝

＝

2 3

1 3

(5) （

）－ （

） ＝

＝

2 3

3 1

11 6

化簡下列各式：

(1) －（－ 3x ＋ 2y － 1 ）

(2) － 5 （－ 0.4x － y ＋ 1.8 ）

2x ＋ 5y － 9

(3) （ 5x ＋ 2y － 8 ）－（ 2x － 4y ＋ 3 ）

＝ 5x ＋ 2y － 8 － 2x ＋ 4y － 3

＝ 3x ＋ 6y － 11

(4) － 3 （ 2x ＋ 3y ）－ 2 （ 5x － 4y － 9 ）

＝－ 6x － 9y － 10x ＋ 8y

＋ 18

＝－ 16x － y ＋ 18

(5) （ x － y ＋ 3 ）－ （ 3x ＋

1 2

3 2

＝ x － y ＋ － 2x －　 y ＋

＝－ x － y ＋

1 2

1 2

2 3

3 2

10 3 2 3

6 7

29 6

在例題 6 的第 (3) 小題，也可以將同類項上 下對齊，用直式運算記錄如下：

3x － 2y － 1 2x ＋ y － 3

－ )

也就是 3x － 2x

＝ x － 2y － y ＝

₃ ( － 1) － ( － 3)

＝ 2

化簡下列各式：

3x － 5y ＋ 2 6x － 2y － 7

－ )

(1)

－ 3x － 3y ＋ 9

－ 2x ＋ 5y － 7

4x － y － 9

－ )

(2)

－ 6x ＋ 6y ＋ 2

現在我們來練習將一個二元一次式進一步列成含

等號的式子，例如：

(1) 在第 6 頁例題 1 中，如果媽媽買了 x 個 25 元的麵包和 y 瓶 18 元的果汁，共花了 147 元，也就是（ 25x ＋ 18y ）與 147 都是 指媽媽所花的錢，所以依兩者相等可列得等式

：

＋ 18y

　也可依兩者相減為 0 列得等式：

18y ）＝ 0

四個方程式的意義皆相同，但習慣上 以 25x ＋ 18y ＝ 147 最為常用。

(2) 在例題 2 中，如果一桶 5000 毫公升的水

，倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，及 每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯後

，桶內還剩 2000 毫公升的水，也就是（ 500 0 － 3x － 5y ）與 2000 都是指桶內所剩的水

，所以依兩者相等可列得等式：

或

　也可依兩者相減為 0 列得等式：

或

像上面 25x ＋ 18y ＝ 147 、 5000 － 3x － 5y ＝ 2000 、

…… 的式子，只含有兩種未知數，且兩種未知 數的次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式

。

根據下列各問題，列出二元一次方程式︰

(1) 欣怡買了每枝 15 元的鉛筆 x 枝及每個 12 元的橡皮擦 y 個，一共花了 120 元。

可列出二元一次方程式： ________________

______ 。

(2) 建華有 83 元，買文具花了 x 枚 1 元硬 幣和 y 枚 10 元硬幣後，還剩下 21 元。

可列出二元一次方程式： ________________

__________

_________ 。

15x ＋ 12y ＝ 120

83 － x － 10y ＝ 21 或 83 －（ x ＋ 10y) ＝ 21

(3) 大小兩整數分別為 x 與 y ，且大數比小 數大 10 。可列出二元一次方程式： _____

_______________________________ 。

(4) 一矩形的長為 x 公分，寬為 y 公分，且 其周長為 20 公分。可列出二元一次方程式

： ____________________________________

。

x － y ＝ 10 或 x ＝ y ＋ 10

2 （ x ＋ y ）＝ 20 或 2 x ＋ 2 y ＝ 20

當二元一次方程式中的未知數（如 x 與 y ），

以一組特定的值代入，可使等號左右兩邊的值相 等時，便稱該組 x 、 y 的值為此方程式的

例如：二元一次方程式 5x ＋ 8y ＝ 47 (1) 當 x ＝ 3 ， y ＝ 4 代入時，

左式＝ 5×3 ＋ 8×4 ＝ 15 ＋ 32 ＝ 47 ＝右式 即等號成立，所以 x ＝ 3 ， y ＝ 4 是方程

式 5x ＋

8y ＝ 47 的解。

(2) 當 x ＝ 1 ， y ＝ 2 代入時，

左式＝ 5×1 ＋ 8×2 ＝ 5 ＋ 16 ＝ 21≠ 右式

即等號不成立，所以 x ＝ 1 ， y ＝ 2 不是 方程式

5x ＋ 8y ＝ 47 的解。 `

7

解的判斷

下列哪幾組 x 、 y 所代表的數是方程式－ 2x ＋

(1)x ＝ 0 ， y ＝ 0 　　　 (2)x ＝ 0.

4 ， y ＝ 3.8

(3) x ＝－ ， y ＝ (4)x

＝－ 1 ， y ＝－ 1 1 4

2 5

解解

將 x 、 y 所代表的數代入式子中，檢驗等號 是否

成立，如下表：

x y 左式＝－ 2x ＋ y 右式＝

3

是否為解

0 0 （－ 2 ） ×0 ＋ 0 ＝ 0 3 否 0.4 3.8 （－ 2 ） ×0.4 ＋ 3.8

＝ 3 3 是

（－ 2 ） × （－

）＋

=3 3 是

－ 1 － 1 （－ 2 ） × （－ 1 ）

＋（－ 1 ）＝ 1 3 否 41

25 41

 25

1. 下列哪幾組 x 、 y 所代表的數是方程式－ 2x

－ 3y ＝ 8 的解？

(1)x ＝－ 1 ， y ＝－ 2 (2)x ＝－ 4.3 ， y ＝ 0.2 (3)x ＝ 4 ， y ＝ 0 (4)x ＝－ ， y ＝－ 2 3

5 3

(4)

2. 已知 x ＝ 1 ， y ＝ a 與 x ＝ 2 ， y ＝ b 都

是方程式 3x ＋ 2y ＝ 5 的解，求 a 、 b 的

a ＝ 1 ， b ＝－ 值。 2 1

3. 國城與乃麟求方程式 2x － 3y ＝ 12 的解，

國城選了四個 x 值，乃麟選了四個 y 值，

分別排成下列兩表。

試完成下列兩表，使得各組 x 、 y 值是方 程式

2x － 3y ＝ 12 的解。

3.

0 1 2 3

x 6 9

y

0 1 2 3

10 3

3 8 15 2

21 2

由例題 7 及隨堂練習，可發現二元一 次方程式的解不只一組，在隨堂練習第 3 題的方 程式 2x － 3y ＝ 12 中，當 x 的值繼續由 4

、 5 、 6 等數依序代入時， y 的值必可由一個 一元一次方程式解得；同樣地，當 y 的值繼續 由 4 、 5 、 6 等數依序代入時， x 的值也必可 由一個一元一次方程式解得。

由此可知：

一個二元一次方程式的解有無限多組。

8

正整數解的應用

七年 5 班上課時進行分組，每組 3 人或 5 人，其中 5 人一組的有 x 組， 3 人一組的有

的分法。

解解

因為 5 人一組的有 x 組，共 5x 人， 3

人一組的有 y 組，共 3y 人，所以總共有

學生 (5x ＋ 3y) 人，因此可列得方程式 5x ＋

3y ＝ 37 。

因為 x 與 y 都表示組數，所以 x 與 y 均為 正整數或 0 ，因此方程式中 x 的值可用 0 、 1 、 2 、 3 等數依序代入，解得 y 值後，再檢 查 y 是否也符合正整數或 0 的條件，如下表。

（○：符合條件；╳：不符合條件）

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

y 9 4 －

1 負數 檢查 ╳ ╳ ○ ╳ ╳ ○ ╳ ╳ ╳ ╳

373

323

223

173

73

32

由上表可知符合條件的解為：

(1) x ＝ 2 ， y ＝ 9 ，表示 5 人一組的有 2 組

， 3 人一組的有 9 組。

(2) x ＝ 5 ， y ＝ 4 ，表示 5 人一組的有 5 組

， 3 人一組的有 4 組。

故 5 人一組的有 2 組， 3 人一組的有 9 組

；

或 5 人一組的有 5 組， 3 人一組的有 4 組

。

1. 丞琳買了兩種卡片共花了 85 元，其中有每 張 15 元的卡片 x 張， 10 元的卡片 y 張。

試問丞琳可能買了幾張 10 元的卡片？

2. 已知 x 、 y 均為正整數，且 5x ＋ 2y ＝ 32 ，求滿足上述條件的所有解。

1 張或 4 張或 7 張

x ＝ 2 ， y ＝ 11 或 x ＝ 4 ， y ＝ 6 或 x ＝ 6 ， y ＝ 1

由例題 8 及隨堂練習可知，一個二元一次方

程式雖然有無限多組解，但是常因其他條件的

限制，而影響了該方程式解的個數。

1. 二元一次式：只含有兩種代表數的文字符號

，且兩種文字符號的次方是一次的式子，稱為 二元一次式。

例如：－ 2x ＋ y － 5 、 x － 3y 等。

2. 項的合併：式子做加減運算時，須掌握同類 項才能合併的原則。

例如： x 、 3x 是同類項， 2y 、 3y 是同 類項，

x 、 2y 不是同類項。

因此（ x ＋ 2y ＋ 1 ）＋（ 3x ＋ 3y ＋ 5 ） 可以合併

成（ x ＋ 3x ）＋（ 2y ＋ 3y ）＋（ 1 ＋ 5 ）＝ 4x ＋

5y ＋ 6

而 （ x ＋ 1 ）＋（ 2y ＋ 3 ）＝ x ＋ 2y ＋

4

3. 二元一次方程式：只含有兩種未知數，且兩 種未知數的次方都是一次的等式，稱為二元一 次方程式。例如： 3x － 2y ＝ 5 、 x ＝ 3y 等

。

4. 二元一次方程式的解：二元一次方程式中的

號左右兩邊的值相等時，便稱該組 x 、 y

值為此方程式的解。一個二元一次方程式的

解有無限多組，但在實際問題的情境中，常

因未知數受到其他條件的限制，而影響了該

方程式解的個數。

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，

地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數 學。

——

華羅庚（ 1910-1985 ）

1-1 自我評量

1. 棒棒堂家族聚餐共點了每份 100 元的 1 號

餐 x 份和每份 150 元的 2 號餐 y 份，則

一共花了 _____________ 元。

2. 請在下表的空格中，填入各二元一次式的值。

1 3 0

0.

4

6

－ 1 0 － 1 － 3 5x － 2y

－ 3x ＋ 5y 12 － 2x － 3y

3 2 3 5

 二元一次式

x y

7 -8 13

15 -9

6

-4 6.2 9.8

-24 3 33 13

1 3

3. 化簡下列各式：

(1) 3x ＋ 5y － x － 2

(2) － 5x ＋ y － 8 － 4y － 3 ＋ 9x

4x － 3y － 11

(3) －（－ x ＋ 2y － 4 ）

(4)2 （ x － 2y ＋ 5 ）＋ 3 （ x ＋ y － 1 ） x － 2y ＋ 4

5x － y ＋ 7

(5) 3 （ 2x － y ＋ 5 ）－ 2 （ 4x ＋ y － 1 ）

(6) （ x ＋ 2y － 4 ）＋ （ 3x － y ＋ 5 ） 2 3 1 4

＝ 6x － 3y ＋ 15 － 8x － 2y

＋ 2

＝－ 2x － 5y ＋ 17

＝ x ＋ 3y － 6 ＋ x － y ＋

＝ x ＋ y －

2 3

4 3

1 4

4 5 9 4

11 4

19 4

(7)

3x － 5y － 12 2x － 7y － 6

＋ )

5x － 12y － 18

(8)

5x － 3y ＋ 8 9x － 7y － 5

－ )

－ 4x ＋ 4y ＋ 13

4. 下列哪幾組 x 、 y 所代表的數是方程式 3x

－ 4y

_{＝－ 2 的解？}

(1) x ＝－ 2 ， y ＝－ 2 (2) x ＝ 2.4 ， y ＝ 1.3 (3) x ＝ 0 ， y ＝ (4) x ＝－ ， y ＝

2 －

1 5 3

4 3

5. 已知 x ＝ 3 ， y ＝ 4 是方程式 ax － y ＝ 1 的解，求 a 的值。 2 3

7 3

6. 已知協志買每枝 20 元的原子筆 x 枝和每枝 30 元的螢光筆 y 枝，一共花了 160 元。則

(1) 依題意可列得二元一次方程式：

________________ 。 　

(2) 協志可能買幾枝原子筆？（多選）

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 枝。

(A) 、 (D)

20x ＋ 30y ＝ 160

7. 已知 x 、 y 均為正整數，且 3x ＋ 5y ＝ 32

，求滿

足上述條件的所有解。

x ＝ 9 ， y ＝ 1 或 x ＝ 4 ， y ＝ 4