與周界中點三角形相關聯 的 N–P 不等式
丁 遵標
摘要: 本文獲得了與周界中點三角形相關聯的紐伯格 (Neuberg) – 匹多 (Pe- doe) 不等式, 簡稱 N–P 不等式。
關鍵詞: 周界中點三角形、 邊長、 面積。
筆者通過對周界中點三角形的深入研究, 發現了周界中點三角形與其原三角形之間有著一 定的關係, 便得到了與周界中點三角形相關聯的紐伯格 (Neuberg) – 匹多 (Pedoe) 不等式, 簡稱 N–P 不等式, 從而將周界中點三角形的研究更加深入。
在 △ABC 和 △DEF 中, BC = a, CA = b, AB = c, EF = a
1
, F D = b1
, DE = c1
, 則記作 H2
= a2
(−a2 1
+ b2 1
+ c2 1
) + b2
(a2 1
− b2 1
+ c2 1
) + c2
(a2 1
+ b2 1
− c2 1
)。定理: 若 △DEF 是 △ABC 的周界中點三角形, △ABC、△DEF 的面積分別為 S
1
、 S2
, 則有: H2
≥(15 − 4 ·a
3+b abc
3+c
3)S1 2
+ 16S2 2
.
... .
.. ...
A
B D C
E F
為證明此不等式, 先看下面的兩個引理:
引理1: 若 △DEF 是 △ABC 的周界中點三角形, 則有:
a
2 1
= a2
−4S1 2
bc , b
2 1
= b2
−4S1 2
ca , c
2 1
= c2
− 4S1 2
ab .
70
與周界中點三角形相關聯的
N–P
不等式71
證明: 設 △ABC 的半周長為 P , 由周界中點三角形的定義知:
AE + AB = AF + AC = P
∴
AE = P − c, AF = P − b.在 △AEF 中:
EF
2
= AE2
+ AF2
−2AE · AF · cos A 即 a2 1
= (P − b)2
+ (P − c)2
−2(P − b)(P − c) cos A= [(P − b)
2
+ (P − c)]2
−2(P − b)(P − c)(1 + cos A)= (2P − b − c)
2
−2(P − b)(P − c)1 + b
2
+ c2
− a2
2bc= a
2
− (P − b)(P − c)(b + c + a)(b + c − a) bc= a
2
− 4P (P − a)(P − b)(P − c) bc由海倫公式 S
1
=q
P(P − a)(P − b)(P − c) 得 a2 1
= a2
− 4S1 2
bc 同理: b
2 1
= b2
−4S
2 1
ca
, c2 1
= c2
−4S
2 1
ab
。引理2: 若 △DEF 是 △ABC 的周界中點三角形, 則有 a
2 1
+ b2 1
− c2 1
ab + b
2 1
+ c2 1
− a2 1
bc +c
2 1
+ a2 1
− b2 1
ca ≥ 154 − a
3
+ b3
− c3
abc . 證明: 由引理1 知a
2 1
+ b2 1
− c2 1
= (a2
+ b2
− c2
) + 4S1 2
1 ab − 1bc− 1 ca
b
2 1
+ c2 1
− a2 1
= (b2
+ c2
− a2
) + 4S1 2
1 bc − 1ca− 1 ab
c
2 1
+ a2 1
− b2 1
= (c2
+ a2
− b2
) + 4S1 2
1 ca − 1ab− 1 bc
∴
a
2 1
+ b2 1
− c2 1
ab + b
2 1
+ c2 1
− a2 1
bc +c
2 1
+ a2 1
− b2 1
ca= a(b
2
+c2
) + b(c2
+a2
) + c(a2
+b2
) − (a3
+b3
+c3
) + 4S1 2
(ab c
+bc a
+ca b
−2 a
−2 b
−2 c
) abc= a(b
2
+ c2
) + b(c2
+ a2
) + c(a2
+ b2
)abc −a
3
+ b3
+ c3
abc +4S1 2
(a2
+ b2
+ c2
−2ab − 2bc − 2ca)a
2
b2
c2
72
數學傳播28
卷4
期 民93
年12
月由熟知的恆等式知:
a
2
+ b2
+ c2
= 2(P2
−4Rr − r2
) ab+ bc + ca = P2
+ 4Rr + r2
abc= 4RrP, S1
= rP(a + b)(b + c)(c + a) = 2P (P
2
+ 2Rr + r2
)∴
4S
1 2
(a2
+ b2
+ c2
−2ab − 2bc − 2ca) a2
b2
c2
= 4r
2
P2
[2(P2
−4Rr − r2
) − 2(P2
+ 4Rr + r2
)](4RrP )
2
= 1
4R
2
(−16Rr − 4r2
)= −4r R − r
2
R
2
又
∵
a(b2
+ c2
) + b(c2
+ a2
) + c(a2
+ b2
)= (a + b)(b + c)(c + a) − 2abc
∴
a(b
2
+ c2
) + b(c2
+ a2
) + c(a2
+ b2
) abc= 2P (P
2
+ 2Rr + r2
)4RrP −2
= P
2
+ r2
2Rr −1 由熟知的不等式P
2
≥16Rr − 5r2
, R ≥ 2r 進一步可得a(b
2
+ c2
) + b(c2
+ a2
) + c(a2
+ b2
) abc≥ (16Rr − 5r
2
) + r2
2Rr −1
= 7 − 2r R
∴
a
2 1
+ b2 1
− c2 1
ab +b
2 1
+ c2 1
− a2 1
bc +c
2 1
+ a2 1
− b2 1
ca≥
7 −2r R −4r R − r
2
R
2
− a3
+ b3
+ c3
abc= 7 − 6r R −
r
R
2
−a
3
+ b3
+ c3
abc與周界中點三角形相關聯的
N–P
不等式73
= 7 − 3 − 1
4 −a
3
+ b3
+ c3
abc= 15
4 − a
3
+ b3
+ c3
abc故 a
2 1
+ b2 1
− c2 1
ab +b
2 1
+ c2 1
− a2 1
bc +c
2 1
+ a2 1
− b2 1
ca ≥ 154 − a
3
+ b3
− c3
abc 下面, 我們來進一步證明此不等式。證明: 由引理1, 我們進一步可以得到:
H
2
= a2
(−a2 1
+ b2 1
+ c2 1
) + b2
(a2 1
− b2 1
+ c2 1
) + c2
(a2 1
+ b2 1
− c2 1
)= (a
2
+ b2
+ c2
)(a2 1
+ b2 1
+ c2 1
) − 2(a2 1
a2
+ b2 1
b2
+ c2 1
c2
)=
(a
2 1
+ b2 1
+ c2 1
) + 4S1 2
1 ab + 1bc + 1 ca
(a
2 1
+ b2 1
+ c2 1
)−2
"
(a
4 1
+ b4 1
+ c4 1
) + 4S1 2
a2 1
bc + b2 1
ca + c
2 1
ab#
= [(a
2 1
+ b2 1
+ c2 1
)2
−2(a4 1
+ b4 1
+ c4 1
)]+4S
1 2
a
2 1
+ b2 1
− c2 1
ab +b
2 1
+ c2 1
− a2 1
bc + c
2 1
+ a2 1
− b2 1
ca!
又
∵
(a2 1
+ b2 1
+ c2 1
)2
−2(a4 1
+ b4 1
+ c4 1
) = 16S2 2
再由引理 2 知:
a
2 1
+ b2 1
− c2 1
ab +b
2 1
+ c2 1
− a2 1
bc +c
2 1
+ a2 1
− b2 1
ca ≥ 154 −a
3
+ b3
− c3
abc∴
H2
≥4S1 2
154 −a
3
+ b3
+ c3
abc +16S2 2
=
15 − 4 · a
3
+ b3
+ c3
abc S1 2
+ 16S2 2
故: H
2
≥15 − 4 · a
3
+ b3
+ c3
abc S1 2
+ 16S2 2
參考文獻
1. 丁遵標, 周界中點三角形的兩個性質, 安徽教育學院學報, 2002(3): 82, 102.
2. 丁遵標, 周界中點三角形的三個有趣的性質, 數學傳播, 27 卷 4 期, 民 92, 89-92.
—本文作者任教於中國安徽省舒城縣杭埠中學—
