B4ch4-3特殊的平行四邊形與梯形(南一)

4-3 特殊的平行四邊形與梯形

在前一節中，我們利用平行四邊形的判別性質，知道菱形、矩形與正方形都是平行四邊形。

這些平行四邊形有什麼特殊的性質嗎？本節將由對角線性質來探討這些特殊的平行四邊形。

菱形

1.定義：四邊相等的四邊形

2.性質：對角線互相垂直、平分。

3.正方形是四個角都垂直的菱形

例題 1--- 右圖菱形 ABCD 中，、為對角線且交於 O 點，試問：

(1) 是否等於？

(2) △AOB 和△AOD 是否全等？

(3) ∠1 與∠2 的度數分別為

何？--- ---

隨堂練習--- 菱形 ABCD 中，若∠ADB＝30°，求∠DAC 的度

數。 --- ---

例題 2--- 菱形 ABCD 中，若＝13，對角線＝24，求另一條對角線的長

度。 --- ---

隨堂練習---

已知菱形的兩對角線分別為 12 與 16，則此菱形的周長為

何？--- ---

A

C O D

B

A

C O D B

A B

C

O D

菱形的面積

兩條對角線乘積的一半

證明題---

試證明菱形 ABCD 的面積＝××

---

證明題---

試證明箏形 ABCD 的面積＝××

---

例題 3--- 右圖菱形 ABCD 中，若＝24 公分，＝10 公分，則此菱形的面積為多少平方公

分？--- ---

隨堂練習---

已知菱形的兩對角線分別為 12 公分與 16 公分，則此菱形的面積為多少平方公

分？--- ---

A B

C O D

A

O D

C B

A

C

O D

B

A D

B C

1 2

3

菱形的判別

若四邊形的對角線互相垂直、平分，則此四邊形為菱形。

例題 4--- 兩條寬度 ( 彩帶上、下兩邊之間的距離 ) 相同的彩帶交叉重疊，如右圖。試問重疊部分的四邊 形是不是菱

形？--- ---

隨堂練習--- 右圖 ABCD 中，若對角線恰為∠BAD 的角平分線，試問此平行四邊形是否為菱

形？--- ---

例題 5--- 四邊形 ABCD 中，⊥且＝，＝，則四邊形 ABCD 是否為菱

形？--- ---

隨堂練習---

右圖四邊形 ABCD 中，//，E 為的中點，且垂直於 E 點，則：

(1)　△ADE 和△CBE 是否全等？

A

C

O D

B

矩形

1.矩形是線對稱圖形，兩組對邊中點的連線為其兩條對稱軸。

2.矩形的對角線互相平分且等長。

例題 6--- 右圖矩形 ABCD 中，對角線與是否相等？是否互相平

分？--- ---

隨堂練習--- 矩形 ABCD 中，若＝6，＝10，兩對角線交於 O 點，求：

(1) 與的長度。

(2) 的長度。

---

例題 7---

已知四邊形 ABCD 的對角線互相平分且等長，則四邊形 ABCD 是否為矩

形？--- ---

隨堂練習---

A D

C B

E

A

B

D

C

A

B

D E

F O

C

右圖 ABCD 中，＝6，＝10。在AC上取兩點 E、F，使得＝＝2，則四邊形 EBFD 是否為矩 形？--- ---

正方形

對角線互相垂直、平分且等長。

隨堂練習--- 判斷下列(1)～(4)的敘述是否一定正確。如果不正確，試舉出反例。

(1) 若四邊形對角線互相平分，則此四邊形為菱形。

(2) 若四邊形對角線互相平分且等長，則此四邊形為矩形。

(3) 若四邊形是矩形，則對角線互相垂直。

(4) 若四邊形的對角線互相垂直且平分，則此四邊形為正方形。

---

梯形

定義：只有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形，則稱為梯形 梯形的中線：連接梯形兩腰中點的線段。

梯形的中線平行於兩底，即////。

梯形的中線長等於兩底和的一半， 即＝( ＋ )。

例題 8--- 梯形 ABCD 中，E、F 分別是兩腰、的中點。若＝3，＝5，則

對角線性質 平行四邊形 菱形 矩形 正方形

互相平分 ˇ ˇ ˇ ˇ

等長 × × ˇ ˇ

互相垂直 × ˇ × ˇ

A

B E C

D

下底 上底

腰 腰 高

A

E F

C D

B

中線

隨堂練習--- 右圖梯形 ABCD 中，若//，＝9，且梯形中線長＝7，則的長度為何？

---

例題 9--- 右圖梯形 ABCD 中，// ，⊥，且＝2，＝6，＝12。若將梯形分成兩塊面積相等的圖形，求的 長

度。 --- ---

隨堂練習--- 右圖梯形 ABCD 中，// ，⊥，且＝18，＝6，＝16。若將

梯形分成兩塊面積相等的圖形，求的長

度。 --- A

B

D

E F

C

B C

E F

A

B

D E

C

---

梯形面積

1.梯形 ABCD 的面積＝( ＋ ) × 高 2.梯形 ABCD 的面積＝中線長 × 高

例題 10--- 梯形 ABCD 中，//，⊥，且 E、F 兩點分別為、的中點。

若＝2，＝3，＝6，則梯形 AEFD 的面積為梯形 ABCD 面積的幾分之

幾？--- ---

隨堂練習--- 右圖梯形 ABCD 中，//，⊥，為中線。若＝6，＝8，＝8，且將梯形分成面積相等的兩區域，

求△EPF 的面

積。 --- ---

A

B C

E D

A

B

D

E F

C

A

B

D

E P F

C A

E F

C D

B

中線

等腰梯形

1.兩腰等長的梯形稱為等腰梯形。

等腰梯形 ABCD 中，//，且兩腰＝，

∠B 和∠C 稱為等腰梯形 ABCD 的底角。

2.等腰梯形的兩個底角相等。

3.等腰梯形的兩條對角線等長。

例題 11--- 等腰梯形 ABCD 中，過 A、D 兩點分別作的垂線，垂足分別為 E、F 兩點，試說明：

(1) △ABE△DCF。

(2) ∠B＝

∠C 。--- ---

隨堂練習--- 梯形 ABCD 中，過 A、D 兩點分別作的垂線，垂足分別為 E、F 兩點。

若∠B＝∠C，試說明

＝。 --- ---

例題 11--- 等腰梯形 ABCD 中，//，＝，試問兩對角線與是否等

長？--- ---

A D

C B

A D

C

B E F

A D

C

B E F

A D

C

B

隨堂練習--- 等腰梯形 ABCD 中，//，⊥。若＝13，＝5，則的長度為

何？--- ---

4-3 自我評量

已知菱形 ABCD 中，O 是兩條對角線的交點。如果＝4，＝3，求：

(1) 對角線、的長度。＝2＝8，＝2＝6。

(2) 菱形的周長。＝＝5，周長＝4 × 5＝20。

(3) 菱形的面積。× 8 × 6＝24。

下列敘述，哪一個是正確的？ ( 10 分 )

(A) 對角線等長的四邊形是矩形

(B) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形 (C) 對角線互相垂直的四邊形是矩形

(D) 兩組對邊分別相等的四邊形一定是矩形

如右圖，四邊形 ABCD 是矩形。若＝＝6 公分，求：( 每小題 8 分 ) (1) 與的長度。

＝＝2＝2 × 6＝12 ( 公分 )，

＝＝6 ( 公分 )。

(2) 矩形的面積。

矩形的面積＝6 × 6＝36 ( 平方公分 )。

如右圖，已知四邊形 ABCD 是正方形，且兩條對角線交於 O 點。若＝4，求：( 每 ) (1)　∠OAB 的度數。∠OAB＝45°。

(2) 對角線的長度。＝2 × 4＝8。

(3) 正方形的邊長。邊長＝＝4。

A

B C

D

A

B C

D O

A D

C B

O

A D

B 4 C 10

5 5

A D

B 4 C 10

5 5

A

B P M

Q

C (1) ＝　 7 　 。( 5＋9 )＝7。

(2) ＝　 6 　 。( 5＋7 )＝6。

等腰梯形 ABCD 中，//，且＝10，＝4，＝＝5，求梯形 ABCD 的面積。

10－4＝6，6÷2＝3，　　　　　　　　　( 10 分 ) 故高＝＝4，

面積＝ ( 4＋10 ) × 4＝28。

※ 圖形的二等分

有一塊三角形土地，作一條中線就可將三角形的土地平分成兩塊面積相等的區域。但是，

若想過一邊上的任一點，便將三角形平分成面積相等的兩個區域，那麼要如何利用平行性 質來解決？這問題曾出現在根據克拉維斯的版本所翻譯而成的《幾何原本》中文譯本中。

　　在△ABC 中，過邊上的一點 P，

將△ABC 的面積平分，如右圖。

【作法】首先連，取的中點 M，

過 M 點作的平行線，

交於 Q 點，

則可將△ABC 的面積平分。

【說明】連。

因為△AMQ 與△PMQ 面積相等 ( 同底等高 )，

所以△PCQ 面積

　　＝△PMQ 面積＋△MCQ 面積 　　＝△AMQ 面積＋△MCQ 面積 　　＝△AMC 面積＝△ABC 面積

故將△ABC 平分成面積相等的兩個區域。

作圖題--- 過平行四邊形一邊上的點，將平行四邊形平分成面積相等的兩個區域。

--- B

E F

9 C

A

B P M

Q

C

A

B

D

C