第二章函数与基本初等函数

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第二章函数与基本初等函数

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高考总复习数学

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函数概念与基本初等函数Ⅰ ( 指数函数、对数函数、幂函数 )

1 ．函数

(1) 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

(2) 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数．

(3) 了解简单的分段函数，并能简单应用．

(4) 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结

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2 ．指数函数

(1) 了解指数函数模型的实际背景．

(2) 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

(3) 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

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第二章函数与基本初等函数 3 ．对数函数

(1) 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

(2) 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

(3) 了解指数函数 y ＝ a^x与对数函数 y ＝ logax 互为反函数 (a ＞ 0 ，且 a≠1) ．

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第二章函数与基本初等函数 6 ．函数模型及其应用

(1) 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

(2) 了解函数模型 ( 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 ) 的广泛应用．

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2007 年、 2010 年广东卷均考查了求函数定义域的问题，

还考查了函数的单调性和奇偶性，是以选择题或填空题的形式出现．

2009 年考查了反函数的问题和函数图象的问题，均是简单题 .2007 年 20 题、 2009 年 20 题、 2010 年文科 20 题，主要考查二次函数的性质及应用，由此可见二次函数仍是广东高考的一个热点．

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1 ．映射

设 A ， B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关 系 f ，使对于集合 元素 x ，在集合 中都有 的元素 y 与之对应，那么就称对应 为从 集合 A 到集合 B 的一个 ．

A 中的任意一个 B

唯一确定 f ： A→B

映射

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第二章函数与基本初等函数 2 ．函数的概念

(1) 设 A ， B 是的，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的 数 x ，在集合 B 中都有

的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ： A→B 为集合 A 到 集合 B 的一个函数，记作 y ＝ f(x) ． x∈A. 其中， 叫做

， 叫做函数的定义域；与 x 的值相对

应的叫做函数值，叫做函数的值

域．

非空数集任意一个唯一确定

x 自变量

x 的取值范围 A y 值

函数值的集合 {f(x)|x∈A}

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(2) 函数的三要素：、、；其中，是核心，是灵魂；与

确定；若与相同

，则两个函数是．

3 ．确定函数定义域的原则

定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循：“定义域优先”的原则，而确定函数的定义域的原则是：

(1) 当函数 y ＝ f(x) 是用表格给出时，函数的定义域是指

．

定义域值域对应法则

对应法则定义域对应法则

定义域值域对应法则定义域

相同的函数

表格中实数 x 的集合

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(2) 当函数 y ＝ f(x) 是用图象给出时，函数的定义域是指 ．

(3) 当函数 y ＝ f(x) 是用解析式给出时，那么函数的定义域

就是指．

(4) 若 y ＝ f(x) 是由实际问题给出时，则函数的定义域 ．

图象在 x 轴上的正投影所覆盖实数 x 的集合 使表达有意义的实数 x 的集合

由实际意义确定

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1 ． (2011· 深圳一模 ) 已知全集 U ＝ R ，集合 A 为函数 f (x) ＝ ln(x － 1) 的定义域，则∁ UA ＝ ________.

[ 答案 ] 　 {x|x≤1}

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[ 答案 ] 　 A

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[ 分析 ] 　对于两个函数 y ＝ f(x) 和 y ＝ g(x) ，当且仅当它 们的定义域、值域、对应法则都相同时， y ＝ f(x) 和 y ＝ g(x) 才表示同一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然．

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[ 点评与警示 ] 　①第 (4) 小题易错误判断成它们是不同的 函数．要注意，在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下，

自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数 本身并无影响，比如 f(x) ＝ x²＋ 1 ， f(t) ＝ t² ＋ 1 ， f(u ＋ 1) ＝ (u ＋ 1)² ＋ 1 都是同一函数．

② 对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数．

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[ 分析 ] 　应该这样思考，什么是映射？映射这个概念应满足什么要求？然后作出判断．

[ 解 ] 　 (1) 当 x ＝－ 1 时， y 值不存在，所以不是映射．

(2) 不是映射，如 A 中元素 x ＝ 1 时，在 f 作用下， B 中有 两个元素 ±1 ，不具备惟一性．

(3) 不是映射，例如当 α ＝ 180° 时，在 B 中没有元素与之 对应．

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[ 点评与警示 ] 　欲判断对应 f ： A→B 是否是从 A 到 B 的 映射，必须做两点工作：①明确 A 、 B 中的元素．②根据对应 判断 A 中的每个元素是否在 B 中能找到惟一确定的对应元素．

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[ 点评与警示 ] 　求有解析式的函数的定义域就是求使解析 式有意义的 x 的范围．掌握基本初等函数 ( 如分式函数、对数 函数、三角函数、根式函数等 ) 的定义域是求函数定义域的基 础． (3) 中函数 F(x) 是由两个函数相加而成的，其定义域为两 个函数的定义域的交集．

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[ 答案 ] 　 (1) (2)( － 2,0)

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用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框 架 ( 如图 ) ，若矩形底部长为 2x ，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并指出其定义域．

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[ 点评与警示 ] 　求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．如本题使 函数解析式有意义的 x 的取值范围是 x∈R ，但实际问题的意义 是矩形的边长为正数，而边长是用变量 x 表示的，这就是实际 问题对变量的制约．

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已知扇形周长为 10 cm ，求扇形半径 r 与扇形面积 S 的函 数关系 S ＝ f(r) ，并确定其定义域．

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1 ．映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射

，即两个非空数集之间的映射．

2 ．求已知解析式函数的定义域就是求使函数式有意义的 x 的取值范围；由实际问题或几何问题建立的函数式，其定义域应使实际问题或几何问题有意义．

3 ．求由解析式表示的函数定义域常见的几种情况：

(1) 若 f(x) 是整式，则函数的定义域是实数集 R.

(2) 若 f(x) 是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实 数集．

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(3) 若 f(x) 是二次 ( 偶次 ) 根式，则函数的定义域是使被开 方式大或等于 0 的实数集合．

(4) 若 f(x) 是对数式，则函数的定义域是使真数大于 0 ，且 底数大于 0 且不等于 1 的实数集．

(5) 含参数问题的定义域要分类讨论；

(6) 若 f(x) 是指数式，则零指数幂的底数不等于 0.

(7) 若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义

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第二章 函数与基本初等函数

第二章函数与基本初等函数