第五章 討論和省思
教學是為了支持學習而設計（Anghileri, 2006）。Nickson （詹勳國等譯，2004）
認為，學童經驗生活情境中的數學而獲得知識，教師應該扮演中介者的角色幫助 學童在教室中進行有意義的學習。教學中若能利用典範例或結構化遊戲使數學的 概念和結構具體化，應較能兼顧水平和鉛直的數學化歷程（Streefland, 1991）。個 人參照RME 的理念以故事和遊戲塑造似真情境，為小二學童搭設學習乘法概念 的鷹架，並配合學童的學習調整鷹架。本章將依Anghileri (2006) 3 層次架構重新 檢視四個核心構念在小二乘法概念教學實驗的成效，並省思個人教學概念的轉 變。
第一節 教學成效
以下分別由教學實施的架構以及四個構念的影響來討論教學的成效。
一、 教學實施的架構
本研究利用故事與遊戲的情境為學童的學習搭設鷹架，先以故事或遊戲鋪陳 教學情境，以情境為基礎延伸出回顧與再建構的討論歷程，協助學童形塑乘法的 概念。與Anghileri (2006)鷹架學生學習數學的 3 層次架構相對照，本研究中每一 系列活動的安排皆有Level 1 的情境鋪陳，經由 Level 2 回顧與再建構的師生互動 介入，最後發現學童逐漸達到Level 3 的概念思考。教學中各個活動如何搭設鷹 架，以及學童在鷹架中學習的成效詳述如下。
第一階段前期的三個子目標：「倍」的感覺、「2 倍」的概念以及「倍」的語 言，皆圍繞著建立「倍」概念的主題。因此，在建立「倍」的感覺這個子目標中，
陳述「國王的超級特派員」故事內容是Level 1 分組計數的情境鋪陳，學童在此 沈浸於故事情節的發展以及圖畫的意象中；當故事說完之後，個人帶領學童重新 翻閱故事並請學童說說看故事為何如此發展，提出問題幫助學童將注意力聚焦於 概念，學童在發表的過程學習如何明確表達，也因此得到進一步發展理解的機 會，這是Level 2 中的回顧。同樣地，學童在「出雙入對」遊戲中，決定要將自 己的盤子放進哪一組的桌上，並數數看這一組總共有多少顆棉花糖的動作本身，
是Level 1 分組計數的情境鋪陳，也就是在一盤一盤棉花糖的表象中試著塑造讓
「倍」可以看得見的感覺；學童一邊進行活動一邊說「1,2,3,4……總共有 20 個」，
這是Level 2 回顧中「looking, touching and verbalising」的動作，經過幾輪的遊戲 之後個人要求學童「能不能用很快的方式計算出來」，這是意圖聚焦於分組計數 概念的介入動作，於是學童對活動的描述可能逐漸成為「4,8,12……總共是 20 個」；遊戲結束之後，學童說出自己是以一一點數、2 個一數、連加、湊 10 或用 九九乘法點數的策略完成4 個一數，以及個人協助學童將發表的內容解釋得更清 晰，這也屬於Level 2 回顧的一部份。
學童由分組計數的活動可能產生了「倍」的感覺，但是還不會使用「倍」來 說明問題情境。接下來在建立「2 倍」的概念這個子目標中，陳述「螞蟻搬東西」
的故事時，學童在看見螞蟻2 倍、2 倍增加並且搬走更大的食物時，發出「哇∼
好厲害！哇∼好多喔！」、「後一組都是前一組的2 倍耶」的驚嘆聲（Level 1）；討論故事 的內容，學童由「螞蟻一直把東西搬走，最後連很大的東西都可以搬走，本來是小朋友要野 餐，結果變成螞蟻在野餐」逐漸聚焦於「螞蟻2 倍、2 倍地增加，第一次是 1 隻，接下來 2 隻、4 隻、8、16、32、64、128、512」（Level 2 回顧）；「西八拉」遊戲中學童的緊張 與期待是過程中看不見的，但是卻在最後晤談時表現出來「最喜歡西八拉遊戲，因 為有猜中和猜不中那樣很好玩」、「得到2 倍、再 2 倍的糖果感覺很高興」（Level 1），「糖果
一次可以變2 倍，而且越到後面會越高」、「512 再丟中就會再加 512，變成一千多」（Level 2 回顧）；進行「一隻蛤蟆一張嘴」的遊戲（Level 1）之後，列表說明蛤蟆的嘴、
眼睛、腳數量間的關係，並延伸到人與其他動物身上，以「2 倍」的語言來說明，
是在遊戲這個有意義的脈絡中以列表的方式將問題簡化，並讓學生以「2倍」代 替「再加 1、再加 2」來說明數量改變的方式，形成課堂上共通的語言（Level 2 再建構）。
在「倍」的語言這個子目標中，「包裹送到」的故事陳述（Level 1）與討論
（Level 2）讓「倍」的語言不再拘泥於「2 倍」，透過「加一倍是多少」讓學童 反思「倍」的意義，以及「倍」的語言與加法算式的聯結（Level 2 回顧）；「寵 物店大猜謎」活動與課本文字情境的引入提供有意義的脈絡，讓學童在教學過程 中學習改用「倍」的語言來表述情境與加法算式的意義，使「倍」的表述方式成 為課堂上共通的數學語言（Level 2 再建構）；而「猜手中物」活動是「出雙入對」
的再延伸，要求學童由具體看得見的棉花糖數量，經由遮蓋的動作逐漸由半具體 而抽象，最後，學童在活動中表示「多少倍要看有多少個盤子」，活動本身是情境的 鋪陳（Level 1），學童對行動的說明以及產生與「出雙入對」活動聯結的聯想是 回顧（Level 2），說出「倍要看盤子」是概念論述（Level 3）。
經過第一階段前期，學童已經逐漸產生分組計數概念，並且開始能以「倍」
的語言描述情境、表達想法和說明加法算式。因此，第一階段後期的兩個子目標 是引入乘法算式與溝通乘法交換律，首先回顧「螞蟻搬東西」和「包裹送到」的 故事脈絡，透過引導與討論，以「倍」的語言溝通加法算式和乘法算式的聯結，
例如，將「2、4、8、16……512」數列轉換為加法算式的討論過程，學童產生以下 對話，「2=2+2」、「不對，是 2=1+1」，轉換為乘法算式時，「2=1×1」、「不對，是 2=1×2」，
「4=2×4」、「不對，是 4=2×2」，學生需要經過思考與修正來完成正確的算式（Level 2）；「裝飾餅乾」與「串項鍊」活動，學童操作與學習單的完成包含了自由地玩
耍、結構化任務與個別調整任務（Level 1），學童上台介紹自己串的項鍊是回顧 與再建構（Level 2）；「圖形排列」活動提供圖形作為有意義的脈絡，同時簡化「串 項鍊」活動使問題更接近學童的理解，雖然對圖形似乎相當有感覺，但是不擅長 精確表達的小二學童一開始並無法說清楚，例如S2 說「幫黑色三角形編號，第一個 編1 號、第二個編 2 號、第三個編 3 號、第四個編 4 號，其他顏色也一樣，最後，所有的 1 號算
一組、所有的2 號算一組、所有的 3 號算一組、所有的 4 號算一組」，許多學童都表示聽不 懂，S24 說「我懂，就是說三個不同顏色圈在一起」， 而 S28 說「黑色、白色、紅色圈在 一起」，是黑板上所有的黑、白、紅色都圈在一起嗎？最後全班終於達成共識，
認為最清楚的說法是「黑色拿一個、白色拿一個、紅色拿一個，圈起來，第二組也是黑色拿 一個、白色拿一個、紅色拿一個，圈起來，第三組也是，三種顏色各圈一個，第四組也是每種顏
色圈一個，然後就可以寫算式3+3+3+3」，圖形排列活動幫助學童說出在串項鍊活動中 不易表達的想法，並聯結到分組計數模型來澄清乘法交換律的概念（Level 2 再 建構）；「成群結隊」活動，遊戲本身是Level 1，學童在每一輪遊戲之後以「倍」
的語言和算式說明分組情形是Level 2，遊戲結束後能自行完成學習單則是 Level 3 做聯結。
經過前、後期兩個小循環，學童的分組計數概念和以「倍」的語言作為表述 與溝通工具的能力已經大致穩固，因此在第二階段循環的重點為九九乘法表和乘 法應用在生活中更實際的問題。第二階段教學中「阿曼達的瘋狂大夢」與「還有 一張票」說故事的過程以及「分分看」和「園遊會」活動屬於 Level 1，這些活 動之後的討論與說明的過程屬於 Level 2，以乘法算式作為代表工具，以及聯結 活動或課本的情境、「倍」的語言和加法與乘法算式屬於Level 3。學童建立較完 整的概念心像，並能以「倍」的語言清楚表達心中想法之後，每一個活動不同於 最初只能由Level 1 延伸到 Level 2 的討論，逐漸能達到 Level 3 的概念論述與聯 結。例如，陳述「阿曼達的瘋狂大夢」的故事，說故事的過程屬於Level 1 情境 的鋪陳，學童表示「我不是一個一個數，而是以一個窗戶的窗格數乘以這棟房子的窗戶數」、
「只要知道羊的數量，再加一次就是輪子的數量，輪子的數量再加一次就可以算出羊總共有幾隻
腳」、「故事前面已經說過她會2 個一數、5 個一數、10 個一數，所以她可以不要 1 個 1 個數，2
個2 個數會比較快」則屬於Level 2，「2 倍就是同樣的數量再加一次，4 倍就是同樣的數量一 共4 次加在一起」屬於Level 3。
綜合以上所述，個人在Level 1 情境的佈置包含說故事與玩遊戲的教學活動 安排、下課時間自由參與的有獎徵答活動、把玩的設計，營造似真的情境讓學童 在其中自由地操弄，透過愉悅的感覺對乘法主題產生興趣，對於發表自己的看法 與想法躍躍欲試，教師在此並不積極介入，只利用關注、鼓勵與讚美做情感上的 回饋。教師對乘法主題的互動介入由 Level 2 開始，引導學童重新回顧 Level 1 的各項活動，教師提出問題、提供線索或加深問題的難度，學童嘗試以言詞的表 述與其他學童溝通，學童發表的內容可能被認同也可能被反駁。例如，一個人的 耳朵，用乘法算式怎麼寫呢？「2×2」，「不對，是 2×1」，「因為 2×2 是 4，我們要算的是一 個人的耳朵，一個人有兩個耳朵「乘以」一個人，所以是 2×1＝2」；以及因為青蛙「沒有肚 臍呀！」，所以一隻青蛙的肚臍用乘法要怎麼寫呢？「0×0＝0」、「0×1＝0」、「0×1＝
1」，……，「應該是0×1＝0」，……，那麼 0×100 是多少呢？「是0」、「0 乘以任何數 都是0 呀！」、「沒有東西，不管加幾次都沒有」。討論的歷程伴隨著學童的認知衝突、
內延、外塑，例如 S19 由「不知道」到最後能明確說出「因為頭髮太多了，數不清，
所以不知道是鼻子的幾倍」；以及，頭的數量是手的幾倍呢？「1 倍。」2 個頭？「不對，
2 倍。」4 個頭？「不對，0 倍。」沒有頭？「……」到底有幾個頭？幾隻手？「1 個頭，
2 隻手。」那不就是一半，半倍嗎？「啊？原來就是一半呀！」學童接觸非例行性問題 無法以先前心像同化時，就必須再次折返、仔細思考，經由概念的內延和外塑再 建構出高一層的理解狀態。面對不熟悉的問題情境，藉由討論的過程歸納出結 論，回顧與再建構的歷程是理解的成長，也就是同化、調適、平衡的過程。Nickson
（詹勳國等譯，2004）認為，學童在解題過程中討論、分享和互相批判，最後決 定接受或拒絕其他學童的策略與解答，這樣的過程中學童逐漸獲得有意義的發
展。
Level 2 是學童接觸不同的問題、促進折返、再次澄清與整合再向外推的概 念動態成長歷程，在反覆的折返中建立比較完整的乘法概念心像。學童透過不斷 地討論與修正使不夠精確的措辭表達(「黑色、白色、紅色圈在一起」)更精確易懂（「黑 色拿一個、白色拿一個、紅色拿一個，圈起來，第二組也是黑色拿一個、白色拿一個、紅色拿一
個，圈起來，……)，由非正式的數學語言(「3,6,9,12,15」)進而使正式的數學語言
（3 的 5 倍）成為班級共通的溝通工具，在互動過程中學童逐漸找出加法與乘法 算式的表示法，並協助其他學童修正錯誤說法，類比2 倍的相同模式用來求解 3 倍、4 倍情境的問題。在討論及發表的過程中，學童會經歷思考如何表達、正式 表達以及理解其他學童的想法與作法的過程，學童思考如何說明的過程即是P-K 理論中行動和表述的互補，行動已經在Level 1 的情境中完成，然而，表述必須 明確有力地表達行動的內涵，這對小二學童而言是新的嘗試，理解的過程在行動 與表述之間來回穿梭，學童在這個部分需要較多的協助，教師的支持與肯定是學 童發表時信心的來源。
當學童的反應不只是複製教學過程和解決單一問題時，就是乘法概念的發展 已經進入一般化、特殊化與抽象化的階段。Level 3 包含學童能發表概念論述、
發展代表性工具並做出情境、「倍」的語言和加法與乘法算式的聯結。學童發表 概念論述（「倍」要看盤子），並發展出代表性工具（盤子模型的建立、習慣使用「倍」
的語言）即是進入Level 3 的表徵，教師參與概念論述並延伸學生的思考，而由 學童的發表中可以窺見代表性工具和概念聯結以及概念論述的互動。例如，「1 倍 就是一盤，不管哪一盤都是1 倍」、「加 1 倍就是加一盤」、「7 個小圈圈框在一起，框起來的就是
1 倍」、「7 的 4 倍是 28，7 的 5 倍就是再加 1 倍，就是再加一個 7」、「2 的 3 倍是 6，2 的 6 倍就
是再加3 倍，加 6，答案是 12」、「看橫排，3 個當一組，3×4；或是看直排，4 個當一組，4×3」，
「用頭來介紹1 的乘法不就好了嗎？為什麼要用肚臍呢？」當學童能發表概念論述，而且
對概念產生聯結時，表示她們的概念已經相當清楚，也可以說學童已經建立了乘 法的思考，在3 層次鷹架中由社會支持進入自我支持。在這樣的鷹架安排中，教 師在Level 1 較不易收集到學童的回饋，Level 2 需要反覆進行討論、著力最深，
到了Level 3 只需以「倍」的語言作為溝通的橋樑，逐步搭建起以學習者為主體 的鷹架來形塑乘法概念。
然而，觀點的不同可能造成解讀的差異，在Anghileri (2006) 3 層次的鷹架 中，並不是每一位學童都能從Level 1 的似真情境佈置中感受到個人所期望的乘 法概念，即使經過Level 2 一再地遞迴也無法幫助他完整地建立乘法的概念，例 如S03 在第二階段中仍將題意為「9 的 3 倍」的情境以 3+9 列式，並解釋為「3 個倍加9 元」，就是一個很好的反例。因此，在教學實驗中個人利用增加教師的介 入和晤談來處理類似這個狀況的其他學童；為了幫助部分較少參與討論，或不易 由討論中得到明確結論的學童，個人在Level 2 增加回顧主要概念和做結論的團 體指導，做結論是Level 2 中很重要的事情，部分學習情形類似 S23 的學童更需 要教師的總結幫助他們聚焦於概念；在學童的概念逐漸進入Level 3 時，是否產 生概念的聯結是解題成敗重要的關鍵，因此個人利用晤談的方式，一方面瞭解學 童是否能產生概念的聯結，同時在晤談的過程也促使學童意識到更清晰的概念聯 結。個人在這些過程中領悟到有些學習困難的學童需要更具體、看得見的說明，
例如S23（請見 p.182 的例子），需要把具體的錢幣拿出來；又例如在串項鍊活動 學習單的填寫，如果說明的時候可以在黑板上排出項鍊具體的圖像，再分別用兩 種方式「一個一個慢慢的抓進盤子裡」，利用一步一步分解的動作，學童可能更 容易理解；另外，如果更常在Level 2 和 Level 3 讓學童上台解題，也許可以創造 更多獨立思考及表達的機會，幫助無法在發表時搶得先機的學童更快釐清想法。
經過兩階段的研究，個人修正Anghileri (2006)的架構，圖 5-1-1 可以表示如何轉 化和運用3 層次架構於本教學實驗。
LEVEL 1 似真情境的佈置
情境佈置（例如有獎徵答） 教室組織 把玩
分組活動、團體活動 故事、遊戲的安排與銜接 給定任務 適時的口頭讚美 完成個別化任務
（例如串項鍊、裝飾餅乾）
LEVEL 2
討論、P-K 理論、認知衝突
回顧 再建構
回顧並描述 Level 1 的活動
由一再出現相似 概念的活動中抽 象出概念心像
故事、遊戲情境中發 生了什麼事？
說說看我們在活動中 做了什麼？
學童發表
教師解釋學童 作法和說詞
提供有意義的脈 絡（例如提供三 組排列圖形）
簡化問題（例如 三組排列圖形讓 學童似乎一目了 然、有所領悟）
學童在討論中彼 此澄清修正，以 合適的措辭或方
式來表述
討論以及 得到共同的結論
LEVEL 3 發展乘法思考
分組計數模型、
倍的語言、
加法算式與乘法算式 四者的聯結
盤子模型的建立
「倍」的概念
「倍」的語言 乘法算式
產生概念論述
（例如學童說
「倍要看盤子」）
晤談、個別指導、診斷教學
圖5-1-1 鷹架學童學習小二乘法概念的 3 層次教學策略 資料來源：改編自Anghileri, 2006: 39
由加法思考進入乘法思考的過程需產生「單位量轉換」的觀點改變，個人在 Level 1 依照 RME 原則安排似真學習情境，學童在教學情境的鋪陳下，以分組計 數的盤子模型取代原先加法思考逐一累加的心像，學童在Level 2 發生認知衝突 並在內延、外塑之後進入Level 3，除了建立基本概念之外也接觸挑戰性的問題，
在衝突意見刺激下產生思考層次的遷移，逐漸達成鞏固乘法概念的目標。學童在 3 層次鷹架中的發展似乎也符合 RME 由非正規發展到形式數學的微層次歷程（如
具體化 的說明 回顧主 要概念 做結論 增加上 台解題 的機會
圖2-3-1），由層次一進行現象的探究開始，經由教學的推動始產生不同層次的橋 接，在層次二學習自主與互動，最後可以抽象化、察覺關聯、去脈絡化而達到層 次三的乘法思考。在逐次數學化的歷程中，學童需要經常回顧先前已經建立的乘 法相關概念，甚至折返再次建構，就像是圖2-2-1 中的 ZPD 會隨著學童獲得較高 思考和知識水準不斷改變，但是前後的 ZPD 仍有部分的重疊。除了依照教學的 架構討論之外，以下分析四個核心構念的教學影響來討論學習的成效。
二、 四個核心構念的影響
本研究發現，教學前學童在陣列問題的答對率最高，其次是等值群組問題、
倍數比較問題，而答對率最低的是組合問題。其中，陣列問題學童使用最多的策 略就是數數，點數題目中的圖形，包括一一點數、兩個一數、連加、用九九乘法 點數和湊十，而等值群組問題有許多學童可以用加法和乘法策略來解題，倍數比 較問題和組合問題學童則不太能瞭解題意。另外，在四次測驗中，教學前學童多 利用數數解題，兩階段教學之間則以加法居多，教學之後就大幅改用乘法，顯示 學童確實早有豐富的數數經驗，並且會以數數作為乘法問題非正規的解題策略，
由加法思考逐漸進入乘法思考，而乘法思考雖然出現得很早卻成熟得很慢，不同 文字情境或圖像表徵也對學童的解題有影響。
本研究亦發現，教學前許多學童因為不瞭解乘法問題的題意，而以3+9 代替 3×9 來解題，另外，在 18 位使用乘法算式的學童中具有正確乘法概念的只有 2 人。學童提早背誦九九乘法表，當遇到乘法問題時自認為早就會了、很簡單，卻 無法說明算式與題意的聯結，而且在背誦過程發現6×7 和 7×6 答案相同，在內心 建構出6×7 就是 7×6 的想法。經過第一階段教學引入分組計數和倍的概念反覆溝 通與澄清，在圖形排列活動之後學童才逐漸明白算式不只是湊出答案的工具，「一
種是看顏色、一種是看形狀」、「算式要能表示題目，不是答案相同就好」、「看橫排，3 個當一組，
或是看直排，4 個當一組」。第二階段前測時雖然有 1 位學童仍然堅持「大數乘以小數 算起來比較快」，但是，兩階段教學結束時學童皆已打破「6×7 和 7×6 不管寫哪一個都 一樣」的迷思。因此，學童若將乘法視為連加的快速計算而背誦九九乘法表，容 易產生不理解問題情境而以加法代替乘法或是無法應用乘法表的困難，同時也會 誤解乘法交換律。
此外，教學前除了8 位學童能以分組計數方式處理問題之外，其他學童皆一 一點數而且算式的單位量、單位數常常相反，意即學童有單位量轉換的困難、尚 未形成集聚單位的概念。經過分組計數活動盤子模型的協助後，大多數學童已逐 漸釐清單位量與單位數，並能說明算式意義。在兩階段教學中學童藉著不斷回顧 盤子模型來分析情境中的問題、對抗迷思的概念。相對於學童對等值群組問題情 境的熟悉，教學前大部分學童不懂倍的意義，當在教學中使用「倍」的語言說明 等值群組問題之後，再進入倍數比較問題時就沒有語言轉換的問題。由於大部分 學童在第一階段教學中已經建立倍的概念，因此可以正確地指出題意是「誰的多 少倍」，在第二階段前測晤談中大多數學童可以輕易將題意轉換成「倍」的語言 並以此輔助加法和乘法算式的聯結，即使出現單位量與單位數的迷思，以「倍」
的語言當橋樑能夠使學童自行釐清這些迷思概念。這似乎說明在建立分組計數概 念之後，若能夠以「倍」的語言作為學習的媒介似乎可以擺脫具體的操作，直接 以該心像幫助學童克服單位量、單位數的迷思。當建立了穩固的分組計數概念之 後再進入乘法教學，學童對乘法算式的概念也就比較清楚。
李源順、林福來（1998）指出，不易將數學問題和生活情境連結是學童無法 正確作答的主因。本研究以故事和遊戲來強化「數學生活化，生活數學化」，在 利用故事引入概念的過程中，螞蟻搬東西的故事讓學童主動說出「哇！後來的螞蟻 數量都是前一組的2 倍耶！」而在引入倍的概念之後，學童在「猜手中物」活動中體
悟「幾倍就是看有幾個盤子」。在「一隻蛤蟆一張嘴」的遊戲後，就能說出蛤蟆的嘴、
眼睛和腳的數量之間的倍數關係，而且發展出「2 倍就是同樣的數量再加一次，4 倍就 是同樣的數量一共4 次加在一起」，並能轉換情境到人的身上，「眼睛的數量是嘴的2 倍，
耳朵的數量是眼睛的 1 倍，……，頭髮數量太多了不知道是鼻子的幾倍」。當再次回顧螞蟻 搬東西的故事並將情境改成3 倍以上時，學童也能在新的情境中建構自己的數學 知識，由繪本中延伸數學思考。完整建立倍的概念之後，學童可以清楚地說出「1 倍就是一盤，不管哪一盤都是1 倍」、「加 1 倍就是加一盤」、「7 個小圈圈框在一起，框起來的就
是1 倍」、「7 的 4 倍是 28，7 的 5 倍就是再加 1 倍，就是再加一個 7」、「2 的 3 倍是 6，2 的 6 倍
就是再加3 倍，加 6，答案是 12」。利用故事情境可以舉出許多可供練習的題目，學童 在似真情境中反覆進行溝通和聯結，逐漸開始對故事的內容提出自己的想法與評 論，「一個一個數太慢」、「我不是一個一個數，而是以一個窗戶的窗格數乘以這棟房子的窗戶 數」、「只要知道羊的數量，再加一次就是輪子的數量，或者也可以用2 乘以羊的數量。另外，輪
子的數量再加一次就可以算出羊總共有幾隻腳」、「故事前面已經說過她會2 個一數、5 個一數、
10 個一數，所以她可以不要 1 個 1 個數，2 個 2 個數會比較快」。而在故事中面對具挑戰性 的分分看活動時，學童也選擇勇於面對並解決問題，說明：小二學童在故事情境 的吸引下，其實是很樂於解決生活中的數學問題的。
由態度量表中發現，第一階段前後、第二階段前後以及整個兩階段教學實驗 前後，大部分學童在教師態度、數學成功態度以及教師態度的t 考驗達到顯著差 異，顯示學童在第一階段教學中即感受到教師積極正向的鼓勵，而第二階段教學 中經由第一階段概念的延伸使學童逐漸感受到數學的成功，整體而言學童在兩階 段教學中感受最明顯的仍是教師態度的轉變。經過第一階段教學的（故事與遊戲）
似真情境活動，學童對數學課程的內容更有感覺，例如，在探究動機部分從較空 泛的「覺得數學有趣」轉變為「主動投注下課時間來完成」、在數學焦慮部分能 指出自己是在「考數學時」比較不會害怕、在有用性部分由「長大後在許多方面 用到數學」的未來感轉為「數學是很重要的科目」的現存事實；另外，由於個人
教學態度的轉變，也使學童在教師態度以及成功態度上有轉正向的趨勢，而第二 階段的教學結果似乎讓學童認為，教師關心她們的學習更勝於成績，並且，漸漸 體認成功的經驗可以由日常生活中累積而得，即使是平時測驗也需要努力。比較 第一階段前測與第二階段後測全班學童的數學態度差異（見附錄一之 4（2））
發現，提升最多的是數學的有用性0.44，其次是教師態度 0.34，四次測驗中六個 向度的分數多半是逐漸遞增。可以見得，多數學童在概念成長當下有態度正向的 支撐力量。學童在個人的教學設計中似乎感受到數學的挑戰與樂趣，由對數學的 刻板印象與被壓迫感轉而體認到數學與生活的聯結，並提升數學學習的信心與能 力，這點與Piaget (1973；引自 Kamii & Clark, 2000)學童對感興趣的活動會有很 好的數學理解力的看法相呼應。
故事繪本和遊戲在教學中提供學童思考的脈絡，學習猶如搭乘故事和遊戲的 列車經歷由Level 1 到 Level 2、Level 3 的旅程，最初，有些學童在 Level 1 下車、
有些在Level 2 下車，但是漸漸的都可以到達 Level 3。利用故事和遊戲塑造貼近 生活的情境，讓學童在學習的過程中有跡可尋，態度量表的數據反應出學童的數 學態度在這樣的情境中有正向的成長，感受到數學的真實與有用，降低了數學的 焦慮，增加學習的信心，感受到教師的鼓勵與肯定。
在故事繪本的似真情境中，個人看見感染力和數學性，「圖畫得很精彩（S24）」、
「吸管可以當溜滑梯（S28）」、「螞蟻越來越多，本來搬小的東西，後來越搬越大，最後，連很大
的蛋糕都可以搬走（S16）」、「哇！後來的螞蟻數量都是前一組的兩倍耶！(S19)」。孩子熱烈討 論故事所製造的真實感，對上課充滿期待，會相互提醒、彼此約束，專注於故事 的內容發展、對故事有所回應，並積極爭取聽故事更好的視野，對故事內容產生 熱烈地討論或猜測，主動表達認同、感想或建議。除了逐漸可以在故事中歸納出 規律、察覺其中的奧秘，也願意在故事情境中挑戰困難的問題（例如「還有一張 票」中「分分看」的問題）；教學過後幾個月，學童對故事內容仍然記憶猶新，
可以七嘴八舌地搶著說出故事的內容，經過幾次改編故事的情境進行練習的經驗 之後，連平時思考較慢、表達不佳的學童都搶著回答。故事繪本把數學的概念或 運算鑲嵌在故事的似真情境中，可以讓枯燥的反覆練習轉為趣味的想像，使學童 在興致盎然的情況下達到學習的效果。
「出雙入對」與「猜手中物」活動，能讓學童很直觀地產生「倍」的概念，，
個人利用磁鐵和盤子在黑板上再次營造之前「出雙入對」活動的情景，學童很快 反應出「這是之前的棉花糖」，並可以清楚連結倍的語言和加法算式，在這兩個活動 之後也認清「不管哪一盤都是 1 倍」。「西八拉」活動緊張刺激的過程讓學童回味無 窮，是學童印象最深刻的活動，「有猜中和猜不中那樣很好玩」、「命中的時候，得到2 倍、
再2 倍的糖果很高興」、「2 倍比較多，而且到後面會越高」、「512 如果再丟中就會再加 512，一
千多」，顯示學童在遊戲中已經感受到2 倍、再 2 倍驚人的數字增加速度。即使是 靜態的「串項鍊」活動，也可以看見學童興高采烈地串項鍊以及串完之後很珍惜 的樣子。學童賣力的投入遊戲之中，參與遊戲總是很熱烈，在遊戲中一起回答問 題也總是答得很好，可見學童喜歡參與教學活動，而且在活動中學習。
學童在晤談中表示，在故事與遊戲中「覺得有學到東西」，並且認為自己最後可 以把課本中「幾個幾」的語言和「誰的多少倍」的語言很清楚相連結，同時也喜 歡這種「故事很好聽，遊戲也很好玩(S21、S33)」的數學課，「最喜歡「包裹送到」的故事，
因為人家送來很多包裹，結果都送錯，很好笑(S19)」、「最喜歡「西八拉」，因為過程很刺激，最
後收穫很多(S31)」、「最喜歡「螞蟻搬東西」，因為他們一直把東西搬走，本來是小朋友要野餐，
結果變成螞蟻在野餐(S02)」、「最喜歡「一隻蛤蟆一張嘴」，可以唱歌又可以玩遊戲，分成一組一
組的遊戲很好玩，而且很刺激，萬一沒有湊到剛好的人數會被淘汰(S16)」，這些對話顯示，
不論是故事繪本或是遊戲都令學童印象深刻，故事令人驚奇的發展、繪本圖畫的 吸引力以及遊戲的刺激，都令學童樂在其中難以忘懷。學童透過故事繪本的似真 情境自然地發展乘法概念，在遊戲與把玩中建立、澄清並熟練，能讓大多數的學
童學得正確、學得深刻、也學得開心；個人以似真性與趣味性深入並強化概念，
期望將數學語言生活化，生活語言數學化，故事繪本和遊戲的強烈吸引力和影響 力確實對教學有相當的助益。
似真情境
圖5-1-2 研究者預擬架構的修正圖 資料來源：作者自製
個人的教學實驗以情境包裝概念的四個核心構念，對學童而言，深具吸引 力，這樣的學習情境讓學童即使在概念建立的過程必須再三折返，仍有回味無窮 的愉悅感。而分組計數盤子的模型以及「倍」的語言，則總是在學童學習遇到障 礙時發揮功效。這四個核心構念的教學聯結似乎很有效地協助小二學童由加法轉 向乘法思考。據此心得，個人修改之前預擬的架構為圖5-1-2，其中的虛線 HLT c 為本研究中大部分學童的學習路徑，學童由加法思維的逐一點數開始，逐漸產生 分組計數概念，接著建立倍的概念，並使用「倍」的語言溝通加法和乘法算式，
在逐次的遞迴中逐漸進入乘法思維；在由逐一累加過渡到分組計數的概念、以
「倍」的語言說明分組計數概念、以及使用「倍」的語言溝通加法和乘法算式聯 結的三個關鍵位置，可能發生折返的現象，隨著每位學童概念發展的個別差異折
HLT c
倍的語言
分組計數概念
乘法思維 數學故事繪本
數學遊戲 加法思維
表徵 數數 加法
返至不同位置，例如需要依靠具體物的學童會折回分組計數概念，若只是一時產 生輕微迷思的學童則只需以「倍」的語言溝通聯結，而個案學童會多經歷幾次的 折返過程，學童概念折返的歷程會在課堂反覆釐清迷思的過程中一再地出現，而 在個案晤談中更明顯。「倍」的語言是其中重要的溝通工具，在第一階段前期用
「倍」的語言描述分組計數活動，後期以「倍」的語言描述連加算式為「誰的多 少倍」，進而聯結到乘法算式，「倍」的語言是溝通加法算式和乘法算式的橋樑。
本研究選擇直接引入「倍」的語言作為溝通的橋樑，而非課本中「幾個幾」
轉換「多少倍」的數學語言，HLT 的形成或許與個人改變的教學方式有關，但是 在與對照班的比較(請參見 p.188)或許可以說明本研究使用「倍」的語言切入後，
教學成效確有不同，對照班學童的表現與個人過往教學經驗雷同，而本研究卻成 功減低學童在單位量認知上的困難。此外，組合問題不屬於小二學童學習的範 圍，一般而言，我們也認為組合問題不是小二學童可以理解的問題，但是經過教 學實驗中分組計數概念與「倍」語言的建立，以及晤談中反問學童組合問題的題 意之後，可以成功解題的學童由2 人增加為 18 人，而且，其中有 9 人用分組計 數概念和「倍」的語言來解釋他們的解題策略，說明學童瞭解題意之後，主動由 一一點數進入乘法算式的過程確實有分組計數概念和「倍」語言的支撐。由此似 乎可推得分組計數概念和「倍」的語言可以觸動乘法概念一貫的思考，對乘法概 念的發展有重要的影響力。
第二節 教學省思
個人在計畫、行動、觀察、反思、修正以及再行動一連串的過程中，經歷了 行動中反思、對行動反思，從最初只擔心研究的成果，想利用趣味化的教學吸引
學童，到瞭解學童從加法概念進入乘法概念的迷思，思考如何在教學中突破這些 障礙，最後察覺自己教學知識的不足並積極修正，當投注的力量越大、感受就會 越深。以下就故事與遊戲的教學活動實施、討論活動以及晤談來說明個人在教學 中的體會。
在這次的教學中，學童最有感覺的是「出雙入對」活動提供的分組計數概念 和「螞蟻搬東西」故事中「倍」的語言。故事繪本把數學的概念或運算鑲嵌在故 事的似真情境中，讓枯燥的反覆練習轉為趣味的想像與體驗，盤子模型就像是單 元中的典範例，可以不斷回顧並延伸應用，經過故事和遊戲的幫助，學童在興致 盎然的情況下達到學習的成效。教學過程中個人交替使用不同的活動形式，改變 情境將活動鑲嵌在故事中，或提供比賽與發表的機會來激勵學童，活動的變換使 學童在氣氛的轉變之下更積極的學習。徐偉民(2004)認為，故事可以提高學童的 察覺能力，讓學童在學習數學時「有感覺」。Piaget（1973；引自 Kamii & Clark, 2000）
也說，在感興趣的活動中每一位學童都有很好的數學理解力。在此歷程中，個人 深深地感受到鼓勵、等待與肯定也是數學教學中時時刻刻都得具備的關鍵元素。
曹亮吉（1970）認為數學遊戲最重要的特色就是趣味性。趣味的教學設計凝 聚了學童學習的專注力，但是個人經過兩階段的教學之後認為，學童會自然地投 入趣味的活動中，然而教師在趣味的教學中應特別注意強調「意義更勝於趣味 性」。個人在本次教學中體悟說故事最重要的是呈現故事中的數學感，而遊戲之 後則須輔以學習單加強遊戲中的概念，避免遊戲的趣味性掩蓋了數學概念，使教 學活動失去了數學意義。學童在遊戲中熟練概念，仍會經歷錯誤和修正，在課堂 的講解之後，仍須在活動中反覆練習與思考，才能逐漸減少迷思概念出現的次 數。當學童為迷思概念爭執不休時，引領她們回顧分組計數盤子模型以及「倍」
的語言，必須經過這樣強調概念的折返過程來協助學童找出正確的單位量，遊戲 才更能反映出數學教學的意味。要求學童的回饋以確定學習的成效，除了立即察
覺教學缺失外，也能幫助更多學童在教學當下理解教學的內容，這樣可以兼顧教 學活動的意義與趣味性。九年一貫課程以「連結」為核心（鍾靜，2005），個人 在研究中發現情境、文字與算式的聯結確實不如想像中容易，即使在教學中已經 盡可能以似真情境引入，也不能確保學童認同或感受到情境與文字題的聯結，學 童仍然需要經過許多次情境的抽象，才能由情境中「看見」乘法的概念。
許多文獻皆認為，由於學童需要具備發表、討論、發問、傾聽的能力才能在 課堂中進行討論，因此討論活動在低年級教學中較難發揮。個人在研究中嘗試讓 學童進行討論，一開始要讓從未接觸過討論的學童進行討論確實經歷了混亂的場 面，以致於個人必須中斷討論，先與學童溝通討論的模式。此時教師一方面需要 進行教室管理同時又要努力降低身份的權威，使氣氛開放自由，除了藉機指導學 生說話的技巧，也要隨時注意學童的發言是否偏離主題，並破除學童等待個人給 答案的依賴性。這些都讓個人感受到自己發問、討論技巧的不足。幸而經過一段 時間的嘗試，個人與學童在教學相長中逐漸建立起班級討論的模式，學童在討論 辯證的過程中能夠自發學習，在意見交流之時彼此都能「多考慮一點」，並逐漸 脫離「等老師教我做」的思考模式。在學童學習的過程中，個人也由主導者逐漸 退居鼓勵、輔助或適時接續的輔導者。而且，在建立概念初期大多數的學童概念 尚未清晰或熟練時，使用團體討論可以幫助大多數的學童藉由觀察、思考與模仿 來建立概念；當學童有了初步的概念之後，則可以利用分組討論的方式使小組中 的每一個成員都有發言的機會，個人也可以比較仔細地觀察學童在小組互動中的 表現，從而得知學童的理解程度。不論是哪一種模式的討論，當教師將自主權交 給小二學童之前都應特別注意「溝通」，使學童清楚地明白活動的方式和目標而 有所依循。這是因為，低年級的學童特別需要教師的協助和支持，所以明確表達 的能力和信心在大班教學的過程就應該先培養。個人在傾聽學童的過程中，深深 驚訝於學童的想法其實不若個人想像中的簡單，許多在學童 ZPD 之內的事情是 個人和學童本身都沒有察覺的，多鼓勵或肯定學童的成就，會讓他們更有自信，
更願意表達出想法並相互激盪出學習的潛能。
除了說故事與遊戲、討論的主持技巧之外，常態分班中教學活動設計要同時 適合高成就與低成就學童，難易度的拿捏也考驗著教師的智慧。例如個人想要加 強學童的思考和表達，但是在大班教學下回答的都是「會的」學童，其他學童可 能需要反覆的練習，甚至是一對一的練習，才能理解。因此，個人先確定大多數 人都理解，再利用比賽的方式提升挑戰性讓學童積極參與，由於注意力的集中以 及同儕的推動，幫助低成就學童學習更具成效，亦即可以依照雙峰式活動設計曲 線（桂景星，1990）來安排課程的內容，讓教學活動經由 Level 1、Level 2 以及 在Level 3 經歷熱烈的活動高峰，如此設計兩循環的教學活動之後在氣氛的最高 點完成該單元的教學，這樣應該比較能同時兼顧高低成就學童的學習。即使個人 已經竭盡所能地想要幫助全班的學童都達到乘法思考的目標，但是在個案晤談中 卻發現S03 和 S23 的案例，似乎在四個核心構念的架構中再怎麼折返也無法有效 改善其思考模式。個人發現，若以具體物輔助S23 可以逐漸幫助她思考，但是在 對S03 多次的晤談中卻似乎並沒有觀察到他有持續改善的情形。Piaget 曾說，兒 童的思考模式在任一階段皆異於成人，只有配合兒童認知發展水準的教學才能發 揮效果（邱上真，2003）。預擬的四個核心構念雖然對絕大部分的學童有正面的 教學效果，但是，個人可能一直沒有找到啟發S03 乘法概念的關鍵點，因此，如 何再次協助這個個案的乘法概念學習仍是一個值得思索的問題。
在概念問卷的客觀相等(objective equivalence)之外，個人也利用晤談的彈性 特質，在與學童的互動中盡可能建立主觀相等(subjective equivalence)的氣氛。如 同在Piaget 數量保留實驗中，孩子可能誤解「較多」為長度而非數目；許多文獻 中可以發現，研究者經常會詢問學童「2×7 和 7×2 一樣嗎？」，並依學童回答「一 樣」或「不一樣」來斷定學童的概念是否正確，然而，當研究者心中的「一樣」
指的是「意義（單位量）是否相同」時，學童所想像的「一樣」卻通常是「答案
都是14」。個人最初也犯了這個錯誤，但是隨著對個案學童的觀察，漸漸領悟到 教師語言的精確度對晤談的重要，如果問的是「2×7 和 7×2 意思一樣嗎？」學童 可能就會察覺不能以答案相同的「一樣」來回應了。個人的晤談技巧在此次行動 研究中不斷地自行修正，尤其是學習等待、聆聽以及思考如何適時提問；雖然個 人在事前已經準備好要問的問題，並且預估學童的某些反應以及因應之道，也為 學童在個人意料之外的反應做好完整蒐集資料的準備，但是，仍然有過很久之後 才領悟的懊惱。例如在組合問題「如果你有紅色、黃色、白色3 件上衣，和藍色、
黑色2 條長褲，不管什麼顏色的上衣和褲子都可以互相搭配，那麼：共可以搭配 成幾種不一樣的外出服？」晤談時，個人將學童以 1+1+1+1+1+1 解題者歸類於 層次1，認為學童是一個一個數出答案來的。但若當時繼續追問「有沒有不同的 列式方式」，是否可以更加明確地判斷出兩種結果：（1）學童回答「2+4=6」，則 可能無法回答出「2 代表什麼？4 代表什麼？」，顯示學童在組合問題中尚無法以 分組計數或乘法來處理，只是應個人要求湊出答案是 6 的算式；（2）學童回答
「3+3=6」，則可追問「3 代表什麼？」，或許學童接下來便能自行列出乘法算式。
然而當時卻沒有想到還可以繼續追問下去，可見個人的晤談知識和技巧尚有改進 的空間，幸好當時還有後一次的晤談可以彌補。這樣的行動研究讓個人的課堂教 學有更多反思與改進的機會。教師語言的精確，和晤談有多大的「可能性」？都 需要經驗的累積，所以教學體會需要有意圖地、系統化的記錄和蒐集。
在這次研究之後，回想起過去教學中若遇到學童發生錯誤時，個人再次說明 的方式可能和原來的教學相差無幾，在測驗中發現學童依然不會也只是皺著眉頭 說「哎呀！怎麼又錯了？」，隨著教學進度的安排，時間過了該單元也就過去了，
沒有深入去探討該單元學童的錯誤應如何矯正。有些容易發生錯誤的單元，在年 復一年的教學後可能有些心得，才會對教學有較大幅度的修正。如同Carpenter et al. （1988）進行有關教師教學內容知識以及教師知識和學生成就關聯的研究發 現：教師能區別問題的型式，但不能體認問題型式之間的難度差異；能判斷學生
使用的策略，但未必能預測學生的策略；利用學生的成就可以預測其解題能力，
卻不能預測使用的策略；不瞭解部分加減法內涵，也沒有適當地組織加減法知 識，而且似乎不認為問題形式（problem types）、解題策略以及不同形式問題的 困難度之間互有關聯。因此，數學知識及學生知識的不足造成教學層次的迷思。
個人雖然畫出○○○圖形進行教學，但是，這在過去似乎只是依樣畫葫蘆，並未刻 意強調「一組」的概念；在本次的教學中，雖然時時回顧分組計數的盤子模型，
但是，在深入探討文獻之前並不明白在寫出算式之後「說明3×5=15 中，等式的 左邊是3 有 5 個○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○○，右邊是1 有 15 個○○○○○○○○○○○○○○○」以及
「問學生這是幾個3，那是幾個 1」在單位量轉換上的重要意義，反而覺得這樣 的說明容易讓學童因為言詞的變換而混淆。然而，這是否點出單位量轉換的概念 就差教師這麼一句話？倘若缺了這臨門一腳，單位量轉換的概念可能就有待未來 的機緣巧合才得以建立了？如果教師對這一點沒有體悟，又如何能教導學生產生 概念呢？今後在教學中如果再遇到學童學習困難的情景，更應該儘快補足數學、
學生和教學的相關知識，當教師對這些相關的教學知識有了更充足的準備，或許 將更能及時掌握情境和突發事件進行有意義的教學。
