InP/InGaAsP/InGaAs雪崩光電二極體之TCAD模擬、護環效應與暗電流分析

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國立臺灣大學電機資訊學院電子工程學研究所碩士論文

Graduate Institute of Electronics Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science

National Taiwan University Master Thesis

InP/InGaAsP/InGaAs 雪崩光電二極體之 TCAD 模擬、

護環效應與暗電流分析

TCAD simulation, guard ring effect and dark current analysis of InP/InGaAsP/InGaAs avalanche photodiode

高英倫 Ying-Lun Kao

指導教授：林浩雄博士 Advisor: Hao-Hsiung Lin, Ph.D.

中華民國 109 年 1 月

January, 2020

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誌謝

短短兩年研究所讓我成長許多，在這過程中非常感謝周結學長。總是不辭辛勞地聆聽我的研究煩惱，教我怎麼適應繁忙的研究所生活，

排解研究壓力。如果不是周結學長的幫助，我可能到碩二都很難進入狀況，所以真的是非常感謝周結學長的熱心協助。另外也要感謝志騰，

經常很有耐心地跟我討論許多元件物理問題，經常帶給我很大的啟發。在你畢業後，有很多研究心得不再好與你分享，少了一位這麼好的研究夥伴真是可惜。非常感謝你過去這一年來的協助與陪伴。感謝良軒教我怎麼量測元件，沒有你的無私分享，我實在沒辦法量測這麼多元件，所以真的很感謝你。最後是朝政學長。如果不是你幫我設定好 TCAD 模型，我很可能還在摸索階段中。也感謝你非常有耐心地教我很多東西，實在是非常感謝、感激不盡。

再來是很感謝林浩雄教授的指導，提供我 TCAD 相關的研究主題，

讓我能夠發揮物理專長以及培養對程式能力，以及教我怎麼在有限的時間內，尋找有價值的參考文獻與研究題材，盡可能做出有價值的研究。這種風險管理的精神是非常抽象的，所以非常感謝教授給我機會學習磨煉。感謝顏叔叔與顏阿姨，沒有您們的經濟支柱，在這兩年，

每個月提供我一萬五的生活費，我是沒有辦法在僅有兩位家教的情況下，專心學習做研究的。您們真的是我這輩子的恩人，真的是千言萬語說不盡感激之情。最後是感謝我的女友，文芳。沒有妳的陪伴與關心，我沒辦法在這兩年克服許多研究上的挑戰，學到許多艱澀的學問。謝謝妳的不離不棄，在我需要妳的時候，都待在我的身邊，謝謝妳。

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摘要

光偵測器的關鍵特性就在於其足夠小的暗電流與光電流增益。對於前者，我們需要了解暗電流成因以設計足夠小暗電流的元件。對於後者，由於 SAGCM 平面結構之雪崩光電二極體很可能發生邊緣崩潰，

降低元件增益。因此，我們需要設計護環（Guard ring）以抑制邊緣崩潰。

為了研究雪崩光電二極體之暗電流成因，本研究首先藉由推演其暗電流成因理論，包括能帶穿隧效應（band-to-band tunneling）與缺陷輔助穿隧效應（trap-assisted tunneling），研究其理論參數之物理意義。

並推導出能用以擬合 Hurkx 缺陷輔助穿隧模型的擬合公式，以了解暗電流成因。接著再藉由半導體工藝模擬軟體（Sentaurus TCAD）建立其物理模型以設計具有最小暗電流之磊晶結構。最後，我們設計了多種護環結構以研究護環效應，包括與中央區接觸的側護環（Attached Guard Ring，AGR），以及不與其接觸的懸護環（Floating Guard Ring，

FGR）。

藉由樣品分析，我們發現擴散開口越大者，鋅擴散越淺。較深的側護環元件，有著較大的元件增益與崩潰電壓，也就越能抑制邊緣崩潰。懸護環離側護環越近，增益越小，越無法抑制邊緣崩潰。我們也分析了部分元件之異常電性，提出了會造成提前擊穿、漏電流與崩潰前之降電流等現象之模型。

關鍵字：雪崩光電二極體、護環、暗電流、能井輔助穿隧、能帶穿隧

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Abstract

The key characteristics of photodetector is sufficiently small dark current and large gain. For the former, we need to understand the origin of dark current. For the latter, since it is very likely that the planar SAGCM APD has edge breakdown and thus has smaller gain, we need to design guard ring to supress edge breakdown.

To investigate the origin of dark current, we first derive the dominant dark current mechanisms, including band-to-band tunneling and trap-assisted tunneling. Then we could understand the physics meaning of their modeling parameters. For trap-assisted tunneling, we derive the Hurkx model and the corresponding fitting formula. Second, we use Sentaurus TCAD to simulate the avalanche photodiode, establishing the epitaxial structure which has small enough dark current. Finally, we design various guard ring structures to investigate its effects, including attached guard ring (AGR) and floating guard ring (FGR).

It is found that the larger the diffusion window is, the shallower the diffusion depth is. Deeper attached guard ring has higher gain and breakdown voltage, and thus suppressing edge breakdown. The closer floating guard ring has lower gain. We also analyze the anomalous I-V characteristics and propose the advanced punch through, surface leakage and guard-ring punch through models.

Keywords: Avalanche photodiode、Guard ring、Dark current、Trap- assisted tunneling、Band-to-band tunneling

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List of Figures

2.1 磊晶結構示意圖 . . . 6

2.2 塔台結構與平面結構示意圖 . . . 7

2.3 Bartdorf 與 Chynoweth 設計的護環結構 . . . 7

2.4 平面—圓弧形擴散輪廓示意圖 . . . 8

2.5 用以研究邊緣曲率半徑對崩潰電壓之影響所設計的特殊結構 . . . 9

2.6 雙懸護環結構示意圖 . . . 9

3.1 鋅擴散之 SIMS 數據與 TCAD 模擬結果之比較 . . . 15

3.2 能帶穿隧之能障模型 . . . 18

3.3 簡單立方晶格的布里淵區示意圖 . . . 19

3.4 能帶穿隧再生速率分佈示意圖 . . . 22

3.5 In_0.53Ga_0.47As P⁺N 陡接面二極體之 I-V 關係 . . . 23

3.6 In_0.53Ga_0.47As P⁺N 陡接面二極體之 J /V − 1/Em 關係 . . . 23

3.7 缺陷輔助穿隧機制示意圖 (1) . . . 24

3.8 布拉赫與瓦尼爾函數空間分佈示意圖 . . . 27

3.9 缺陷輔助穿隧機制示意圖 (2) . . . 32

3.10 SRH 復合過程 . . . 33

3.11 傳導帶與價帶之能量關係示意圖 . . . 40

3.12 InP 電子分佈函數之蒙地卡羅模擬 . . . 42

3.13 InP 之等效生命期 . . . 43

3.14 InP 之原初生命期 . . . 45

3.15 Baraff 理論與 Okuto-Crowell 模型比較圖 . . . 50

3.16 Cook 與 Taguchi 之 InP 游離係數比較圖 . . . 51

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4.1 磊晶結構設計流程圖 . . . 54

4.2 In_0.53Ga_0.47As 吸收係數 . . . 57

4.3 塔台結構模擬示意圖 . . . 59

4.4 一維塔台結構之倍增層厚度與電荷層濃度設計參數 . . . 60

4.5 平面結構模擬示意圖 . . . 61

4.6 倍增層濃度、游離模型與邊緣崩潰效應 . . . 62

4.7 In_0.53Ga_0.47As 吸收層最大電場與倍增層濃度之關係 . . . 63

4.8 邊緣崩潰之增益分析切線圖 . . . 63

4.9 邊緣崩潰之增益積分比較圖 . . . 64

4.10 淺側護環電性模擬 . . . 66

4.11 深側護環電性模擬 . . . 67

4.12 側護環搭配懸護環結構模擬示意圖 . . . 68

4.13 磊晶結構設計圖 . . . 69

4.14 主動區與護環之擴散順序差異示意圖 . . . 70

4.15 護環尺寸示意圖 . . . 71

4.16 接觸電極設計圖 . . . 72

5.1 晶圓樣品圖 . . . 73

5.2 元件代碼之內外座標 . . . 74

5.3 樣品磊晶結構示意圖 . . . 74

5.4 實驗儀器 . . . 76

5.5 倍增層厚度效應：元件結構圖 . . . 77

5.6 倍增層厚度效應：擊穿電壓、崩潰電壓與倍增層厚度之模擬關係 . . 78

5.7 倍增層厚度效應：量測元件分佈圖 . . . 78

5.8 倍增層厚度效應：暗電流量測結果 . . . 79

5.9 倍增層厚度效應：暗電流量測結果對量測次序之變化 . . . 79

5.10 主動區直徑效應：側護環較淺的元件結構圖 . . . 80

5.11 主動區直徑效應：側護環較深的元件結構圖 . . . 80

5.12 主動區直徑效應：量測元件分佈圖 . . . 81

5.13 主動區直徑效應：暗電流量測結果（Y 為 4、6 與 7 區） . . . 81

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5.14 主動區直徑效應：較有參考價值的暗電流量測比較 . . . 82

5.15 主動區直徑效應：暗電流與直徑的關係（淺側護環） . . . 82

5.16 主動區直徑效應：暗電流與直徑的關係（深側護環） . . . 83

5.17 主動區直徑效應：擊穿、崩潰與降電流電壓統計圖（淺側護環） . . 83

5.18 主動區直徑效應：擊穿、崩潰與降電流電壓統計圖（深側護環） . . 84

5.19 懸護環效應：TCAD 摻質濃度與電場模擬 . . . 85

5.20 懸護環效應：TCAD 電流密度與 I-V 模擬 . . . 85

5.21 懸護環效應：擊穿、崩潰與降電流電壓分佈圖 . . . 86

5.22 懸護環效應：沒有懸護環的擴散開口效應示意圖 . . . 87

5.23 懸護環效應：不同懸護環距離造成的擴散開口效應示意圖 . . . 87

5.24 側護環深度效應：TCAD 之 I-V 模擬電性圖 . . . 88

5.25 側護環深度效應：TCAD 摻質濃度與電場模擬 . . . 88

5.26 側護環深度效應：中央電場與邊緣電場隨元件偏壓的變化 . . . 89

5.27 側護環深度效應：增益變化示意圖 . . . 89

5.28 側護環深度效應：搭配不同主動區直徑之電性比較圖 . . . 90

5.29 側護環深度效應：搭配不同懸護環距離之電性比較圖 . . . 90

5.30 側護環直徑效應：TCAD 摻質濃度與電場模擬 . . . 91

5.31 側護環直徑效應：TCAD 模擬 I-V 電性圖 . . . 91

5.32 側護環直徑效應：擊穿、崩潰與降電流電壓空間分佈圖 . . . 92

5.33 側護環直徑效應：擊穿、崩潰與降電流電壓趨勢圖 . . . 92

5.34 電極效應：電極示意圖 . . . 93

5.35 電極效應：電性比較圖 . . . 93

5.36 元件增益：元件之 PN 接面示意圖 . . . 94

5.37 元件增益：增益估算示意圖 . . . 95

5.38 元件增益：不同側護環深度之增益比較圖 . . . 96

5.39 元件增益：不同懸護環距離之增益比較圖 . . . 96

5.40 定溫擬合：100 µm 元件 . . . 99

5.41 定溫擬合：200 µm 元件 . . . 101

5.42 定溫擬合：800 µm 元件 . . . 102

(16)

5.43 變溫擬合：100 µm 元件 . . . 102

5.44 變溫擬合：100 µm 元件之崩潰電壓與原初生命期對溫度的關係 . . . 102

5.45 變溫擬合：240 µm 元件 . . . 104

5.46 變溫擬合：240 µm 元件之崩潰電壓與原初生命期對溫度的關係 . . . 104

5.47 短路元件空間分佈與電性圖 . . . 105

5.48 漏流元件空間分佈與電性圖 . . . 106

5.49 漏電流之帶電氮化物模型 . . . 106

5.50 異常電性：表面漏電流之 TCAD 模擬 I-V 圖 . . . 107

5.51 異常電性：漏流現象之 TCAD 摻質濃度與電場模擬 . . . 108

5.52 異常電性：漏流現象之 TCAD 電流密度與電子濃度模擬 . . . 108

5.53 異常電性：漏流現象之 TCAD 撞擊游離速率分佈模擬 . . . 108

5.54 提前擊穿元件空間分佈與電性圖 . . . 109

5.55 異常電性：提前擊穿之 I-V 模擬 . . . 109

5.56 異常電性：提前擊穿現象之 TCAD 摻質濃度 . . . 110

5.57 異常電性：提前擊穿現象之 TCAD 電場與電流密度 . . . 110

5.58 崩潰前降電流元件空間分佈與電性圖 . . . 111

5.59 崩潰前降電流之懸護環距離模擬 . . . 111

5.60 崩潰前降電流之懸護環擊穿 I-V 圖 . . . 111

5.61 崩潰前降電流之光電流成分圖 . . . 112

5.62 崩潰前降電流之電場變化 . . . 113

5.63 崩潰前降電流之撞擊游離率變化 . . . 113

5.64 崩潰前降電流之電子濃度變化 . . . 113

5.65 崩潰前降電流之電洞濃度變化 . . . 114

5.66 崩潰前降電流之電子速度變化 . . . 114

5.67 崩潰前降電流之電洞速度變化 . . . 114

5.68 鹵素光源之功率頻譜量測 . . . 115

5.69 雪崩光電二極體之倍增示意圖 . . . 116

5.70 雪崩光電二極體之增益計算 . . . 117

5.71 量子效率頻譜 . . . 118

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List of Tables

3.1 費米擴散模型參數 . . . 15

3.2 能帶穿隧模型參數 . . . 20

3.3 能帶穿隧模型擬合參數 . . . 22

3.4 缺陷輔助穿隧模型參數 . . . 38

3.5 Scharfetter 生命期模型參數 . . . 46

3.6 InP 撞擊游離模型參數 (1) . . . 48

3.7 In_0.53Ga_0.47As 撞擊游離模型參數 . . . 48

3.8 In0.89Ga0.11As0.74P0.26撞擊游離模型參數 . . . 49

3.9 InP 之 Baraff 撞擊游離理論參數 . . . 49

3.10 InP 之撞擊游離模型參數 (2) . . . 50

4.1 磊晶結構設計參數 . . . 64

5.1 元件設計表 . . . 75

5.2 100 µm 元件之 TCAD 擬合參數 . . . 100

5.3 200 µm 與 800 µm 元件之 TCAD 擬合參數 . . . 101

5.4 變溫擬合：#T-APD 磊晶結構 . . . 103

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Chapter 1 緒論

1.1 研究背景

近年興起了人工智慧的風潮，人們對於自駕車、無人機等任何關於人工智慧的科技應用都甚感興趣，對於國防軍事工業而言亦是如此，而其中一個用以獲取外在環境訊息的關鍵科技即光學雷達（light detection and ranging，Lidar）。由於光學雷達具有極高解析度，能夠偵測相當微弱的光源，所以除了能夠用在自駕車中的行人與障礙物偵測 [1]，也能用在軍事國防領域中的地形探測 [2][3]、衛星雷射測距 [4][5] 與自然環境參數測量 [6] 等需要高解析度成像的場合。雖然雷達

（radio detection and ranging，Radar）也是使用電磁波測距離，但由於光學雷達是使用極短的脈衝波，所以其解析度比使用無線電波的雷達更高出許多。因此，作為光學雷達之光感測器的雪崩光電二極體（avalanche photodiode，APD）就格外受重視 [7]。而除了光學雷達會使用到雪崩光電二極體以外，舉凡像是量子密碼學

（quantum cryptography） [8]、時間解析光譜儀（time-resolved spectroscopy） [9] 等領域也都會用到雪崩光電二極體。

1.2 研究動機

由於市場對於解析度要求越來越高，而光偵測器的核心概念就是藉由照光前後之劇烈電流變化，以作為測光判准。因此，倘若尚未照光時之暗電流太大，那麼就會降低該光偵測器的解析度。換言之，雪崩光電二極體的暗電流成因始終是

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人們所感興趣的議題。本論文的研究重點即為 SAGCM 分離式結構（Separated- absorption-grading-charge-multiplication，SAGCM）的 InP/InGaAsP/In_0.53Ga_0.47As 雪崩光電二極體之暗電流成因。而在諸多暗電流成因中，最重要的不外乎是缺陷輔助穿隧電流（trap-assisted tunneling，TAT）、能帶穿隧電流（band-to-band tunneling）

與崩潰電流（avalanche generation）。然而，常見的雪崩光電二極體 Hurkx TAT 電流模型含有物理意義不明的等效穿隧質量參數 [10]。而即便了解其意義，目前也缺乏將實驗數據對此模型擬合的方法，畢竟其中還涉及與製程環境密切相關的 SRH 生命期（lifetime）參數，所以並不容易用此模型解釋元件電流成因。此外，

常見的吸收層臨界電場是基於缺乏電荷層之 SAM 分離式結構所計算得來的 [11]，

而這並不見得適用於我們採用的 SAGCM 結構。

最後，雖然平面結構之 SAGCM-APD 有著護環（guard ring）設計，而能使元件於中央區崩潰以放大光訊號，但是護環設計相當困難，且現有文獻大多沒有提及更多關於護環設計細節。

1.3 研究目的

我希望能確認，在 Hurkx 缺陷輔助穿隧效應模型中，穿隧等效質量之物理意義，提出用以找出 Hurkx 模型參數之擬合公式，並針對 SAGCM 結構之雪崩光電二極體提出能夠將能帶穿隧電流壓抑地足夠低的設計方法與結構參數。最後再藉我們設計的各種擴散輪廓、光罩圖樣元件，進行電性分析並試著統整歸納出最佳護環設計條件。

1.4 研究方法

由於 TAT 電流與製程條件有關，所以沒辦法事先模擬並找出正確參數。因此，為了設計暗電流足夠小的元件，本研究將先以能相對較確定的能帶穿隧效應出發。首先藉現有實驗數據 [11] 找到較可靠的能帶穿隧模型參數，接著使用 Sentaurus TCAD 模擬元件電性，以尋找最佳設計參數。再按照 Hurkx 模型的發展脈絡 [10]，從等效質量近似（Effective-mass approximation）理論出發，探求其穿隧質量之物理意義。並且將 Hurkx 提出的電流模型，改寫為適合我們用來擬合的

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數學形式，並代入上述推得的等效質量，由最小平方法擬合我們元件的 I-V 實驗數據，求得最佳擬合的缺陷能井（trap level）與 SRH 生命期參數。最後，我們也設計了幾種不同的護環結構，希望藉由擊穿電壓與崩潰電壓對護環構造之變化，

尋找最有效的護環結構。

1.5 論文架構

第一章概述了研究動機與目的，第二章將說明 APD 的結構發展脈絡、暗電流成因討論與名詞解釋。第三章將詳細說明於 Sentaurus TCAD 半導體元件工藝模擬軟體中，與 APD 電性密切相關的物理模型、設定參數、相關模擬實驗以及改善模擬收斂性的方法。第四章則說明元件設計與尋找最佳結構的方法。第五章則是樣品量測分析，包含樣品結構、I-V 電性分析等。

1.6 名詞解釋

1. 主動區：Active region，即外加偏壓控制的元件中央區。

2. 護環：Guard ring，用以抑制邊緣崩潰之擴散結構。

3. 懸護環：Floating guard ring，與主動區沒有接觸的護環。

4. 側護環：Attached guard ring，與主動區互相接觸的護環。

5. 陡接面：Abrupt junction，在本論文中是指如 P⁺-N 之二極體接面。

6. 禁帶：Forbidden region，指半導體能帶圖中，位於價帶與傳導帶之間的區域。

7. 能井：Trap level，是指摻質（impurity）在禁帶中產生的能階。

8. 缺陷輔助穿隧：Trap-assisted tunneling，在本論文中是指 Hurkx 提出的 Trap- assisted tunneling 模型 [10]。

9. 能帶穿隧：Band-to-band tunneling，與缺陷輔助穿隧並不同。能帶穿隧是直接由價帶穿隧至傳導帶，中間並沒有經過缺陷能井（trap level）的協助。

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10. 刃差排：edge dislocation。若有個晶面並非延伸整個晶體，而是終止於某條線上，那麼這種不規則排列即被稱為刃差排。

11. 原初生命期：即在常溫 300 K ，半導體內部沒有電場時的 SRH 生命期，用 以區別受電場影響所變化之 SRH 生命期，即下式中的 τp0、τn0。

R_SRH = np− n²_i

τp0

1+Γp(n + n₁) + _1+Γ^τⁿ⁰

n(p + p₁) (1.1) 12. 加速度等效質量：acceleration effective-mass，用以區分其他的等效質量定 義 [12]。具體而言，對於受到外力 F ≡ ℏ˙k 之電子波包（wave packet） [13]，

其加速度之第 i 個分量為

a_i = dv_i dt = d

dt (1

ℏ

∂ε

∂ki

)

=∑

j

1 ℏ

∂²ε

∂ki∂kj

˙kj =∑

j

1 ℏ²

∂²ε

∂ki∂kj

F_j (1.2)

其中，加速度等效質量之反矩陣元素 (m⁻¹)_ij 為 (1

m )

ij

≡ 1 ℏ²

∂²ε

∂ki∂kj

(1.3)

由於 (m⁻¹)_ij 是來自外力與加速度之比例關系，所以稱之為加速度等效質量。

(23)

Chapter 2 文獻回顧

2.1 元件結構

2.1.1 磊晶結構

在各種光波波長中，由於 1550 nm 波長對人眼較為安全（retina-safe）[14][15]，

以及在光纖通訊時，相較於因 Al_xGa₁_−xAs 雷射而使用的 800-900 nm 波長，1550 nm 光訊號更不易在光纖中衰退 [16]，所以大多數光偵測器都偏好使用能吸收 1550 nm 波長的 In_0.53Ga_0.47As 作為吸光物質。為了偵測到極微弱的光源，甚至是偵測到單顆光子，我們需要藉由載子的撞擊游離現象（impact ionization）產生雪崩效應（avalanche breakdown）以放大極微弱入射光產生之極微弱光電流。因此，

In0.53Ga0.47As 需要有足夠強的電場，如此載子才能快速地由電場獲得足夠能量以撞擊游離出新的電子電洞對 [17]，這種奠基於晶格動量守恆與能量守恆所計算得到的成功撞擊游離前之載子能量即被稱為閾值能量（threshold energy） [17][18]。

然而，因為訊號強度與元件之光電流與暗電流的電流差值正相關 [19]，因此假如 In_0.53Ga_0.47As 電場太大，那麼很可能會因能帶穿隧效應而產生顯著暗電流 [20][11]，從而降低訊號辨識度。因此，為了在保有 In_0.53Ga_0.47As 足夠低電場的同時，仍能產生顯著撞擊游離效應，人們陸續提出將負責藉由撞擊游離效應以放大微弱光電流的倍增區與負責吸收 1550 nm 光波的吸收區分離的結構，稱為 SAM 分離式雪崩光電二極體（Separated-absorption-multiplication avalanche photodiode，

SAM-APD） [19][21][22][23]，如圖（2.1a）。基本上人們仍採用 In_0.53Ga_0.47As 作

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為吸收層，但是將發生雪崩效應的區域改為在與 In_0.53Ga_0.47As 晶格匹配（lattice- matched）的 InP 上，並在這兩層中間夾帶一具有高摻質濃度的電荷層（charge layer）以將吸收層的高電場降得足夠低，以減少其能帶穿隧效應，因此又有人將此結構稱之為 InP/InGaAs SACM-APD。由於 InP 能隙較大，所以其穿隧效應相對雪崩效應較為不顯著，如此一來就能解決暗電流太大的問題。不過由於 InP 與 In_0.53Ga_0.47As 之價帶並不連續，所以電洞會累積在 InP/In_0.53Ga_0.47As 的異質接面上 [24]，反而減少了元件頻寬。因此，為了減緩限制了元件頻寬的電洞積累現象，Forrest [24]、Matsushima [25][26]、Yasuda [27] 與 Campbell [28] 等人提出了在 InP 與 In_0.53Ga_0.47As 之間夾帶一層漸變層（grading layer）的想法，基本上這層漸變層是由 In₁_−xGa_xAs_yP₁_−y 化合物半導體組成，其能隙介於 InP 的寬能隙與 In_0.53Ga_0.47As 的窄能隙之間，而這種結構就被進一步稱為 InP/InGaAsP/InGaAs SAGCM-APD，如圖（2.1b）。現今的 1550 nm 雪崩光電二極體結構大多是以 InP/InGaAsP/InGaAs SAGCM-APD 為雛形去進一步改良而成的。

(a) SAM 磊晶結構

(b) SAGCM 磊晶結構 Figure 2.1: 磊晶結構示意圖

2.1.2 平面結構

除了內部磊晶結構，APD 又可根據其外形分為塔台（mesa）與平面（planar）

兩種結構，如下圖（2.2）所示。根據 [29]，塔台結構非常不適合用在實際元件操作上，具體原因為塔台結構在 PN 接面周圍有顯著漏電流，而且可靠度較低 [30]，

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因此現今大多都是採用平面結構，而本研究也採用平面結構。

(a) 塔台結構 (b) 平面結構

Figure 2.2: 塔台結構與平面結構示意圖

2.1.3 護環結構

Chynoweth 等人 [31] 於 1956 年發現，PN 矽二極體在高逆偏時所發生的雪崩效應，並非均勻地發生在 PN 接面上，反而是發生在許多個微小的亮點上，此現象在當時被稱為微電漿現象（microplasma）。而之所以會有亮點，是因為該元件有顯著的輻射復合效應（radiative recombination effect）。在 1958 年，Chynoweth 與 Pearson [32] 解釋了上述這些崩潰亮點通常發生在刃差排（edge dislocation）

上，並且發現到，即便 PN 接面處並沒有任何的差排，那麼崩潰效應也不會發生在均勻接面上，而是會發生在接面的邊緣。而只有當 PN 接面不僅沒有刃差排，也沒有邊緣區時，元件才會均勻地在 PN 接面處發生崩潰。隨後，Bartdorf 與 Chynoweth [33] 於 1960 年利用低摻雜區作出了具有護環（Guard ring）的二極體結 構，以去除邊緣崩潰現象，如圖（2.3）所示，其中的 π 區域即為低摻雜區。

Figure 2.3: Bartdorf 與 Chynoweth 設計的護環結構 [33]

(26)

對於雪崩光電二極體而言，之所以希望崩潰效應發生在中央區，是由於邊緣崩潰會使元件在提高偏壓時，光電流增益最多不超過 6，使得雪崩光電二極體沒辦法顯著放大光電流 [30]。因此倘若要使雪崩光電二極體發揮其放大光訊號的功能，那麼就一定得設計護環以降低邊緣區電場。一個理想的情況是，邊緣崩潰電壓比中央崩潰電壓還要高，如此一來我們就不需擔心邊緣崩潰，也就不需要設計護環。

然而在 1965 年，Gibbons 與 Kocsis [34] 即提到平面結構崩潰電壓往往都比塔台結構來得小，其中一個可能就是平面結構的邊緣崩潰電壓比中央崩潰電壓來得小，而塔台結構之崩潰電壓即平面結構之中央區崩潰電壓，所以平面結構在中央區發生崩潰之前，其邊緣區就已經先崩潰了。對此，Armstrong、Gibbons、Kocsis 與 Sze 等人也陸續討論了邊緣擴散輪廓的曲率半徑與摻質濃度對崩潰電壓的影響 [34][35][36]。他們假設擴散輪廓為理想的平面—圓弧形，如圖（2.4）所示。並假設在陡接面（abrupt junction）情形下，求出偏壓對中央與邊緣電場的分佈，再求出崩潰電壓隨擴散深度（邊緣區之圓弧半徑）或摻雜濃度的關係，最後得到了與實驗一致的結果。Leistiko [37] 進一步設計了兩種特殊結構用以研究曲率半徑對崩潰電壓的影響，如圖（2.5）所示。用以探討中央區擴散深度不同，但邊緣曲率半徑相同的情況下，崩潰電壓是否會有所不同，實驗結果顯示確實是邊緣曲率半徑決定了崩潰電壓。

Figure 2.4: 平面—圓弧形擴散輪廓示意圖 [34]

上述諸多分析讓我們確定邊緣崩潰的存在，因此倘若要使 APD 元件正常運作，那麼就一定得設計護環以改變邊緣區電場分佈，降低邊緣區電場，提高增

(27)

(a) 深護環結構 (b) 蝕刻面結構

Figure 2.5: 用以研究邊緣曲率半徑對崩潰電壓之影響所設計的特殊結構 [37]

益。對此，Donnelly 於 1979 年設計了特殊 p⁺− n − n⁻接面的護環結構以提升元 件增益 [38]，Ando 於 1981 年提出應該設計護環已抑制使得增益只有 5.5 的邊緣崩 潰 [30]，Shirai 於 1982 年藉由線性漸變 PN 接面護環（linearly-graded junction）與電荷層結構，將元件增益提升到 20 [39]。Liu 與 Forrest [40][41] 提出了雙懸護環結構（double floating guard ring），如圖（2.6）所示。他們發現到沒有護環的元件在崩潰時，電流爬升得比較緩（soft breakdown），由此可見護環的功用 [40]。此外他們在 [41] 進一步說明了護環原理，他們認為因為護環能夠擴展空乏區，所以才使得等電位線變得更稀疏，邊緣電場更小。然而，即便設計了兩個懸護環，其邊 緣電場 E₂ 似乎也沒有比中央電場 E_m來得小，詳見 [41] 中之圖十，因此護環設計仍不明確。綜上所述，無論如何，護環結構都是使平面結構之雪崩光電二極體正常運作的關鍵，所以本研究也設計了幾種護環結構加以分析，將在第4、5章進一步說明之。

Figure 2.6: 雙懸護環結構示意圖 [41]

(28)

2.2 暗電流成因

對於當前主流雪崩光電二極體的 SAGCM 分離式結構而言，能帶穿隧電流

（band-to-band tunneling）已不再是最重要的因素，反而是先前被忽略的熱效應開始扮演起關鍵角色 [42]。因此為了持續降低暗電流，我們需要進一步研究熱效應產生的電流來源。雖然 Shockley [43] 等人早在 1952 年就提出電子經由缺陷能井從價帶跳躍至傳導帶的 SRH 復合效應（SRH recombination），但基於崩潰需求，

InP 需要處在強電場中，並且 In_0.53Ga_0.47As 能隙（band gap）並不大，因此並不能排除電子在從缺陷能井跳躍至傳導帶的過程中，直接向旁邊穿隧至傳導帶的可能性 [44]，即所謂的缺陷輔助穿隧效應（Trap-assisted tunneling，TAT）。因此，

Hurkx [10] 在 1989 年提出了基於 SRH 復合效應且便於數值模擬的 TAT 模型，說明電場造成的缺陷輔助穿隧效應相當於縮短了 SRH 復合生命期（field-enhanced SRH lifetime），即增強了 SRH 復合效應。

然而，Hurkx 沒有在文中完整交待其模型的推導過程，並提及他並不清楚此穿隧質量應該帶多少的值，只知道 0.2 似乎是最佳選擇 [10]，這使得人們對於其模型該採用多少的穿隧質量似乎沒有共識。就我目前所知，只有在 X. Ji [45] 提及他對 In_0.78Ga_0.22As 採用了 0.03 的等效質量以代入 Hurkx TAT 模型，至於 InP 則沒有找到相關文獻。我將在第3.3節推導其理論，以確定其等效穿隧質量之物理意義。

除了等效穿隧質量以外，材料的缺陷能井（trap level）與生命期也是 Hurkx TAT 模型中的必要參數，但目前關於從元件 I-V 電性推算缺陷能井的方法似乎仍僅能在假設沒有 TAT 效應的前提下，將暗電流對溫度倒數作圖並求其斜率，藉此得到缺陷能井 [46]，隨後再將其代入含有 TAT 效應的模型中，而這顯然是不一致的做法，甚至此斜率可能也是元件偏壓的函數，從而無法決定究竟該使用哪個偏壓下的擬合斜率。又因為 SRH 生命期相當難以測量，比較可靠的方法是使用數值模擬的方式 [47]，再加上 SRH 生命期跟該製程造成的缺陷濃度密切相關，所以 SRH 生命期的選擇也造成了使用 Hurkx TAT 模型的困難。事實上，Hurkx [48] 在 1992 年就有整理出適合用於擬合並求出缺陷能井與 SRH 生命期的公式雛型，只不過似乎從來沒有被人拿來改寫並使用。對此，我會在樣品分析之第5.3.1節推導其擬合公式並討論之。

最後，雖然當前採用之 SAGCM 分離式結構之能帶穿隧效應較小，但若需

(29)

要有著足夠小的暗電流，那麼仍需要針對選定的其他磊晶層之厚度與濃度，設計合適的電荷層濃度，以將吸收層電場降得足夠低，使能帶穿隧電流足夠小。

許多文獻 [16] 採用的吸收層 200 kV/cm 臨界電場是基於 Ando [11] 於 1980 年的分析。Ando 先設計了多種 N 型摻質濃度的 In0.53Ga0.47As 的 P⁺-N 二極體，並藉能帶穿隧模型公式驗證 In0.53Ga0.47As 之暗電流來自能帶穿隧效應。接著再設計 InP/In_0.53Ga_0.47As SAM-APD，並指出因為 InP 崩潰所需電場都相同，所以 InP 無可避免地造成了幾乎不隨 In_0.53Ga_0.47As 中之 N 型摻質濃度變化的能帶穿隧電流，因此倘若要使 InP/In_0.53Ga_0.47As SAM 結構有最小的暗電流，那麼就必須讓 In_0.53Ga_0.47As 有著比 InP 還要小的能帶穿隧電流，藉此發現只有在 In_0.53Ga_0.47As 電場小於 200 kV/cm 時才會滿足此條件。然而，由於我們採用的 SAGCM 結構裡比 SAM 結構多了一層電荷層（charge layer），所以 Ando 提出的 200 kV/cm 最大吸收層電場並不見得適用我們的 SAGCM 結構，我將在元件模擬之第3.2節說明針對 SAGCM 結構的能帶穿隧電流分析。

(30)

(31)

Chapter 3 元件模擬

我們使用的模擬軟體為由國家半導體研究中心（Taiwan Semiconductor Research Institute，TSRI）贊助的 Synopsys Sentaurus 半導體工藝與元件模擬軟體（Technology Computer Aided Design，TCAD）。本章將介紹對於雪崩光電二極體而言最為重要的電性模型之理論與參數，包含了鋅擴散、能帶穿隧效應、缺陷輔助穿隧效應與游離撞擊效應。

3.1 鋅擴散模型

常見擴散現象學模型（phenomenological model）為菲克定律（Fick’s law）。根據質量守恆定律，倘若沒有任何化學反應，那麼下式恆成立：

∂C

∂t +∇ · J = 0 (3.1)

其中，C 為物質濃度（cm⁻³），J 為擴散通量（diffusion flux），為單位面積的擴散 速率，單位為 (cm⁻³/s)/cm²，可使用菲克第一定律描述之：

J =−D∇C (3.2)

(32)

其中，D 為擴散率（diffusivity），單位為 cm²/s。因此我們可將方程式（3.2）代入方程式（3.1）中，即可得到廣義的——擴散率並非定值的——菲克第二定律：

∂C

∂t =∇ · (D∇C) (3.3)

根據對現有磊晶廠的認識，原則上是以擴散的方式於 InP 中摻雜鋅（Zn）

原子。目前已有不少文獻探討鋅在 InP 中的擴散機制 [49] 及其 SIMS 量測結果 [50][51]。根據 [49]，由於鋅擴散屬於所謂的為間隙—空位缺陷（interstitial- substitutional）機制，使其擴散率與載子濃度有關，因此，TCAD 中代表常數擴散率的常數模型（constant model） [52] 即不適用，於是我們選擇了考慮擴散率與載 子濃度關係的費米模型（Fermi model）[51][52]。由於摻質 A 可能有著不同的價 電子數 c 的點缺陷活化態（active state），而每種點缺陷活化態又都對擴散速率

∂C_A/∂t 都有所貢獻，因此，倘若該價電子數 z 之摻質 A 是以點缺陷 X（空位缺陷或間隙缺陷）之型態嵌入該半導體晶格中，並且當此點缺陷被活化（active）時 帶有價電子數 c，那麼代表菲克第二定律的方程式（3.3）即改寫為：

∂C_A

∂t =∇ · (∑

X,c

D_AX^c∇CA^z

)

(3.4)

其中 D_AX^c 為此摻質 A 在該半導體中的等效擴散常數，C_A^z 為價電子數 z 之摻質 A 對擴散貢獻的等效濃度，兩者依序為：

D_AX^c ≡ D⁰AX^cexp (

−D_AX^E c

kT

) (n n_i

)_−c−z

(3.5)

C_A^z ≡ CA⁺

(n n_i

)z

(3.6) 其中，n 為半導體中之電子濃度，n_i 為半導體本質濃度（intrinsic concentration），

D_AX⁰ c 與 D_AX^E c 為等效擴散率 D_AX^c 對溫度 T 的阿瑞尼士模型參數。將方程式

（3.5）與（3.6）代入（3.4）後，即可得到 TCAD 中的費米模型數學形式：

∂C_A

∂t =∇ · {∑

X,c

D_AX⁰ cexp (

−D^E_AXc

kT

) (n n_i

)_−c−z

∇ [

C_A⁺ (n

n_i )z]}

(3.7)

(33)

至於 C_A⁺ 則為被活化的摻質濃度，我們選擇 TCAD 中的固體模型（solid model）

[50][52] 以描述其與固體溶解度 C_A^SS、總摻質濃度 C_A之關係：

C_A⁺ =

C_A^SSC_A

C_A^SS+ C_A ; C_A^SS ≡ CA,0^SS exp (

−E_A kT

)

(3.8)

其中，C_A,0^SS 與 E_A 則為固體溶解度 C_A^SS 對溫度 T 之阿瑞尼士模型參數。上述提 及之模型參數均列於表（3.1），其模擬結果與 SIMS 數據之比較如圖（3.1）所示 [51]。

Table 3.1: 費米擴散模型參數

參數參考文獻

z 2

c 1 [51]

C_A,0^SS(cm⁻³) 1.4× 10²⁵ [50]

E_A(eV) 0.92 [50]

D_AX⁰ c(cm²/s) 10⁻³ [51]

D_AX^E c(eV) 1.75 [51]

Figure 3.1: 鋅擴散之 SIMS 數據與 TCAD 模擬結果之比較

(34)

3.2 能帶穿隧模型

在 SAM-APD 中，能帶穿隧（band-to-band tunneling）被視為暗電流主要來源 [20][53]，因此許多學者提出足以抑制能帶穿隧電流的 APD 結構 [11][42][54][55][56]，

其關鍵在於降低吸收層電場。根據 [57]，倘若空乏區電場不隨位置變化，那麼陡 接面二極體之能帶穿隧電流密度 J 與元件偏壓 V 就有著如下簡單的關係：

J = cqV E_mexp (

−B^′ E_m

)

(3.9)

其中，q 為基本電量，Em為空乏區內之最大電場，c、B^′ 為與能隙 εg、穿隧質量 m^∗ 有關的常數。此方程式的好處在於能夠藉由作 log(J/V )− 1/Em 圖，由斜率與 截距求出係數 c 與 B^′，驗證此電流為能帶穿隧電流 [58]。然而，因為 TCAD 是依據連續方程式模擬載子電流，

∂n

∂t = 1

q∇ · ⃗Jn+ G_net,n

∂p

∂t =−1

q∇ · ⃗Jp+ G_net,p

(3.10)

所以能帶穿隧效應僅能以載子再生速率（generation rate）的形式代入模擬 [59]，

單位為 cm⁻³s⁻¹。在 Sentaurus TCAD 中，此模型名為 Simple model：

G = AE^P exp (

−B E

)

(3.11)

因此，即便是陡接面結構，也無法將方程式（3.9）直接運用在數值模擬中。接下 來我將推導方程式（3.11），再求出能夠用以擬合 A、B 與 P 的方程式（3.9）。

3.2.1 理論

由於電場具有方向性，所以我們能夠將電子能量依照晶格動量 k 平行與垂直 穿隧的分量區分為 ε_⊥≡ ℏ²k_⊥²/2m^∗、ε_∥ ≡ ℏ²k_∥²/2m^∗，

ε = ε_∥+ ε_⊥= ℏ²k²_∥

2m^∗ + ℏ²k²_⊥

2m^∗ (3.12)

(35)

其中，ε 為能帶能量，m^∗ 為諸多等效質量中的加速度等效質量（acceleration effective mass） [12]。加速度等效質量之定義為，對於受到外力 F≡ ℏ˙k 之電子波 包（wave packet） [13]，其加速度之第 i 個分量為

a_i = dv_i dt = d

dt (1

ℏ

∂ε

∂ki

)

=∑

j

1 ℏ

∂²ε

∂ki∂kj

˙kj =∑

j

1 ℏ²

∂²ε

∂ki∂kj

F_j (3.13)

其中，加速度等效質量之反矩陣元素 (m⁻¹)_ij 為 (1

m )

ij

≡ 1 ℏ²

∂²ε

∂k_i∂k_j (3.14) 在此我們進一步假設電子能量離傳導帶最低點 ε_c並不遠，因此球狀拋物之能帶關係（spherical and parabolic band）成立，此即為方程式（3.12）之基礎：

ε(k)≈ ℏ²k²

2m^∗ (3.15)

為了僅考慮外加電場對禁帶（forbidden region）造成的穿隧機率，可藉等效質量近似（Effective-mass approximation）將薛丁格方程式改寫為

− ℏ² 2m^∗

d²ϕ

dx² + U (x)ϕ(x) = ε_∥ϕ(x) (3.16) 其中，ϕ(x) 為將波函數 ψ(x) 以瓦尼爾函數（Wannier function）基底展開之係數，

詳見第3.3.1節。因此，當電場足夠大時，大量的價帶電子就能跨越禁帶中的能障，

直接穿隧至傳導帶中，其穿隧機率 P 可用 WKB 近似寫為 [60]：

P ≡ ϕ(x₂)

ϕ(x₁)

² ≈ exp [

−2

∫ _x₂

x1

√2m^∗ ℏ²

(ε_∥ − U) dx

]

(3.17)

其中，x₁ 與 x₂ 為禁帶之外的穿隧起終點。雖然禁帶中的能障形式 ε− U 並不清 楚，但 J.L.Moll 基於 E.O.Kane 對 InSb 的研究 [60][61]，推測禁帶能障應為如圖

(36)

（3.2）所示的下式：

ε− U = (ε∥+ ε_⊥)− U

=−(ε_g/2)²− ε²c

ε_g

(3.18)

其中 εg 為半導體能隙（band gap），εc為 PN 接面之傳導帶能量，即 εc = qEx，E 為電場強度。因此，禁帶起終點為 ε(x1,2)− U = 0 的位置，

x_1,2 =± 1 qE

[(ε_g 2

)2

+ ε_gε_⊥ ]1/2

(3.19)

因此，穿隧機率 P 可進一步改寫為：

P ≈ exp {

−2

∫ _x₂

x1

√ 2m^∗

ℏ²

[(ε_g/2)²− (qEx)² εg

+ ε_⊥ ]dx

}

= exp (

−πm^∗1/2ε^3/2g

2√ 2qℏE

) exp

(−ε_⊥

¯ ε

)

; ε¯≡

√2qℏE 2πm^∗1/2ε^1/2g

(3.20)

Figure 3.2: 能帶穿隧之能障模型。紅線為 U − ε∥，即位於能帶邊緣（band edge）

之電子感受到的能障；綠線則為能帶 ε。在 ε_⊥ = 0 時，能帶邊緣 x₁、 x2 即為古典物理下的轉折點（classical turning point），兩者間隔為

|x1 − x2| = εg/qE。然而倘若 ε_⊥ > 0，那麼電子在走到能帶邊緣之前，

就會先在 x^′₁ 轉折。

接著考慮其穿隧通量（tunneling flux），即每秒每單位體積中有多少電量撞擊 於穿隧起點 x1 試圖穿越該能障至傳導帶 x2，單位為 C/(cm³· s)。考慮圖（3.3）之 布里淵區（Brillouin zone），對於垂直動量介於 k_⊥與 k_⊥+ dk_⊥，且 ˙k_∥ = qE/ℏ 的

(37)

Figure 3.3: 簡單立方晶格的布里淵區示意圖 [62]，圓形為基於球狀能帶（spherical band）假設所繪製之等能量線，箭頭為穿隧方向。其中 k_x = 0 為與 k_y 獨立之轉折點（turning point），最大位能發生在|k| = 0。

電子，可得到其穿隧通量為：

Flux^k^⊥^+dk^⊥

k_⊥ ≡ lim

∆t→0q 1

∆t [

2× 1 V

k_⊥∑+dk_⊥ k_⊥

(1)× fv(ε) ]

= 2× q lim

∆t→0

1

∆t

k_⊥∑+dk_⊥ k_⊥

∆k

(2π)³ × fv(ε)

= 2q (2π)³ lim

∆t→0

∆k_∥

∆t

k_⊥∑+dk_⊥ k_⊥

∆k_⊥× fv(ε) = q²E

4π³ℏ2πk_⊥dk_⊥fv(ε)

(3.21) 其中，f_v(ε) 為價帶之費米—狄拉克分佈函數（Fermi-Dirac distribution），表示在該 能階上存在著電子之機率。再藉由 ε_⊥ = ℏ²k²_⊥/2m^∗，可以得到對於垂直能量處在 ε_⊥與 ε_⊥+ dε_⊥之電子，每單位半導體體積之穿隧通量為：

F_incident= q²Em^∗f (ε)

2π²ℏ³ dε_⊥ (3.22) 接著考慮半導體截面積為 A 且傳導帶能量為 ε 之對應能階恰好未佔據電子之機率 為 1− fc(ε)，可以得到，由價帶穿隧至傳導帶的穿隧電流即為：

Current^c

v = Incident flux× tunneling probability × unoccupied probability × volume

= q²Em^∗f_v(ε)

2π²ℏ³ dε_⊥× exp (

−πm^∗1/2ε^3/2g

2√ 2qEℏ

) exp

(−ε_⊥

¯ ε

)× [1 − fc(ε)]× Adx

(3.23) 以相同方法可得到對於垂直能量介於 ε_⊥與 ε_⊥+ dε_⊥ 之電子，從傳導帶穿隧至價

(38)

帶之能帶穿隧電流密度為：

dJBTB = q²Em^∗ 2π²ℏ³ exp

(

−πm^∗1/2ε^3/2g

2√ 2qℏE

) exp

(−ε_⊥

¯ ε

)

[fv(ε)− fc(ε)] dε_⊥dx (3.24)

由於能帶穿隧之等效載子再生速率可定義為：

GBTB ≡ 1 q

dJ_BTB

dx (3.25)

所以在 f_v(ε)≈ 1、fc(ε)≈ 0 之近似下，可以得到：

G_BTB(x) = qm^∗

2π²ℏ³E exp (

−πm^∗1/2ε^3/2g

2√ 2qℏE

)

¯ ε

∫ _ε,ε_v_−ε

0

exp (−ε_⊥

¯ ε

) d

(ε_⊥

¯ ε

)

(3.26)

上式之積分上限 (ε, ε_v − ε) 取決於位置 x 上的穿隧能量 ε，若 ε < εv/2，則為前者，反之則後者 [62]。由於通常 ¯ε≪ ε，所以該積分項可近似為 1。整理後可得：

G_BTB = (2m^∗

ε_g )1/2

q²

(2π)³ℏ²E²exp [

−π(2m^∗ε³_g)^1/2/4qℏ E

]

(3.27)

與 TCAD 模型方程式（3.11）相比較可以得到：

A = (2m^∗

εg

)1/2

q²

(2π)³ℏ² ; P = 2 ; B = π(2m^∗ε³_g)^1/2

4qℏ (3.28) 由此可得各物質之理論參數，見表（3.2）。其中 In_0.6Ga_0.4As_0.598P_0.402之成分為使能隙約略介於 InP 與 In0.53Ga0.47As 之間，對應波長為 1.1 µm 之其中一種成分。只要能隙固定，那麼不論成分為何都不影響能帶穿隧模型參數。

Table 3.2: 能帶穿隧模型參數（Simple model）

InP In_0.53Ga_0.47As In_0.6Ga_0.4As_0.598P_0.402 m^∗/m₀ 0.08 [63] 0.0463 [63] 0.052 [64]

ε_g(eV) 1.347 [65] 0.742 [64] 1.125 [66]

A(cm⁻¹s⁻¹V⁻²) 7.641× 10¹⁹ 7.827× 10¹⁹ 6.739× 10¹⁹ B(V/cm) 1.779× 10⁷ 5.542× 10⁶ 1.095× 10⁷

P 2 2 2

(39)

3.2.2 參數驗證

雖然已有表（3.2）中的能帶穿隧理論參數，但仍需驗證此參數是否正確，

因此我們可由載子再生速率以及連續方程式進一步推出電流密度對元件偏壓的關係，依序如方程式（3.11）、（3.10）與（3.9）。由於我們目前僅討論穩態

（steady-state）情形，即載子濃度對時間之變化應為零，所以

∂n

∂t = 0 ; ∂p

∂t = 0 (3.29)

此外假設元件物理量皆不隨 y、z 座標變化，並且討論 ⃗J_n與 ⃗J_p 皆相同，所以若我們以電洞電流為例，其連續方程式（3.10）可進一步改寫為：

J_p(W )− Jp(0) = q

∫ W 0

G_net,p(x)dx (3.30)

其中 W 為元件厚度。由於電子電洞流在兩電極上分別為主要電流，因此假設在 x = W 時，J_p(W ) ≫ Jn(W )，J_p(0) ≪ Jn(0)，並且 J_p(x) + J_n(x) = J (x)，J (x) 處處相同，所以可將方程式（3.30）改寫為

J (x)≈ q

∫ W 0

Gnet,p(x^′)dx^′ ; 0 < x < W (3.31)

假設元件以能帶穿隧機制為主，即 G_net,p ≈ GBTB，因此可將上式進一步代入方程式（3.11）：

J (x)≈ q

∫ W 0

G_BTB(x)dx

= q

∫ _W

0

AE^P exp (

−B E

) dx

(3.32)

由於方程式（3.32）難以積分，所以通常我們會將此積分式用 γW 等效元件厚度、

PN 接面最大電場 E_m以及 E_mW = 2V 關係寫為下式，此等效概念如圖（3.4）所示。

J (x) = qAγW E_m^Pexp (

− B E_m

)

= 2qAγV E_m^P⁻¹exp (

− B E_m

)

(3.33) 將方程式（3.33）與方程式（3.9）比較後，可以得到

(40)

Figure 3.4: 能帶穿隧再生速率分佈示意圖。因為能帶穿隧速率（tunneling generation rate）對電場變化極大，所以能帶穿隧等效厚度 γW 通常遠小於實際厚 度 W 。

c = 2Aγ ; P = 2 ; B = B^′ (3.34)

因此倘若元件電流電壓符合方程式（3.9）之關係，那麼就可以由係數 c、B^′ 求得 可用以代入 TCAD 中的能帶穿隧模型參數 A、B 與 P 。而驗證的方法即為將元件 電流電壓作 log(J/V )− 1/Em 之圖。具體來說，我們可以得到如下關係：

ln (J /V ) =−B^′x− ln(x) + ln (cq) ; x ≡ Em⁻¹

=−Bx − (P − 1) ln(x) + ln (2Aqγ)

(3.35)

因此我們可藉上述方法分析 Ando 的 In_0.53Ga_0.47As P⁺-N 陡接面二極體 I-V 數據 [11]，如圖（3.5）所示。在圖（3.6）中，根據方程式（3.35），我們預期各曲線 應有著相同的斜率 B = B^′ 與截距 ln (cq) = ln (2Aqγ)，但實際狀況並非如此。根 據我們前述理論推導得到的表（3.2），可以得到 In_0.53Ga_0.47As 的 A、B 與 P ，因 此代入後可擬合得到 γ，結果如表（3.3）所示。圖（3.5）中實心三角形為 Ando 論

Table 3.3: 能帶穿隧模型擬合參數 γ

N 型摻質濃度 4× 10¹⁵ 7× 10¹⁵ 9× 10¹⁵ 2× 10¹⁶ γ_net γ 4.06% 4.22% 4.29% 4.68% 7.95%

文中的數據，我們藉由 WebPlotDigitizer [67] 將其擷取出來，接著將這些數據繪製

(41)

成 log(J/V )− 1/Em 關係，並作於圖（3.6）中。由於各濃度之 log(J/V )− 1/Em

曲線並非理想直線，所以我們也將所有數據一起擬合方程式（3.33），得到表

（3.3）中之 γ_net= 7.95%。最後再將此 γ_net代入方程式（3.9）計算得到理想能帶穿 隧電流，如圖（3.5）中圓圈所示，同時也將由表（3.2）求得的參數 A、B、P 代 入 TCAD 並模擬繪於圖（3.5）中實線。最後我們從圖（3.5）可知，顯然該元件

Figure 3.5: In_0.53Ga_0.47As P⁺N 陡接面二極體之 I-V 特性圖 [11]，線上數字為 N 型 摻質濃度。

Figure 3.6: In_0.53Ga_0.47As P⁺N 陡接面二極體之 J /V − 1/Em 關係

電流並非只有能帶穿隧電流，應該還有其他效應構成其暗電流，然而因為其模擬 I-V 趨勢與實驗值相去不遠，所以我相信上述能帶穿隧理論模型與其列於表（3.2）

中之參數應有其參考價值。

(42)

3.3 SRH 復合模型

半導體中常見的電流產生機制之一就是 SRH 復合機制（SRH recombination），

價帶中的電子經由缺陷於禁帶中產生的能井（trap level），向上躍升至傳導帶中。

或是電子由傳導帶釋放能量至缺陷能井中，並又再次回到傳導帶，這些都是可能發生的隨機現象。一般來說，我們以 Shockley 於 1952 年提出的模型為模擬基礎 [43][59]，其方程式為如下：

R_SRH =−GSRH = np− n²i

τ_p(n + n₁) + τ_n(p + p₁) (3.36) 然而，上式並沒有考慮到電子在經由缺陷能井躍升至傳導帶的過程中，因電場作用而直接穿隧至其他位置上之傳導帶的可能，如圖（3.7）所示。對此，

我們選用 TCAD 中的 Hurkx field-enhanced lifetime 模型模擬此缺陷輔助穿隧現象

（trap-assisted tunneling） [10][59]。

Figure 3.7: 缺陷輔助穿隧機制示意圖。電子由缺陷能井（P ）上升至 P^′ 後，隨即 穿隧至旁邊的 P^′′傳導帶能階上。

可能是因為 Hurkx 在論文中提及底下段落 [10]，使得人們並不確定該使用什麼值作為其模型中的穿隧質量。

The exact value of m^∗ to be used is not clear and, moreover, depends on the crystal orientation. Theoretical treatments on Zener tunneling suggest a value between 0.1 and 0.3.

雖然有提到建議為 0.1 至 0.3，但他並沒有在文中詳細說明該分析過程。就目前 了解，除了 Hurkx 以外，至少還有兩位學者用不同的方法提出幾乎一樣的載子發