中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
第1章 函数与极限
高等数学A
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的概念 1.2.2 数列极限的性质
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的概念
数列的定义
数列极限的定义
实例与描述性定义 数列极限的精确定义 数列极限的几何解释
用定义验证数列极限
步骤
数列的极限习例1-6
1.2.2 数列极限的性质
极限的唯一性
收敛数列的有界性 收敛数列的保号性
收敛数列与其子数列的关系
数 列
极 限
概念的引入
一、数列极限
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体而无所失矣”
(1)割圆术：
——刘徽
R
正六边形的面积
A
1正十二边形的面积
A
2
正 形的面积
6 2
n1A
n
, , ,
, ,
2 31
A A A
nA S
(2)截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1. 数列的定义
按一定顺序排列的无穷多个数 x1, x2,, xn,
.,记为 x 或n xn 称为无穷数列
项. 称为数列的一般项或通 项
第n xn
例如 2,4,8,,2n,;
; 2 ,
, 1 8 ,
, 1 4 , 1 2
1 n
} 2 {
n2 } { 1
n; ,
) 1 ( , ,
1 , 1 ,
1 n1
{( 1 )
n1}
; ) ,
1 , (
3 , , 4 2 , 1 2
1
n
n n
) } 1 { (
1
n
n
n
, 3 3 3 , ,
3 3
,
3
从函数观点看，数列是以自然数为自变量的整标函数 )
(n f xn
从几何上看，数列是数轴上的动点.
x
1x
2x
3x
4x
n x数列的单调性: 若x1 x2 xn ,则称xn单增; .
2 ,
1 则称 单减
若x x xn xn 数列的有界性:
. ,
;
, ,
0
无界 则称
不存在 若这样的
有界 则称
都有 使得对一切
若存在
n n
n n
x M
x
M x
x
M
实例分析与描述性定义
x n
n n
) 1
1 1 (
) 1 (
n xn
) 2 (
) 1
1 (
) 3
( xn n
思考1: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?
x
nn
无限接近1 xn
n无限增大 x
不确定 上跳动
在1,1 , xn
思考2: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
, 1
1的接近程度可用 来度量
与 n
n x
x xn 1越小, xn与1就越接近 .
2. 数列极限的定义
1 xn
n n
n 1 1
) 1
( 1
. 1 1 ,
,
,当 越大 越小 从而 就越接近
可见 xn
n n
100, 1 1
n
要使 x 只要 n 100; 1000,
1 1
n
要使 x 只要 n 1000;
10000, 1 1
n
要使 x 只要 n 10000;
,
1 成立
要使 xn 1]).
[ (
N 只要 n
, 1
1], [ ,
0
N 当n N时有 xn
".
1 ,
"当 无限增大时 无限接近
此时达到了 n xn
)定义
( N 设有数列xn及常数a,
, ,
0 ,
0 当 时有 成立
若 N n N xn a
记为 收敛于
的极限或称 是数列
则称a xn xn a.
a xn
n
lim 或 x a(当n 时)
n
数列极限的精确定义
注意:
; )
1
( 不等式xn a 刻划了xn与a的无限接近
; ,
, )
2 (
都不能说明这种无限性 因为任何一个确定的数
数
就要引进任意小的正 接近的无限性
与 要描述
a xn
; ,
; :
) 3 (
确定是否存在N 对指定的
定
另一方面给定后相对稳 一方面任意
具有两重性
; ),
( ,
) 4
( N随的指定而确定 可记为N 但并不由唯一确定 (5)数列极限的定义没有给出求极限的方法，只能验证.
数列极限的几何解释
,
N x a
n 时 n
由 可得n N时有a
xn a
. )
, ,
( 1 2 都落在 的 邻域内
的
即所有下标大于N xn xN xN a
1 x
2
x
x x
N1x
N2x
3
2
a a
a
, ,
, ,
)
,
(a a 外只有有限项 x1 x2 xN 这样在
而在其内有无穷多项. 且随着 越小，N 越大，则在 (a ，a )外的项就越多，但不管怎么多都只可能是 有限项.
步骤:
( 1 ) 放大并化简 | x
n a | ( n ) ,
|
| ,
0 )
2
( 要使 x
n a 只要 ( n ) , ),
( n N
解得
( )
,
( )
1,
( ) 1
. N N N N N
N 或 或
取
(3)得出结论:
当 n N 时 , 有 x
n a 成立 . .
lim x
na
n
3. 用定义验证数列极限
, )
(
n 由
注意: (1)由于N 不唯一,不要求最小的 N,故可把
|ana|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找 N.
(2)从 |ana|< 找 N 与解不等式 |ana|< 意义不同.
用数列极限的定义验证下列数列的极限：
1 ) 1
1 lim (
.
1
n
n n
n
证明 例
sin 0 lim
.
2
n n
n
证明 例
. 1 ,
0 lim
.
3
qn q
n
其中 证明
例
2 3 3
6 lim 1
.
4
n
n
n
证明 例
2 ) 1
( lim
.
5 2
n n n
n
证明 例
. 0 lim
, 0 lim
, .
6
n n
n n
n n y x y
x 有界 证明
设 例
1 ,
只要 n 1 .
即 n
1], [
取 N , ( 1) 1 ,
1
成立 有
时
当 n
N n n
n
. ) 1
1 lim (
1
n
n n
n
. 1 ) 1
1 lim (
.
1
n
n n
n
证明 例
证明: ( 1) 1 1 ,
1
n n
n n
,
0
( 1) 1 ,
1
n
n n
要使
. sin 0
lim
.
2
n n
n
证明 例
证明: sin 1 , sin 0
n n
n n
n
,
0
sin 0 , n要使 n
1 ,
只要 n 1 , n
即 1],
[ N
取 sin 0 ,
,有 成立
时
当 n
N n n
sin 0
lim
n n
n
. 1 ,
0 lim
.
3
qn q
n
其中 证明
例
证明: q 0时结论显然成立.
,
0
, q n 只要
, 0
qn 要使
, ln ln
n q 即
ln , ln n q
ln ], [ln N q
取 当 n N时,有 qn 0 成立, .
0
lim
n
n q
,
0时
q qn 0 q n,
. 2 3
3
6 lim 1
.
4
n
n
n
证明 例
证明:
n n
n
2 3
) 10 3 2 (
3
6 1
5 ,
n ,
0
( 3) ,2 3
6
1
n 要使 n
5 ,
只要 n 5 . n
即 5],
[ N
取 ( 3) ,
2 3
6
,有 1 成立
时
当
n N n
n
2 3 3
6
lim1
n
n
n
2. ) 1
( lim
.
5 2
n n n
n
证明 例
证明:
2 1 2
1
2
2
n n
n n n
n
n
) (
2 2
2
n n
n
n n
n
2
2 )
(
2 n n n
n
n 2
1
,
0
2
2 1
n n
要使 n 2 ,
1
只要 n .
2 1
即 n
2 ], [ 1 N
取 ,
2
,有 2 1 成立
时
当n N n n n 2
) 1 (
lim 2
n n n
n
例6. , lim 0, lim 0.
n n
n n
n n y x y
x 有界 证明
设
证明: 0,
,
n 有界
x
. ,
,
0 x x M
M n n
对于 都有
, 0 lim
n
n y
又
. ,
, 0 ,
0 N n N y M
M n
有 时
当 对于
. 0
xn yn xn yn M M .
0
lim
n n
n x y
定理1(极限的唯一性) 如果一数列收敛，那么它的极限唯一.
. ,
lim ,
lim x a xn b a b
n n n
则
即若
证明：用反证法. 假设： limx a,limxn b,且a b,不妨设a b.
n n
n
于是有 取 (ba) / 2 0,
, 有
, 时 当
,
0 1
1
N n N xn a
, 有
, 时 当
,
0 2
2
N n N xn b
当 时 则有
取 N max N1,N2 , n N ,
. )
( )
(b x x a x b x a b a a
b n n n n
. b a 4. 数列极限的性质
这一矛盾证明了:
定理2(有界性) 收敛数列必有界.
证明: lim xn a,
n
1 ,
, 0 ,
1
N n N x a
ε 当 时 有 n
取
, N n 对于
a a
a x
a a
x
xn ( n ) n 1 }
1 , ,...,
max{ x1 x a
M N
取
.
, x M
xn 都有 n 对于一切
. }
{xn 是有界的
推论：无界数列必定发散.
定理3(收敛数列的保号性)
证明: lim xn a, n
2 / ,
, 0 ,
0 2
/ N n N x a a
ε a 当 时 有 n 取
), 或 0
( 且 0
,
如果lim
xn a a a
n
).
或 0 ( 都有 0
当 , , 整数 0
那么存在 N n N时 xn xn
不妨假设 ， a 0
2 2 0
n
a a x a
时, 从而，当n N
推论：如果数列从某项起有 ，且 , xn 0(或xn 0) nlim xn a
).
或 0 (
0
a
那么有a
. lim
,
lim x a x a
nk
n k n
则
即若
定理4 若数列xn收敛于a,则它的任一子数列收敛于a.
注意: (1)定理1的几何解释：
. ,
) , ( ,
) , ( ,
为极限 即不以
的有限个点 内只有
则在 限个点
无 的 后的
内有下标大于 在
为极限 若数列以
b x
b U
x N
a U a
n
n
(2)定理2为必要条件定理，反过来，有界数列不一定收敛 .
1 ,
) 1
( 1
n n
n x
x 为发散数列 但
如
? ,
) ,
( ) 3
( 在 a a 内有xn的无穷多项 则xn是否以a为极限
? )
4
( 是一个很小很小的正数吗 (5)极限定义中的N是否唯一?
(6)一数列的两个子数列收敛于不同的极限,则数列发散.一个发 散数列可能有收敛的子列.
.
8 } sin {
} {
的敛散性
判别 n
xn
解
利用函数的周期性, 在{ xn }中取两个子数列:得子数列：
令 8 , ,
) 1
( n k k N
, sin ,
, 2 sin , sin : } {sin
8 } sin
{
k n k
. 0 0
lim sin
lim
,
, 0 sin
n
n k
N k
k 所以
由于
得子数列：
令 16 4, ,
) 2
( n k k N
),
2 2 sin(
, 2 ,
sin 5 : } 2) sin(2
{ 8 }
sin
{
k n k
. 1 1
lim 2)
2 sin(
lim
n
n k
此时
. ) (
8 }
sin {
: 是发散的 即极限不存在
故由推论可知 n
例7
补充的内容：
“ -N ”语言的运用：
由一个已知极限存在的数列, 证 明另一个数列的极限.
方法:
对已知极限存在的数列应用“ -N ”语言,
再从中变形成所要证明的数列极限的“ -N ”
语言形式。
. lim
, 0 lim
, 0
a x
a x
x
n n
n n n
求证
且 设
证 任给 0,
. lim xn a
n
故
, lim xn a
n
1,
N使得当n N时恒有xn a
a x
a a x
x
n n
n
从而有
a a xn
a
1
例8
例9
例10
练习
1 2
max{2 , 2 1}
N N N
解
