國中課程綱要代數分年細目詮釋的 等號類型之內容分析

⊕

國立中山大學教育研究所 碩士論文

國中課程綱要代數分年細目詮釋的 等號類型之內容分析

研究生：上官瑋茵 撰 指導教授：梁淑坤 博士

中華民國九十九年六月

致謝 致謝 致謝 致謝

猶記剛入學時，常常懷疑自己是否有能力去接受研究所課業的挑戰；爾後，

在入學後的每一天，伴隨著內心忐忑不安的情緒，承蒙中山大學教育所師長們的 用心指導，亦步亦趨走著求學歷程的每一步。直到口試那天，親耳聽到口試委員 們向自己宣布：「瑋茵，恭喜妳通過了學位考試！」，那一刻的感動，至今仍於充 滿著我的心中，久久無法忘卻。

首先，非常感謝指導教授 梁淑坤教授的教誨，在我就讀研究所期間，提供 我許多論文研究及撰寫上的想法與技巧作為參考，教授不論是在授課時間，或是 課餘時間，都願意撥冗來指導我，甚至教授出國時，縱使人身在遙遠的美國，也 都時時刻刻惦記著我的論文進度，藉由電話、書信、或是 E-mail 與我互動，如 此的費心都是為了能協助我如期完成學業，避免耽擱畢業時程。另外，還要感謝 姚如芬教授以及 謝百淇教授在口試期間的指導，本人僅獻上十二萬分之謝意，

作為最誠摯的感激！

感謝潘亨足同學、劉佩綺同學在我研究過程中，協助我進行文獻蒐集以及資 料編碼的動作，妳們是最棒的夥伴！另外，還要感謝中山大學教育所全體師長、

行政人員們，不吝提供我在學時的一切資源，使我能順利如期畢業。最後，願將 本論文與我最愛的父母親和妹妹共同分享，感謝家人們在我就學期間，對於我物 質上的支援，與精神上的鼓勵，讓我擁有完成學業的力量與勇氣，雖然隻字片語 無法傳遞我對你們的感激，但我還是要說一聲：「我愛你們！」，謝謝。

上官瑋茵 謹誌 2010 年 6 月

國中課程綱要代數分年細目詮釋的等號類型之內容分析

上官瑋茵

摘要 摘要 摘要 摘要

本研究目的在探討國中之等號類型的分佈情形與關聯意義，主要採用內容分 析法，針對代數主題中的分年細目詮釋為研究範圍，並就以下階段進行，蒐集國 中細目詮釋內所有的等號與其衍生符號列式，採用 McNeil 等人(2006)分類進 行等號類型的編碼，從定量、定質的角度對分析內容做說明。主要的研究發現共 有四個，首先，代數分年細目詮釋中含有等式與不等式的列式數量分佈，隨 著年級的提升而有逐年級遞減的現象；第二，就各年級間看來，四種 McNeil 等號類型的列式數量，在七年級內分佈最高；第三，但就各年級內看來，

分佈最多的等號類型列式數量均不同；第四，藉由上述三個分佈現象的發 現看來，課程綱要雖提供較多將等號視為關係符號的機會，但對於代數主 題的發展可能存有侷限。研究者根據以上研究發現，希冀給予相關行政單位、

出版商以及教師具體建議，並提供未來研究做為參考。

關鍵字關鍵字

關鍵字關鍵字：：：國中課程綱要：國中課程綱要國中課程綱要、國中課程綱要、、代數、代數代數代數主題主題主題主題、、、、等號類型等號類型等號類型、等號類型、、、等號概念等號概念等號概念等號概念、、、、內容分析法內容分析法內容分析法內容分析法

A Content Analysis Study on Middle School Curriculum Standards (by grade) of Types of Equal Sign

Wei-Yin Shang-Guan

This study investigated the distribution and relation of types of equal signs in middle school. The focus is on interpretations of indices from algebra strand (by grade) in curriculum standards. The researcher used a content analysis method and followed the following procedure. She found all interpretations of indices of the equalities and inequalities signs in middle school. Then, she adopted the way of coding in types of equal signs by McNeil (2006). Data were analyzed quantitatively and qualitatively.

There are four findings altogether. First, the higher the grade the more equalities and inequalities related interpretation indices in Algebra Strand. Second, there were most number of equalities and inequalities in four McNeil’s types of equal signs in grade 7 than in the other two grades. Third, the amount of equalities and inequalities in different types of equal signs was not in proportion. Fourth, this distribution provided many opportunities for equal signs to be considered as relational symbols, but yielded various restrictions to students’ development of algebraic concepts. The researcher also made recommendations for future researchers and practitioners: administrative officers, textbook editors, and school teachers.

Keywords: Curriculum Standards for Middle School, Algebra, Equal Signs, Equal Signs Concepts, Content Analysis.

目錄 目錄目錄 目錄

第壹章 緒論 ... 1

第一節 研究背景 ... 1

第二節 研究目的 ... 5

第三節 研究問題 ... 5

第四節 名詞釋義 ... 6

第五節 研究範圍與限制 ... 9

第貳章 文獻探討 ... 10

第一節 數學課程綱要分年細目與詮釋的影響 ... 10

第二節 等號類型對等號概念的形成 ... 14

第三節 代數、課程和教材與等號學習的關聯 ... 18

第參章 研究設計與實施 ... 22

第一節 研究方法與研究流程... 22

第二節 研究架構 ... 26

第三節 研究對象 ... 27

第四節 分析類目與研究參與者 ... 29

第五節 效度與信度檢驗 ... 31

第六節 資料分析 ... 39

第肆章 研究結果 ... 44

第一節 國中等式與不等式的分佈 ... 44

第二節 國中各年級間等號類型分佈 ... 49

第三節 國中各年級內等號類型分佈 ... 57

第四節 國中等號類型與等號概念的關聯 ... 65

第五節 等號與代數主題的關聯 ... 68

第伍章 結論與建議 ... 74

第一節 結論 ... 74

第二節 建議 ... 77 參考文獻... 83 附件 1 國中各年級代數分年細目內容一覽表 ... 89 附件 2 各年級代數分年細目詮釋中的等式與不等式一覽表 ... 91 附件 3 國中課程綱要代數分年細目詮釋等號類型評選單... 95 附件 4 國中課程綱要代數分年細目詮釋等號類型分析與協同分析結果一覽表.. 99 附件 5-1 協同分析者與研究者分類之異同數量 ... 103 附件 5-2 兩位協同分析者分類之異同數量 ... 103 附件 6 國中課程綱要代數分年細目中含有等式與不等式對照表... 104 附件 7 97 國中課程綱要代數分年細目詮釋等號類型分析一覽表 ... 108 附件 8 92 國中課程綱要代數分年細目詮釋等號類型分析摘要表 ... 117 附件 9 97 國中課程綱要代數分年細目詮釋等號類型分析摘要表 ... 118

表次 表次表次 表次

表 3-1 等號類型類目分析表 ... 29

表 3-2 評分員間相互同意度及信度一覽表 ... 36

表 3-3 研究者與協同分析者 A 評定差異 ... 37

表 3-4 研究者與協同分析者 B 評定差異 ... 38

表 4-1 細目中含有等式與不等式的細目數量與百分比... 44

表 4-2 細目詮釋中含有等式與不等式的數量與百分比 ... 46

表 4-3 國中階段等號類型數量與百分比 ... 49

表 4-4 國中各階段「運算等於答案的情境」數量與百分比 ... 50

表 4-5 國中各階段「等號雙邊運算方程式」數量與百分比 ... 51

表 4-6 國中各階段「等號右邊運算方程式」數量與百分比 ... 52

表 4-7 國中各階段「等號兩邊均沒有進行運算」數量與百分比 ... 53

表 4-8 國中各階段「不全等」數量與百分比 ... 54

表 4-9 國中各階段所擁有的等號類型 ... 57

表 4-10 七年級各等號類型的數量與百分比 ... 58

表 4-11 八年級各等號類型的數量與百分比 ... 59

表 4-12 九年級各等號類型的數量與百分比 ... 60

表 4-13 標準與非標準等號類型數量與百分比 ... 65

表 4-14 代數方程式細目詮釋內各種等號類型數量一覽表 ... 68

圖次 圖次圖次 圖次 圖 3-1 研究流程圖 ... 24

圖 3-2 研究甘特圖 ... 25

圖 3-3 研究架構圖 ... 26

圖 4-1 國中各年級間等號類型列式數量分佈圖 ... 55

圖 4-2 國中各年級內等號類型列式數量分佈圖 ... 61

第壹章 第壹章 第壹章

第壹章 緒論 緒論 緒論 緒論

第一節 第一節 第一節

第一節 研究背景 研究背景 研究背景 研究背景

一一、、、符號運用在代數課程、符號運用在代數課程符號運用在代數課程符號運用在代數課程中中中中的角色的角色的角色 的角色

法 國 學 者 韋 達（F. Vieta, 1540～1603）是符號代數(symbolic algebra)的發明人，也是最早讓方程式等號一邊為 0 的數學家。由於 韋達的「符號法則」(symbolism)，使得「方程式論」(theory of equations) 這一門新學問終於成形；事實上，在韋達之後，代數已經被承認是一 種合法的數學語言，而不再只是一種解題技術（洪萬生，1996）。在 九年一貫數學領域課程綱要基本理念中（教育部，2003），即點出符 號的重要性：「抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其 他數學語言、清楚傳達量化、邏輯關係（p.20）」。在國小階段綱要，

指出學生在國小期間需學習簡單的代數基礎，例如：「理解常用算術 符號的使用方式，用來列出日常問題的算式，以進行解題（p.75）」；

當學生進入國中階段後，便利用國小習得的基礎，邁向代數另一個階 段，例如：「以數學式描述問題中有關之數量關係，並理解數學式中 定數與變數之差異（p.76）」。由上述例子發現，以符號列成算式的學 習是學生從小學階段過渡到國中階段的關鍵，教學者藉由對符號理解 與運用的教學，可幫助學生代數思考中抽象能力的發展。

二二

二二、、、等號理解對代數學習的重要性、等號理解對代數學習的重要性等號理解對代數學習的重要性等號理解對代數學習的重要性

早在中國晚清時，數學家華蘅芳體悟出代數應該專注在等號上 面，而不是放在未知數上面；而近代數學教育家研究循著這樣的研究 概念，也花了相當多的時間，確定算術裡面的「等號」跟代數裡面的

「等號」意義是不一樣的（洪萬生，2007）。國內學者謝堅（1997）

認為在數學課程中處理運算教材時，可能會導致學生誤以為等號 僅是「得到的答案是」或「結果的數值是」的情形，而此種單一 觀念的延續，使得學生在日後學習代數的等價關係時產生困擾。

另外，在學生的觀念中，他們認為等號是具有方向性的，意即當 學生看到「=」時，就表示他們必須做某個動作，因此學生很難 接受等號右邊有未知數的方程式，此種誤解的觀念使得學生在化 簡 代 數 式 上 容 易 產 生 錯 亂 的 情 形 （ 莊 松 潔 ， 2005）。 國 外 學 者 Alibali、Knuth、Hattikudur、McNeil和Stephens (2007)也表示，

學生倘若能精熟等號的理解，就是成為代數學習成功的關鍵。由 於學生邁入國中階段以後，代數能力是培養未來數與量、幾何、

統 計 與 機 率 … 等 其 他 主 題 的 數 學 式 推 演 的 關 鍵 之 一 （ 教 育 部 ， 2003），綜合以上的描述可得知，等號理解對代數主題甚至是其 他數學主題學習的重要性不言而喻。

三三

三三、、、國中、國中國中國中課程對於等號理解的介紹課程對於等號理解的介紹課程對於等號理解的介紹 課程對於等號理解的介紹

從 教 育 部 九 年 一 貫 數 學 領 域 的 課 程 綱 要 看 來 （ 教 育 部 ， 2003），等號概念在分年細目的詮釋中可以說是無所不在，分年 細目詮釋透過傳達等號概念，希望學生藉由等號概念來理解許多 不同的數學主題，例如：小學階段的分年細目詮釋內容，在數與量 的主題中，就用等號來表示計算結果，在代數的主題中，則希望學生 能在具體情境中認識等號兩邊數量一樣多的意義。到國中階段，代 數部份分年細目詮釋的內容開始用等號強調的對稱性、遞移性，

並且希望傳達給學生學習在等號上不同的概念，使方程式的等號 成立的所有 x 值或 y 值，並且利用等號對稱性的方式呈現出數量關係。

僅管在課程綱要中不乏對於等號的介紹，但陳嘉皇（2008）

卻表示，在小學階段的數學課程裡雖然有點出等號發展與理解的 介紹，然而，在學生往後的學習階段，如中學階段，卻很少延續 加以明確介紹等號的發展與理解。如同學者 McNeil 和 Alibali (2005)的研究指出，儘管等號隨處可見，但教學者卻很少關注課 程 教 材 中 的 等 號 ， 使 學 生 缺 少 機 會 發 展 對 等 號 的 理 解 。 由 此 可 知，雖然等號在學生各個學習階段的課程教材中均有其蹤影，但 其內容是否有引導學生對於等號關係理解與解等式之應用，值得 深入研究之。

歸納上述三方面的研究背景，本研究以教育部於民國 92 年 所頒 布 的 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 做 為 根 據 （ 教 育 部 ， 2003）， 研究者將針 對 其 國 中 課 程 綱 要 的 分 年 細 目 進 行 內 容 分 析，以瞭解等號在現行國中階段課程分佈的情況，並搭配過去相 關的研究發現進行文獻探討，形成研究架構，做為本研究討論延伸的 線索，希冀提供國中數學領域行政單位課程設計、出版商教材編 製，以及教師教學之具體建議，並給予後續相關研究做為參考。

第二節 第二節 第二節

第二節 研究目的 研究目的 研究目的 研究目的

基於上述之研究背景與動機，本研究以九年一貫課程綱要國 中數學領域中的代數分年細目詮釋為分析取材，並篩選出等式與 不 等 式 作 為 分 析 單 位 ， 藉 以 得 知 細 目 詮 釋 中 等 號 類 型 的 使 用 情 形，本研究目的如下：

一、了解等式與不等式與等號類型的分佈情形。

二、探討詮釋中等號呈現所帶來的關聯意義。

第三節 第三節 第三節

第三節 研究問題 研究問題 研究問題 研究問題

依據上述之研究目的，本研究將採用國中課程綱要代數分年 細目詮釋做為研究範圍，衍生出以下的研究問題：

一、等式與不等式的分佈情形為何？

二、國中各年級間等號類型的分佈情形為何？

三、國中各年級內等號類型的分佈情形為何？

四、等號概念與等號類型之間的關聯為何？

五、等號與代數主題之間的關聯為何？

關於這些研究問題的實際運作情形，將在第參章研究設計與實施 內，分為定量分析和定質分析兩部份做詳細的說明（p.37）。

第四節 第四節 第四節

第四節 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義

一一、、、國中課程綱要、國中課程綱要國中課程綱要國中課程綱要

本研究中所指稱的國中課程綱要，乃是擷取自教育部於民 國 92 年所頒布「國民中小學九年一貫課程綱要」（教育部，2003）， 其中的國中課程綱要做為研究內容。另外，研究者考量研究目的 及研究時程，在聽從專家之建議後，特將 97 年國民中小學九年 一貫課程綱要，國中代數分年細目詮釋等號類型分佈情形，改以 附件的方式，呈現於後方附件 7、附件 9，本研究則不加以論述，

希冀提供未來對該主題有興趣研究人員做研究參考。

二二

二二、、、代數、代數代數代數主題主題主題 主題

（一）代數分年細目詮釋

九年一貫課程綱要數學學習領域中，各個年級的分年 細目詮釋均包含四個部分：「數與量」、「幾何」、「代數」

和「統計與機率」，本研究選擇國中階段代數分年細目詮 釋為分析內容。

（二）三種代數方程式

本研究探討代數方程式對代數學習關係時，將焦點放 在詮釋中的一元一次方程式、一元二次方程式、二元一次 方程式。

三三

三三、、、等號類型、等號類型等號類型等號類型

本研究中所提到的等號類型，主要是根據 McNeil 等人(2006) 針對中學書本進行研究時，使用的等號命題編碼方式，形成本研 究等號類型的編碼方式，分為標準類型和非標準類型，其中的標 準類型即為「運算等於答案的情境」（例如：3 + 4 = 7），另外，

非標準類型則細分為「等號雙邊運算方程式」（例如：5 + 2 = 3 + 4）、「等號右邊運算方程式」（例如：7 = 3 + 4）、「等號兩邊均 沒有進行運算」（例如：7 = 7）與「不全等」（例如： >、<）等 四種，故總計共分為五種等號類型。

四四

四四、、、、等號概念等號概念等號概念等號概念

依據教育部（2003）所公佈的九年一貫課程綱要，數學領域 分年細目中，等號係指兩邊的數量一樣多、相等之意義。國外學 者 McNeil 等人（2006）針對等號概念定義進行相關研究中，並 將等號概念分成「運算型定義」、「關係型定義」二種，分述如下：

（一）運算型

運算定義的等號，代表等號右邊是運算結果的解釋。

（二）關係型

關係定義的等號概念是指學生具備等號兩邊等量的 概念，是以平衡的觀點判讀等式。

五五

五五、、、內容分析法、內容分析法內容分析法內容分析法

內容分析法是一種研究方法，表示對文件的內容作出有效推 論的程序步驟，得到關於消息接受者、傳送者和或消息本身的推 論，推論的方式則隨研究者對理論或實質研究的偏好而異，故內 容 分 析 法 沒 有 所 謂 正 確 的 模 式 ， 它 著 重 在 研 究 精 神 的 例 示 和 教 導 ， 每 個 研 究 者 必 須 根 據 其 研 究 的 實 質 問 題 來 決 定 最 佳 的 方 式

（林義男、陳淳文譯，1989）。至於該方法的具體使用方式，研 究者將於第三章研究設計與實施中做更詳盡的說明。

第五節 第五節 第五節

第五節 研究範圍與限制 研究範圍與限制 研究範圍與限制 研究範圍與限制

一一、、、研究、研究研究研究取材取材取材的取材的的範圍與限制的範圍與限制範圍與限制範圍與限制

本 研 究 僅 針 對 國 中 課 程 綱 要 代 數 分 年 細 目 詮 釋 做 為 取 材 的 範圍，不包含其他學習階段和數學主題。因此在結果的推論上，

無法推論到其他的學習階段與數學主題。

二二

二二、、、研究對象、研究對象研究對象研究對象的的的範圍與的範圍與範圍與範圍與限制限制限制 限制

本研究的等號類型編碼方式是參考 McNei 等人(2006)研究 中所使用的編碼方式，選取等式與不等式（例如=、≠、＞、＜、

≧、≦），不包含以文字敘述的部分（例如「等於」、「不等」、「大 於」或「小於」等）。因此在研究結果的推論上，無法推論到所 有相等或不等的情境。

三三

三三、、、研究、研究研究研究方法方法方法的方法的的範圍與的範圍與範圍與範圍與限制限制限制 限制

本研究採用內容分析法，研究過程中多為研究者本身對研究 內容進行分析和分類，並撰寫最後的研究結果。因此在研究結果 的推論上會比較主觀，導致研究結果的誤差，尤其是在定質分析 的部份。

第貳章 第貳章 第貳章

第貳章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

第一節 第一節 第一節

第一節 數學課程綱要分年細目與詮釋的影響 數學課程綱要分年細目與詮釋的影響 數學課程綱要分年細目與詮釋的影響 數學課程綱要分年細目與詮釋的影響

一 一 一

一、、、、數學領域課程綱要的發展及內涵數學領域課程綱要的發展及內涵數學領域課程綱要的發展及內涵數學領域課程綱要的發展及內涵

政府遷台以來，國民教育體系已由六年國民小學的義務教育，延 伸至國民中學的九年國教，該教育階段的課程標準，歷經多次修訂。

自從國民中小學課程標準分別於 82 年及 83 年修正頒布後，為了配合 21 世紀需要的教育思維與實踐，教育部同時也著手於此課程修訂的 進行，課程修訂的階段分為三個部份：第一，成立國民中小學課程發 展專案小組，以完成國民教育九年一貫課程總綱；第二，成立國民中 小學各學習領域綱要研修小組，研訂國民教育各學習領域課程綱要；

第三，成立國民中小學課程修訂審議委員會，審議並確認各學習領域 課程綱要內容之適當性（教育部，2003）。爾後，教育部為提昇國 小學生計算能力，接受專家學者的建議，於民國 92 年 1 月召開 數學小組諮詢會議，學者和專家們認為暫行綱要潛藏著一些嚴重 的問題，其中，暫行綱要的詮釋語句過於抽象且模糊，教科書編

寫難易及順序不一，進而衍生出學習階段銜接的問題（鄭國順、

王慶安，2004）。教育部雖然積極辦理能力指標詮釋說明會，但 師培機構的教授和出版單位的主編依然是各自表述；另外，教師 較難理解能力指標的詮釋，導致無法有效掌握教學細節（鍾靜，

2004）。

二二

二二、、、國內數、國內數國內數國內數學領域課程綱要實施的現況學領域課程綱要實施的現況學領域課程綱要實施的現況學領域課程綱要實施的現況

在民國 94 年所頒布的，國民中小學九年一貫課程數學學習 領域第三階段教科書審查處理原則（國立編譯館，2005），提到 幾點關於分年細目的描述：首先以課程綱要分年細目為標準，由 教科書編者將其列入教科書和習作之編輯考量；但是對於分年細 目的呈現順序並不加以設限，主要是以符合學生的認知發展做為 編輯考量。雖然細目詮釋中的內容、示例、圖表不一定要出現在 教科書上，但審查委員審查教科書時可將細目詮釋做為理解之參 考。鄭國順、王慶安（2004）也指出，在國民中小學九年一貫課 程綱要中，能力指標係依主題和學習階段而制定，但是許多指標 必須依賴分年進階的方式來教學，才能達成預計的教學目標，為 了此一目的，綱要中發展出分年細目及詮釋，其編製是針對階段 能力指標做出更細緻的演繹，這樣的作法有利分年進階式教學進 度目標的明確掌握，並且能減少各界對綱要解讀的困難和差異，

協助書商和教科書審定委員會編輯更趨完善的教科書，改進以往 各版教科書順序分歧所形成的困擾。另外，也希望用分年細目的 詮釋作為教師教學的規範，避免教師在教學無所適從，協助教師 建構更專業的數學教學能力。

三三

三三、、、課程綱要分年細目與詮釋對教材編制的影響、課程綱要分年細目與詮釋對教材編制的影響課程綱要分年細目與詮釋對教材編制的影響課程綱要分年細目與詮釋對教材編制的影響

教科書開放審定十年多來，數學課程綱要分年細目與詮釋的 出現，無疑對民間業者在編輯中小學造成實質上的影響，而學者 游自達（2009）表示，各年級及各冊教材單元主題的相似度提高，

其內容形式也非常相近，就是因為 2003 年公布的數學領域正式 綱要加上分年細目。教科書評鑑的相關報導也指出，教育部在一 些學科，例如數學，加上分年細目的規範，可縮短各版本的差異，

讓念不同版本教科書的學生，得到相近的學習效果（＜統合教科 書差異 教部訂進度＞， 2007）。學者們認為修訂後的九年一貫 課程綱要，具備相較以往不同的幾個特質，其中一項便是對課程 綱要的定位，他們認為課程綱要的內容是學習的最低標準，教科 書可依綱要的能力指標，分年細目的詮釋進行編輯，而教師亦可 依教學現場的實際需求，彈性引用合宜的教學方法（鄭國順、王 慶安 2004）。綱要分年細目與詮釋使用說明中亦指出，教科書編撰應

遵循分年細目的內容，但不需要完全遵照細目的順序呈現，而細目所 規範的內容，至少要包括在教科書的題材中（教育部，2003）。

四四

四四、、、課程綱要分年細目與詮釋對教師教學的影響、課程綱要分年細目與詮釋對教師教學的影響課程綱要分年細目與詮釋對教師教學的影響課程綱要分年細目與詮釋對教師教學的影響

課程綱要分年細目與詮釋的呈現，也提供教師教學時參考的 依據，李慶祥（2004）指出，正式綱要裡包含九年一貫教育，也 就是一年級至九年級的分年細目，每一個分年細目都有其所搭配 之詮釋，可以讓教師更易了解。九年一貫課程綱要分年細目與詮釋 使用說明中指出，當學校教師在進行課程設計時，教師們應遵循分年 細目的內容，但不需要完全遵照細目的順序做教學呈現，但是分年細 目所規範的內容，至少要包括在教師教學的題材中（教育部，2003）。 鄭國順、王慶安（2004）認為，藉由課程綱要分年細目的詮釋，

可以用來界定教師教學的範圍，避免教師在教學現場對課程綱要 做過份的延伸；同時也希望透過課程綱要分年細目與詮釋，成為 教師審視自我數學專業能力養成的指標，最終的目的則希冀協 助師資培育機構，建構數學師資專業能力培育的指標。

第二節 第二節 第二節

第二節 等號類型對等號概念的形成 等號類型對等號概念的形成 等號類型對等號概念的形成 等號類型對等號概念的形成

本節旨在探討等號類型對學生等號概念的形成，分別針對將 等號視為運算符號的概念，以及將等號視為關係符號的概念兩部 分論述之。

一一

一一、、、將等號視為運算符號、將等號視為運算符號將等號視為運算符號將等號視為運算符號

研究發現在不同的年級階段裡，有許多學生尚未對等號發展 出 足 夠 的 理 解 (Baroody & Ginsburg, 1983; Behr, Erlwanger &

Nichols, 1980; Kieran, 1981; RAND, 2003)。其實教師與研究該主 題 的 學 者 們 在 很 早 的 時 候 就 體 認 到 學 生 往 往 將 等 號 誤 解 為 一 種 運算符號，意即「做某事」，而非將等號視為等價或等量的關係 (Behr et al., 1980)。McNeil 和 Alibali (2005)的研究指出，學生 大多依據自身的經驗詮釋並建構等號概念，當學生發展至小學階 段，學習經驗還是相當的有限，以致於學生無法對等號產生正確 的概念，學生傾向把等號解釋為運算符號，較少將等號視為等價 的關係符號。Seo 和 Ginsburg (2003)認為在小學中，等號常常與 算術運算搭配出現，導致小學生容易把等號理解成求得「總數」

和「答案」的結果。年紀較小的學生通常在加法問題中遇到等號，

進而促使學生將等號視為運算符號，解決加法問題時，學生不需 具備等號為等價關係的理解，僅需做數字的運算，便可得到最後

的 答 案 ， 這 樣 的 情 境 容 易 使 學 生 對 等 號 產 生 運 算 符 號 的 定 義 (McNeil & Alibali, 2005)。

Baroody 和 Ginsburg（1983）研究指出，孩童預期方程式是一 種特定的形式，即左邊由算術問題的項目組成，答案在右邊，中間由 等號做連結（例如 3 + 2 = 5）。在早期的研究中，當中學生要被要 求對等號下定義時，大多數的學生與小學生的反應相似，均對等 號做出運算的定義，只有極少數的中學生提到關係的定義，例如 中學生傾向利用方程式等號兩邊的運算，來判斷方程式的真偽，

例如「3 + 4 = 5 + 2」，等號兩邊的運算結果合理，方程式即真；

而「3 + 4 = 5 + 3 = 8」，在第一個等號兩邊的運算結果不合理，

方程式即偽，研究進一步認為小學生對等號不成熟的定義思考，

會 延 續 到 中 學 生 ， 甚 至 是 大 學 生 的 階 段 (Kieran, 1981) 。 Herscovics 和 Linchevski (1994)的研究認為，僅管學生將等號當 作 是 運 算 符 號 不 會 對 解 題 產 生 立 即 的 影 響 ， 但 在 之 後 的 學 習 階 段，學生要將等號視為關係符號時，就會有障礙出現。Essien 和 Setati (2006)將研究範圍從小學移至中學，也發現八年級和九年 級的學生多將等號視為用來求解的工具符號，較少將等號視為一 種用來比較數量的關係符號。

二、將等號視為關係符號將等號視為關係符號將等號視為關係符號將等號視為關係符號

對於學生等號理解的學習，並非所有的研究皆抱持負面的想 法，Knuth、Alibali、McNeil、Weinberg 和 Stephens (2005)的研 究就認為學生對等號概念的理解，會隨著中學年級的增加而有所 增進，最後發展出關係符號的概念。McNeil 和 Alibali (2005)在 探討學生等號理解對經驗數學和等號情境所產生作用時，預期數 學經驗的層次和等號情境會相互影響，中學生（此處是指七年級 學生）在單獨或加法的情境中，將等號視為運算；但在等價的情 境中，會將等號視為等價，大學生和研究生不論情境為何，均視 等號為關係符號，研究中亦指出，中學生的表現可以被用來預測 數學經驗層次與等號情境的互動性。如同 Olive、Izsak、和 Blanton (2002)的研究認為，學生在中學時擁有許多一般的知識結構和功 能，足以用來學習較高層次的數學，在中學階段之學生所發展的 邏輯結構，可用來協助等值關係的建立，並藉由這種關係幫助學 生察覺複雜的相似關係，所以從發展的角度來看，中學生比小學 生更容易擁有等號關係理解的概念（引自 McNeil, Grandau, Knuth, Alibali, Stephens, Hattikudur, & Krill, 2006）。倘若要以學生的具體 年齡來說，Herscovics 和 Kieran (1980)認為 12 至 14 歲的學生，

最初對等號抱著運算的概念，但經過訓練之後，學生開始對等號

建立起關係的概念，Kieran 的研究更進一步指出，13 歲是接受 等號成為等價符號的過渡時期。

早期等號類型的研究如Weaver (1973)指出，學童對於非標 準形式的方程式，容易感到拒絕或困擾，原因在於他們接觸這種 類型方程式的機會較少。有研究顯示，七年級的學生普遍無法將 等號視為等價關係的符號，但在等號雙邊均有運算方程式的等價 脈絡之下，便可以將等號視為等價關係符號(McNeil & Alibali, 2005)。McNeil等人（2006）研究指出，等號通常被等號通常被視 為運算等於答案的標準操作情境（例如：3 + 4 = 7），很少被視為兩 邊非標準操作情境（例如：3 + 4 = 5 + 2），或者其他的非標準情境

（例如：7 = 7），非標準情境有「等號雙邊運算方程式」、「等號右 邊運算方程式」、「等號兩邊均沒有進行運算」和「不全等」等四 種，比運算等於答案的情境還要容易引出學生對等號的關係理解，其 中「等號雙邊運算方程式」的類型相較於其他非標準情境，更容 易引出學生將等號視為關係符號的概念，但教科書中仍缺乏大量 的「等號雙邊運算方程式」情境，除了針對教材進行分析之外，

學者們也在不同的等號情境中，針對學生的等號理解進行研究，

發現學生普遍將等號視為等於答案的標準操作情境，鮮少去考慮 其他非標準情境的狀況，研究結果也間接證實早期研究發現。

第三節 第三節 第三節

第三節 代數 代數 代數、 代數 、 、課程和教材與等號學習的關 、 課程和教材與等號學習的關 課程和教材與等號學習的關 課程和教材與等號學習的關聯 聯 聯 聯

一一

一一、、、、代數與等號學習的關聯代數與等號學習的關聯代數與等號學習的關聯代數與等號學習的關聯

Carpenter、 Franke 和 Levi（ 2003） (引 自 Alibali, Knuth, Hattikudur, McNeil, & Stephens, 2007)與 RAND（2003）均提及代 數主題的學習在數學教育中一直持續受到強烈關注，但對等號概 念有限的理解，將會是學習代數的絆腳石，尤其是檢視代數方程 式在數學中的本質與角色，事實上，所有代數方程式的操作都需 要瞭解等號為關係表徵。另一方面，等式在學校各階段數學中無所 不在，等式的理解會成為代數主題學習的基礎，更確切而言，探討等 式中的等號角色，便是學習代數的主要關鍵。Byers 和 Herscovics (1977)認為在學習代數解題策略時，必須具備將等號視為關係符 號的觀念，如此才能真正賦與學習代數解題策略意義，而非死背 硬記的學習 (引自 Baroody & Ginsburg, 1983)。Knuth、Alibali、

Hattikudur、McNeil 和 Stephens (2008)指出，即使六年級的學生 和七年級的學生沒有正式的代數學習經驗，但是當這些學生具有 等號為關係符號的概念時，他們便可以順利解決代數方程式的數 學問題。在八年級學生中，Knuth、Stephens、McNeil 和 Alibali

(2006)也認為，若想了解並使用代數，就必須仰賴數學基本觀 念，其中一個便是相等觀念，研究還發現學生等號理解與解方程 式之間的具有密切的關係，例如解決代數方程式 2x + 4 = 18 時，學 生就必須將等號視為等價關係符號。倘若能幫助學生獲得等號兩邊 具有等價關係的概念，是學生日後代數成功的關鍵(Knuth et al., 2008; McNeil et al., 2006)。學生從小學階段邁入中學階段時，正 面 臨 由 算 術 學 習 轉 入 代 數 學 習 的 時 期 ， 為 了 發 展 成 功 的 過 渡 歷 程，學生勢必需要發展出將等號視為關係符號的概念，藉由此等 關 係 符 號 概 念 的 建 立 ， 可 以 使 得 學 生 順 利 迎 接 代 數 課 程 的 到 來 (McNeil et al., 2006)。

二二

二二、、、課程與等號學習的關聯、課程與等號學習的關聯課程與等號學習的關聯課程與等號學習的關聯

等號這個數學符號，在學校數學的學習中十分常見，也因為 如此，人們常常會對等號的學習產生刻板印象，誤認為發展等號 的理解是簡單且容易的；事實上，等號除了在小學早期階段教育 的數學課程中被介紹之外，教師在往後的年級中，便很少花時間 在等號概念的教學上，甚至到了中學階段的課程，幾乎很少關注 到等號概念的教學，因此必須持續關注中學階段等式的概念(Knuth et al., 2008)。儘管人們都知道等號角色在課堂教學裡所扮演重要 性，但研究卻發現，在美國傳統的幼稚園到十二年級的數學課程

中，缺乏直接介紹有關等號的涵義的機會。取而代之的是，這些 學生依據自身的學習經驗，來建構自身對等號的詮釋內容，會存 在這種情況，表示學校的數學課程沒有辦法真正協助學生去形成 等號概念，這也代表了，等號角色的重要性在數學課程中無法被 有效的彰顯出來（Baroody & Ginsburg, 1983）。Alibali 等人(2007) 的研究指出，八年級和九年級所呈現的數學課程，是近年來所強 調的改革與研究的焦點，我們必須持續關注數學課程中等價關係 的教學內容，持續關注等號在中學數學課程與教學，必須提供學生 多樣且有規則的機會，以發展出關係的理解，舉例來說，中學教師可 以提供學生一些命題，並且要求他們去判斷哪個是等價的命題（例如 9 + 5 = 14, 9 + 5 – 3 = 14 – 3, 9 + 5 – 3 = 14 + 3）。

三三

三三、、、、教材與等號學習的關教材與等號學習的關教材與等號學習的關教材與等號學習的關聯聯聯聯

學者 Seo 和 Ginsburg (2003)的研究即指出，大多數的美國 小學教科書的呈現上，並沒有特別強調學生對等號關係的理解，

反而還強化學生只將等號視為運算的觀念。之後，有學者將研究 場景搬至中學階段，發現將等號視為「運算等於答案」的情境比 例會隨著年級逐漸降低，而「等號雙邊運算方程式」的情境比例會 隨著年級逐漸升高，除了「等號雙邊運算方程式」之外，在教科書中 等號例子中，其他非標準情境占了絕大部分，「等號兩邊均無明顯運

算」的情境是最常出現的非標準情境，但國中學生對等號仍抱持不 正確觀念，而學者將這種現象產生的原因，歸咎至教科書的內容 呈現，換句話說，他們認為教科書的內容會影響等學生的等號觀 念的吸收 (McNeil et al., 2006)。進一步比較中國與美國的教師 備課用書、學生教科書和教師指引後，發現美國的教材很少呈現 將等號視為等價的詮釋內容，反而常常出現運算答案置於等號後 方的等式，這樣的呈現方式強化了讀者對等號錯誤的觀念；而中 國 大 陸 的 教 科 書 大 部 分 將 等 號 視 為 關 係 符 號 的 表 示 ， 例 如 出 現

「平衡」、「相同」或「等值」的字眼，只有在數字計算的情況之 下 ， 教 科 書 才 會 將 等 號 視 為 運 算 符 號 (Li, Ding, Capraro, &

Capraro, 2008)。Li 等人除了分析美國與中國大陸教科書等號類 型的呈現差異之外，更進一步探討使用各國教科書版本的學生對 等號概念的理解程度為何。他們認為這些教科書版本的差異，可 能會對學生等號概念的學習帶來影響，透過分析比對之後發現，

高達 98％的中國大陸學生可以回答出完整的等號概念，並對等 號提出精確的說明；反觀美國的部份，只有 28％的學生可以回 答出等號概念，而大部份的美國學生，沒有辦法正確回答出等號 概念，更無法對等號提出精確的說明。根據上述的研究結果，間 接證實教材編製與等號學習的關係是十分密切的。

第參 第參 第參

第參章 章 章 章 研究設計與實施 研究設計與實施 研究設計與實施 研究設計與實施

第一節 第一節 第一節

第一節 研究方法與研究流程 研究方法與研究流程 研究方法與研究流程 研究方法與研究流程

一 一

一、、、研究方法、研究方法研究方法研究方法

本 研 究 採 用 內 容 分 析 法 ， 內 容 分 析 法 是 一 種 透 過 量 化 的 技 巧，以及質的分析，用客觀、系統的態度，針對文件內容進行分 析與研究，最後再推論產生該文件內容的環境背景與意義的研究 方法（歐用生，1991）。將內容分析法作進一步的具體探究，可 分為六種類別（王文科、王智宏，2008）：概念的分析、比較分 析、詮釋性分析、編纂、描述性敘述和普遍化分析。研究者根據 本研究目的，僅取前述三者「概念的分析」、「比較分析」與「詮 釋性分析」，並針對所選分析類別的作進一步的說明。

概念的分析在描述概念的精義或一般意義、確認概念的不同 意義，或者在各式的例子中描述其概念的適當用法。例如本研究 即透過描述代數分年細目詮釋的等號類型，釐清等號類型呈現的 意義，並試圖與未來的研究結果產生關聯性。比較分析則將蒐集 資料的相似性與差異性做質的比較，嘗試找出一致的趨勢、一系 列獨特情境或開發新方向。例如本研究分析國中三個年級的代數 分年細目詮釋中等號類型所占的比例為多少之外，還希望進一步

尋找等號類型在國中三個年級中的發展趨勢為何；最後，詮釋性 分析是指在研究過程中，試圖將某項教育事件與該期間內其它事 件的關聯性作結合，例如本研究透過文獻探討與內容分析對等號 類型作進一步的研究，期待其研究結果能提供教師教學、學生學 習和教材編制做為參考依據。

綜合以上所述，依據本研究之研究目的，採用內容分析法作 為研究進行的手段，探討等號類型在代數分年細目中的用法，並 針對蒐集而得的資料加以比較，最後，再利用分析的結果，延伸 出更深層的詮釋，以瞭解國中數學課程裡等號類型所蘊含的實質 意義。

二二

二二、、、研究、研究研究研究流程流程流程 流程

本 研 究 目 的 在 探 討 國 中 課 程 綱 要 代 數 分 年 細 目 詮 釋 中 等 號 類型的呈現與分佈情形，基於上述目的，本研究蒐集並參考國內 外的相關文獻資料，以尋找研究方向並進一步確認研究主題，接 著以內容分析法做為本研究方法的主軸，一方面建立研究工具，

一方面選取研究對象，再使用研究工具將研究對象進行內容編碼 的動作，之後從定量與定質的角度對編碼結果做研究分析，研究 者在研究過程中，將不斷進行討論、修正與整理，並同步著手撰 寫研究結果，最後根據研究結果，形成研究討論與建議。本研究 之流程圖與甘特圖分別為圖 3-1 和圖 3-2 所示：

圖 3-1 研究流程圖 研

究 對 象 選 取

研 究 資 料 分 析

歸 納 研 究 結 果

研 究 討 論 與 建 議 文

獻 探 討

選 定 研 究 主

題 發

展 研 究 工 具 相

關 文 獻 資 料 蒐 集

研 究 資 料 蒐 集

進度

2009 年 2010 年 8 月 9 月 10

月

11 月

12

月 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 文獻蒐集 文獻探討 選定主題 對象選取 發展工具 撰寫計畫 計畫發表 資料蒐集 資料整理 資料分析 撰寫結果 研究發表 累積（％） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

圖 3-2 研究甘特圖

第二 第二 第二

第二節 節 節 節 研究 研究 研究架構 研究 架構 架構 架構

本研究於閱讀相關文獻後，由研究者歸納整理出以下架構圖：

圖 3-3 研究架構圖

由圖 3-3 得知，本研究係針對課綱中分年細目與詮釋，選取國中 階段的部分，進行等式與不等式的篩選，並將這些列式依據五種等號 類型做歸類，上述這些部分的分佈，行成研究之問題一、問題二、問 題三。這些等號類型又可分為標準與非標準兩大情境， 標準情境引 發運算符號的概念，限制等價關係的獲得，間接不利於代數學習的效 果；非標準情境引發關係符號的概念，直接有利於代數學習的效果，

而非標準情境中，又以等號雙邊運算方程式能促進等價關係的獲得，

亦有利於代數學習的效果。

第三 第三 第三

第三節 節 節 節 研究對象 研究對象 研究對象 研究對象

一一、、、分析取材、分析取材分析取材分析取材

研究者係根據研究目的，選擇教育部 92 年國民中小學九年 一貫課程綱要中（教育部，2003），國中階段的代數分年細目下 的細目詮釋，做為本研究之分析取材。此三個年級的代數分年細 目共計有 42 條（如附件 1），每一條細目之下的細目詮釋即為本 研究的分析取材。

二二

二二、、、、分析單位分析單位分析單位分析單位

王石番（1989）指出在進行內容分析時，須先將研究對象和 樣本單位化，也就是界定單位、釐清界限、規劃範疇的歷程，一 般說 來 ， 內 容 分 析 有 記 錄 單 位 、 抽 樣 單 位 和 脈 絡 單 位 等 三 種 單 位，依其功能來說，記錄單位蒐集抽樣單位中的資料，提供分析 的基礎；抽樣單位主要供作抽樣，並提供統計考慮的基礎。而脈 絡單位主要關於描述記錄單位的過程，故研究者採用記錄單位進 行內容分析。王文科、王智宏（2008）在文章中提到內容分析法 時，曾提到學者 Holsti 所列舉的五種記錄單位，即為「單字或符 號」、「主題」、「人物特性」、「句子或段」和「項目」，其中的單 字或符號是最小的研究單位，而且具有明確的疆界，比較容易認

定，這也是將單字或符號視為記錄單位的優點之一。

由於本研究旨在瞭解等號類型的呈現和分佈情形，故採用記 錄單位中的單字或符號做為研究分析單位，具體來說，研究者在 檢視所有的國中課程綱要代數分年細目詮釋後，並參考相關文獻 內容及專家意見，篩選出含有（＝、≠、＞、＜、≧、≦）所組 成的等式與不等式，而這些選出來的等式與不等式，即為本研究 所使用的研究對象（如附件 2），其列式在國中所有的分佈情形 可見附件 8。

第四 第四 第四

第四節 節 節 節 分析類目與研究參與者 分析類目與研究參與者 分析類目與研究參與者 分析類目與研究參與者

一一、、、等號類型分析類目、等號類型分析類目等號類型分析類目等號類型分析類目

分析類目主要是在幫助資料歸類，本研究依據研究目的，根 據 McNeil 等人（2006）針對中學書本進行研究時，所使用的等 號命題編碼方式，做為本研究等號類型的歸類，其中包含運算等 於答案的情境和非標準情境中的四類（見下表 3-1）：

（一） 運算等於答案的情境

（二） 非標準情境，其中非標準情境可再細分為四種 1. 等號雙邊運算方程式

2. 等號右邊運算方程式 3. 等號兩邊均沒有進行運算 4. 不全等

表 3-1 等號類型類目分析表

編號 編號 編號

編號 等號類型等號類型等號類型等號類型 範例範例 範例範例

1 運算等於答案的情境 3 + 4 = 7, 2x + 5 = 7, 3 + 4 = x 2 等號雙邊運算方程式 5 + 2 = 3 + 4, 3x + 6 = 2x 3 等號右邊運算方程式 7 = 3 + 4, y = 2x 4 等號兩邊均沒有進行運算 7 = 7, 12 in. = 1 ft, x = y 5 不全等 >, <, ≧, ≦, ≠ 資料來源：研究者參考 McNeil 等人（2006）編製

二二

二二、、、研究參與者、研究參與者研究參與者研究參與者

為了使研究資料分析更加客觀，研究者除了廣泛閱讀重要文 獻與論述之外，並參酌專家與同儕意見，力求本研究之信效度。

三 位 專 家 和 協 同 分 析 者 的 背 景 資 料 分 別 為 現任某大學教育所教 授，具有數學教育研究專長；就讀某大學教育所碩士班一般生，從事 數學教育相關研究；就讀某大學教育所碩士班在職生，從事國中數學 教師與數學教育相關研究。

第五 第五 第五

第五節 節 節 節 效度與信度檢驗 效度與信度檢驗 效度與信度檢驗 效度與信度檢驗

一一、、、效度檢驗、效度檢驗效度檢驗效度檢驗

傳統上把效度定義為「一種測量工具是否能真正測量出所要 測量的內容」，到了近期，世人們在討論效度時則改聚焦於，就 測驗工具所測的結果，所做的推論和詮釋，是否適當、有意義和 有用的程度，作為測驗效度的判斷（王文科、王智宏，2008）。

就本研究的歷程看來，其測驗工具即為等號類型分析類目，為使 得該類目用於資料推論和詮釋時，獲得有意義的結果，故研究者 先參考文獻，建構出等號類型分析類目，利用這些類目將研究資 料做初步的分析；之後，針對分析有出入的地方，與專家和協同 分 析 者 進 行 討 論 ， 盡 可 能 排 除 分 析 類 目 對 資 料 不 適 當 分 類 的 情 形，藉以形成支持效度判斷的證據。

考驗效度的方法甚多，其中內容效度之目的在有系統的去檢 視測驗內容的適切性，內容效度的重點在考量測驗是否可以包含 足夠的行為樣本（楊國樞、文崇一、吳聰賢、李亦園，2001）。

本研究的內容效度，在考量研究中所使用的分析類目，能否包含 所有國中課程綱要代數分年細目詮釋的等號類型，透過此一檢視 分析類目形成的動作，確保本研究內容效度的水準。參考依據說 明如下：

（一）文獻內容參考

McNeil 等人（2006）在檢視美國四種系列中學教 材所呈現的等號類型時，試圖將教材中等號類型進行編 碼的動作，學者們先將等號類型分為標準類型和非標準 類型，其中的標準類型即為「運算等於答案的情境」，

另外，再將非標準類型分為「等號雙邊運算方程式」、「等 號右邊運算方程式」、「等號兩邊均沒有進行運算」與「不 全等」，故總計共分為五種等號類型。

Li 等人（2008）在之後的研究中，比較分析中國 大陸和美國的教師指南和學生教科書，先使用 McNeil 等人的編碼方式，做為分析美國教科書中等號類型的分 類標準；另外，再將 McNeil 等人的分類方式作擴充，

由五種等號類型衍生到八種等號類型，藉以分析中國大 陸的教科書內容。故研究者參考上述學者的研究設計和 討論所得的建議，以 McNeil 等人的研究設計為主軸，

將等號類型的分析類目訂為「運算等於答案的情境」、

「等號雙邊運算方程式」、「等號右邊運算方程式」、「等 號兩邊均沒有進行運算」與「不全等」等五種形式。

（二）專家和協同分析者意見參考

本研究先依據文獻參考內容，編製等號類型類目分 析表，提供兩位協同分析者做評定的分析類目，惟協同 分析者使用該工具時，與研究者的編碼有所差異，故本 研究為精進研究工具的品質，研究者將差異之處與專家 和協同分析者共同討論，依其所提供之建議，修正分析 類目的適切性（p.35）。

二二

二二、、、信度檢驗、信度檢驗信度檢驗信度檢驗

一個測驗工具所擁有的信度，表示此工具不論在什麼時間做 測量，所得到的結果前後一致的程度，這樣的測驗品質，在任何 一種測量中，都是需要被強調的（王文科、王智宏，2008）。而 內 容 分 析 法 中 的 信 度 分 析 是 指 研 究 者 是 否 能 將 內 容 歸 入 相 同 的 類目中，使其所得的結果一致，若歸類時的一致性越高，其內容 分析的信度越高；反之，則信度越低，換句話說，內容分析的結 果會隨信度而受影響（歐用生，1991）。由上述可知，本研究所 使用的分析類目就好比測驗工具的角色，將會左右資料歸類的結 果，不論在何時使用同一種分析類目對資料進行歸類，若資料歸 類的一致性越高，則表示此研究分析時所產生的信度越高。

本 研 究 參考 李 麗 卿 （ 1981） 的 研 究 方 法， 將 內容 分 析 結 果由研究者進行初步分析後，再分別由研究者與其他協同分析者 進行獨立分析，信度的計算方式，茲依以下步驟進行計算（引自 歐用生，1991）：

（一）抽取研究樣本

Gay、Mill 和 Airasian (2007) 指出如母群體在 100 人以下，則宜全部施測（引自王文科、王智宏，2008）。

研 究 者 選 擇 國 中 階 段 （ 七 到 九 年 級 ） 的 代 數 分 年 細 目 詮 釋，總共篩選出 81 個等式與不等式，扣除其中重覆出現 一次以上的等式與不等式，實際呈現給協同分析者為 74 個，按照上述學者所述，故所選取的等式與不等式均納入 研究樣本（如附件 2）。

（二）邀請協同分析者共同評定。

（三）研究者將分析類目連同等號類型評選單發給協同分析者，

並說明分類方式和原則（如附件 3）。

（四）由研究員和協同分析者就選取範圍內容，依分析類目自行 歸類。

（五）根據歸類結果，依照下列公式計算之後，求得信度。

1.求相互同意值 Pi

2 1

2 N N Pi M

= +

M：兩人同意的項目數 N_i：每個人有的同意數 2.求平均相互同意值 P

N p P

n

i

∑

= =¹

N：相互比較的次數 3.求信度 R

( )

[

]

R nP

1 1+ −

=

n：協同分析者人數

（六）信度計算

參考 92 國中課程綱要代數分年細目詮釋等號類型分 析與協同分析結果一覽表後（如附件 4），根據信度計算公 式，求得信度為 0.974，計算數據如下：

1.評分者相互同意值 Pi（如附件 5-1）

（1）分析者 A 與研究者分類相同的有 70 個 分析者 A 與研究者分類不同的有 4 個 分析者 A 與研究者相互同意值 Pi=0.972

（2）分析者 B 與研究者分類相同的有 70 個 分析者 B 與研究者分類不同的有 4 個 分析者 B 與研究者相互同意值為 Pi=0.972 （3）分析者 A 與分析者 B 分類相同的有 66 個 分析者 A 與分析者 B 分類不同的有 8 個 分析者 A 與分析者 B 相互同意值為 Pi=0.943

2. 平均相互同意值 P（如附件 5-2）：

將 3 個評分者相互同意值相加後，除於比較次數 3 次得到平均相互同意值 P=0.962

3. 信度 R

最後代入信度公式的算法，求得信度 R=0.987 表 3-2 評分員間相互同意度及信度一覽表

協同分析者 協同分析者 協同分析者

協同分析者 研究者研究者 研究者研究者 BBBB A

AA

A 0. 972 0. 943 B

BB

B 0. 972

平均相互同意值為 0. 962 信度為 0.987

（七）評定差異處理

1.針對研究者與協同分析者 A 評定差異處理 表 3-3 研究者與協同分析者 A 評定差異

等式與 等式與 等式與

等式與不等式不等式不等式不等式 研究者研究者 研究者研究者 協同分析者協同分析者 A協同分析者協同分析者AAA

x=2 等號兩邊均沒有進行運算 不同意

y=2 等號兩邊均沒有進行運算 不同意

x=-2 等號兩邊均沒有進行運算 不同意

x= 等號兩邊均沒有進行運算 不同意

資料來源：內容擷取自附件 4

協同分析者 A 在填寫等號類型評選單，認為上述四 種等式與不 等式應該屬於運算 等於答案的情境， 這與研 究者所認為 等號兩邊均沒有進 行運算的類型有差 異，故 研究者將這 四種列式與專家和 另一外協同者做討 論，最 後將該列式歸納為「等號兩邊均沒有進行運算」的類型。

2.針對研究者與協同分析者 B 評定差異處理 表 3-4 研究者與協同分析者 B 評定差異

等式與 等式與等式與

等式與不等式不等式不等式 不等式 研究者研究者 研究者研究者 協同分析者協同分析者 B協同分析者協同分析者BBB

c²=(a+b)²-4× ×a×b 等號右邊運算方程式 不同意

c²=a²+b² 等號右邊運算方程式 不同意 a²+b²=c² 運算等於答案的情境 不同意 y=x² 等號兩邊均沒有進行運算 不同意 資料來源：內容擷取自附件 4

協同分析者 B 在填寫等號類型評選單，認為 c²、x² 為運算式，這與研究者對 c²、x²屬於數字的認知有差異，

故研究者將 c²、x²與專家和另一外協同者做討論，最後 將該情況歸類為屬於數字之類型。

第六 第六 第六

第六節 節 節 節 資料分析 資料分析 資料分析 資料分析

內容分析法可以說是一種質量並重的研究方法，更進一步來 說，量的分析主要用來分析顯著可見的內容，質的分析是用來討 論潛在的內容，藉此瞭解文件中所欲推論的、蘊含的意義（歐用 生，1991）。因此本研究進一步探討研究內容分析單位和等號類 型分析類目，搭配資料蒐集與分析之工作，分別為定量分析與定 質分析兩大類，主要目的在使得研究分析結果能達到質量並重的 效果。

一一

一一、、、、 定量分析定量分析定量分析定量分析

（一） 等式與不等式的分佈

1. 七、八、九年級中含有等式與不等式的代數分年細目數量 與百分比。

2. 七、八、九年級的含有等式與不等式的代數分年細目詮釋 中含有等式與不等式的數量與百分比。

（二） 國中各個年級間等號類型的分佈

1. 計算「運算等於答案的情境」在七、八、九年級代數分年 細目詮釋中各占該類型總量多少百分比。

2. 計算「等號雙邊運算方程式」在七、八、九年級代數分年 細目詮釋中各占該類型總量多少百分比。

3. 計算「等號右邊運算方程式」在七、八、九年級代數分年 細目詮釋中各占該類型總量多少百分比。

4. 計算「等號兩邊均沒有進行運算」在七、八、九年級代數 分年細目詮釋中各占該類型總量多少百分比。

5. 計算「不全等」在七、八、九年級代數分年細目詮釋中各 占該類型總量多少百分比。

（三） 國中各個年級內等號類型的分佈

1. 計算七年級代數分年細目詮釋中每一種等號類型各占該 年級所有等號類型數量多少百分比。

2. 計算八年級代數分年細目詮釋中每一種等號類型各占該 年級所有等號類型數量多少百分比。

3. 計算九年級代數分年細目詮釋中每一種等號類型各占該 年級所有等號類型數量多少百分比。

二二

二二、、、定質分析、定質分析定質分析定質分析

就 社 會 科 學 的 研 究 趨 勢 來 說 ， 用 數 字 計 算 的 情 形 相 當 普 遍，但是如果認為圖表和數字統計可以表示社會科學的一切，就 目前的技術而言，似乎不太可能，強調定量的方法並沒有錯，但 若貿然將把定質的方法屏除於外，這樣所得到的研究結果就有待 商榷了；另外，在研究進行的當中，從質或從量的方式往往不容 易截然劃分，所謂定質的分析有時亦採用含有量的意識的字彙，

例如多於、少於、增加或減少等字彙，定質分析著重於潛在的意 義和傳播效果分析，不同的發訊者和不同的發訊媒介賦予傳播內 容不同的意義，倘若能注重傳播結構的特性，如此一來便可增加 內容分析的效果（閻沁恆 1956）。由於資料本身無法言語，於是 研 究 者 必 須 根 據 理 論 上 及 實 務 上 的 觀 點 去 解 釋 這 些 資 料 的 意 義，研究者需要連結理論、資料和內容分析的程序賦予內容實質 上的意義。

使用定質分析作為研究推論和歸因，通常比定量分析的效果 來得好，定質分析可用來形成假設和發現新的關係，但不涉及驗 證假設的部分，是憑研究者的印象和主觀觀察的程序進行，總結 而言，定質分析是一種偏向究者主觀形成假設和關係的研究程序

（王石番，1989）。

根據以上的描述，研究者撰寫研究結果時，除了定量分析結 果外，還會加入定質分析的部份，目的就是希望瞭解國中課程綱 要 代 數 分 年 細 目 詮 釋 中 ， 等 號 類 型 呈 現 與 分 佈 所 代 表 的 意 義 為 何，進一步勾勒出等號類型在國中課程所形成的結構。故本研究 在分析國中階段等號類型的呈現、分佈及差異度之後，搭配相關 文獻之描述，研究者綜合相關資料後，形成等號類型與代數主題 和等號概念之間的假設和關係，賦予研究結果實質上的意義，期 許能提供國中數學領域教師等號類型的教學規劃，國中學生等號 概念的學習，以及國中數學領域教科書編寫人員等號類型相關內 容的編製相關建議，並提供後續研究做進一步的參考。有關定質 分析內容說明如下：

（一） 等號類型與等號概念之間的關聯

這個部份在強調分年細目詮釋中，等號類型的呈現 對於等號概念 學習的關聯性，根 據第二章文獻探討 所得 的訊息，可知等號大概存在以下兩種符號概念：

1. 將等號視為運算符號的概念，目的在使用等號發現算 術運算的答案，通常與標準的情境有關。

2. 將等號視為關係符號的概念，目的在使用等號表示等 號列式的關係，通常與非標準情境有關。

（二） 等號與代數主題之間的關聯

首 先針 對 一 元 一 次 方 程 式 、 二 元 一 次 方 程 式 、 一 元 二次方程式等三種課程細目詮釋做分析，具體呈現等號 在代數方程式的分佈情形，藉以瞭解等號對於代數方程 式學習的關係，之後再根據等式與不等式、等號類型與 等號概念的分佈結果，探討這些分佈情形與代數主題的 關聯性。

第肆章 第肆章 第肆章

第肆章 研究結果 研究結果 研究結果 研究結果

本研究針對國中課程綱要代數分年細目詮釋作分析，對應研 究一開始的五個研究問題，將第肆章研究結果分為以下五個小節 作論述。

第一節 第一節 第一節

第一節 國中 國中 國中 國中等式與不等式的 等式與不等式的 等式與不等式的 等式與不等式的分佈 分佈 分佈 分佈

一 一

一、、、、各年級中含有各年級中含有各年級中含有等式與不等式各年級中含有等式與不等式等式與不等式的代數分年細目數量與百分比等式與不等式的代數分年細目數量與百分比的代數分年細目數量與百分比的代數分年細目數量與百分比 首先找出國中階段各年級代數分年細目共 42 條，之後再從 各年級的代數細目中，篩選出含有等式與不等式的細目，其各年 級的細目分佈數量與百分比見下表 4-1（詳細的細目內容如附件 1）：

表 4-1 細目中含有等式與不等式的細目數量與百分比

年級 分年細目數量 含有等式與不等式的細目數量 百分比

七年級 18（42.9％） 14（60.9％） 77.8％

八年級 17（40.5％） 6（26.1％） 35.3％

九年級 7（16.7％） 3（13.0％） 42.9％

總計 總計 總計

總計 42（100％） 23（100％） 54.8％

由表 4-1 可知，國中階段裡，七年級的代數分年細目有 18 條，占總數量的 42.9％；八年級的代數分年細目有 17 條，占總 數量的 40.5％；九年級的代數分年細目有 7 條，占總數量的 16.7

％。另外，國中階段所有代數分年細目裡，含有等式與不等式的 細目數量總共有 23 條，其中，七年級含有等式與不等式的細目 有 14 條，占總數量的 60.9％；八年級含有等式與不等式的細目 有 6 條，占總數量的 26.1％；九含有等式與不等式的細目有 3 條，

占總數量的 13.0％。最後，再來看含有等式與不等式的細目數量，

占所有代數分年細目的比例，整體而言，國中階段的代數分年細 目總共有 42 條，其中含有等式與不等式的細目有 23 條，占國中 階段總代數分年細目數量的 54.8％，就各年級來看，七年級的代 數分年細目總共有 18 條，其中含有等式與不等式的細目有 14 條，占七年級總代數分年細目數量的 77.8％；八年級的代數分年 細目總共有 17 條，其中含有等式與不等式的細目有 6 條，占八 年級總代數分年細目數量的 35.5％；九年級的代數分年細目總 共有 7 條，其中含有等式與不等式的細目有 3 條，占九年級總代 數分年細目數量的 42.9％。