Chapter 1 空間向量
1-1 空間概念
一、空間中的基本物件是點﹑直線及平面。
二、為了討論方便起見﹐我們先列出兩個基本事實：
(1) 相異兩點可決定一直線。
(2) 不共線的相異三點可決定一平面。
注意到直線的兩端是可以無窮延伸的﹐平面上的各個方向也是可以無窮延伸的。
1 直線與直線的關係
歪斜線：在空間中﹐兩相異直線可能既不平行也不相交﹐此時兩線稱為歪斜線。
空間中的兩直線 L1 與 L2 的位置關係有下列四種情形：
(1) 兩直線重合。 (2) 兩直線恰交於一點。
(3) 兩直線平行。 (4) 兩直線歪斜。
例題1 --- 圖是一個正方體﹐試判斷下列兩直線的關係：
(1) 直線 AD 與直線 FG。
(2) 直線 AD 與直線 BF。
(3) 直線 DE 與直線 BG。
(4) 直線 AG 與直線 CE。
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解 (1)平行。(2)歪斜線。(3)歪斜線。(4)恰交於一點。
圖是一個正四面體﹐亦即每個面都是正三角形的四面體﹐試判斷下列兩直線的關係：
(1) 直線 AB 與直線 CD。
(2) 直線 BC 與直線 AD。
(3) 直線 AC 與直線 BD。
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直線與平面的關係
按照交點個數來分類﹐空間中一直線 L 與一平面 E 的位置關係有下列三種情形：
(1) 不相交﹐
此時也稱兩者平行﹐
記為 L//E。
(2) 相交於一點。 (3) 直線 L 落在平面 E 上﹐此時兩者交於 無限多點。
※直線與平面垂直的定義
若直線 L 與平面 E 相交於一點 P﹐且平面 E 上通過 P 點的每一條直線都與直線 L 垂直﹐則 稱直線 L 與平面 E 垂直﹐記為 L⊥E﹐如圖所示。
例題2 --- 長方體中﹐令 E﹐F﹐G﹐H 四點所在的平面為平面 M﹐試判斷下列哪些選項是正確的？
(A)直線 AE 與平面 M 垂直 (B)直線 AE 與直線 EG 垂直 (C)直線 AF 與平面 M 垂直 (D)直線 AE 與直線 EC 垂直
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隨堂練習--- 一個正四面體﹐已知直線 AP 與平面 BCD 垂直於 P 點﹐試判斷下列哪些選項是正確的？
(A)直線 AC 與平面 BCD 垂直
(B)直線 AP 與直線 BP﹐CP﹐DP 皆垂直 (C)點 P 為正三角形 BCD 的外心
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※平面與平面的關係
空間中兩個平面 E1﹐E2 的位置關係有下列三種情形：
(1) 不相交﹐
此時也稱兩者平行﹐
記為 E1//E2。
(2) 相交於一直線。 (3) 兩平面重合。
兩面角
平面上的一直線﹐可將該平面中不在此直線上的點分成兩個不相交的半平面﹐此直線稱為 半平面的邊界。若兩個半平面 E1﹐E2 有共同的邊界 L﹐則稱這樣的圖形為一個兩面角
在直線 L 上任取一點 P﹐分別在半平面 E1 與 E2 上作與直線 L 垂直的直線 PA 與直線 PB﹐ 此時∠APB 的大小 θ 就是此兩面角的大小﹐如圖 21 所示。
當兩面角為直角時﹐稱半平面 E1 與 E2 垂直﹐
以“ E1⊥E2 ”表示。
例題3 --- 圖是一個巧克力包裝盒﹐其三個側面都是長方形﹐其中 ¯¯＝¯¯＝¯¯＝10﹐¯¯＝¯¯＝5﹐¯¯＝
4﹐若半平面 ABCD 與半平面 BCEF 所形成的兩面角的大小為 θ﹐試求 cos θ 的值。
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隨堂練習--- 圖是一個金字塔的模型﹐其底面為邊長 10 公分的正方形﹐每一個側面都是正三角形﹐若側 面 ABC 與底面 BCDE 所形成的兩面角的大小為 θ﹐試求 cos θ 的值。
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※三垂線定理
設直線 PA 與平面 E 垂直於 A 點﹐L 為平面 E 上不通過 A 點的直線。
(1) 若由 A 點向直線 L 作垂線﹐設其垂足為 B﹐則直線 PB 與直線 L 垂直於 B 點 (2) 反之﹐若直線 PB 與直線 L 垂直於 B 點﹐則直線 AB 與直線 L 亦垂直於 B 點。
隨堂練習--- 在長方體 ABCD－EFGH 中﹐ADCEHG 為一三角柱﹐P﹐Q 分別為線段 DH﹐CG 中點﹐下列 哪些直線互相垂直？
(A)直線 AD 與直線 DG (B)直線 AH 與直線 HC (C)直線 AH 與直線 HG (D)直線 AP 與直線 PQ (E)直線 AP 與直線 PC
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例題3 --- 如圖所示﹐一條兩岸平行的河道﹐其寬度為 40 公尺﹐兩岸高度落差 20 公尺。如果想要架設 一座簡易木梯橫跨兩岸﹐則這座木梯最少要多長？
隨堂練習--- 已知地面上 A﹐B 兩點相距 20 公尺﹐而 C 點在以 ¯¯ 為直徑的圓上﹐且CAB＝60°。今在 A 點立一木桿垂直於地面﹐從桿頂到 B 點的距離為 30 公尺。若想從桿頂到 C 點間拉一繩索﹐
試求此繩索的長度。
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習 題 1-1 一﹑基本題
1. 在右圖的立方體中﹐由各邊所決定的直線中﹐試問：
(1) 哪些與直線 AB 平行？
(2) 哪些與直線 AB 垂直？
(3) 哪些與直線 AB 歪斜？
2. 下列何者正確？
(A)通過不共線相異三點的平面恰有一個 (B)通過相交於一點的兩直線的平面恰有一個 (C)通過兩平行直線的平面恰有一個
(D)通過直線 L 及線外一點 P 的平面恰有一個
3. 如右圖﹐有一四面體 ABCD﹐其中 ¯¯＝¯¯＝¯¯＝1﹐
¯¯＝¯¯＝ ﹐P 為 ¯¯ 上任一點﹐試求 ∠CAP。
4. 在空間中﹐下列哪些是正確的？
(A)已知直線 L 與線外一點 P﹐通過 P 點與直線 L 平行的直線恰有一條 (B)已知直線 L 與線外一點 P﹐通過 P 點與直線 L 垂直的直線恰有一條 (C)已知平面 E 與平面外一點 P﹐通過 P 點與平面 E 平行的直線恰有一條 (D)已知平面 E 與平面外一點 P﹐通過 P 點與平面 E 垂直的直線恰有一條
5. 已知兩直線 L 與 M 互為歪斜線﹐直線 N 與直線 L 平行﹐直線 M 與 N 的關係﹐下列哪一個 選項是正確的？
(A)一定互為歪斜線 (B)一定是相交的直線 (C)不可能是平行的直線
二﹑進階題
6. 如右圖邊長為 a 的立方體﹐O 為 ¯¯ 中點﹐¯¯：¯¯＝2：3﹐試求 ¯¯ 的長度。
7. 空間中﹐已知相異直線 L1﹐L2 與平面 E1﹐E2﹐下列哪些選項是正確的？
(A)若 L1//E1﹐L2//E1﹐則 L1//L2
(B)若 L1//E1﹐L2//E1﹐且 L1﹐L2 相交於一點﹐則 L1⊥L2
(C)若 L1⊥E1﹐L1//E2﹐則 E1⊥E2
(D)若 L1⊥E1﹐E1//E2﹐則 L1⊥E2
8. 如右圖﹐在四面體 ABCD 中﹐已知 ¯¯⊥平面 BCD 且點 P 在 ¯¯ 上﹐∠BDC＝90°﹐若 ¯¯＝
4﹐¯¯＝2﹐試求 ¯¯ 的長度。
9. 右圖是一個邊長為 a 的正四面體 ABCD﹐若半平面 ABC 與半平面 ABD 所形成的兩面角的 大小為 θ﹐試求 cos θ 的值。
三﹑挑戰題
10. 如圖(一)﹐在長方形 ABCD 中﹐¯¯＝3﹐¯¯＝4﹐今將此長方形沿對角線 AC 折起﹐如圖 (二)﹐已知折起後的半平面 ACD 與 ABC 所夾的兩面角為直角﹐試求 ¯¯ 長。
