2-3 多項式方程式
重點一 複數例題 1
化簡下列各式：
(1) －12＝ 。（2 分）
(2) i15＝ 。（2 分）
(3) 1＋i＋i2＋i3＋i4＋i5＝ 。（2 分）
(4) i－2i2＋3i3－4i4＋5i5－6i6＝ 。（2 分）
解 (1) －12＝ 12i＝2 3 i (2)i15＝（i4）3×i3＝i3＝－i (3)1＋i＋i2＋i3＋i4＋i5
＝1＋i＋（－1）＋（－i）＋1＋i
＝1＋i
(4)i－2i2＋3i3－4i4＋5i5－6i6
＝i＋2－3i－4＋5i＋6
＝4＋3i
例題 2
試求下列各數的共軛複數：
(1) 5＋7i。（2 分）
(2) －3i－2。（2 分）
(3) 4。（2 分）
(4) 3i。（2 分）
解 (1)5 7i＋ ＝5－7i
(2)－ －3i 2＝－ －2 3i＝－2＋3i (3)4 ＝4 0i＋ ＝4－0i＝4 (4)3i＝0 3i＋ ＝0－3i＝－3i
例題 3
化簡下列各式：
(1) （2＋3i）（5－4i）。（3 分） (2) （1＋i）8。（3 分）
(3)1 3 2
i i
－
＋ 。（3 分） (4) 7 2
3 4 i i
＋
－ ＋7 2 3 4 i i
－
＋ 。（3 分）
解 (1)（2＋3i）（5－4i）＝10－8i＋15i－12i2
＝10－8i＋15i＋12＝22＋7i (2)∵（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i
∴（1＋i）8＝〔（1＋i）2〕4＝（2i）4＝16i4＝16 (3)1 3
2 i i
－
＋ ＝ 1 3 2
2 2
i i
i i
（－ ）（ － ）
（ ＋ ）（ － ）＝
2
2 2
2 6 3 2
i i i i
－ － ＋
－ ＝2 6 3 5 i i
－ － －
＝ 1 7 5
i
－ －
(4)7 2 3 4 i i
＋
－ ＋7 2 3 4 i i
－
＋ ＝ 7 2 3 4 7 2 3 4 3 4 3 4
i i i i
i i
（ ＋ ）（ ＋ ）＋（ － ）（ － ）
（ － ）（ ＋ ）
＝21 28 6 8 21 28 6 8 25
i i i i
＋ ＋ － ＋ － － －
＝13 13 25
＋ ＝26 25
重點二 一元二次方程式的解 例題 4
試解下列各方程式：
(1) 2x2－5x－4＝0。（3 分）
(2) 4x2＋20x＋25＝0。（3 分）
(3) 2x2－8x＋11＝0。（3 分）
解 (1)2x2－5x－4＝0
x＝
5 52 4 2 4 4
－ （－ ）
＝5 57 4
(2)4x2＋20x＋25＝0
（2x＋5）2＝0
x＝－5
2，－5 2 (3)2x2－8x＋11＝0
x＝
8 82 4 2 11 4
－
＝8 24 4
－ ＝8 2 6 4
i
＝4 6 2
i
例題 5
設k 為實數，方程式 x2＋3x－k＝0，
(1) 若方程式有兩相異實根，則 k 之範圍為 。（3 分）
(2) 若方程式有兩相等實根，則 k 之範圍為 。（3 分）
(3) 若方程式有兩共軛虛根，則 k 之範圍為 。（3 分）
(4) 若方程式有兩實根，則 k 之範圍為 。（3 分）
解 判別式 D＝32－4×1×（－k）＝9＋4k
(1)兩相異實根，則 D＞0 9＋4k＞0 k＞－9 4 (2)兩相等實根，則 D＝0 9＋4k＝0 k＝－9 4 (3)兩共軛虛根，則 D＜0 9＋4k＜0 k＜－9 4 (4)兩實根，則 D 0 9＋4k 0 k －9
4
例題 6
設α，β 為方程式 x2＋7x＋5＝0 之兩根，則：
(1) α2＋β2＝ 。（3 分） (2) α3＋β3＝ 。（3 分）
(3) α－β＝ 。（3 分） (4)
＋
＝ 。（3 分）解 由根與係數的關係知 α＋β＝－7，αβ＝5 (1)α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ
＝（－7）2－2×5
＝49－10＝39
(2)α3＋β3＝（α＋β）3－3αβ（α＋β）
＝（－7）3－3×5×（－7）＝－343＋105＝－238 (3)∵（α－β）2＝（α＋β）2－4αβ
＝（－7）2－4×5＝49－20＝29， ∴α－β＝± 29 (4)
＋
＝2 2
＋ ＝39 5
例題 7
設a 為實數，若方程式 x2－（a＋i）x－（3＋i）＝0 有一實根，則：
(1) a＝ 。（3 分）
(2) 此方程式之解為 。（3 分）
解 (1)設方程式的實根為 α
則α2－（a＋i）α－（3＋i）＝0
（α2－aα－3）＋（－α－1）i＝0 令
2 3 0
1 0
a
－ － ＝
－ － ＝ α＝－1，a＝2， ∴a＝2 (2)由(1)知 x2－（2＋i）x－（3＋i）＝0 有實根為－1
設另一根為β，由兩根和知（－1）＋β＝2＋i β＝3＋i 故方程式之解為－1，3＋i
重點三 代數基本定理 例題 8
x6－1＝0 的六個根為 。（6 分）
解 ∵x6－1＝（x3－1）（x3＋1）
＝（x－1）（x2＋x＋1）（x＋1）（x2－x＋1）＝0
∴x－1＝0 或 x2＋x＋1＝0 或 x＋1＝0 或 x2－x＋1＝0
x＝1 或 x＝ 1 3 2
i
－ 或x＝－1 或 x＝1 3 2
i
故x6－1＝0 的六個根為 1，－1， 1 3 2
i
－ ，1 3 2
i
重點四 整係數多項式方程式的一次因式檢驗法 例題 9
(1) 試利用一次因式檢驗法將多項式 f（x）＝2x3－x2－11x＋10 分解為質因式的乘積。（3 分）
(2) 解方程式 2x3－x2－11x＋10＝0。（3 分）
解 (1)設 ax－b 為 f（x）之一次因式，其中 a，b ¢，（a﹐b）＝1，則 a∣2 且 b∣10
a 之可能值為±1，±2
b 之可能值為±1，±2，±5，±10
因此可能的一次因式為x±1，x±2，x±5，x±10，2x±1，2x±5 由f（1）＝2－1－11＋10＝0 知 f（x）有 x－1 的因式
利用長除法得f（x）＝（x－1）（2x2＋x－10）＝（x－1）（x－2）（2x＋5）
(2)由(1)知 2x3－x2－11x＋10＝0
（x－1）（x－2）（2x＋5）＝0
x＝1，2，－5 2
重點五 虛根成對定理 例題 10
設a，b，c 均為實數，若 x3＋ax2＋bx＋c＝0 有兩根 3，1－2i，則序組（a﹐b﹐c）
＝ 。（3 分）
解 實係數方程式有一根為 1－2i，必有另一根 1＋2i
〔x－（1－2i）〕〔x－（1＋2i）〕＝〔（x－1）＋2i〕〔（x－1）－2i〕
＝（x－1）2－（2i）2
＝x2－2x＋1＋4＝x2－2x＋5 為 f（x）之因式 又 3 為其一根
∴x3＋ax2＋bx＋c＝（x2－2x＋5）（x－3）＝x3－5x2＋11x－15
a＝－5，b＝11，c＝－15
故序組（a﹐b﹐c）＝（－5﹐11﹐－15）
例題 11
設f（x）＝x4－2x3－5x2－6x＋69，則 f（3－i）＝ 。（3 分）
解 以 3－i 和 3＋i 為根的多項式方程式為
〔x－（3－i）〕〔x－（3＋i）〕＝〔（x－3）＋i〕〔（x－3）－i〕
＝（x－3）2－i2
＝x2－6x＋10 由長除法知
f（x）＝（x2－6x＋10）（x2＋4x＋9）＋（8x－21）
故f（3－i）＝0×〔（3－i）2＋4（3－i）＋9〕＋8（3－i）－21
＝24－8i－21＝3－8i
1 4 9 1 6 10 1 2 5 6 69
1 6 10 4 15 6 4 24 40
9 46 69 9 54 90 8 21
＋ ＋
－ ＋ － － － ＋
－ ＋
－ －
－ ＋
－ ＋
－ ＋
－
重點六 勘根定理 例題 12
方程式f（x）＝2x3－x2－6x＋1＝0 之實根，分別介於下列哪兩個連續整數之間？（5 分）
(A)－2 與－1 (B)－1 與 0 (C)0 與 1 (D)1 與 2 (E)2 與 3
x －2 －1 0 1 2 3
解 ∵
f（x） －7 4 1 －4 1 28
∴方程式f（x）＝0 的三根分別落在（－2﹐－1），（0﹐1），（1﹐2）之間 故選(A)(C)(D)
例題 13
最接近39600 的整數為 。（5 分）
解 39600 是方程式 x3－9600 的正根 設f（x）＝x3－9600
由f（20）＝8000－9600＝－1600 f（21）＝9261－9600＝－339 f（22）＝10648－9600＝1048 可知 39600 介於 21 與 22 之間 又 f（21.5）＞0
得出最接近 39600 的整數為 21
重點七 分式方程式 例題 14
方程式
2 2
7 17 3 2 x x
x x
＋ －
－ ＋ ＝ 3
x－1＋ 5
x－2之解為 。（5 分）
解
2 2
7 17 3 2 x x
x x
＋ －
－ ＋ ＝ 3
x－1＋ 5 x－2
2 7 17
1 2
x x
x x
＋ －
（ －）（ － ）＝ 3 6 5 5
1 2
x x
x x
－ ＋ －
（ －）（ － ） 移項得
2 6
1 2
x x
x x
－ －
（ －）（ － ）＝0
x2－x－6＝0
（x－3）（x＋2）＝0
x＝3 或 x＝－2
