第二章 函数与基本初等函数
第二章 函数与基本初等函数
第二章 函数与基本初等函数
1．单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为Ⅰ.
如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的
，当x
1＜x
2时，都有 ，那么 就 说 函 数f(x)在区间D上是增函数．
任意两个自变量的
值x
1，x
2 f(x1)＜f(x
2)
第二章 函数与基本初等函数
如果对于定义域Ⅰ内某个区间D上的
，当x
1＜x
2时，都有 ， 那 么 就 说 函 数 f(x)在区间D上是减函数．
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ， 那 么 就 说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ， 区 间 D 叫 做f(x)的单调区间．
任意两个自变量的值
x1
，x
2 f(x1)＞f(x2)增函数或减函数
单调性
第二章 函数与基本初等函数 2．函数单调性的应用
(1)比较大小； (2)求函数的值域或最值；
(3)解、证不等式； (4)作函数的图象．
3．证明函数单调性的方法
(1)定义法(基本方法)：其一般步骤是：①取值：设x
1、x
2为 所给区间内D的任意两个值，且x
1＜x
2；②作差(正值可作商)：
f(x
1)－f(x
2)；③变形；④定号；⑤结论．
(2)导数法：①求导f′(x)；②判断f′(x)在区间Ⅰ上的符号；
③结论：f′(x)＞0⇒f(x)在Ⅰ上为 ，f′(x)＜0⇒f(x)在Ⅰ 上为 ．
增函数
减函数
第二章 函数与基本初等函数
4．判断函数单调性的方法 (1)定义法；
(2)求导法；
(3)利用已知函数的单调性；
(4)利用图象．
第二章 函数与基本初等函数 5．复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调 函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函 数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝
f[g(x)]为 ；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝
f[g(x)]为 ．简称为：同增异减．
增函数
减函数
第二章 函数与基本初等函数 6．函数的最大(小)值
(1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)．
②存在x
0∈I，使得f(x
0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的 最大值(最小值)．
(2)求法：
①配方法；②判别式法；③不等式法；④换元法；⑤数形
结合；⑥单调性法．
第二章 函数与基本初等函数
(3)求最值时注意的问题
①求函数最值的方法，实质与求函数值域的方法类似，只 是答题方式有差异．
②无论何种方法求最值，都要考虑“＝”能否成立．
第二章 函数与基本初等函数
7．函数的值域
(1)函数的值域的概念
在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，
函数值的集合叫做函数的值域．
第二章 函数与基本初等函数 (2)确定函数值域的原则
①当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合．
②当函数y＝f(x)由图象给出时，函数的值域是指图象在y轴 上的投影所覆盖的实数y的集合．
③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定 义域及其对应法则唯一确定．
④当函数由实际问题给出时，函数的值域还应考虑问题的
实际意义．
第二章 函数与基本初等函数
1．如果函数f(x)＝x
2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减 函数，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]
C．(－∞，5] D．[3，＋∞)
[解析] f(x)＝x
2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，
∴f(x)在(－∞，1－a]上是减函数，
要使f(x)在区间(－∞，4]上是减函数，
则只需1－a≥4，即a≤－3.
[答案] B
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[答案] C
2 ． (2010· 广 州 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
a－2x－1，x≤1，
log
ax， x＞1. 若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则 实数 a 的取值范围为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(2,3] D．(2，＋∞)
第二章 函数与基本初等函数
3．(2010·山东文数)函数f(x)＝log
2(3
x＋1)的值域为( ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] A
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第二章 函数与基本初等函数
用函数单调性的定义证明 f(x)＝x＋2
x在( 2，＋∞)上是 增函数．
第二章 函数与基本初等函数
[证明] 任取 x
1，x
2∈( 2，＋∞)，且 x
1<x
2， 则 f(x
1)－f(x
2)＝x
1＋ 2
x
1－x
2－ 2 x
2＝(x
1－x
2)＋2· x
2－x
1x
2x
1＝(x
1－x
2)(1－ 2
x
1x
2)．
∵x
2>x
1> 2 ∴x
1－x
2<0，x
1x
2>2
∴1－ 2
x
1x
2>0
∴f(x
1)－f(x
2)<0，即 f(x
1)<f(x
2)
∴f(x)在( 2，＋∞)上是增函数．
第二章 函数与基本初等函数
[点评与警示] 用定义证明函数的单调性就是在定义域内
取任意两数x
1，x
2(x
1<x
2)，再证f(x
1)－f(x
2)<0或f(x
1)－f(x
2)>0.这
通常需要将f(x
1)－f(x
2)分解成几个可判断符号的式子的乘积．
第二章 函数与基本初等函数
讨论函数 f(x)＝x＋a
x (a>0)的单调性．
[解] f(x)＝x＋a
x(a>0)
∵定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，
且 f(－x)＝－x＋ a
－x＝－(x＋a
x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数，所以先讨论 f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
设 x2>x1>0，则
第二章 函数与基本初等函数
f(x1)－f(x2)＝x1＋a
x1－x2－a x2
＝(x1－x2)(1－ a
x1x2)．
∵当 0<x1<x2≤ a时，恒有 a
x1x2>1，则 f(x1)－f(x2)>0，∴
f(x1)>f(x2)故 f(x)在(0， a]上是减函数．
当 x2>x1≥ a时，恒有 0< a
x1x2<1，则 f(x1)－f(x2)<0.∴
f(x1)<f(x2)故 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
∵f(x)是奇函数
∴f(x)分别在(－∞，－ a]，[ a，＋∞)上为增函数；f(x) 分别在[－ a，0)，(0， a]上为减函数．
第二章 函数与基本初等函数
已知函数f(x)＝x
3－ax.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，
求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
第二章 函数与基本初等函数
[解] (1)解法一：(定义法)．设x
1<x
2，由f(x)为增函数，得 f(x
1)－f(x
2)<0，所以x
13－ax
1－x
23＋ax
2<0，即
(x
1－x
2)(x
12＋x
22＋x
1x
2－a)<0.
由于x
1－x
2<0，得x
12＋x
22＋x
1x
2－a>0，即a<x
12＋x
22＋x
1x
2对一切x
1<x
2都成立，而x
12＋x
22＋x
1x
2＝(x
1＋x
2)
2＋x
22>0，
所以只需a≤0.
即a≤0时，函数f(x)在R上单调递增．
第二章 函数与基本初等函数
解法二：(导数法)，因为f′(x)＝3x
2－a，若f(x)在R上递增，
则由f′(x)>0，得3x
2－a>0，即a<3x
2在R上总成立．所以a<0.
又容易知道，当a＝0时，f(x)在R上是增函数，所以a≤0为 所求．
(2)由于3x
2－a<0在(－1,1)上总是成立，所以a>3x
2.
而x∈(－1,1)时，0≤3x
2<3，所以a≥3，即当a≥3时，f(x)在
(－1,1)上单调递减．
第二章 函数与基本初等函数
[点评与警示] (1)讨论函数的单调性应在其定义域内进 行．
(2)利用定义证明函数单调性的一般步骤要熟悉．
(3)利用导数判断或证明函数单调性的依据是：在某个区间
上，若f′(x)>0，则f(x)递增；若f′(x)<0.则f(x)递减．
第二章 函数与基本初等函数
已知函数f(x)＝x
3－3ax.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，
求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解] 定义法(导数法) (1)a≤0
(2)a≥1时
第二章 函数与基本初等函数
已知函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)．当 x>1 时，f(x)>0，
且 f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求 f(1)；
(2)证明 f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果 f( 1
3 )＝－1，求满足不等式 f(x)－f( 1
x－2 )≥2 的 x
的取值范围．
第二章 函数与基本初等函数
[分析] (1)的求解可用赋值法；对于(2)，应利用单调性定 义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利 用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑．将所给不 等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性脱去符号“f”
求解．
第二章 函数与基本初等函数
[解] (1)令 x＝y＝1，得 f(1)＝2f(1)，故 f(1)＝0.
(2)令 y＝1
x，得 f(1)＝f(x)＋f(1
x)＝0，故 f(1
x)＝－f(x)．
任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1
x1)＝f(x2 x1) 由于x2
x1>1，故 f(x2
x1)>0.从而 f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
第二章 函数与基本初等函数
(3)由于 f(13)＝－1，而 f(1
3)＝－f(3)．故 f(3)＝1.
在 f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令 x＝y＝3，得 f(9)＝f(3)＋f(3)
＝2.
又－f( 1
x－2)＝f(x－2)．故所给不等式可化为 f(x)＋f(x－
2)≥f(9)
∴
x>0
x－2>0
xx－2≥9.
解得 x≥1＋ 10.
所以 x 的取值范围是[1＋ 10，＋∞)．
第二章 函数与基本初等函数
[点评与警示] 本题中的函数是抽象形式的函数，涉及了 函数在某点处的值，函数单调性的证明、不等式的求解．在本 题的求解中，一个典型的方法技能是根据所给式子f(x·y)＝f(x)
＋f(y)进行适当的赋值或配凑．
第二章 函数与基本初等函数
f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且 f(x
y)＝f(x)－f(y)．
(1)求 f(1)的值；
(2)若 f(6)＝1，解不等式 f(x＋3)－f(1
x)<2.
[解] (1)令 x＝y，得 f(1)＝0.
(2)由 f(6)＝1 及 f(x＋3)－f(1
x)<2.
得 f[x(x＋3)]<2f(6)．
即 f[x(x＋3)]－f(6)<f(6)．亦即 f[xx＋3
6 ]<f(6)．
第二章 函数与基本初等函数
∴
x＋3>0.
1 x >0.
xx＋3
6 <6.
解得 0<x< －3＋3 17 2 .
所以不等式的解是{x x< －3＋3 17
2 }
第二章 函数与基本初等函数
求下列函数的值域 (1)y＝ x
2x＋1；
(2)y＝4－ 3＋2x－x2； (3)y＝x－ 1－2x.
第二章 函数与基本初等函数
[解] (1)(分离常数法)
y＝ x
2x＋1＝
x＋1
2－1 2 2x＋1
2
＝1 2－
1 2
2x＋1.
∵ 1
22x＋1≠0 ∴函数的值域为{y|y≠1
2，y∈R}．
第二章 函数与基本初等函数
(2)(配方法)．由 3＋2x－x2≥0.得－1≤x≤3.
∵y＝4－ －x－12＋4，
∴当 x＝1 时，ymin＝4－2＝2.当 x＝－1 或 3 时，ymax＝ 4.
∴值域为 y∈[2,4]．
第二章 函数与基本初等函数
(3)解法一：(单调性法)．定义域为{x|x≤1
2}．函数 y＝x 与 y＝－ 1－2x均在(－∞，1
2]上递增，则 y＝x－ 1－2x在(－
∞，1
2]上递增，故 y≤1
2－ 1－2×1
2＝1
2.所以函数的值域为 y
∈(－∞，1
2]．
解法二：(换元法)．令 1－2x＝t.则 t≥0.且 x＝1－t2 2 .
∴y＝－1
2(t＋1)2＋1≤1
2.(t≥0)．∴y∈(－∞，1
2]．
第二章 函数与基本初等函数
求下列函数的值域：
(1)y＝ x2－x
x2－x＋1；(2)y＝2x＋ 1－2x；
(3)y＝2x－1－ 13－4x.
