3 解一元一次方程式 2

3

一元一次方程式的意義

1

我們在日常生活中所遇到的數量問題，通常可以用數學式子來表示。

例如：亞軒和 3 位同學去看電影，買了 4 張優待票和 240 元的點心，結果 4 人共花了 800 元。

如果我們要算出 1 張優待票的價錢時，可以假設 1 張優待票 x 元，然後依 據題意畫出下面的線段圖：

1 張優待票 x 元，則 4 張優待票共 4x 元；加上買點心花了 240 元，所以 4 人總共花了 （4x＋240） 元。再由題意可知 4 人總共花了 800 元，所以 4x＋240 和 800 是相等的，因此 4x＋240＝800。

在上面的式子 4x＋240＝800 中，我們不知道 x 所代表的數是多少，這 時通常稱 x 為未知數；像這樣只含一種未知數 （一元），且未知數的最高次方 是一次的等式，稱為一元一次方程式。

圖 3-2

共 800 元

優待票 x 元 優待票 x 元 優待票 x 元 優待票 x 元 點心 240 元

2 解一元一次方程式

燕姿從高處摔下導致肱骨斷裂住院開刀，住單人病房每天要支付病房費 3500 元，住院期間燕姿還需要付健保醫療部分負擔費用 1600 元，出院 時結算共需繳納 12100 元。

1 病房費每天 3500 元，若燕姿住院 x 天，需付病房費多少元？

（以含 x 的式子表示）

2 依據題意「住院 x 天的病房費及醫療部分負擔費用 1600 元一共是 12100 元」列出一元一次方程式。

一元一次方程式的列式

例

1

對應能力指標7-a-04

搭配習作 P52 基礎題1、2

已知老師的年齡為 41 歲，且老師的年齡是黃易年齡的 3 倍少 1 歲。

1 依據題意 「老師的年齡是黃易年齡的 3 倍少 1 歲」，若黃易的年齡為 x 歲，則老師的年齡為 歲。（以含 x 的式子表示）

2 依據題意「老師的年齡為 41 歲」列出一元一次方程式為

　 。

1 病房費每天 3500 元，燕姿住院 x 天，需付病房費 3500x 元。

2 住院 x 天的病房費需 3500x 元，

部分負擔費用 1600 元，

一共是 3500x＋1600 元，

所以列出一元一次方程式為 3500x＋1600＝12100。

在前一節提到，如何將一些文字敘述改寫成算式，現在我們再將這些文字 敘述改一改，就可以根據下面新的敘述列出一元一次方程式了：

1 2 3 4 5

文字敘述 可以列出的方程式

x 減 8 是 10 x 的 5 倍等於 35 x 的 6 倍加 7 是 37

比 x 大 5 的數是 3 比 x 的 4 倍小 3 的數是 21

x－8＝10 5x＝35 6x＋7＝37

x＋5＝3 4x－3＝21 3x－1

3x－1＝41

將各數分別代入方程式 4x＋80＝8x＋20，檢驗等號是否成立：

所以 x＝15 是一元一次方程式 4x＋80＝8x＋20 的解。

5、12、15、18 四數中，何者為一元一次方程式 4x＋80＝8x＋20 的解？

當我們依據題意列出一元一次方程式後，接著 就是要找出這個方程式中未知數所代表的數。如果 一個數代入方程式後能使等號兩邊的值相等，則我 們稱這個數為方程式的解或方程式的根。

例如在例題 1 中：

住院 1 天表示 x＝1，費用一共是 3500×1＋1600＝5100（元）

住院 2 天表示 x＝2，費用一共是 3500×2＋1600＝8600（元）

住院 3 天表示 x＝3，費用一共是 3500×3＋1600＝12100（元）

所以燕姿住院 3 天。

也就是說，x＝3 就是一元一次方程式 3500x＋1600＝12100 的解；

又如一元一次方程式 x＋5＝13 中，用 8 代替未知數 x 時，

等號左邊 x＋5 成為 8＋5

8＋5 的結果是 13 等號右邊 所以 x＝8 是方程式 x＋5＝13 的解。

「將一個數代入方程式」就 是「以該數取代方程式中的 未知數」的意思。

例

2

左式：4x＋80 右式：8x＋20 是否為解 4× 5＋80＝100 8× 5＋20＝60 否 4×12＋80＝128 8×12＋20＝116 否 4×15＋80＝140 8×15＋20＝140 是 4×18＋80＝152 8×18＋20＝164 否 5

12 15 18 x

一元一次方程式的解

2

搭配習作 P52 基礎題 3

將 x 分別以 1、2、3、4、5、6 代入方程式 3x＋2＝20 逐一檢驗，試問何 者為該方程式的解？

解一元一次方程式時，如果每次都要逐一代入檢驗，通常不易找出方程式 的解。例如當方程式的解為分數時，我們用整數的值代入，就無法求出此方程 式的解。因此，我們將介紹等量公理與移項法則來求一元一次方程式的解。

100克 300克

用什麼方法可以很快 求出 是多少克？

想像遠比知識重要，因為知識是有限的，而想像力卻可以遨遊世界。

—愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）

數學小語錄

x＝6

要有效的求出一元一次方程式的解，我們必須對方程式作運算，因此接下 來我們要先學習一些運算規則。

世嘉與鳳儀各有一包糖果，這兩包糖果的個數相同，如果將兩包糖果同時 加入或取出相同數量的糖果，那麼兩包糖果的個數還是一樣多。

＝ ＝

如果世嘉與鳳儀的糖果數同時變成原來的某個倍數（例如 3 倍），那麼世嘉 與鳳儀的糖果數還是一樣多。

如果把世嘉與鳳儀的糖果各自分成幾等分（例如 4 等分），那麼世嘉與鳳儀 的每份糖果數還是一樣多。

如同上面的情境，

＝

＝

在等號左右同時加、減、乘、除一數（除數不為 0），等號仍然成立。這個概 念我們稱為等量公理。

等量公理與移項法則

3

雖然我們所舉的情境都是正數，但實際上，不論是正數或負數，等量公理 都是成立的。

我們可以將等量公理寫成：

反過來說，

例如：由1a＋4＝b＋4 或2a－4＝b－4 或34a＝4b 或4 a4 ＝ b

4 都可以 推得 a＝b。

接下來，我們就利用等量公理來求方程式的解。求出解之後，一定要將解 代入原方程式驗算，以確定答案是正確的，這是一個很重要的步驟。

a、b、c 為任意給定的三數，若 a＝b，則

1a＋c＝b＋c 2a－c＝b－c

3a×c＝b×c 4a÷c＝b÷c（此時 c 不為 0 ）

當1a＋c＝b＋c 或 2a－c＝b－c 或3a×c＝b×c （此時 c 不為 0 ） 或 4a÷c＝b÷c 則可推得 a＝b 的結論。

解下列各一元一次方程式：

1 x＋38＝－27 2x－19＝25 以等量公理解方程式

例

3

1為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x＋38」消去 38。

x＋38＝－27

x＋38－38＝－27－38 x＝－65

同減 38 等號兩邊

＜驗算＞

把 x＝－65 代入原方程式：

左式＝ x＋38＝（－65）＋38＝－27＝右式 所以 x＝－65 是原方程式的解（根）。

2為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x－19」加上 19。

x－19＝25

x－19＋19＝25＋19 x＝44

同加 19 等號兩邊

＜驗算＞

把 x＝44 代入原方程式：

左式＝ x－19＝44－19＝25＝右式 所以 x＝44 是原方程式的解（根）。

搭配習作 P52 基礎題 4

1為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「－3x」除以 －3。

－3x＝63 －3x

－3 ＝ 63－3 x＝－21

同除以－ ₃ 等號兩邊

2 為了要求出 x 的值，所以需將等號左邊的「x÷7＝ x

7 」乘以 7。

x÷7＝14 x

7 ＝14

x

7 ×7＝14×7 x＝98

同乘以 7 等號兩邊

＜驗算＞

把 x＝－21 代入原方程式：

左式＝－3x＝（－3）×（－21）＝ 63 ＝右式 所以 x＝－21 是原方程式的解（根）。

＜驗算＞

把 x＝98 代入原方程式：

左式＝x÷7＝98÷7＝14＝右式 所以 x＝98 是原方程式的解（根）。

在例題 3 第 1題的解題過程中，如果我們省略寫出應用等量公理的步驟

（等號兩邊同減 38），那麼看起來就相當於我們把原先等號左邊的 「＋38」，移 到等號的右邊變成 「－38」。像這樣的運算方式，我們稱為移項法則。

等號兩邊同減 38

等號兩邊同加 19

看起來相當於把等號左邊的 「＋38」

移到等號的右邊變成 「－38」。

看起來相當於把等號左邊的 「－19」

移到等號的右邊變成 「＋19」。

1 x＋38＝－27 x＋38－38＝－27－38 x＝－27－38 x＝－65

同樣地，在例題 3 第 2題中，省略應用等量公理的步驟後，我們可以看到 等號左邊的 「－19」，移到等號右邊變成 「＋19」。

2 x－19＝25 x－19＋19＝25＋19

x＝25＋19 x＝44

解下列各一元一次方程式：

1－3x＝63 2x÷7＝14 以等量公理解方程式

例

4

1 －3x＝63

－3x

－3 ＝ 63

－3 x ＝ 63

－3 x ＝－21 2 x÷7＝14 x

7 ＝14 x

7 ×7＝14×7 x＝14×7 x＝98

接下來的例題中，我們將等量公理與移項法則的解題過程並列，希望同學 們能仔細觀察這兩種解法中的對應關係。

解下列各一元一次方程式：

1x＋8＝－9 2y－6＝7

37x＝－105 43x ＝11

5x÷6 ＝－18 6－ 1

4 t ＝6 等號兩邊同除以－ 3

等號兩邊同乘以 7

看起來相當於把等號左邊的 「乘以－ 3」

移到等號的右邊變成 「除以－ 3」。

看起來相當於把等號左邊的 「除以 7」

移到等號的右邊變成 「乘以 7」。

在例題 4 中，也可以看到移項法則的其他運算方式。

x＝－17 y＝13

x＝－15 x＝11

3

x＝－108 t＝－24

移項法則的解題過程 3x－20＝30

3x＝30＋20 3x＝50

x＝ 503

＜驗算＞把 x＝ 503 代入原方程式：

左式＝3x－20＝3× 503 －20＝50－20＝30＝右式 所以 x＝ 503 是原方程式的解（根）。

等量公理的解題過程 3x－20＝30

3x－20＋20＝30＋20 3x＝50 3x3 ＝ 503 x＝ 503

等號兩邊同加20 整理

等號兩邊同除以 3

整理

解一元一次方程式 3x－20＝30。

等量公理與移項法則

例

5

解下列各一元一次方程式：

12x＋8＝14 2－6＋4y＝7

3 35 x＋6＝21 44－5t＝－6

搭配習作 P52 基礎題 4

x＝3 y＝ 134

x＝25 t＝2

＜驗算＞把 x＝ 113 分別代入原方程式的左式與右式：

左式＝3x＋7 ＝3× 113 ＋7 ＝18

左式＝右式，所以 x＝ 113 是原方程式的解。

右式＝6x－4 ＝6× 113 －4 ＝18

當我們解一元一次方程式時，最終的目的是要求出未知數的值，得到形如 x＝3 的式子，所以若方程式的等號兩邊都含有未知數 x ，則我們應當設法使等 號一邊的每項都含未知數 x，而另一邊不含未知數 x。

我們說過，以文字符號代表數的時候，可以將它視為數來做運算，並與數 有相同的運算規則。因此，在方程式的等號兩邊加、減相同的未知數，或是對 未知數進行移項，並不影響所求出方程式的解。

解一元一次方程式 3x＋7＝6x－4。

等量公理與移項法則

例

6

等量公理的解題過程 3x＋7＝6x－4

3x－3x＋7＝6x－3x－4 7＝3x－4 7＋4＝3x－4＋4 11＝3x

113 ＝ 3x3

113 ＝x（習慣上寫成 x＝ 113 ）

移項法則的解題過程 3x＋7＝6x－4

7＝6x－3x－4 7＝3x－4 7＋4＝3x 11＝3x 3x＝11 x＝ 113

等號兩邊同減3x 整理

等號兩邊同加4

等號兩邊同除以3 整理

搭配習作 P52 基礎題 4、51

在例題 6 中，解一元一次方程式 3x＋7＝6x－4 時，如果先將 6x 移到等號 的左邊，再將＋7 移到等號的右邊，則解方程式的過程就變成：

3x－6x＋7＝－4 －3x＋7＝－4 －3x＝－4－7 －3x＝－11 x ＝ －11

－3 x ＝ 113

解下列各一元一次方程式：

126＋3x＝50－9x 25x＋24＝5x＋8＋4x

33（2x－4）＝30 4－2（3x－1）＋2＝41

55（2x＋3）＝4x＋69 6－10＝3x－4（2x－5）

驗算的步驟很重要，但我們可以自行檢驗，通常不用將驗算過程寫出來。

x＝2 x＝4

x＝7 x＝－ 376

x＝9 x＝6

解 三

分數直接移項 2x＝ 2

3 x－16 2x－ 23 x＝－16

4

3 x＝－16

x＝（－16）÷ 43 x＝（－16）× 34

x＝－12

2x＝ 23 x－16 6x＝3（ 23 x－16）

6x＝2x－48 6x－2x＝－48

4x＝－48 x＝ －48

4 x＝－12

等號兩邊同乘以 3 將右式化簡 解 三

先去分母再移項

解一元一次方程式 2x＝ 23 x－16。

以移項法則解方程式

例

7

解下列各一元一次方程式：

1 14 x－4＝x＋3 2－x＋16＝ 53 x

x＝－ 283 x＝6

搭配習作 P53 基礎題 55

解下列各一元一次方程式：

1 2（3－x）＝－4（x＋5） 2 2（x－4）－（3x＋4）＝－20＋7x

23 x－ 32 ＝ 1

4 x－ 34

23 x－ 14 x＝－ 3 4 ＋ 3

2 812 x^－ 3

12 x＝－ 34 ＋ 64 512 x＝ 34 x＝ 34 ÷ 5

12 ＝ 34 × 125 ＝ 95 解 三

分數直接移項

1 3

3（－2x－5）＋3x＝9＋4（x＋2）

－6x－15＋3x＝9＋4x＋8

－6x＋3x－4x＝9＋8＋15 －7x＝32

x＝－ 327

解一元一次方程式 3（－2x－5）＋3x＝9＋4（x＋2）。

解一元一次方程式

例

8

解一元一次方程式 23 x－ 32 ＝ 14 x－ 34 。 解一元一次方程式

例

9

x＝－13 x＝1

搭配習作 P52 基礎題 52∼4／

P53 基礎題57∼8、66∼8

搭配習作 P53 基礎題 61、4

解一元一次方程式 32 x－2＝2x＋ 25 。 2

3 x－ 32 ＝ 1

4 x－ 34 8x－18＝3x－9

8x－3x＝－9＋18 5x＝9

x＝ 95

等號兩邊同乘以 12 23 x－ 3

2 ＝ 1 4 x－ 3

4 等號兩邊同乘以 12 （ 2

3 x－ 3

2 ）×12＝ （ 1 4 x－ 3

4 ）×12 2

3 x×12－ 3

2 ×12 ＝ 1

4 x×12－ 3 4 ×12 8x－18＝ 3x－9

解 三

先去分母再移項

2x＋14 － x－4 6 ＝2 2x＋1

4 ×12－ x－4

6 ×12 ＝ 2×12 3（2x＋1）－2（x－4）＝24 6x＋3－2x＋8＝24 4x＋11＝24 4x＝13 x＝ 134

等號兩邊同乘以 12

要記得加括號 才不會算錯哦！

1 1

3 2

解一元一次方程式 2x＋1

4 － x－4

6 ＝2。

解一元一次方程式

例

10

x＝－ 24

5

搭配習作 P53 基礎題 56、62∼5

解一元一次方程式 3x－1

2 － 2x＋5

3 ＝1。

! 一元一次方程式：只含一種未知數，且未知數的次方是一次的等式，

稱為一元一次方程式。

@方程式的解（根） ：若一數代入一元一次方程式可使等號兩邊的值相等，

此時這個數滿足此方程式，是這個方程式的解（根）。

#等量公理 ：當等號左右兩邊相等時，在等號左右同時加、減、乘、除 一數（除數不為 0），等號仍然成立。

也就是說，a、b、c 為任意三數，若 a＝b，則 1 a＋c ＝ b＋c 2 a－c ＝ b－c

3 a×c ＝ b×c 4 a÷c ＝ b÷c（c 不為 0 ） 反過來說，

當1 a＋c ＝ b＋c 或 2 a－c ＝ b－c 或3 a×c ＝ b×c （c 不為 0 ） 或 4 a÷c ＝ b÷c 則可推得 a＝b 的結論。

$移項法則：解一元一次方程式的過程中，省略寫出應用等量公理的步 驟，看起來相當於把等號一側的某數（或項）移到另一側，但要變號，

「＋」 會變成 「－」，

「－」 會變成 「＋」，

「×」 會變成 「÷」，

「÷」 會變成 「×」。

x＝ 195

自 我 評 量 1-1 3-2

1 依據下列各文字敘述列出一元一次方程式：

1x 加 5 等於 13 2x 的 7 倍等於 21

3x 的 5 倍加 9 等於 29 4x 的 4 倍減 3 等於 25

2（ ）試判斷 x＝－3 是下列哪一個方程式的解？

A5x＋2＝2x＋5 B5x－2＝－2x＋5 C5x＋4＝2x－5 D5x＋4＝－2x－5

3解下列各一元一次方程式：

　15x＝3x 23x＋1＝2x－5

　3 12 x＋3＝ 2

3 x－2 42（x－4）－3（x＋4）＝－2

　53（2x＋1）－（x＋2）＝（7x＋1）－4（x－3）

　6 3x－3

4 ＋ x－8 3 ＝2

x＋5＝13 7x＝21 5x＋9＝29 4x－3＝25

x＝0 x＝－6

x＝30 x＝－18

x＝6

x＝5 C