高中數學(三)習作甲 第 3 章 平面向量 51
3-2 平面向量的內積
重點一 向量的夾角與內積 例題1
設a＝（1﹐0），b＝（1﹐1），試求：
(1) a．b＝ 。
(2) a與b兩向量的夾角為 θ，則 θ＝ 。 解 (1)由內積的定義得a．b＝1×1＋0×1＝1
(2)cosθ＝ a b a b
．
∣∣∣∣
＝ 2 21 2 2 1 0． ． 1 1
＝ 1
2 ＝ 2 2
θ＝45°
例題2
設a＝（－1﹐1），b＝（x﹐y），
(1) 若a⊥b，則 x，y 的關係式為 。 (2) 若a//b，則 x，y 的關係式為 。 解 (1)∵a⊥b a．b＝0
（－1）x＋1×y＝0 x－y＝0 (2)∵a//b
1 x
． ＝ 1 y
x＋y＝0 例題3
如下圖，ABCDEF 是邊長為 1 的正六邊形，則下列各內積的大小排列為何？
(A)AB．AB (B)AB．AC (C)AB．AD (D)AB．AE (E)AB．AF 。
解 (A)AB．AB＝│AB│2＝1
(B)AB．AC＝│AB││AC│cos∠BAC＝1× 3×cos30°＝3 2 (C)AB．AD＝│AB││AD│cos∠BAD＝1×2×cos60°＝1 (D)AB．AE＝│AB││AE│cos∠BAE＝1× 3×cos90°＝0 (E)AB．AF ＝│AB││AF│cos∠BAF＝1×1×cos120°＝－1
2
∴(B)＞(A)＝(C)＞(D)＞(E) 重點二 內積的性質
例題4
兩向量a與b之間的夾角是 120°且大小分別是 6 與 4，試求：
(1) │a＋b│＝ 。
高中數學(三)習作甲 第 3 章 平面向量 52
(2) │2a＋3b│＝ 。
解 (1)│a＋b│2＝（a＋b）．（a＋b）＝│a│2＋2a．b＋│b│2
＝36＋2×6×4×cos120°＋16＝28
∴│a＋b│＝ 28＝2 7
(2)│2a＋3b│2＝（2a＋3b）．（2a＋3b）＝4│a│2＋12a．b＋9│b│2
＝4×36＋12×6×4×cos120°＋9×16＝144
∴│2a＋3b│＝12 例題5
(1) 設a，b為兩向量，若│a＋b│＝4，│a－b│＝2，則a．b＝ 。 (2) 若兩向量a，b滿足 3a＋2b＝0，且│b│＝6，則a．b＝ 。 解 (1)│a＋b│2＝│a│2＋2a．b＋│b│2＝16………
│a－b│2＝│a│2－2a．b＋│b│2＝4 ………
－得 4a．b＝12 ∴a．b＝3 (2)由 3a＋2b＝0得a＝－2
3 b
，知a，b反向且│a│＝2
3│b│＝4 故a．b＝│a││b│cos180°＝4×6×（－1）＝－24
重點三 柯西不等式 例題6
x，y 為實數，x2＋y2＝52，則：
(1) 2x＋3y＋1 的範圍為 。
(2) 發生最大值時的數對（x﹐y）＝ ；發生最小值時的數對
（x﹐y）＝ 。 解 (1)令u＝（x﹐y），v
＝（2﹐3）│u│2＝x2＋y2，│v│2＝13，u．v＝2x＋3y 由柯西不等式得（x2＋y2）×13 （2x＋3y）2 －26 2x＋3y 26
∴－25 2x＋3y＋1 27 (2)當u//v，
2 x＝
3
y＝t，將 x＝2t，y＝3t 代入 x2＋y2＝52 得 t＝±2 令 t＝2 時，x＝4，y＝6 2x＋3y＋1 有最大值為 27
即發生最大值時的數對（x﹐y）＝（4﹐6）
令 t＝－2 時，x＝－4，y＝－6 2x＋3y＋1 有最小值為－25 即發生最小值時的數對（x﹐y）＝（－4﹐－6）
重點四 正射影公式 例題7
已知a＝（2﹐1），b＝（4﹐－3），則：
(1) b在a的正射影為 。 (2) a在b的正射影長為 。 解 (1)a．b＝2×4＋1×（－3）＝5
│a│2＝22＋12＝5 b在a的正射影為 a b2
a
．
∣∣
a
＝5
5（2﹐1）＝（2﹐1）
高中數學(三)習作甲 第 3 章 平面向量 53
(2)│b│2＝42＋（－3）2＝25 a在b的正射影為 a b2
b
．
∣∣
b
＝ 5
25（4﹐－3）＝ 4 3 5 5
．． 故a在b的正射影長為
2 2
4 3
5 5
． ． ＝1
例題8
設平面上三點 A（－3﹐3），B（7﹐8），C（0﹐7），試求：
(1) AB在AC上的正射影為 。
(2) 點 B 在直線 AC 上的正射影點為 。 解 AB＝（10﹐5），AC＝（3﹐4）
(1)AB在AC上的正射影為 AB AC2 AC
．
∣∣
AC
＝10 3 5 4 25
．
（3﹐4）＝（6﹐8）
(2)設點 B 在直線 AC 上的正射影點為 H（x﹐y）
則AH＝（6﹐8）（x＋3﹐y－3）＝（6﹐8）
∴x＝3，y＝11 H（3﹐11）
故點 B 在直線 AC 上的正射影點為（3﹐11）
重點五 向量內積在平面幾何的應用 例題9
平行四邊形 ABCD，若│AB│＝5，│BC│＝7，則：
(1) AC2＋BD2＝ 。 (2) AC．BD＝ 。
解 (1)AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）＝2（52＋72）＝148 (2)AC．BD＝（AB＋BC）．（BC－AB）
＝│BC│2－│AB│2
＝72－52＝24
高中數學(三)習作甲 第 3 章 平面向量 54
例題10
△ABC 中，若AB＝3，BC＝6，AC＝5，M 為BC之中點，則AM ＝ 。
解 利用中線定理：AB2＋AC2＝2
2 2
2 AM BC
．
9＋25＝2（AM 2＋32） AM 2＝8
∴AM ＝2 2
