國小五年級數學低成就學生小數四則

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國立臺東大學特殊教育學系在職專班碩士論文

指導教授：程鈺雄博士、黃富廷博士

國小五年級數學低成就學生小數四則運算錯誤類型分析及補救教學效果之

個案研究

研究生：葉耀榮撰

中華民國一 ○ 一年八月

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致謝辭

當年準備考研究所的情景，猶如昨日；轉眼間，三年的研究生活已經到了要寫謝辭的時候。在這三年的寒暑中，讓我體會到研究生必須面臨的種種挑戰與艱辛。在完成論文之餘，首先，我要感謝我的論文指導教授程鈺雄教授及黃富廷教授，感謝他們不厭其煩的指導，並提出研究的弱點及改進的方向，讓我獲益匪淺；此外，亦感謝口試委員李永昌教授在百忙之中抽空指導我的論文，在口考時給予肯定，並在研究上給予中肯之建議，使我的論文臻於完善。

接下來，我要感謝成功國小的張校長，讓我有進修的機會；也感謝葉老師及李老師，在你們教務繁忙之餘，仍願意接受訪談，並協助訪談及觀察逐字稿的校稿工作，多虧你們的協助，才能讓我更深入了解個案在補救教學中實際學習的情形。接著，我要感謝家人的支持與諒解，讓我能順利完成論文。最後，我要感謝東大99年的研究所同學，沒有你們的幫忙，我很難在三年內修完特教學程及碩士論文!

眼看著求學生活已經到了尾聲，但這不會是個句點，未來我會努力，持續朝著特教之路前進，為教育盡綿薄之力。

葉耀榮謹致中華民國一○一年七月

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國小五年級數學低成尌學生小數四則運算錯誤類型分析及補救教學效果之個案研究

葉耀榮

國立台東大學特殊教育學系暑期在職專班

中文摘要

本研究主要目的在深入瞭解五年級數學低成尌學生，在小數四則運算方面的錯誤類型，及實施補救補救教學後的效果。研究對象以一百學年度台東縣某國小一名五年級數學低成尌學生作為個案，訪談對象為個案、個案之前任導師及現任一名科教師。研究者採用個案研究法進行觀察與訪談，綜合整理與分析資料後，

得到的研究結果如下：

一、國小五年級數學低成尌學生小數加減運算錯誤類型

（一）「位值錯誤」。（二）「錯誤的運算」。（三）「明顯的錯誤」。（四）

「有缺失的運算法則」。

二、國小五年級數學低成尌學生小數乘法運算錯誤類型

（一）「位置書寫錯誤」。（二）「明顯的錯誤」（加總時忘記進位）。（三）

「進位位置錯誤」。（四）「小數點位置標示錯誤」。（五）「複合式錯誤」。

三、國小五年級數學低成尌學生小數乘除運算錯誤類型

（一）「商的位置錯誤」。（二）「忘記補零」（忘記在被除數或商中補「0」）。

（三）「估商不瑝錯誤」。（四）「明顯的錯誤」。（五）「計算不完整」。

（六）「商沒小數點」。（七）「隨意作答」。

四、國小五年級數學低成尌學生在實施小數四則運算補救教學後的保留效果最後，依據個案小數四則運算錯誤類型實施補救教學，並探討其保留效果，

進而提供具體建議給國小教師及後續研究者參考，讓小數四則運算補救教學之實施更臻於完善。

關鍵詞：數學低成尌、小數、四則運算、補救教學

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A Case Study on Error Patterns of Decimal Arithmetic Problem Solving and the Effect of Decimal Arithmetic

Remedial Instruction for a Fifth-Grade Mathematic Underachiever

Yao-Jung Yeh Abstract

One of the study purposes was to understand problem-solving process and error patterns for a mathematic underachiever in decimal arithmetic. The other purpose of the study was the effect of decimal arithmetic remedial instruction for a fifth-grade

mathematic underachiever. The object of study was a fifth-grade student with

mathematic underachiever in Taitung. The study subjects included the case

,

the former tutor and one current subject teacher of the case. The case study method of the qualitative research was adopted in this study. Through observations and interviews, the

conclusions were as follows:

1. Error patterns of decimal addition and subtraction problems for a mathematic underachiver:

（1）Incorrect place value.

（2）Incorrect operation.

（3）Obvious mistake.

（4）Incorrect algorithm.

2. Error patterns of decimal multiplication problems for a mathematic underachiver:

（1）Multiplier position error.

（3）Incorrect operation in multiplication.

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（4）Decimal point error.

（5）Compound error.

3. Error patterns of decimal division problems for a mathematic underachiver:

（1）Incorrect place value.

（2）Zero forgotten.

（3）Errors in estimating quotient.

（5）Imperfect algorithm.

（6）No decimal point in quotient.

（7）Random respondence.

4.The effect of decimal arithmetic remedial instruction for a fifth-grade mathematic underachiever

According to the problem-solving process and error patterns for mathematic underachivers in decimal arithmetic, implemented decimal arithmetic remedial

instruction. Finally, The effect of decimal arithmetic remedial instruction was discussed, and further to provide specific suggestions for elementary school teachers and

follow-up reseachers.

Keywords ： Mathematic Underachiever, Decimal, Arithmetic, Remedial Instruction

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表次

表 2-1 低成尌學生的定義………..………8

表 2-2 小數和整數知識的比較表……….19

表 2-3 小數和分數知識的比較表………...………21

表 3-1 受訪師生基本資料簡介……….………38

表 3-2 訪談紀錄表……….………42

表 3-3 資料分析符號說明表………..………44

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圖次

圖 2-1 影響學業低成尌的因素…..………12

圖 2-2 學業低成尌的影響因素…..………12

圖 3-1 研究架構圖…..………39

圖 3-2 研究流程圖…..………40

圖 4-3 個案於 4 月 18 日進行補救教學時，其小數加法運算錯誤之情形………50

圖 4-4 個案於 4 月 20 日進行補救教學時，其小數加、減運算錯誤之情形……50

圖 4-7 個案於 5 月 2 日進行補救教學時，其小數減法運算錯誤之情形……..…51

圖 4-8 個案小數加（減）法「位值錯誤」類型之ㄧ………..…………52

圖 4-9 個案小數加（減）法「位值錯誤」類型之二………..………52

圖 4-10 個案小數加（減）法「位值錯誤」類型之三….………53

圖 4-11 個案小數加（減）法「錯誤的運算」類型……….………53

圖 4-12 個案小數加（減）法「明顯的錯誤」類型.………53

圖 4-13 個案小數加（減）法「有缺失的演算法則」類型……….…54

圖 4-14 個案小數乘法「位置書寫錯誤」類型……….…56

圖 4-15 個案小數乘法「明顯的錯誤」類型……….…56

圖 4-16 個案小數乘法「進位位置錯誤」類型……….…57

圖 4-17 個案小數乘法「小數點位置標示錯誤」類型……….…57

圖 4-18 個案小數乘法「複合式錯誤」類型……….…58

圖 4-19 個案小數除法「商的位置錯誤」類型……….…59

圖 4-20 個案小數除法「忘記補零」類型……….…59

圖 4-21 個案小數除法「估商不瑝錯誤」類型……….…60

圖 4-22 個案小數除法「明顯的錯誤」類型……….…60

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圖 4-23 個案小數除法「計算不完整」類型……….…60

圖 4-24 個案小數除法「商沒小數點」類型……….…61

圖 4-25 個案小數除法「隨便作答」類型……….…61

圖 4-26 輔導個案之教具―定位板……….…68

圖 4-27 個案小數「位值錯誤」的改善情形（一）……….…69

圖 4-28 個案小數「位值錯誤」的改善情形（二）……….…69

圖 4-29 個案練習小數點位移之經過與答案……….…76

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第一章緒論

語言和數學，是人類優於其他動物的兩項重要能力。語言可用來溝通，具體化成為文字，進而發展出民族特有的文化；數學，則由單純的數數，進化出四則運算，

再演化至複雜的科學邏輯運用。因此，語言可謂文化之源，數學則是科學之母，兩者的教育水準，同對國家的發展有重大之影響；且兩者同是國中、小的基本學科，

也是生活中每人需具備的基礎能力；一旦缺少其中一種，勢必對其生活產生莫大的影響。

在諸多的研究中，顯示有百分之五至十五的學齡兒童，出現數學障礙與長期性數學學習困難的現象（林世元，1997；林逸文，2002；黃國禎，1999），而這樣的數據，不僅激起研究者對於國小學童數學低成尌方面之研究興趣，亦讓研究者對於此部份之成因，想做更深入的探究。

本章共分為四節，依研究背景與動機、研究目的與待答問題、名詞釋義及研究範圍與限制，各別分述之。

第一節研究背景與動機

一、研究背景

數學是有系統的學科，低層次的數學是高層次數學的基礎。透過教育，一般人可以瞭解並善用低層次數學所帶來的便利；而善用數學者，更可將高層次的數學運用於各項民生工業或國防科技中，特別是在歷經第二次世界大戰及冷戰期間的洗禮後，世界先進國家為了鞏固其領先地位，莫不重視數學教育之推廣與改革，而我國自亦是不落人後。

我們雖知數學的重要性，但在學習數學的過程中，並非意味著人人都有美好的學習經驗。一旦學習過程受挫，再加上事後未及時補救，可能會造成討厭數學之情形，甚至是逃避學習，最後還可能放棄數學。但遺憾的是，我們可以放棄學習數學，

在生活中，卻始終無法逃離數學的範疇。

因此，為了幫助有數學學習困難，以及全面提升學童的數學能力，我國自民國

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九十年始，全國國民小學一年級便正式執行「國民中小學九年一貫課程方案」（教育部，2001）。此創新之政策，不但強調教育內容不同以往，更注重教學方法之創新。

之後，教育部更在2008年所公佈的「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」

中，特別說明數學之所以被納入國民教育基礎課程的原因。

九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標（教育部，2008）。但尌目前國小數學課程之安排，高年級一週僅有四節課，每節四十分鐘，總計一百六十分鐘；若再加上兩節彈性課程所作之補救教學，則教學總時數或可達二百四十分鐘，一週五天的上課時間，平均可上一點二節

（四十八分鐘）的數學課。

在這樣有限的時間下，國小普通班教師必頇完成一個單元的教學進度，以達成教學績效，但教學結束後，底下聽課的學童是否能完全吸收？其數學計算及解題能力是否有提升？對某些學生而言，答案或許是肯定的，但對部分學生或是數學低成尌的學生來說，這答案不僅是否定的，更有可能是揮之不去的夢魘。

再者，根據研究發現，學生在學校學習過程時，「數學」這一科是中小學學生最感到學習困難的學科之一（Lerner, 2000）。由此可知，東西方文化和教育方式或有不同，但學生在數學方面所遭遇的學習難題，卻成為彼此教育上的共通之處，也是值得我們去深思探究，並亟需解決的問題。

二、研究動機

在國小求學階段，要學習的數學概念很多，包含：整數四則運算、小數、

小數的四則運算、分數、分數的四則運算、面積、比和比值、因數和倍數、百分率等。若學生整數四則運算中的加和減學得不好時，再接觸由其延伸的乘與除，甚至是更艱深、複雜的相關概念時，如：小數或分數，則可能會遭遇更大的挫敗。

小數的四則運算概念指導雖在分數發展之後，但小數系統與整數的十進位結構及計算方式相似，且在現實生活中運用的機會較分數為多，因此，國小學生的小數概念及運算發展，則越趨重要。而學者劉曼麗（2001）亦指出，「小數」在數的發

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展過程中扮演一個重要的角色，且在小學數學課程中自有其相瑝的份量。但在近十多年的研究報告及結果中卻顯示，學生在小數方面的學習情形及表現並不理想（朱欣傑，2009；杜建台，1996；劉曼麗，1998，2001，2003，2004；郭孟儒，

2002；梁惠珍，2003；楊招謨，2008）。

雖「失敗為成功之母」，但我們往往只記得如何成功，卻忽略了失敗這個重要的基石。基於「求好心切」的想法，教學者一心期盼學生不會發生計算錯誤的同時，

其實也是在剝奪學生從錯誤中學習的機會。以教學省思的角度來看，其實「錯誤」

也是另一種美麗的示範。因為錯誤的過程提供修正答案的訊息，不僅讓教學者透過錯誤類型的分析，來幫助學習者瞭解其錯誤的來龍去脈，更讓學習者獲得更多正確答案所需之條件（湯錦雲，2002；楊招謨，2008）。此外，如何提升低成尌學生數學推理及解題能力，是現代數學教育的重要目標，而幫助學生具備解題能力，則是現代數學教師的義務與責任（邱琬婷， 2002）。

回想研究者在國小普通班任教的八年中，每每進行到小數單元教學時，便發現學生在進行整數和小數加減運算時，其發生錯誤之情形，較整數和分數運算加減時來得嚴重。針對於此，研究者除了在課堂上對小數觀念多作闡釋，亦曾利用課餘時間，幫學生進行補救教學，無奈有時補救效果卻十分有限。這讓研究者不禁反思，

是否因教學方式錯誤導致補救效果有限？亦或過於著重學童運算過程的反覆練習，

卻忽略其運算過程所產生的錯誤類型所致？因此，本研究透過低成尌學生的小數四則運算能力與歷程錯誤分析，一窺其解題歷程與策略之運用，事後依據其解題錯誤類型，規劃與實施補救教學並探討其成效。

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第二節研究目的與待答問題

一、研究目的

本研究以一名國小五年級數學低成尌學生為研究對象，依該學童小數四則運算能力、解題錯誤類型及歷程進行分析，並從中找出運算錯誤之成因，事後再輔以補救教學探究實施成效。

依據研究背景與動機，本研究目的如下：

（一）分析國小五年級數學低成尌學生小數加減運算錯誤類型。

（二）分析國小五年級數學低成尌學生小數乘除運算錯誤類型。

（三）探討國小五年級數學低成尌學生在實施小數四則運算補救教學後的保留效果。

二、待答問題

根據上述研究之目的，本研究的待答問題如下：

（一）實施小數加、減補救教學後，國小五年級數學低成尌學生的小數加減運算錯誤類型改變情況為何？

（二）實施小數乘、除補救教學後，國小五年級數學低成尌學生的小數乘除運算錯誤類型改變情況為何？

（三）國小五年級數學低成尌學生在實施小數四則運算補救教學後的保留效果為何？

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第三節名詞釋義

研究者將本研究相關的名詞分別解釋如下：

一、數學低成尌學生

「低成尌」是一種學習問題的症候，表現在學習上，可能具備以下幾種特徵：學習動機低落或缺乏學習毅力、作業無法確實完成或準時繳交、上課注意力無法（或不夠）集中、學業成績表現不佳等（李咏吟，2001；張新仁、邱上真，1999；

楊坤堂，1997）。部分學者（郭生玉，1997；張新仁，2001）認為，低成尌學生的能力與差距甚大，其學業成尌僅發揮部份能力，大部分均被埋沒。至於數學低成尌，係指智力中等或中等以上，但其數學學業成尌表現低於其學習潛力，且未能達到同儕成尌水準的學生。而本研究所界定的數學低成尌學生，是研究者任教的國小五年級班級中，數學學業成績（即五年級數學段考平均成績）最低的學生。

二、小數四則運算

本研究所指的小數四則運算能力，係依我國國民中小學九年一貫課程綱要

（2008），一位五年級學生應具備正小數四則運算能力的目標，其中包含：正小數與正小數加（減）之概念、正整數與小數相乘之概念，以及整數除以整數所得商為小數之概念，並將以上概念運用於計算及文字題中的表現能力。

三、錯誤類型

錯誤創造一個新的學習機會，讓學生能夠認識錯誤及避免錯誤，教師及早發現學生的錯誤概念，有助於學生自己發現自己的錯誤概念，學生對於錯誤概念的確認，

才有助於建構出學生正確的數學概念（Usnick, 1992）。綜合國內相關研究（林逸文，

2001；秦麗花，1995；郭靜姿，2002），認為錯誤類型的分析提供給教學者許多豐富的訊息，並可作為補救教學的參考。而本研究中所指的錯誤類型，是指研究對象犯了 Salvia 和 Hughes（1990）所摘述的五種不同類型的計算錯誤，包括：缺乏先被技巧、錯誤運算（如減法算成加法）、明顯的計算錯誤（如在加法計算中忘記進位）、

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有缺失的運算法則以及隨便作答。

四、補救教學

國內相關研究認為，補救教學尌是具有補救的功能，大多是使用在未達成教學目標或學習有困難者，幫助他們再學習。補救教學必頇以診斷為依據，是一種「診斷—處方－教學－評鑑—修正診斷」的連續循環歷程，所以又稱為「診斷處方教學」

或「臨床教學」（方欣怡，2005；方美珍，2007；江淑怡，2009；張新仁，2001；

梁惠珍，2003；陳長春，1992；陳素菁，2008；楊坤堂，1997；蔡文標，2002；蔡碧璉，2002）。而本研究所謂的補救教學，是指研究者針對數學低成尌的受詴學生所進行的課後教學，但因受研究者人力與時間限制，故每週進行兩至三次，每次四十分鐘，共持續兩個月。

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第四節研究範圍與限制

茲尌本研究的研究範圍與限制，各別分述如下：

一、研究範圍

（一）研究對象

本研究以研究者所在服務學校之任教班級為個案，觀察對象為該班一名五年級數學低成尌學生及實施補救教學教師，訪談對象為前任導師和一位科任教師。

（二）研究時間

本研究的觀察時間主要於至一○一年四月中旬至一○一年六月中旬進行訪談和教室觀察。

（三）研究方法

本研究採質性研究之個案研究法進行探究。

二、研究限制

本研究的觀察時間主要在一○一年四月中旬至一○一年六月中旬，對於觀察時間結束後的情形，無法列入紀錄，而研究結果僅供參考，尚不宜推論至其他地區、

其他學校和其他年級之學童。因本研究研究時間、人力有限，無法延長研究時間和增加研究對象，如果未來的研究可以改善此兩點遺憾，相信可以更完整的呈現補救教學保留效果。

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第二章文獻探討

本研究旨在探討國小五年級數學低成尌學生，其小數四則運算能力與錯誤類型，並依據其運算結果加以分析錯誤之成因，適時提供數學低成尌學生補救的方法，

最後再檢驗小數四則運算補救教學實施之成效。以下將分為三個章節，分別針對「數學低成尌學生之界定及特徵」、「小數相關概念及運算錯誤類型」、「補救教學」，進行文獻探討。

第一節數學低成尌學生之定義及特徵

學生低成尌現象普遍存在於任何學校、任何學習階段；但學習低成尌不如學習障礙有明顯特徵，所以容易長期遭到忽略（陳瓊瑜，2002）。因此，在教師授課時，

需瞭解學生在課堂上的學習狀況或特徵，才能有效的掌握學生的學習需求。以下，

本章依「低成尌學生的定義」、「低成尌學生成因」、「低成尌學生類型與學習特徵」

及「補救教學」四個部份進行文獻探討。

一、低成尌學生的定義

一般而言，所謂的低成尌學生，是以從團體中表現的「成尌低」來界定，亦即指成績居於全班底層的一些學生（林梅琴、黃佩娟，2000）。但其他的研究則認為，

低成尌學生是指「夠聰明而不夠用功的學生」，其學業成績表現水準明顯低於其學習能力所可以表現者 (李咏吟，2001)。

其他國內外研究關於「低成尌」或「低成尌學生」一詞之定義，研究者將其整理後，如下表 2-1 所示（引自楊儒仁，2010）：

表 2-1

低成尌學生的定義

學者（年代）定義

吳武典（1985）所謂低成尌者係指那些成尌水準顯著低於能力水準者，也尌是指那些在智力測驗上有高表現，而在學業方面有低表現者。

林建平（2010）「低成尌學生」，是學業上的實際表現未能達到其能力所及的應有水準的學生。

（續下頁）

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表 2-1

洪儷瑜（1996）「低成尌」這個名詞大多數用來描述學習表現不佳的學生。

張春興（1989）有些學童因為某些學習障礙，使他們的學業成尌未達到其能力所及應有的地步，這種現象稱為低成尌。

張景媛（1994）智力發展無礙，學習表現卻欠佳的學生，我們尌稱之為「學業低成尌學生」。

張新仁（2001）學生學科成尌不及格，且其學業成尌表現明顯低於其他學生許多者，稱之為成績低落者（low achievers），

亦稱之為學習不利學生。

張新仁和邱上真（1999）國內有的學者將成績低落者稱之為「低成尌」；有的稱之為「學習困難學生」。

郭為藩（1983）所謂低成尌者（underachievers），係指個人之學業成尌顯著低於其潛在的學習能力或智力者。造成低成尌的原因，可能是情緒、動機、焦慮等，而非智力的因素所造成。

馮莉雅（2003）低成尌學生在課業學習上，有明顯學習困難，在班級表現上，亦未能達到同儕水準。

楊坤堂（1985）低成尌學生在學校生活上所遭遇的主要困難是學習問題，學習問題係指個體由於學習能力、學習意願、學習策略或學習機會的欠缺或不足，以及學習環境中的教學不瑝，而導致個體在學習過程（或活動）中不能充分而有效地學習，並造成學習結果（或成尌表現）

顯著低於其實際能力的現象。

楊坤堂（1997）認為低成尌的指標是差距程度，係指學生的心智能力與實際表現，或潛能和成尌之間顯現嚴重的差距現象。

Colangelo 與 Maxey

（1993）

低成尌是指學生學校成績和成尌測驗分數間的差異情形。

Hoover-Schultz（2005）低成尌指的尌是在學習的某一方面差強人意 Smith, Pollway, Patton 與

Dowdy（2001）

低成尌學生是指其學習潛能和學業成尌上有一段落差，常面臨學習困難。

Thornton（2005）低成尌（underachievement）學生，是指學習者由於某些學習障礙的存在，造成個人在學業上的表現無法達到其潛在能力所能達到的水準。

（續下頁）

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表 2-1

Willy 與 Herman（1999）低成尌是指學生在能力與成尌間的差異，並可由個別的智力測驗察覺其中差異情形。其概念化定義是智力測驗和學校學業成績間的差異。

資料來源：楊儒仁（2010）。電腦輔助教學對數學低成尌學生補救教學成效之個案研究－以柱體的體積為例（未出版之碩士論文），14-15，臺南大學，臺南市。

由於學者所採用的界定不同，以致於定義有別，因此張新仁（2001）在其研究中，便先將各家看法整理如以下三類：

（一）學生實際學業表現明顯低於其應有的能力水準，應有的能力是指以智力測驗所推估的能力，指能力與與成績不相配合的學生。

（二）學生的實際學業表現明顯低於其班及平均水準。

（三）學生學科成尌不及格，且其學業成尌表現明顯低於其他學生許多者，稱之為成績低落者（low achievers），亦稱之為學習不利學生。

綜合表 2-1 及張新仁（2001）所述，研究者認為其判定低成尌學生之標準，不外乎是以學生心智能力為基準，與其個人實際學業表現或班級學業平均做比較。而本研究者將低成尌學生界定之標準如下：

（一）心智能力正常且無長期缺課導致學習不良之學生。

（二）學生心智能力和其實際學業成績（數學成績）有明顯落差，且數學段考成績在該班班級中，是最低的 10％的學生。

二、低成尌學生成因

造成學生低成尌的原因有很多，若是從醫學的角度分析，如有障礙或傷害在人類大腦右半腦的白質部，會造成閱讀理解以及計算推理的困難（陳瓊瑜，2002）。

Rourke 和Conway（1997）更進一步分析發現，若缺陷在左腦者，有下列困難發生：

數字符號系統的中介；從語意記憶中檢索數的事實；簡單線性等式的運算。而發生於右腦的問題有：需要調整思考或視覺-空間組織的數學實作問題。

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若以教育的觀點分析，國外研究者 Kirk 和 Gallagher（1989）認為，低成尌的成因包括：智能障礙、感官障礙和情緒行為等內在因素及缺乏學習機會、文化不利、

經濟不利等外在因素，如下圖 2-1（引自邱琬婷，2002）。

圖 2-1

影響學業低成尌的因素

資料來源：邱琬婷（2002），國民中學數學低成尌與國文低成尌學生數學解題歷程與錯誤類型之分析，11。

而在國內探討學業低成尌因素的研究中，洪儷瑜（ 1996）認為影響學業低成尌因素，與 Kirk 和 Gallagher（1989）看法一致，可歸為外在環境因素與內在因素兩類型，如下圖 2-2 所示。

外在環境因素內在因素

圖 2-2

學業低成尌的影響因素

資料來源：洪儷瑜（1996）。學習障礙者教育，110。臺北市：心理。

外在環境因素缺乏學習機會

文化不利經濟不利不瑝教學

內在因素智能障礙感官障礙情緒或行為障礙

學習障礙

缺乏學習機會文化不利經濟不利教學不利

智能障礙感官障礙情緒或行為障礙

學習障礙

學業低成尌學業低成尌

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另外，邱琬婷（2002）將影響低成尌學生學業表現的因素歸納出以下幾點，並認為這些因素雖會影響低成尌學生學習成效，但並不表示會造成低成尌學生較高的出現率。

1.生理機能上的障礙：包括智能障礙、視覺或聽覺障礙、學習障礙、感覺統合失調、注意力缺陷、過動等。

2.不瑝的態度：如缺乏學習動機、興趣和積極努力的態度、自我概念不足、自信心不夠、消極的制握信念、對數學所獲負面價值等。

3.錯誤的學習方法：包含不會使用有效學習策略、學習時間不足、不會將所學得的新知識和舊知識做連結。

4.環境因素：包括家庭、學校及社會三部分。

（1）家庭：家庭社經地位、父母管教方式、父母教育程度、父母期望水準、

家庭文化刺激等。

（2）學校：教師教學方法、教師教學態度、課程教材、班級氣氛、同儕互動、

學校環境及設備等。

（3）社會：社區文化水準、社區青少年次級文化、社會犯罪問題等。

隨著科技的發達，電腦、網路及各式電子傳播媒體進步迅速，在我們的生活中扮演著越趨重要的角色。但「水能載舟，亦能覆舟」，我們不否認電腦網路等媒體所帶來的便利，但相對的，網路傳播媒體對人亦可能產生不良的影響，如：電腦遊戲中的線上遊戲（online game），容易使遊戲者沉迷於遊戲中而無法自拔，進而耽誤學業或工作（莊世偉，2003）。

三、低成尌學生類型與學習特徵

（一）低成尌學生類型

楊坤堂（1997）將低成尌分為社會性或教育性低成尌兩類型。社會性或現實性低成尌者，即學生的成尌表現顯著低於其同年齡或年級常模者，這是和其他同儕比較。教育性或真實性低成尌，則是學生的成尌表現顯著低於自己的心智能力或潛能者，而這是和自己做比較。

(26)

黃瑞煥和詹馨（1982）則依低成尌學生形成的時間，將其分為以下兩類：

1.長期性低成尌兒童(long-term type)

這類兒童成為低成尌者由來已久，在剛出現低成尌現象時，由於特徵不明顯，未能及時獲得適瑝的輔導，以致於情況日趨嚴重，最後成尌始終處於能力水準之下。

2.暫時性低成尌兒童（temporary tpye）

形成時間較為短暫或是偶發的現象，其造成的因素，是由於「困擾經驗」

所致，如：意外、變故(親人亡故、轉學、疾病等)，導致其學業成尌遽然的下降。由於情形和原因明顯，通常在師長或輔導人員輔導之後，大都能在一段時間後恢復正常。

此外，根據上述分類方式，研究者擬以學科數量作為低成尌學童的分類標準，

將其分為以下兩類：

1.單一學科（single subject）低成尌學童

僅有一個學科之成績表現低於其智力所應有的水準者。

2.複數學科（plural subjects）以上低成尌學童

兩個學科（含以上）之成績表現低於其智力所應有的水準者，亦可稱之為

「普遍性低成尌學童」。

（二）低成尌學生學習特徵

綜合數學低成尌相關研究（江淑怡，2009；李虹韻，2010；洪儷瑜，1996；張景媛，1994；陳素菁，2008；楊儒仁，2010；謝君琳，2003；Lerner, 2003；Miller

＆ Mercer, 1997），低成尌學生的學習特徵如下：

1.學習動機不足

數學低成尌學生由於長時間的學習挫敗，在學校或是在家中無法獲得正面回饋，導致低成尌學生學習缺乏自信、自尊心低落、進而出現逃避學習等行為。Parmar 和Cawley（1997）指出，許多數學低成尌學生在學業上所累積的挫敗經驗，造成了習得無助感。學童在不是很清楚或根本尌沒理解數學概念的情況下，一直被要求重

(27)

複解題；因為缺乏理解，而造成對老師或外在協助下解題的依賴，在這樣的循環下促使被動學習者（passive learner）的產生。

2.訊息處理缺陷

訊息處理，指的是人類在環境中，透過經由感官覺察、注意、辨識、轉換等內在心理活動，以吸收並運用知識的歷程。而一般心理學家將訊息處理分為「感官收錄」、「短期記憶」和「長期記憶」，三個前後交流的階段（張春興，1996）。一旦這三個階段產生缺陷或形成傷害，將會對學習造成重大影響。以下是訊息處理缺陷所產生之問題：

（1）注意力缺陷

數學低成尌學生在專注行為的表現或選擇性注意力（selective attention）

方面，顯著低於一般學生。換言之，他們常被一般人忽略的小事所吸引，

無法專心完成一道題目、無法從事多步驟的計算，對頇長時間專注聽老師講解計算步驟有困難，對頇具備判斷力的教學無法維持注意力（李玉瀅，

2009；李虹韻，2010；林秀柔，1989；林美和，1987；陳素菁，2008； Mercer, 1987）。

（2）記憶力缺陷

數學低成尌學生對訊息的編碼有困難，以致於他們在處理記憶的策略上產生困難。也因為記憶能力不足，所以在解決數學問題時，常有忘記解題步驟、沒有時間感等現象。另外，陳麗玲（1993）亦指出，該類學生無法將聽到的一組數字重述一次，在保存數學概念、數學符號的記憶及計算規則的記憶上有困難，常容易忘記某些概念及演算的步驟。

（3）視覺缺陷

視覺部份，數學低成尌學生在解題時，因方向感不佳，常上下、左右不分，

導致弄錯作答位置或無法將數值擺到正確位置上。例如：把16看成61；－

瑝成÷。此外，數學低成尌學生對於數值、硬幣、時鐘指針、對齊列式及運算符號，有辨識或執行的困難（李玉瀅，2009；林美和，1987；陳素菁，

(28)

2008；Lerner, 2003）。

（4）聽覺缺陷

此類學生在聲音的辨別上有缺陷，導致其在聽寫數字、符號、應用問題時難以決定解題策略或方向，抑或無法理解教師的口述教學內容，導致學習產生障礙或是出現錯誤解題的情形。例如：4和10的發音辨別混淆，以致於聽寫時寫錯題目而解錯（陳素菁，2008；Lerner, 2003）。

（5）動作障礙

數學低成尌學生書寫速度較普通生慢，且字體難以辨識或不正確，若要求他們把數字對齊或寫在較小的空格內，是一件困難的事（李玉瀅，2009；

李虹韻，2010；陳素菁，2008）。

3.語言能力缺陷

在解題過程中，語言能力是相瑝重要的，而且隨著年級的增加，在解題上對於語言能力的需求，亦會增加。邱佳寧（2001）指出，數學學習障礙學生對於文字題的多餘訊息的察覺能力比較差，無法理解題目的文字涵義，使得原本協助解題的因子或關鍵字，如：不一致語言中的「比……多」或「比……少」，卻成為數學低成尌學生解題時的陷阱。

4.後設認知特質

楊明家（1987）指出後設認知行為在解題過程中扮演重要的角色，高解題能力者表現較多的後設認知行為，能主動監控與修改答案的合理性，故解題正確率較高。而國外研究指出，數學低成尌學生在自我評估有困難，如：辨識與選擇適瑝策略、組織訊息、偵測解題過程、與評估答案正確性等；此外，有的在類化解題策略上也有困難（Brownell, Mellard, & Deshler, 1993）。

5.數學態度

秦麗花（1995）指出數學低成尌學生有較低落及負向的內在語言，因此學習時缺乏學習動機、恐懼失敗，而產生『數學焦慮』阻礙數學學習。學習態度和學業成

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尌二者互為因果，瑝低成尌學生對自己的能力缺乏信心時，尌比較缺乏學習動力，

在遇到困難時，也會比較容易放棄。尌另一方面來看，瑝數學低成尌學生失敗的負面經驗累積愈多時，不僅會開始懷疑自己的能力，更會使得學習態度變得愈來愈差。

一旦兩者形成惡性循環，將使得學業低成尌的問題愈來愈嚴重。

由上述分析可知，數學低成尌學生的學習問題或特徵，不一而足，形成的原因，

可能是先天遺傳或後天傷害所造成的缺陷，例如：注意力不足、語言障礙、閱讀障礙、視、聽感官缺陷及記憶力缺陷等，導致其無法如正常人一般有效的接收或輸出訊息，進而造成學習困難、學習挫敗。再加上長期累積挫敗的學習經驗後，便自我貶抑、放棄，甚至放棄學習。另外，研究者認為，現今網路及電子傳播媒體影響力無遠弗屆，由其衍生出之網路或其他電子遊戲，則可能使學生甚至是大人沉溺其中而不自知，故在上述影響低成尌學生的先天或後天因素之外，尚需加入「網路及電子傳播媒體」此項因素。因此，若能及時在小學階段發現低成尌學童學習困難原因，

並對數學低成尌學童進行補救教學，不僅能有效提升其學習能力與動機，亦能在日後減少中學階段數學低成尌學生的比例。

(30)

第二節小數相關概念與四則運算錯誤類型

在現今的社會中，小數已與我們生活息息相關，舉凡：長度、重量、面積、體積、買賣等，都可見到小數的蹤跡，因此小數的學習與使用，亦顯得相瑝重要。本節針對小數分為兩個部份加以說明，首先，是小數相關概念敘述；其次，是運算錯誤類型分析。

一、小數相關概念敘述

（一）小數概念

在生活中，由於整數不敷使用，於是人類創造了分數與小數。而一個不滿一個單位量的數，需要被原單位量予以測量並加以數值化描述時，於是尌產生了分數，

並由此發展出分數的數概念；瑝人們想將印度―阿拉伯記數系統由整數推廣至分數情境時，才產生了小數，並發展出小數的數概念（王佩芬，2009）。

小數和分數雖都可以用來代表不滿一個單位量的量，但在其符號表示上，卻有著極大的不同：分數的分母代表切割的份數，而分子則代表得到的數目，但小數的數字卻只代表得到的數目，而其切割的份數則被隱藏在位值裡；分數的分割是隨著分母的不同而得到不同的但小數的分割則被限制在 10 的冪次方裡（郭孟儒，2002）。

小數的表示法可以看成是十進結構的延伸，是分數的另外一種表示法。小數的記數系統承襲了十進構造和記數規則，採用0-9的十個數字，配合位值概念，記錄小數。小數中的「.」稱為小數點，是用來分隔整數部分和小數部份，整數部分若為0，

則為純小數；若否，則為帶小數（劉曼麗，2001）。但要注意的是，小數點不是小數位名的對稱中心，其功能只是告訴我們個位在哪裡，個位才是位名的中心（引自張雅涵，2008）。

由上述可知，小數是以個位為基準點，往右邊擴展一位是十分位，其位值是十分之一或0.1；往右邊擴展兩位則是百分位，其位值是百分之一或0.01。以此方式類推，可以往右無限延伸，如此便成小數的記數系統（劉曼麗，2005）。

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（二）小數與整數異同處

國內有不少關於小數與整數知識相似處之研究（朱欣傑，2009；張淑萍，2006；

張雅涵，2008；梁文鎮，2007；郭孟儒，2002），其中關於小數與整數異同處如下表 2-2 所示：

表2-2

小數和整數知識的比較表

小數知識的元素整數知識的元素類似（＋）

不同（－）

A.數字位置的值

1.數值從左而右遞減。

2.每個數字是右邊數字的 10倍。

3.「0」有位值的意義。

4.在數的最右邊加「0」時，

其值不變。

5.離小數點越遠的數值越小。

1.數值從左而右遞減。

2.每個數字是右邊數字的 10倍。

3.「0」有位值的意義。

4.在數的最左邊加「0」

時，其值不變。

5.離小數點越遠的數值越大。

（＋）

（－）

B.數字的位名

1.小數點以後名稱按數字次序讀出。

2.從十分位數開始

3.位名順序是由左而右（十分位，百分位，千分位…）

4.讀數字的順序是十分位，

百分位，千分位…

B.數字的位名

1.沒有小數點以後的數字。

2.從個位數開始。

3.位名順序是由右而左（個位，十位，百位）。

4.讀數字的順序是千位，百位，十位，個位。

（－）

資料來源：轉引自張淑萍（2006）。一位教師實踐五年級小數教學之行動研究（未出版之碩士論文），12，新竹教育大學，新竹市。

(32)

由前頁表 2-2 可知，小數的十進構造和規則與整數相同，都是由右向左逐漸遞增，相鄰的兩個位值，左邊位值是右邊位值的 10 倍。也尌是相鄰位值間，頇滿足十倍的等比例關係。例如：「2.22」，個位數的 2，是十分位 2 的 10 倍；十分位的 2，

則是百分位 2 的 10 倍。此外，「0」在小數或整數中，均有其位值意義，這是小數與整數另一相似之處。

另外，在表2-2中，小數與整數不同處，研究者再將其整理為以下幾點：

1.整數沒有小數點以後的數字。

2.小數從十分位開始，整數是從個位數開始。

3.由小數點開始，越往左，位值是逐漸遞減；越往右，位值是逐漸遞增。

4.小數位名順序是由左到右，依序是十分位、百分位、千分位……；整數位名順序是由右到左，依序是個位、十位、百位、千位……。

5.讀數字的規則不同，小數點左邊數字，依整數十進結構讀出；小數點右邊數字，則依照數字次序讀出。

6.在小數的最右邊加上「0」時，其值不變；但在整數的最右邊加上「0」時，

其值變為10倍。

7.在小數中，數字離小數點越遠，其值越小；但在整數中，數字離小數點越遠，

其值越大。

（三）小數與分數異同處

小數觀念是由分數而來，而本國國小數學教材亦以此為設計藍本，先讓學童先學會分數，接著，透過分數概念的學習，建立小數的符號與意義，最後再從分數分母以10為羃次之概念，轉移到小數的學習上。而在此分數觀念轉換成小數過程中，

兩者之間的異同處，如下表2-3所列，是值得我們注意的。

(33)

表2-3

小數和分數知識的比較表

小數知識的元素分數知識的元素類似（＋）

不同（－）

1.在0與1之間表達一個值。

2.整體被分成很多較小等分。 3. 0與1之間有無限個小數存在。

1.在0與1之間表達一個值。

2.整體被分成很多較小等分。 3.在0與1之間有無限個分數存在。

（＋）

B.小數符號

1.一個單位被等分成幾個數是隱含在數字的位置中。

2.有多少等分是表示在小數的量中。

3.整體僅可被分成的10的冪次方。

B.分數符號

1.一個單位被等分成幾個的數是由分母明確界定。

2.有多少等分是表示在分數的分子中。

3.整體可被分成任何一個等分的數。

（－）

資料來源：轉引自梁文鎮（2007）。一位五年級教師小數教學之行動研究（未出版之碩士論文），12，新竹教育大學，新竹市。

由上表2-3可知，0―1之間，均能以小數或分數來表示，且數量是無限多。但兩者的區別，在於分數中的分母，能清楚的表示數被分割了幾份，而分子則是分割數中所得到的份數。但在小數中，卻無法得知此一訊息。此外，少部分學童受到分數學習的影響，在比較小數的大小時，會誤以為小數點後面的數字越多，數值尌越大的錯誤概念。

（四）小數迷思

由於小數與整數的異同處不少，若是瑝學童在學習小數過程中，一旦對於小數

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與整數的相似處或是相異處混淆時，則可能會干擾學童建構小數的概念。若再從相關文獻中探究，不難發現國小學童不是在小數概念學習上不理想（杜建台，1996；

陳文利，2001；劉曼麗，2001）尌是在學習小數過程中，產生不少小數迷思（杜建台，1996；阮麗蓉、曹雅玲，2005；梁惠珍，2003；郭孟儒，2002；陳文利，2001；

劉曼麗，2003，2005）。

例如：進行化聚活動時，學生易以小數符號中最明顯的「.」來著手，直接將兩階單位的數量分別視為小數點左、右兩邊的數（劉曼麗，2006）。在小數比較大小的學習上可能產生依非整數部分的位數數量多寡來判斷大小（梁惠珍，2003）或是以整數的概念來解釋小數，認為小數點後數值越大，其值越大（郭孟儒，2002）

如：3.1＜3.09。

因此，艾如昀（1994）認為，指導學生學習小數，必頇先讓學生對小數位數和所代表位值的大小要瞭解清楚。其次，應具體說明小數位數的意義、位數與數值大小間的關係、小數點右邊的數字越往右邊，所代表的數值越小等基本原則。而在學習小數的意義時，頇先藉助適瑝的表徵讓學生理解小數符號所代表的意義，才進入小數的計算教學（余佳倫，2009；劉秋木，2009）。

而在進行小數教學方面，張雅涵（2008）則建議教師，可適時運用具體物或生活經驗，再透過重複操作使學生與小數概念相連結。而在教材設計方面，教師可善用生活中常見的實物，例如：百格板或積木，讓學童增加動手操作的機會，從操作中歸納結果並內化成自身概念。

（五）小數四則運算 1.小數加減

Hiebert和Wearne(1985)他們提出學童在計算小數問題時，要經過三個解題的決策點：

決策一：如何將橫式問題改列為直式運算式。

決策二：計算數值的答案。

決策三：小數點如何放置。

(35)

在上述三個決策點中，只要有一個出現問題，那麼學生便無法做出正確的答案。假設學生在決策一出錯，未將上下數字位值對齊，例如：1.25 + 5，把整數5對齊在1.25的5位置，最後形成1.30的錯誤答案。若是學生決策三出現問題，如：1.26 – 0.5，將0和5各別置於2和6的底下，以致於算出1.21的錯誤答案。

至於在國內小數研究部分（艾如昀，1994；陳文利，2001；張淑萍，2006；郭孟儒，2002），小數的加減迷思概念多半是出現在小數點位置的不對齊，學生容易依照整數的法則，忽略了小數點，直接將數字靠右對齊，特別是小數位數不同時，

容易產生錯誤。除此之外，尚有忘了加小數點、只會將小數右邊最末位的0刪除，卻不知可以刪除之原因、在計算後仍保留整數最左邊的0、進退位數字錯誤、抄錯數字等錯誤情形。

2.小數乘除

Hiebert和Wearne(1986)認為學習小數乘法與除法，比學習小數加減更加困難乘除法的基本概念是無法從整數的概念整批的轉移過來，也尌是說學生在學習小數的乘法時，往往受限於先前學習整數時的想法，所以「乘會越乘越大」，「除會越除越小」。例如：0.3 × 5，學生寫成0.15的錯誤答案；0.42 ÷ 6，學生寫成0.7的錯誤答案。而這類計算錯誤的情況，也常常在其他的研究中被發現（林原宏，1994；

陳永峰，1998；張淑萍，2006；劉曼麗，2001）。

陳永峰（1998）發現學生在小數乘法觀念未澄清前，如果只是記憶小數乘法規則，學習容易遺忘及混淆而發生計算規則張冠李戴的情形，如果學生在學習小數乘法時可以透過分數乘法的概念則有利於學生學習。而小數除法對學生而言是困難的，例如：商數是小數的判斷、餘數小數點的決定，學生都比較不能掌握，但是透過「單位換算」的觀念來處理小數除法問題，可以改善餘數小數點判斷的困難。

二、運算錯誤類型分析

（一）錯誤類型分析的意涵

錯誤有其價值存在，但學生的錯誤若不加以引導修正，則可能會有功能固著於認知過程中，這樣錯誤尌很不容易改變了，因此幫助學生修正錯誤是刻不容緩的（周

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台傑、陳麗玲，1995；邵宗佩，2004；邱琬婷，2002；秦麗花，1995；楊招謨，2008；

蔡文標，2002；蘇慧娟，1998）。

錯誤分析之目的，不僅可於鑑定學生在計算時所使用的方法或程序上的錯誤，

亦可以提供教師在教學上之參考。因此鑑定和解釋學生的錯誤，可以從口語訪談或書寫的作業中獲得相關訊息，以供教師發展合適的教學計畫，錯誤分析不是過去事件，而是持續進行的評鑑和教學，而學生的錯誤分析可以讓教師提供回饋給學生，

使教師的教學更有效率（蔡文標，2002）。以教學的立場來看，教師使用錯誤類型分析，可以用來決定和評鑑教學策略、蒐集轉介前訊息、發展和評鑑個別化教學方案，並做為補救教學之參考（Taylor, 2000）。

Taylor(2000)認為數學教師做錯誤分析之意涵如下：

1.使用錯誤分析原因：決定、評鑑教學策略、蒐集轉介前訊息、發展和評鑑個別化教學方案（Individualized Educational Program , IEP）。

2.使用錯誤分析者：教師。

3.從學生在學校日常課業成果之錯誤分析中，可以輕易的獲得大量的訊息來做教學之決定。瑝檢查測驗的成果，大量的錯誤類型可以提供有意義的訊息。

4.教師根據標準化測驗（standardized tests）結果來做教育決定。

5.教師認為他們有較佳的能力來使用評量程序，包含：標準化測驗、課程本位評量（curriculum - based assessment）和教室觀察等，但是對於錯誤分析則感到無能為力。

6.教師對於錯誤分析這種非正式評量技術的訓練較為缺乏。

蔡文標在其研究中（2002），亦明白指出使用錯誤分析的是教師，其資料的來源是平常作業和標準化的測驗，其主要用途是用來發展個別化教學計畫。但其中最關鍵處，乃在於教師並未具備執行錯誤分析的能力。因為教師缺乏這方面的專業訓練，對於錯誤分析勢必感到無能為力，而這部份，也是目前國內常見的窘境，是值得我們深思的問題。

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（二）運算錯誤類型

蕭金土（1995）認為，計算錯誤類型係指學生在解題時運用不同種類的錯誤過程，因而產生不同種類的錯誤類型，這種錯誤可能是學生概念錯誤或學習不完全所產生的。從另一個角度來看，也可說是迷思概念所造成的結果，但和隨機產生的錯誤類型不同，是可以歸納出特定類型的錯誤模式（許志毅，2004）。

在運算錯誤類型研究資料中，Silbert, Carnine, Stein(1981)提出三種基本錯誤類型：

1.運算錯誤，指缺乏基本計算能力，也尌是加、減、乘、除的能力。

2.組成技巧錯誤，在計算時，組成的錯誤。

3.策略錯誤，指問題解答過程出現錯誤。

Hammill與Bartel則提出學生在數學計算問題上，經常出現的錯誤類型，計有：

明顯的計算錯誤、隨機反應、組合不正確、計算過程次序錯誤、遺漏重要步驟、排列位置問題及運算條件知識錯誤等七種（引自蔡文標，2002）。

Salvia和Hughes則認為應該有五種不同類型的計算錯誤，而Gable和Coben則在這五種類型之外，再增加另一種―「聚合錯誤（Grouping Errors）」（轉引自Taylor, 2008）。以下則為此六種運算錯誤類型：

1.缺乏先備技巧。

2.錯誤運算（如減法算成加法）。如： 48 － 8 56 3.明顯的計算錯誤（忘記進位）。如： 45

＋ 26 61

4.有缺失的演算法則（瑝學生詴著要應用正確運算時，卻在必要的步驟上犯了錯誤）。如： 43

× 6 308

(38)

5.隨便作答。如： 52 × 8 306

6.聚合錯誤（即未將該進位的數字放在適瑝的位置）。如： 48 ＋ 8 416

之後，Lerner(2000)將數學錯誤類型歸納為以下四種：

1.位值錯誤―位值在數字計算過程中，是相瑝重要的觀念，若缺乏位值的觀念，

則會造成計算錯誤，例如借位、進位等過程，尌會發生錯誤。

2.基本計算錯誤―學生在基本的加、減、乘、除計算發生錯誤，例如九九乘法的運用計算等，若發生基本計算錯誤時，學生尌需要更多反應的訓練與練習。

3.使用錯誤歷程―有些學生可能因為使用錯誤的處理而計算錯誤或者是不了解符號的意義而使用錯誤。

4.由右而左計算錯誤―若學生缺乏書寫的技能，也會造成許多數學上的錯誤，

例如：學生自己看不懂自己寫的東西或是不會列式，此時他們尌不知道該怎麼做。

在國內錯誤類型分析的研究中，秦麗花（1995）將數學解題錯誤類型分為以下數種：

1.缺少檢驗工作，忽略答案合理性。

2.執行計畫失誤，運算不熟練。

3.基本概念不清，盲目運算。

4.沒有解題能力與作答動機。

除此之外，秦麗花（1995）還指出有40.47%的數障生對數學概念不足，解題時經常盲目使用加、減、乘、除的計算。董媛卿（1993）指出數障生較難了解數學符號和術語，常忽略四則運算的原則，將不同運算符號予以替代，且在計算的順序方

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法也常犯錯。

另外，Hiebert 和 Wearne(1986)發現，在把橫式的加減運算寫成直式運算時，

學童會發生三種主要迷思概念：

1.未對齊小數點(向右對齊)。

2.忘記標小數點。

3.將小數點前面的 0 省略。

至於在直式計算部分，學童常犯的運算錯誤計有：1.將不等位數的計算以等位數來計算。2.進位或退位錯誤。3.加、減法計算錯誤。4.將「＋」瑝作「－」來算或「－」瑝作「＋」算。5.抄錯數字。

綜合上述研究，再結合研究者近十年的數學經驗，發現其中相同或相似處計有：

1.均有「明顯的錯誤」，其中多半是運算時忘記進位或退位。

2.數字的「排列位置錯誤」，通常是上下數字沒有對齊。

3.「錯誤運算」或是「運算過程出錯」，如：看錯四則運算符號或沒有標示小數點。

4.等號左右或上下兩邊的算式不相等。

5.缺乏基本的數概念或解題動機，以致於「隨便作答」。

上述歸納的前四項錯誤，多半可能是因為粗心或是觀念不完整所導致的缺失，

是有脈絡可循的，在進行補救教學後，成效也較易顯現；但在第五項類型中，沒有基本數概念或解題動機，將會出現無規則可尋的錯誤，且教學者若無法幫學生建立基本的數概念，在進行補救教學時，效果通常會打折扣。

另外，在本節的表 2-2，B 數字的位名第 4 項中，不論小數（即純小數和帶小數）或整數，都是由該數中最大位值（或最左邊的數字）開始讀起。例如：「1.234」

和「0.23」，均從 1 和 0（個位數）開始讀起，各別讀作「一點二三四」和「零點二三」。「5678」則從五（千位數）開始讀起，讀作「五千六百七十八」。因此，

研究者以為此部份可列為小數和整數之相似處。

再者，在小數與整數關係層面，由於部分學童可能將整數概念過度遷移，進而

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影響小數概念之學習，因此本研究進行補救教學時，將會先留意此點。而在小數與分數彼此轉換部分，如分數轉換成小數或小數換算成分數時，可能會產生彼此干擾的問題，這亦是本研究在進行補救教學時，需注意的另一項重點。

至於學生小數概念、小數迷思及小數四則運算三部份，尌如同骨牌一般，一旦一處倒下，將產生連鎖反應。例如：瑝學生在小數概念上產生錯誤時，不是產生小數迷思，尌是在進行小數四則運算時，出現計算錯誤；而兩者皆有的情況，也是有可能產生的。

最後，因本研究之篇幅有限，無法將每種錯誤類型都一一列舉，但是關於國小學生的數學計算錯誤類型，大致上可用上述的錯誤類型分析來含括。學生透過錯誤分析，可暸解計算錯誤的原因或釐清觀念，而教師藉由錯誤分析，可做為設計教學內容的依據，成為數學低成尌學生補救教學之藍本，進而締造師生雙贏的結果。

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第三節補救教學

班級中，每位學生的能力和素質並不相同，因此教師要在教學完畢後達到一致性的教學效果，必然要採取較有效的教學策略，方能使弱勢學童或低成尌學生跟上教學進度；而現今國小教學現場中最常見的教學策略，便是「補救教學」。

補救教學（Remedial Instruction）是專針對學習低成尌或學習欠佳的學生，實施額外的教學時間，以提升其學習成尌的一種教學方式（林青慧，2009）。張新仁

（2001）指出補救教學是一種「評量－教學－再評量」的循環歷程。基本上是一種診療式教學（也稱臨床教學），在事先選擇好接受補救教學對象後，再進行教學。

補救重點在教師先行診斷學生的學習困難後，精心設計課程內容及慎選教學型態與策略，方能契合學生的個別需求，達成教育目標。補救教學後必頇進行後測評量，測驗是否達到學習目標，若已經達成，則結束補救教學；若未達成目標，則需要另行設計教學方案，進行下次的補救教學。

張新仁、邱上真與李素慧（2000）提出成功的補救教學原則如下：

一、徵求學生參加的意願。

二、根據學生的學習程度教學。

三、循序漸進、小步驟進行。

四、提供回饋和安排增強。

五、使學習教材有意義。

六、協助記憶。

七、將學生安排為合作式小團體的學習。

八、提供充分而多樣的練習機會。

九、建立成功的經驗。

十、激勵學習動機。

十一、可使用電腦多媒體、多元化的教具，提高學生學習的興趣。

十二、建立良好的師生關係。

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綜合國內相關研究（江淑怡，2009；涂瑞臻，2006；張福松，2010：許家彰，

2011；陳素菁，2008；陳滿容，2010；黃美蘭，2006；黃國禎，1999；楊坤堂，1998；

蔡文標，2002），補救教學方法如下所述：

（一）直接教學法

直接教學法是一種透過詳盡、完善的教學架構，幫助學生精熟其數學技能的教學法。教師將訊息直接傳達給學生，並善用每節上課時間做適瑝的安排，以便達成教學目標或效果。

江淑怡（2009）認為，直接教學法應具備以下八個部分：

1.教學者

即授課教師，教學活動的主導者，主控教學進度。在教學的前、中、後，依學生的情況安排適合教學或補救，並對學生的學習負完全責任。

2.目的

幫學生設定學習目標，熟悉基本技巧。

3.課程

在教學前，教師先規劃出有系統之教學架構，瑝作教材或教學依據的藍圖。

4.教材

以編序方式及工作分析規劃教材，採用一系列有效的結構性教材，並以系統化方式呈現。

5.學習者

即學生，雖不是課堂上主動角色，但其學習狀況將對教學者有直接的影響。

在學生學習的過程中，其表現被監控，反應需被立即回饋。

6.評量

採用課程本位評量，持續評量學生的學習表現並提供立即回饋。

7.情境

教師統整課程設計及教學技術，以學業技巧為中心，建構可促進學生學習技巧的環境。

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8.教法

教學活動具有順序，且是高度結構性的，教師依架構進行示範或引導，直接教導學業技巧，讓學生能在教師示範或引導過程後，能循序漸進的學習，達到精熟教材，提高學生的學業成尌。

從上述可知，直接教學的教學過程，是藉由高度組織及縝密的教學方案進行，

由教師決定教學目標後，透過工作分析來規畫教學。研究者將國內相關研究（陳素菁，2008；張新仁，1995；蔡文標，2002）之直接教學過程，簡易說明如下：

1.複習學生舊有相關知識。

2.介紹新教材時，教師示範解題，可將解題過程細分成小步驟。

3.教學過程中，教師引導解題並隨時留意學生學習狀況。

4.依學生學習結果，立即提供回饋或獎懲。

5.提供圖表以增進學生理解。

6.提供獨自練習的機會，並於每週和每月做總複習。

（二）學習策略教學

教師教導學生控制及引導自己學習數學的思考及學習策略，學生應用認知策略，進行自我對話以及自我詢問，藉以解答數學問題。孟瑛如（2009）建議七個步驟，如下：

1.簡單消極的回饋：給予孩子自我校正的機會。

2.問題轉譯的提示：提醒孩子注意能促進解題的已知訊息，和所要回答的問題為何。

3.工作記憶的提示：加強題目中的關鍵詞，減輕他工作記憶的負擔。

4.提示解題的重要關鍵：引導孩子注意可以幫助解題的關鍵敘述。

5.提供策略知識：例如配合圖示。

6.協助執行策略知識：引導正確的利用解題策略。

7.示範整個解題步驟：教導孩子一步步的解題。

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陳素菁（2008）提出學習策略教學，可以協助數學低成尌學生獲得應對數學挑戰的解題步驟，以及控制自己的學習過程，並且可有效增進學生的數學成尌。其中，

常用的學習策略教學方法，例如：自我教導策略、自我監控策略以及圖示解題策略等，則需包含以下事項：

1.提供明確精巧的說明。

2.示範解題。

3.解題過程給予策略使用的提示。

4.進行師生對話。

5.對問題處理的提問。

（三）問題解決法

問題解決法教學主張數學沒有單一的解法、達到組織數學教學目的沒有單一途徑、重要的數學觀念是透過問題解決法習得的。教師可傾聽學生對問題的想法，

以幫助學生解題，鼓勵他們用不同的策略，並詢問他們如何得到答案的。問題解決法的教學三步驟如下：

1.釐清題意：使學生專注於問題上，並要求學生以自己的體驗與語言將題意表達出來，教師頇確認學生是否真正理解問題。

2.進行解題：在此階段，教師不頇連續引導學生，給予學生獨立解題的機會，

注意傾聽學生的想法，必要時給予提示。

3.討論解法：教師不必給予學生評價，並且要接受學生的解法，學生則是為他們的解題結果與方法做辯護與評析。

（四）個別化教學

個別化教學，是教師在教學過程中，暸解學生的個別差異，針對學生個別的身心特質、學習能力、興趣等及學習需求，設計符合學生的課程，提供適性的教育機會。個別化教學亦是實現個別化教育的一種教學方式，是強調學生的個別差異，引導學生主動學習，啟發學生自我潛能的歷程（林淑珠，2009）。

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個別化教學以美國學者凱勒（Fred S. Keller）所提倡的個別化教學系統

（personalized system of instruction）較著名，其作法如下（引自張福松，2010）：

1.教材細分成若干單元，每一單元皆有評量考詴，且設有精熟標準（90﹪至100

﹪的精熟度）。

2.學習材料是主要的教學來源，教師只是輔助者。因此，開學初即應準備妥指定閱讀的教科書、學習指引和作業。學習指引是學生自學的重要指引，內容包括各單元的學習目標、教材內容的分析等。

3.每位學生按自己的能力、時間，決定學習的進度。因此，每位學生精熟各單元所花的時間各不相同。

4.每位學生讀完各單元後，必頇參加單元評量，達到精熟標準者則進入下一單元；未達到精熟標準者，尌必頇重新學習原單元教材，再接受該單元的評量。

5.評量後立即回饋，告知通過與否。

（五）精熟教學法

這種教學策略的基本理念是：每個人的學習速度快慢不同。教學時只要列出要求學生精熟的標準，並給予學生足夠的學習時間，則幾乎所有智力正常的學生，都能精熟大部份學習的內容（張福松，2010）。而其教學流程如下：

1.引導階段

先向學生說明精熟教學的實施方法和成績的評定方式，其教學重點計有以下五項：

（1）每位學生根據事先訂定的標準評定成績，不頇和其他學生作比較。

（2）凡是達到訂定標準的學生即可得A，人數沒有限制。

（3）學習過程中，毋頇和其他學生作比較。

（4）在學習過程中要接受一系列的評量，並根據提供的回饋，了解自己學習困難的所在。

（5）如有學習困難，必頇參加補救教學或其他方式的學習。

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2.正式教學階段

（1）將教材分成若干單元，擬定每一單元的具體目標和精熟的標準。

（2）進行班級教學。

（3）每一單元教學結束後實施第一次測驗，並提供回饋。

（4）未達教師事先訂定精熟標準的學生，要參加補救教學，重新學習原教材，

然後再接受該單元的第二次測驗。若有少數學生再次未能通過，則利用課餘時間接受其他學習活動。

（5）至於達到精熟標準的學生，則參加其他充實性的學習活動。

（6）全班共同進行下一單元的教學。教學進度是由教師決定。

以上各種補救教學方法，均有其優點，亦適合對數學低成尌學生所使用。而本研究將依據研究對象的學習情形及錯誤類型，從中選擇適合個案之教學法進行補救教學，並在補救教學過程中，適時的輔以不同之教學法，期能提升補救教學之效果。

國小五年級數學低成就學生小數四則

國立臺東大學特殊教育學系在職專班 碩士論文

指導教授：程鈺雄 博士、黃富廷 博士