浅谈数学思想引领下的解题逻辑

245

2022 年第 4 卷第 06 期

课程研究

浅谈数学思想引领下的解题逻辑

——以平面向量的应用为例

陈治利　赵华新

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

摘要：新高考形势下，解决数学问题要致力于培养学生渗透数学思想和方法的能力，以求构建学生数学核心素养体系。平面向量的 知识是高中阶段数学课程的重要组成部分，向量具有几何和代数两种表现形式，融数形于一体，向量自身就是数学思想的具体体现。鉴于此，

本文将探究向量蕴含的数学思想，分析数学思想指导下的解题逻辑，提出让学生领悟数学思想的课堂教学策略。

关键词：平面向量；数学思想；解题逻辑；教学策略

一、平面向量的知识性能

向量具有知识和工具双重属性。作为知识，它是代数和几何 的研究对象，向量的引入为数学对量的描述开拓新的途径。处于 高中阶段的学生，认知能力日渐成熟，纳入新知、升级知识结构 体系的意识不断增强，新旧知识的不断更替，且向量本身具有独 特的逻辑特性，在提升学生数学素养方面占据优势地位。作为工 具，向量可用于“平行和共线问题的转化”“解析几何动点和轨迹”

等对逻辑思维要求颇高的数学问题中，既是数学发展进程上新的 生机，又为学生滋长创新能力提供养分。此外，应用向量解决问 题的过程就是数学建模的过程，向量的引入提升了学生的空间思 维能力，促使学生反复参与数学建模全过程，感悟数学建模的魅力，

促进学生形成数学核心素养。

二、具体应用中的数学思想和逻辑分析

（一）特殊化数学思想

特殊化数学思想就是解决复杂的一般性数学问题时，先着手 处理问题的特殊情况，再把特殊情况得出的结论或解决过程推广 到一般问题上，最终得出结果。常见的特殊化途径有：构造特殊 的函数、几何图形，确定特殊的点、线、面，找准特殊位置，利 用比值、方程等解决问题。

例 1. 已知△ ABC 中，D 是 BC 上一点，且CD=2DB

，P 是 AD 的中点，G 是△ ABC 的重心，则△ GDP 和△ ABC 的面积之 比为（　）

A. 1

3 B. 1

6 C. 1

12 D. 1 18

1. 题目分析：题中要求△ GDP 和△ ABC 的面积之比，两三角形 的边角关系无法直观得到，可直接利用的条件有CD=2DB

，其余 条件具体用处暂不明晰，因此先确定数形结合的思想，将已知标 注在图形中，探索点、线、面之间的联系，整理更多可用已知条件，

搭建解题逻辑体系。题中涉及到求△ ABC 的面积且已知 G 点为其 重心，并没有指定△ ABC 的类型，故利用一般与特殊思想将

△ ABC 特殊化为等腰直角三角形，既可以直接计算三角形面积，

又可以将重心相关性质转化为已知解题条件，三角形特殊化的过 程也是对重心性质的特殊化，拓宽了解决问题的思路。

图 1

2. 解题逻辑：假设△ ABC 是等腰直角三角形，△ ABC 的面 积利用公式直接求出。再以 BC 边的中点 Q 为原点，BC 边为 x 轴，

AQ 为 y 轴建立直角坐标系，如图 1 所示。由CD=2DB

可以确定 D 点位置，G 为等腰直角三角形的重心，利用“三线合一”和“三 角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1”

的性质，得出点 G 在 AQ 上且 GQ= 1

3 AQ，确定 G 点位置。此时，

与△ GDP 和△ ABC 相关的点都可以用坐标表示出来，根据需要 选择可用的点，再用向量方式求得△ GDP 的面积。

3. 求解过程：设△ ABC 为等腰直角三角形，将 BC 中点记为 Q，

如图 2 所示建立直角坐标系，则 A（0，6），D（-2，0），G（0，

2），P（-1，3），可得DP

=（1，3），DG

（2，2）。

∴ 1

GDP 2

S∆ = |1×2-3×2|=2，又∵S∆_ABC=36， 1

GDP 18

ABC

S S

∆

∆

= 故选 D。

例 2. 在菱形 ABCD 中，若 AC=4，则CA

·AB

1. 题目分析：题目已知四边形 ABCD 为菱形，对角线 AC=4，

已知条件单一，要求得CA

·AB

的值，需要在 AB 与 AC 之间建 立联系，探索更多可用条件是首要任务。

2. 解题逻辑：此题要求菱形对角线和一边的数量积，只给出对 角线长度，其余未知、经分析在菱形 ABCD 中，求解不出有助解题 的角度和其余边长，此时需考虑菱形 ABCD 的特殊形式，“正方形 是特殊的菱形”，将菱形 ABCD 转变成正方形，利用正方形“四个 角为直角”“对角线相等”“每一组对角线平分一组对角”等相关 性质，可以整理出角度、长度等更多已知条件，从而求得数量积。

3. 求解过程：设菱形 ABCD 为正方形，则 AC=BD=4，易得 AB=2 2，由“a b a b   ⋅ =| || | cos

θ

”

那么 | || | cos3

CA AB CA AB 4

π

⋅ =

   

=4× 2 2 ×（ 2

− 2 ）=8

评析：通过对例 1、例 2 的分析可以得出，数学思想的运用 是一个由浅入深、层层递进的过程，数学思想之间具有紧密联系，

在解题过程中可以结合多种数学思想分析问题，这是提升数学素 养和思维能力的有效方式。尤其是在几何问题上，数形结合可以 作为基本元素参与解题，在此基础之上推进其他数学思想的应用，

这是将几何问题代数化的基本功，因此在教学过程中教师要注意 敦促学生养成“遇几何，先画图”的解题习惯这两个例题都是运 用特殊化思想的典例，特殊化思想的内核在于特性、特质，其外 延是题干中的已知条件，即与多项已知条件有关联的量才被赋予

“特殊”，这个特殊化的量就是解题关键，正如这两例中的“三 角形转换为等腰直角三角形”“菱形转换为正方形”，此外，例 2 也可以采用建立直角坐标系，通过设 B 点横坐标为 ɑ，表示出

246 课程研究

CA

和AB

的向量坐标，进行计算时会发现假设的未知数 ɑ 并不 影响计算过程和结果，也可解决问题。通常情况下有未知数的介 入会增加计算量，但此方法对梳理解题思路、提供解题逻辑有重 要作用，所以在解题初始阶段毫无头绪时，可以尝试引入未知量 整理解题线索，这也是提升数学思想的手段，但相较于常规方法 而言，特殊化思想解题逻辑更加简单便捷、清楚易懂。

（二）函数思想

函数是用来描绘数量关系的，函数思想是运用函数的性质去 分析、细化问题从而达到解决问题的一种思维策略。它通过找寻 并表述问题的数学特征，以函数关系表达式为通路建立数学模型，

从而进行问题的探究。在解题中，要学会利用函数性质（尤其是 对二次函数、三角函数、幂函数、指数函数等的具体性质）挖掘 出题目隐含条件，构造出函数关系式，找到解题关键。

例 3. 在△ ABC 中，AB=3AC=9，AC

·AB

= AC²

，点 P 是

△ ABC 所在平面内一点，则当PA PB²+²+PC²

取得最小值时，

PA BC⋅ =

 

。

1. 题目分析：已知 AB=3AC=9，可以直接求的 AB、AC 边长，

而所给的向量关系无法直接利用，优先考虑数形结合思想，整理 出向量关系中的具体线索。

图 2

2. 解题逻辑：在探索平面几何问题时，以数形结合思想为基础，

AB、AC 的长度已知，分析向量关系AC

·AB

= AC²

，获得隐 含条件，再以特殊化思想为指导，合理建立如图 2 所示的坐标系，

找到出 A、B、C 三点坐标，带入限制条件中，P 点坐标未知且无 法求得，故假设其坐标为（x，y，将PA

、PB

、PC

表示出来，

利用函数思想，表示出已知限定条件的函数解析式，和满足此条 件的 P 点的坐标，最终求得PA BC ⋅

。

3. 求解过程：以点 C 为坐标原点，直线 CB、CA 分别为 x 轴、y 轴 建立直角坐标系，则 A（0，3），B（6 2，0），设点 p（x，y）那么：

2 2 2 3( 2 2) 3(2 1) 52

PA PB+ +PC = x− + y− +

  

∵当 P（2 2，1）时，PA PB²+²+PC²

取得最小值

∴ PA BC⋅

（- 2 2）×（- 6 2）= 24

评析：例 3 题干中所给已知条件大多是描述向量间关系的，需 要利用数形结合思想，理清向量间的数量关系，整理可直接使用的 条件。应如何建立直角坐标系，在此题中很有考究，由AC

·AB

= AC²

可分析出△ ABC 为直角三角形，利用直角三角形的特殊性 建立坐标系，表示出各向量坐标，那么题中所给关键限制条件就可 以代数化，再利用函数最值相关性质得到满足该条件的 P 点坐标，

最终解决问题。总之，解决此题以数形结合思想为基础，利用特殊 与一般思想找到“形”的特性，再将“数”融于“形”升华至函数

思想，构造函数关系表达式，解题全过程进行了数学思想的综合应 用，是一个数学思想的逻辑建构过程。因此，要熟练掌握数学思想 的内涵和适用范围，养成以数学思想为指导的解题习惯，便于在解 题过程中迅速确定每个阶段需要运用哪种数学思想，找到解题关键。

三、课堂教学策略

数学思想是从知识的应用中提炼出来的，是一套严谨的逻辑 思维方式，可以构建成为思想体系，在解决问题时具有广泛适用性，

即怀特海所说的普遍原理和原理的应用，也就是说教育培养的人 不仅要掌握专门知识更要凝练思想。目前，重知识、轻思想的教 学情况依然严重，知识使学生能够理解生活而思想为生活指引方 向，是知识的价值体现，在数学教学过程中进行思想渗透的价值 不置可否、因此，以向量教学为例，探讨中学向量课堂教学策略。

高中数学教材中向量知识章节较多，内容包含平面向量和空 间向量两大部分，其中囊括向量定义、定理、公式、运算等知识，

不仅为高中三角函数、几何、复数的学习提供支撑，还为大学的 线性代数、解析几何等内容打下基础，重要地位不言而喻。在向 量的实际教学中，教师要规避将向量纯粹当成运算工具，片面的 展示向量的工具性，笔者现提出以下三种策略可供探讨。

一是，循循善诱，深刻剖析向量的概念本质。以探究式教学 策略为指导，教师以探究的方式将向量知识呈现给学生，学生通 过自身积极主动参与，在探索中掌握向量的本质概念，获得科学 探究的能力和技巧。“提出问题 - 形成假设 - 制定方案 - 分析论证 - 总结评价”为全过程，教师以问题为驱动，让学生知道向量数形 结合特性和如何将几何问题代数化是向量最本质的意义，列举向 量解几何来推进教学，让学生提出向量作运算工具的假设，并逐 步论证这个假设，获得知识。

二是，情境创设，呈现丰富的数学内涵。结合向量进化史和物 理的紧密联系，为学生打造一个奇妙的向量天地，让学生意识到向 量知识不是单一的、割裂的知识板块，它具有广泛的适用范围，增 添学生学习向量的动力。譬如，让学生从物理中的力的合成类比到 向量的加减运算，让学生更新知识结构，拓展知识外延。直观的感 受依托物理知识抽象数学概念的过程，锻炼学生逻辑建构能力。

三是，逻辑分析，解题中融入数学思想。在课堂教学过程中，

无论是例题讲解还是习题回顾，教师都应当以数学思想为解题指 导，去分析和整理解题思路，将思想细化到每一个知识应用步骤，

让学生明白数学思想不是理想化的、不切实际的东西，它是从知 识的应用中凝练出的产物，源于实践又作用于实践。解题逻辑中 融入数学思想的过程，就是在进行理论和实践的有效循环，不断 整合数学思想、优化逻辑体系，使解决问题游刃有余。

四、结语

数学思想具有高度概括性和抽象性，学生无法轻易理解思想 内涵，只有将其融入数学知识中，随着学生对知识分章节、分层 次的学习和掌握，数学思想才慢慢地被学生吸收得以总结升华。

若教学过程中没有赋予数学思想，学生对知识的学习是机械的碎 片化的，不成体系，体会不到数学知识的关联性和使用价值，导 致学生只是盲目追求解题技能的学习，对数学内涵熟视无睹，这 样的教学是无效的。因此，数学教学应以渗透数学思想为基准点，

展开逻辑分析，使思想和知识相互作用，让学生感悟到数学探索 价值，才能促使学生形成数学思维体系，提升数学核心素养。

参考文献：

[1] 相阳 . 高中数学思想方法的渗透研究 [J]. 数学学习与研究，

2021（29）：43-44.

[2] 魏琦 . 高中数学向量解题基本思想与技巧分析 [J]. 数学学 习与研究，2020（07）：139.