1-4 和角公式與差角公式 重點一 差角公式與和角公式

高中數學(3)習作甲 第1 章 三 角 15

1-4 和角公式與差角公式

例題1（正、餘弦的和角公式與差角公式）

試求下列各式之值：

(1)sin15˚＝ 。（3 分） (2)cos75˚＝ 。（3 分） (3)sin105˚＝ 。（4 分）

解 (1) sin15˚＝sin（45˚－30˚）

＝sin45˚cos30˚－cos45˚sin30˚

＝ 2 2 × 3

2 － 2 2 ×1

2＝ 6 2 4

－ (2) cos75˚＝cos（45˚＋30˚）

＝cos45˚cos30˚－sin45˚sin30˚

＝ 2 2 × 3

2 － 2 2 ×1

2＝ 6 2 4

－ (3) sin105˚＝sin（45˚＋60˚）

＝sin45˚cos60˚＋cos45˚sin60˚

＝ 2 2 ×1

2＋ 2 2 × 3

2 ＝ 6 2 4

＋

例題2

試求下列各式之值：

(1) sin53˚cos37˚＋cos53˚sin37˚＝ 。（3 分）

(2) sin200˚cos280˚－sin100˚cos160˚＝ 。（3 分）

(3) cos（32˚－θ）cos（28˚＋θ）－sin（32˚－θ）sin（28˚＋θ）＝ 。（4 分）

解 (1)原式為 sin（53˚＋37˚）＝sin90˚＝1

(2)原式為（－sin20˚）（cos80˚）－（sin80˚）（－cos20˚）

＝sin80˚cos20˚－cos80˚sin20˚＝sin（80˚－20˚）＝sin60˚＝ 3 2 (3)原式為 cos〔（32˚－θ）＋（28˚＋θ）〕＝cos60˚＝1

2 例題3

△ABC 中，已知 A，B 皆為銳角，若sinA＝ 5

13，sinB＝3

5，則cosC＝ 。（8 分）

解 已知 A，B 皆為銳角 sinA＝ 5

13  cosA＝12 13 又sinB＝3

5  cosB＝4 5

∴cosC＝cos〔180˚－（A＋B）〕＝－cos（A＋B）＝－（cosAcosB－sinAsinB）

＝－ 12 4 5 3 13 5 13 5

   

 

 － ＝－48 15 65

－ ＝－33 65 故cosC＝－33

65

高中數學(3)習作甲 第1 章 三 角 16

例題4

設90˚＜α＜180˚，270˚＜β＜360˚，且 sinα＝11

14，sinβ＝－13

14，則：

(1)sin（α＋β）＝ 。 (2)cos（α＋β）＝ 。 (3)α＋β＝ 。

（每小題各4 分）

解 90˚＜α＜180˚  sinα＝11

14  cosα＝－

11 2

1 14

 

 

 

－ ＝－5 3

14 ＜0 270˚＜β＜360˚  sinβ＝－13

14  cosβ＝

13 2

1 14

 

 

 

－ － ＝3 3 14 ＞0 (1)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝11 14×3 3

14 ＋ 5 3 14

 

 

－  13 14

 

 

－ ＝ 3 2 (2)cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝ 5 3 14

 

 

－  3 3 14

 

 

 －11

14× 13 14

 

 

－ ＝1 2

(3)∵360˚＜α＋β＜540˚且由(1)、(2)小題知 sin（α＋β）＞0，cos（α＋β）＞0 ∴α＋β 在第一象限

 α＋β＝420˚

例題5（正切的和角公式與差角公式）

試求下列各式之值：

(1) tan59 tan14 1 tan59 tan14

 

 

－

＋ ＝ 。（3 分）

(2) tan23˚＋tan22˚＋tan23˚tan22˚＝ 。（3 分）

(3) tan80˚－tan20˚－ 3 tan80˚tan20˚＝ 。（4 分）

解 (1) tan59 tan14 1 tan59 tan14

 

 

－

＋ ＝tan（59˚－14˚）＝tan45˚＝1 (2)∵tan45˚＝tan（23˚＋22˚） ∴1＝ tan23 tan22

1 tan23 tan22

 

 

＋

－  1－tan23˚tan22˚＝tan23˚＋tan22˚

 tan23˚＋tan22˚＋tan23˚tan22˚＝1 (3)tan（80˚＋20˚）＝ 3

 tan80 tan20 1 tan80 tan20

 

 

－

＋ ＝ 3

 tan80˚－tan20˚＝ 3 ＋ 3 tan80˚tan20˚

 tan80˚－tan20˚－ 3 tan80˚tan20˚＝ 3

高中數學(3)習作甲 第1 章 三 角 17

例題6

(1) 若 tanα＝1，tan（α＋β）＝3

2，則tanβ＝ 。（5 分）

(2) 若 α＋β＝45˚，則（1＋tanα）（1＋tanβ）＝ 。（5 分）

解 (1)∵tan（α＋β）＝ tan tan 1 tan tan

 

 

＋

－  1 tan

1 1 tan







－

＋ ＝3

2

 2＋2tanβ＝3－3tanβ  tanβ＝1 5 (2)∵α＋β＝45˚ ∴tan（α＋β）＝tan45˚

 tan（α＋β）＝ tan tan 1 tan tan

 

 

＋

－ ＝tan45˚＝1  tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ

 tanαtanβ＋tanα＋tanβ＝1

原式為 1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋1＝2 故（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2

例題7

如下圖，直角△ABC 中，∠C＝90˚，CD＝BD ＝1 且AC＝2，若∠BAD＝α，則 tanα＝ 。

（10 分）

解 令∠CAD＝β，則 tanβ＝1 2 又tan（α＋β）＝1

 tan tan 1 tan tan

 

 

＋

－ ＝1

 tan 1

1 2 1 tan

2





＋

－

＝1

 tanα＝1 3

重點二 倍角公式

例題8（二倍角公式）

設90˚＜θ＜180˚ 且 sinθ＝3

5，則：

(1)sin2θ＝ 。（3 分） (2)cos2θ＝ 。（3 分） (3)tan2θ＝ 。（4 分）

高中數學(3)習作甲 第1 章 三 角 18

解 ∵sinθ＝3

5且90˚＜θ＜180˚  cosθ＝－4

5，tanθ＝－3 4 (1)sin2θ＝2sinθcosθ＝2×3

5× 4 5

 

 

－ ＝－24 25 (2)cos2θ＝1－2 sin²θ＝1－2×

3 2

5

  

  ＝ 7 25 (3)tan2θ＝sin2

cos2



 ^＝ 24 725 25

－

＝－24 7

例題9（三倍角公式）

試求sin3 sin



 ^－ cos3

cos



 ^{＝ 。（10 分）}

解 原式為

3sin 4sin3

sin

 



－ －

4cos3 3cos cos

 



－

＝（3－4sin²θ）－（4cos²θ－3）

＝－4（sin²θ＋cos²θ）＋3＋3 ＝－4＋3＋3＝2

重點三 半角公式 例題10

設90˚＜θ＜180˚且 sinθ＝12

13，則：

(1)sin 2

 ＝ 。（3 分） (2)cos 2

 ＝ 。（3 分） (3)tan 2

 ＝ 。（4 分）

解 ∵sinθ＝12

13且90˚＜θ＜180˚  cosθ＝－ 5 13 又∵90˚＜θ＜180˚ ∴45˚＜

2

 ＜90˚

(1)sin 2

 ＝ ^{1 cos} 2



－ ＝

1 5

13 2

 

 

 

－ －

＝ ⁹

13＝ 3

13＝3 13 13

(2)cos 2

 ＝ ^{1 cos} 2



＋ ＝

1 5

13 2

 

 

 

＋ －

＝ ⁴ 13＝ 2

13＝2 13 13

(3)tan 2

 ＝ sin2 cos2



 ^＝ 3 13

13 2 13

13

＝3 2