3-1-4三角-差角公式

全文

(1)1-4 差角公式【目標】能利用兩個已知角的三角函數值求其差角﹑和角﹑倍角及半角的三角函數值，以便求得更多的三角函數值或探討相關的問題。【來源】當我們已知兩個角度  ,  的三角函數值時，是否可以利用這些三角函數值來求出    或    的三角函數值呢？這就是我們希望解決的問題。【公式】在坐標平面上，設  ,  是廣義角，且其終邊與單位圓分別交於 A, B ，如圖。令 AOB   ，其中 0    180 ，則存在整數 n ，使     2n   或     2n   ，故 cos (   )  cos (2n   )  cos 。. 當 0    180 時，在 AOB 中考慮餘弦定理，就有 2. 2. 2. AB  OA  OB  2OA  OB  cos ， (cos   cos  ) 2  (sin   sin  ) 2  12  12  2  1  1  cos  ， cos 2   2cos  cos   cos 2   sin 2   2sin  sin   sin 2   2  2 cos ，. 2  2 (cos  cos   sin  sin  )  2  2cos ， cos  cos  cos   sin  sin  。因此， cos(   )  cos  cos   sin  sin  。. 當   0 ( A  B )或   180 ( O 是 AB 中點)時，不難驗證上式仍然成立。當  是任意廣義角時， cos (90   )  cos90 cos  sin 90 sin   0  cos  1  sin   sin  。由上式知 sin   cos (90   ) ，於是 sin (90   )  cos [90  (90   )]  cos 。因此， sin  與 cos  的餘角關係仍然成立，即 sin (90   )  cos ， cos (90   )  sin  ，對廣義角  恆成立。接著，繼續看 cos (   ), sin (   ), sin (   ) ，如何用  與  的 sin 及 cos 表示： cos (   )  cos [  (  )]  cos  cos(  )  sin  sin(  )  cos  cos   sin  sin  ， sin (   )  cos [90  (   )]  cos [(90   )   ]  c o s ( 9 0 ) c os s i n ( 9 0  s i) ns i nc os co s ， sin sin (   )  sin [  (  )]  sin  cos (  )  cos  sin (  )  sin  cos   cos  sin  。至此，我們導出了兩個差角公式及兩個和角公式，一般統稱為和角公式，整理如下：. 30.

(2) 正弦、餘弦的和(差)角公式： 1. cos(   )  cos cos   sin sin  。證明：由距離公式得. y P Q. . 2. PQ  (cos  cos  ) 2  (sin   sin  ) 2  2  2 cos cos   2 sin sin  又由餘弦定理得 2. O. PQ  12  12  2  1  1  cos(   ) 故 cos(   )  cos cos   sin sin  2. cos(   )  cos cos   sin sin  。證明： cos(   )  cos(  ( ))  cos cos( )  sin sin( )  cos cos   sin sin  3. sin(   )  sin cos   cos sin  。證明：   sin(   )  cos(  (   ))  cos((   )   ) 2 2    cos(   ) cos   sin(   ) sin   sin cos   cos sin  2 2 4. sin(   )  sin cos   cos sin  。證明： sin(   )  sin(  ( ))  sin cos( )  cos sin( )  sin cos   cos sin  使用時注意： 1. 產生特別角。 2. 大角放前面。 3. 注意正負號。. 31. . x 1.

(3) 由正弦( sin )及餘弦( cos )的和角公式，可以推導正切( tan )的和角公式：正切、餘切的和(差)角公式： 1. 當 cos   0, cos   0 ，且 cos (   )  0 時， tan   tan  (其中 1  tan  tan   0 )。 tan(   )  1  tan  tan  證明： sin(   ) sin  cos   cos sin  (每一項除以 cos cos  )  tan(   )  cos(   ) cos cos   sin  sin  sin  sin   tan   tan  cos  cos  。   sin  sin  1  tan  tan  1  cos  cos  2. 當 cos   0, cos   0 ，且 cos (   )  0 時， tan   tan  (其中 1  tan  tan   0 )。 tan(   )  1  tan  tan  證明： tan   tan(  ) tan   tan  。  tan(   )  tan(  ( ))  1  tan  tan(  ) 1  tan  tan  cot cot   1 3. cot(   )  。 cot  cot  證明： cos(   ) cos cos   sin  sin  (每一項除以 sin  sin  )  cot(   )  sin(   ) sin  cos   cos sin  cos cos  1 cot cot   1 sin  sin   。  cos  cos cot   cot   sin  sin  【公式】 1. sin(   ) sin(   )  sin 2   sin 2   cos2   cos2  。證明： sin(   ) sin(   )  (sin cos   cos sin  )(sin cos   cos sin  )  sin 2  cos2   cos2  sin 2   sin 2  (1  sin 2  )  (1  sin 2  ) sin 2   sin 2   sin 2   (1  cos2  )  (1  cos2  )  cos2   cos2  。 2. cos(   ) cos(   )  cos2   sin 2   cos2   sin 2  。證明： cos(   ) cos(   )  (cos cos   sin sin  )(cos cos   sin sin  )  cos2  cos2   sin 2  sin 2   cos2  (1  sin 2  )  (1  cos2  ) sin 2   cos2   sin 2   (1  sin 2  )  (1  cos2  )  cos2   sin 2  。 32.

(4) 【問題】 1. 試證明：在 ABC 中，若 ABC 不是直角三角形，則 tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C 。證明： tan A  tan B   tan C tan( A  B)  tan(  C)  1  tan A tan B  tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C 。 A B B C C A 2. 試證明：在 ABC 中， tan tan  tan tan  tan tan  1 。 2 2 2 2 2 2 證明： A B  C A B C tan( )  tan( )  tan( )  cot 2 2 2 2 A B tan  tan 2 2  1  tan A tan B  tan B tan C  tan C tan A  1 。  A B C 2 2 2 2 2 2 1  tan tan tan 2 2 2 3. 試證明：在 ABC 中， cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  1 。證明： cot(A  B)  cot(  C)  cot(A  B)   cot C cot A cot B  1    cot C  cot A cot B  1   cot C(cot A  cot B) cot A  cot B  cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  1 。. 33.

(5) 【公式】積化和差公式： 1. 2 sin cos   sin(   )  sin(   ) 。證明： sin(   )  sin  cos   cos sin   sin(   )  sin  cos   cos sin   2 sin cos   sin(   )  sin(   ) 。 2. 2 cos sin   sin(   )  sin(   ) 。證明： sin(   )  sin  cos   cos sin   sin(   )  sin  cos   cos sin   2 cos sin   sin(   )  sin(   ) 。 3. 2 cos cos   cos(   )  cos(   ) 。證明： cos(   )  cos cos   sin  sin   cos(   )  cos cos   sin  sin   2 cos cos   cos(   )  cos(   ) 。 4.  2 sin sin   cos(   )  cos(   ) 。證明： cos(   )  cos cos   sin  sin   cos(   )  cos cos   sin  sin   2 sin sin   cos(   )  cos(   ) .. 34.

(6) 【公式】和差化積公式： 1. sin   sin   2 sin.   2. cos.   2. 。. 證明：已知 2 sin x cos y  sin( x  y)  sin( x  y) ，     令x  ，知 x  y   , x  y   ， ,y  2 2     得 sin   sin   2 sin 。 cos 2 2     2. sin   sin   2 cos 。 sin 2 2 證明：已知 2 cos x sin y  sin( x  y)  sin( x  y) ，     令x  ，知 x  y   , x  y   ， ,y  2 2     得 sin   sin   2 cos 。 sin 2 2     3. cos  cos   2 cos 。 cos 2 2 證明：已知 2 cos x cos y  cos(x  y)  cos(x  y) ，     令x  ，知 x  y   , x  y   ， ,y  2 2     得 cos  cos   2 cos 。 cos 2 2     4. cos  cos   2 sin 。 sin 2 2 證明：已知  2 sin x sin y  cos(x  y)  cos(x  y) ，     令x  ，知 x  y   , x  y   ， ,y  2 2     得 cos  cos   2 sin 。 sin 2 2 【注意】使用時注意事項： 1. 不死記公式。 2. 注意正負號。 3. 看有無 2 倍。 1 4. 看有無倍。 2 5. 產生特別角。 6. 大角放前面。 7. 先寫函數形式，再寫角度。 35.

(7) 【問題】 1. 試證明： sin10 sin 50 sin 70 . 1 。 8. 證明：. 1 (2 sin 50 sin10) sin 70 2 1 1 1  (cos60  cos 40) sin 70   sin 70  (2 sin 70 cos 40) 2 4 4 1 1 1   sin 70  (sin110  sin 30)  。 4 4 8 3 試證明： sin 20 sin 40 sin 80  。 8 證明： 1 左式  (2 sin 40 sin 20) sin 80 2 1 1 1  (cos60  cos 20) sin 80   sin 80  (2 sin 80 cos 20) 2 4 4 3 1 1 。   sin 80  (sin100  sin 60)  8 4 4 3 試證明： cos10 cos 50 cos 70  。 8 證明： 1 左式  (2 cos 50 cos10) cos 70 2 1 1 1  (cos60  cos 40) cos 70  cos 70  (2 cos 70 cos 40) 2 4 4 3 1 1 。  cos 70  (cos110  cos 30)  8 4 4 1 試證明： cos 20 cos 40 cos80  。 8 證明： 1 左式  (2 cos 40 cos 20) cos80 2 1 1 1  (cos60  cos 20) cos80  cos80  (2 cos80 cos 20) 2 4 4 1 1 1  cos80  (cos100  cos 60)  。 4 4 8 試證明： sin 20  sin 40  sin 80  0 。證明：左式  2 sin 30 cos10  sin 80  cos10  sin 80  0 。左式 . 2.. 3.. 4.. 5.. 36.

(8) 6. 試證明：. sin  sin 2  sin 3  tan 2 。 cos  cos 2  cos 3. 證明：. 2 sin 2 cos  sin 2 sin 2 (sin 3  sin )  sin 2  右式。   (cos3  cos )  cos 2 2 cos 2 cos  cos 2 cos 2 1 7. 已知 cos x  cos y  1, sin x  sin y  ，試求 tan( x  y)  ? 2 解答： x y x y  x y x y x y 2 cos cos cos 2 cos 2 cos 2  1 1 2 2 2 2   由  1 x  y x  y x  y x  y x  y 1 2 sin 2 sin 2 sin cos cos   2 2 2 2 2 2 x y 1 2 tan 2 x y 1 2 2  4。  tan   tan( x  y)   x y 1 2 2 3 1  tan 2 1  ( )2 2 2 左式 . 37.

(9) 【來源】當我們已知  的三角函數值時，是否可以利用這些三角函數值來求出. 3 的三角函數值呢？這就是我們希望解決的問題。【公式】由和角公式知    的三角函數可用  及  個別的三角函數表示。當其中的    時，公式會變成怎樣？ sin 2  sin (   )  sin  cos  cos sin   2sin  cos ，.  或 2 或 2. cos 2  cos (   )  cos cos  sin  sin   cos 2   sin 2  。. 又 cos 2   sin 2   (1  sin 2  )  sin 2   1  2sin 2  ，或者 cos 2   sin 2   cos 2   (1  cos 2  )  2cos 2   1 。再者，當 cos  0 且 cos 2  0 時， tan   tan  2 tan  tan 2  tan (   )   。 1  tan  tan  1  tan 2  二倍角公式： 1. sin 2  2 sin cos 。證明： sin 2  sin(   )  sin cos  cos sin  2 sin cos 。 2. cos 2  cos2   sin 2   2 cos2   1  1  2 sin 2  。證明：. cos 2  cos(   )  cos cos  sin sin  cos2   sin2   cos2   (1  cos2  )  2 cos2  1  (1  sin 2  )  sin 2   1 2 sin2  。 2 tan  3. tan 2  。 1  tan 2  證明： 2 tan  2 sin cos sin 2 。   tan 2  2 2 cos 2 cos   sin  1  tan 2 . 38.

(10) 【公式】 tan 表示式： 1. sin 2 . 2 tan  。 1  tan 2 . 證明：. sin 2  2 sin cos  2 tan  cos2   2. cos 2 . 2 tan  2 tan   。 2 sec  1  tan 2 . 1  tan 2  。 1  tan 2 . 證明：. cos 2  cos2   sin 2   cos2  (1  tan 2  )  3. tan 2 . 2 tan  。 1  tan 2 . 1  tan 2  1  tan 2  。  sec2  1  tan 2 . 證明：. tan 2 . sin 2 2 tan  。  cos 2 1  tan 2 . 【公式】. tan.  2. 表示式(可用於三角函數的積分)：. . 2t 2t 1 t 2 ，， tan   ， cos   2 2 2 1 t 1 t 2 1 t 如此可全部化成 t 表示，並利用 t  R 來討論許多算式。可將 t ,1  t 2 ,1  t 2 當成三角形的三個邊長來記憶。設 t  tan. ，則 sin  . 39.

(11) 【公式】倍角與半角是相對的關係，由倍角公式可導出半角公式：  其中等式右端取正或取負，由所在的象限決定。 2. 半角公式： 1. sin. . . 2 證明：. 1  cos  (正負號依照角度所在象限決定)。 2 2. 已知 cos  1  2 sin 2 2. cos. . . 2 證明：. . . 2 證明：. 2.  sin.  2. . 1  cos 。 2. 1  cos  (正負號依照角度所在象限決定)。 2 2. 已知 cos  2 cos2 3. tan. .  2.  1  cos.  2. . 1  cos 。 2. 1  cos  , (  n , n 為奇數) (正負號依照角度所在象限決定)。 1  cos 2. . 1  cos 1  cos  2  2  。 tan  1  cos  1  cos 2 cos 2 2  sin 1  cos  4. 若 cos  0 ，則 tan  。  2 2 1  cos sin 證明：. sin. sin. . . . 2 sin cos sin   sin  2 2 2  tan    1  cos 1  cos   2 2 cos 2 cos2 2 2 2 sin (1  cos ) 1  cos sin  (1  cos )    sin  (1  cos )(1  cos ) sin 2  註：半角公式可用於降次用。【意義】  sin 1  cos 當  為銳角時， tan  之幾何意義如下：  2 1  cos sin. 1  2. 1.  O cos. 40.  2. sin. 1 cos.

(12) 【公式】三倍角公式： 1. sin 3  3sin  4 sin3  。證明： sin 3  sin(2   )  sin 2 cos  cos 2 sin.  2 sin cos cos  (1  2 sin2  ) sin  2 sin  (1  sin 2  )  (1  2 sin 2  ) sin   3sin  4 sin3  。 2. cos3  4 cos3   3 cos 。證明： cos 3  cos(2   )  cos 2 cos  sin 2 sin.  (2 cos2   1) cos  2 sin cos sin  (2 cos2   1) cos  2(1  cos2  ) cos  4 cos3   3 cos 。【問題】 1. 試證明： sin sin(  60) sin(  60) . 1 sin 3 。 4. 證明：. sin sin  (2 sin(  60) sin(  60))  (cos120  cos 2 ) 2 2 sin 1 3 1  (  (1  2 sin 2  ))  sin  (  sin 2  )  (3 sin  4 sin 3  )  右式。 2 2 4 4 1 2. 試證明： cos cos(  60) cos(  60)  cos 3 。 4 證明： cos cos 左式  (2 cos(  60) cos(  60))  (cos120  cos 2 ) 2 2 cos 1 3 1  (  (2 cos2   1))  cos (cos2   )  (4 cos3   3 cos )  右式。 2 2 4 4 1 3. 試證明： tan  tan(  60) tan(  60)  tan 3 。 4 證明： 1 sin 3  右式。左式  4 1 cos 3 4 3 4. 試證明： sin 2   sin 2 (  60)  sin 2 (  60)  。 2 證明： 3 1 左式   (cos 2  cos(2  120)  cos(2  120)) 2 2 3 1 3 1   (cos 2  2 cos 2 cos120)   (cos 2  cos 2 )  右式。 2 2 2 2 左式 . 41.

(13) 5. 試證明： cos2   cos2 (  60)  cos2 (  60) . 3 。 2. 證明：. 3 1  (cos 2  cos(2  120)  cos(2  120)) 2 2 3 1 3 1   (cos 2  2 cos 2 cos120)   (cos 2  cos 2 )  右式。 2 2 2 2 A B C 在 ABC 中，試證明： sin A  sin B  sin C  4 cos cos cos 。 2 2 2 證明： A B A B C C 左式  2 sin cos  2 sin cos 2 2 2 2 C A B C C C A B C  2 cos cos  2 sin cos  2 cos (cos  sin ) 2 2 2 2 2 2 2 C A B A B C A B  2 cos (cos  cos )  2 cos (2 cos cos )  右式。 2 2 2 2 2 2 A B C 在 ABC 中，試證明： cos A  cos B  cos C  1  4 sin sin sin 。 2 2 2 證明： A B A B C C A B C 左式  2 cos cos  1  2 sin 2  1  2 sin (cos  sin ) 2 2 2 2 2 2 C A B A B C A B  1  2 sin (cos  cos )  1  2 sin (2 sin sin )  右式。 2 2 2 2 2 2 在 ABC 中，試證明： sin 2 A  sin 2B  sin 2C  4 sin A sin B sin C 。證明：左式  2 sin( A  B) cos(A  B)  2 sin C cosC  2 sin C(cos(A  B)  cos(A  B))  2 sin C(2 sin Asin(B))  右式。在 ABC 中，試證明： cos2 A  cos2 B  cos2 C  1  2 cos A cos B cosC 。證明： 3 1 左式   (cos 2 A  cos 2 B  cos 2C ) 2 2 3 1   (2 cos(A  B) cos(A  B)  2 cos2 C  1) 2 2  1  cos(A  B) cos(A  B)  cos2 C  1  cosC(cosC  cos(A  B))  1  cosC(cos(A  B)  cos(A  B))  1  cosC(2 cos A cos B)  右式。左式 . 6.. 7.. 8.. 9.. 10. 特殊角：令   18 ，證明 sin  . 5 1 。 4. 證明： sin 2  cos3  2 sin cos  4 cos3   3 cos  2 sin  4 cos2   3 1 5  2 sin   4(1  sin 2  )  3  4 sin 2   2 sin  1  0  sin   。 4 11. 試求 sin18, cos 36 之值。. 42.

(14)