文興高中 高中數學第三冊習作甲 1-4 和角公式與差角公式
1-4 和角公式與差角公式 重點一 正、餘弦的和角公式與差角公式
例題1
試求下列各式之值：
(1)cos15°＝ 。 (2)sin75°＝ 。 (3)sin15°＝ 。 解 (1)cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝ 2 2 ×
3 2 ＋
2 2 ×
1 2
＝
6 2 4
＋
(2)sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
＝ 2 2 ×
3 2 ＋
2 2 ×
1 2
＝
6 2 4
＋
(3)sin15°＝sin（45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°
＝ 2 2 ×
3 2 －
2 2 ×
1 2
＝
6 2 4
－
例題2
試求下列各式之值：
(1) sin53°cos37°＋cos53°sin37°＝ 。 (2) sin200°cos280°－sin100°cos160°＝ 。
(3) cos（32°＋θ）cos（28°－θ）－sin（32°＋θ）sin（28°－θ）＝ 。 解 (1)原式為 sin（53°＋37°）＝sin90°＝1
(2)原式為（－sin20°）（cos80°）－（sin80°）（－cos20°）
＝sin80°cos20°－cos80°sin20°＝sin（80°－20°）＝sin60°＝
3 2 (3)原式為 cos〔（32°＋θ）＋（28°－θ）〕＝cos60°＝
1 2 例題3
△ABC 中，已知 A，B 皆為銳角，若 sinA＝
5
13，sinB＝
3
5，則 cosC＝ 。 解 已知 A，B 皆為銳角
sinA＝
5
13 cosA＝
12 13 又 sinB＝
3
5 cosB＝
4 5
∴ C＝cos〔180°－（A＋B）〕＝－cos（A＋B）＝－（cosAcosB－sinAsinB）cos
＝－
12 4 5 3 13 5 13 5
－
＝－
48 15 65
－
＝－
33 65 故 cosC＝－
33 65
文興高中 高中數學第三冊習作甲 1-4 和角公式與差角公式
例題4
設 90°＜α＜180°，270°＜β＜360°，且 sinα＝
11
14 ，sinβ＝－
13
14，則：
(1)sin（α＋β）＝ 。 (2)cos（α＋β）＝ 。 (3)α＋β＝ 。
解 90°＜α＜180° sinα＝
11
14 cosα＝
11 2
1 14
－
＝－
5 3 14 ＜0
270°＜β＜360° sinβ＝－
13
14 cosβ＝
13 2
1 14
－
＝ 3 3
14 ＞0 (1)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝ 11 14 ×
3 3 14 ＋
5 3 14
－ 13 14
－
＝ 3 2 (2)cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝
5 3 14
－ 3 3 14
－ 11 14 ×
13 14
－
＝ 1 2
(3) 360°∵ ＜α＋β＜540°且由(1)、(2)小題知 sin（α＋β）＞0，cos（α＋β）＞0
∴α＋β 在第一象限
α＋β＝420°
重點二 正切的和角公式與差角公式 例題5
試求下列各式之值：
(1)
tan49 tan19 1 tan49 tan19
－
＋ ＝ 。
(2) tan23°＋tan22°＋tan23°tan22°＝ 。 (3) tan20°＋tan40°＋ 3 tan20°tan40°＝ 。
解 (1)
tan49 tan19 1 tan49 tan19
－
＋ ＝tan（49°－19°）＝tan30°＝
3 3 (2) tan45°∵ ＝tan（23°＋22°） ∴1＝
tan23 tan22 1 tan23 tan22
＋
－
1－tan23°tan22°＝tan23°＋tan22°
tan23°＋tan22°＋tan23°tan22°＝1 (3)tan（20°＋40°）＝ 3
tan20 tan40 1 tan20 tan40
＋
－ ＝ 3
tan20°＋tan40°＝ 3 － 3 tan20°tan40°
tan20°＋tan40°＋ 3 tan20°tan40°＝ 3 例題6
(1) 若 tanα＝1，tan（α－β）＝
1
2，則 tanβ＝ 。 (2) 若 α＋β＝45°，則（1＋tanα）（1＋tanβ）＝ 。 解 (1) tan∵ （α－β）＝
tan tan 1 tan tan
－
＋
文興高中 高中數學第三冊習作甲 1-4 和角公式與差角公式
1 tan 1 1 tan
－
＋ ＝
1 2
2－2tanβ＝1＋tanβ tanβ＝
1 3 (2)∵α＋β＝45° ∴tan（α＋β）＝tan45°
tan（α＋β）＝
tan tan 1 tan tan
＋
－ ＝tan45°＝1
tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ
tanαtanβ＋tanα＋tanβ＝1
原式為 1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋1＝2 故（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2
例題7
設 tanα，tanβ 為方程式 x2＋4x＋2＝0 之兩根，則：
(1)tan（α＋β）＝ 。 (2)cos2（α＋β）＝ 。 (3)sin2（α＋β）－sin（α＋β）cos（α＋β）＋5cos2（α＋β）＝ 。
解 (1)由根與係數的關係知 tanα＋tanβ＝－4，tanαtanβ＝2
tan（α＋β）＝
tan tan 1 tan tan
＋
－ ＝
4 1 2
－
－ ＝4
(2)如下圖，令∠A＝α＋β cos2（α＋β）＝
1 2
17
＝ 1 17
(3)原式為 cos2（α＋β）〔tan2（α＋β）－tan（α＋β）＋5〕
＝ 1
17×（42－4＋5）＝
1
17×17＝1
重點三 二倍角公式 例題8
設 90°＜θ＜180° 且 sinθ＝
12
13，則：
(1)sin2θ＝ 。 (2)cos2θ＝ 。 (3)tan2θ＝ 。 解 ∵ θ＝sin
12
13且 90°＜θ＜180° cosθ＝－
5
13，tanθ＝－
12 5 (1)sin2θ＝2sinθcosθ＝2×
12 13×
5 13
－
＝－
120 169 (2)cos2θ＝1－2 sin2θ＝1－2×
12 2
13
＝－
119 169
(3)tan2θ＝ 2 2tan 1 tan
－ ＝
2
2 12 5 1 12
5
－
－－ ＝
24 1195
25
－
－ ＝
120 119
重點四 三倍角公式
文興高中 高中數學第三冊習作甲 1-4 和角公式與差角公式
例題9 試求
cos3 cos
－ sin3
sin
＝ 。
解 原式為
4cos3 3cos cos
－
－
3sin 4sin3
sin
－
＝（4cos2θ－3）－（3－4sin2θ）
＝4（sin2θ＋cos2θ）－3－3 ＝4－3－3＝－2
重點五 半角公式 例題10
設 90°＜θ＜180°且 sinθ＝
12
13，則：
(1)sin2
＝ 。 (2)cos2
＝ 。 (3)tan2
＝ 。 解 ∵ θ＝sin
12
13且 90°＜θ＜180° cosθ＝－
5
13，tanθ＝－
12 5 又∵90°＜θ＜180° ∴45°＜2
＜90°
(1)sin2
＝
1 cos 2
－
＝ 1 5
13 2
－－
＝ 9 13 ＝
3 13 ＝
3 13 13
(2)cos2
＝
1 cos 2
＋
＝ 1 5
13 2
＋－
＝ 4 13 ＝
2 13 ＝
2 13 13
(3)tan2
＝ sin2 cos2
＝ 3 13
13 2 13
13 ＝ 3 2
