1-2-3多項式函數-多項式方程式

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(1)2-3 多項式方程式【目標】首先能了解實係數二次方程式的實根及二次方程式的根與係數的關係，進而能處理實係數二次方程式的虛根及複數的四則運算。再者，能處理簡易的有理係數方程式的根，以及利用勘根定理求實係數方程式實根的近似值，以及任意正數 a 的 n 次方根 n a 。最後能理解代數基本定理的意涵，以及實係數多項式方程式虛根成對定理的內涵及其應用。【定義】 1. n 次多項式方程式：設 n 次多項式 f ( x)  an x n  an 1 x n 1   a 1x  a 0 ( an  0 )，若未知數 x 滿足 f ( x )  0，即 an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0  0 ，則稱上式為 n 次多項式方程式，簡稱 n 次方程式。 2. 方程式的解：當  是一個數，而我們稱 x   是方程式 f ( x)  an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 的一個解的意思是 an n  an 1 n 1   a1  a0  0 ，此時，也稱  是該方程式的一個根。註： (1) 當 ( x  a ) k | f ( x) ，但 ( x  a ) k 1 | f ( x) 時，稱 a 為 f ( x)  0 的 k 重根。 (2) 實係數 n 次方程式 f ( x)  0 的實根   n 次函數 y  f (x) 的圖形與 x 軸交於點 ( ,0) 。 3. 複數：設 a, b 是實數，則形如 a  bi 的數稱為複數，其中 a 是實部， b 是虛部，虛部為 0 的複數是實數，虛部不為 0 的複數是虛數。註： (1) 引入複數，其目的只為了解方程式之需，目前不涉入複數幾何的問題。 (2) 由實數乘法的性質知：對每一個實數 x ，恆有 x 2  0 ，故二次方程式 x 2  1  0 沒有實數根。現在引進一個新的數 i (不是實數)作為它的根，即 i 滿足 i 2  1 ，且接納與既有的每一個實數的乘積。 (3) 設 a, b 是實數，則形如 a  bi 的數稱為複數，其中 a 稱為此複數的實部， b 稱為虛部。每一個複數的實部與虛部都是唯一確定的。虛部等於 0 的複數就是實數，而虛部不等於 0 的複數稱為虛數。 4. 複數的標準式：兩複數相加所得的和及相乘所得的積仍是複數，都可表成 a  bi 的形式，其中 a, b 是實數，這種形式稱為複數的標準式。註：兩複數 a  bi  c  di 時， a  c 且 b  d ，這必頇在 a ， b ， c ， d 都是實數才成立。 5. 共軛複數： i. a, b 是實數時，複數 z  a  bi 的共軛複數為 z  a  bi 。. z  z 與 z z 都是實數，且 z1  z2  z1  z2 ， z1 z2  z1  z2 。註：在作除法時，就是把原分式的分子﹑分母同乘以分母的共軛複數。 34.

(2) 【性質】 1. 複數運算的基本性質：實數 a, b, c, d 恆有 (1) (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i 。 (2) (a  bi)  (c  di)  ac  adi  bci  bdi 2  (ac  bd )  (ad  bc)i 。 (3) (a  bi )(a  bi )  a 2  b 2 。 2. 複數運算的基本性質：複數  ,  ,  恆有 (1)        。 (2)    。 (3) (   )      (   ) 。 (4) ( )   (  ) 。 (5)  (    )     。 3. 共軛複數的基本性質：設  ,  為任意複數，則 (1)  是實數時，    。 (2)   是非負複數。 (3)        。證明：將  ,  以標準式表示，設   a  bi,   c  di ，則     (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i     (a  c)  (b  d )i  (a  bi)  (c  di)     。. (4)      。註：可推論出：  k  ( ) k ，對任意正整數 k 都成立。. 35.

(3) 【討論】 1. 當實數 p  0 時， p 是 p 的正平方根，即 p  0 ，且 ( p )2  p 。 p 有另一個平方根  p ，於是 x 2  p 時， x   p 。. 又當實數 p  0 時，我們規定  p  pi 。由於 (  p )2  ( pi)2  ( p )2 i 2  p  (1)   p ，因此  p 仍表示  p 的一個平方根。  p 有另一個平方根   p   pi ，. 即 x 2   p 時( p  0 )， x    p   pi 。由以上討論及 0  0 可知：對任意實數 r ，當 x2  r 時，恆有 x   r 。 2. 練解二次方程式之實根的方法，包括因式分解法﹑配方法及公式解，作為解高次多項式或簡單分式﹑根式方程式的基礎。解整係數二次方程式常用十字交乘法，十字交乘法基本上是分配律的逆向推導。但十字交乘法對沒有整係數一次因式的二次式或一般實係數二次方程式未必有效，此時可用配方法求解。一般情形，實係數二次方程式 ax2  bx  c  0 ( a  0 )都可以配方法解之： ax2  bx  c  0 ， b c x 0， a a b b c b x 2  x  ( )2    ( )2 ， a 2a a 2a 2 b b  4ac ( x  )2  ， 2a 4a 2 x2 . x. b b 2  4ac b 2  4ac    ， 2a 2a 4a 2. 得x. b b2  4ac b  b2  4ac 。   2a 2a 2a. 導出了公式解 x . b  b2  4ac ，其中 2a. b  b2  4ac b  b2  4ac 及，是相異實數。 2a 2a b (2) b2  4ac  0 時，兩根皆為，是相等實數。 2a. (1) b2  4ac  0 時，兩根為. (3) b2  4ac  0 時，兩根為. b 4ac  b2 b 4ac  b2  i及  i ，是共軛虛數。 2a 2a 2a 2a. 由於 b2  4ac 可以判別根的性質，故 b2  4ac 稱為實係數二次方程式 ax2  bx  c  0 的判別式。 3. 設  ,  為二次方程式 ax2  bx  c  0 的兩根，則 ax 2  bx  c  a( x   )( x   ) 。 b a. c  ( x   )( x   )  x 2  (   ) x   。 a b c 比較係數知  (   ),   ， a a b c 於是得到根與係數的關係：      ,   。 a a. 由於 a  0 ，故 x 2  x . 36.

(4) 【性質】 1. 判別式：實係數二次方程式 ax2  bx  c  0(a  0) 中， D  b2  4ac 稱為判別式，且 (1) D  0 時，兩根為相異實數。 (2) D  0 時，兩根為相等實數。 (3) D  0 時，兩根為共軛虛數。 2. 根與係數的關係：設  ,  為二次方程式 ax2  bx  c  0 的兩根，則 b (1) 兩根之和為      。 a c (2) 兩根之積為   。 a 證明：因 ax 2  bx  c  a( x   )( x   )  a( x 2  (   ) x   ) ， b       a(   )  b  a  故 。 a( )  c      c a  3. 根與係數的關係：設  ,  ,  為三次方程式 ax3  bx2  cx  d  0 的三根，則 b (1) 三根之和為        。 a c (2) 三根之兩兩乘積為       a d (3) 三根之積為    。 a 證明：因 ax 3  bx 2  cx  d  a( x   )( x   )( x   )  a( x 3  (     ) x 2  (     ) x   ) ， b         a   a(     )  b  c   故 a(     )  c        。 a    a( )  d  d         a . 37.

(5) 【討論】二次函數的假設法： 1. 過已知不共線的三點，可設為 f ( x)  ax 2  bx  c, a, b, c  R, a  0 。 2. 已知頂點 (h, k ) 時，可設為 y  a( x  h) 2  k 。 3. 已知與 x 軸交點 ( ,0), ( ,0) 時，可設為 f ( x)  a( x   )(x   ) 。 4. 已知對稱軸為 x  h 時，可設為 y  a( x  h) 2  k 。【問題】 1. 設  ，  為 3x 2  6 x  1  0 的兩根，求下列各式之值。     (1) 。(2) 2 。(3)  3   3 。(4)  4   4 。   2 2 2   2   2 解答： 1 3. 由     2 ，   ， 10 。 3   1 2  2 1 10   ( )   3  5 。 (1) 2 2 2  2 3 1 1 (2) 3 2  6  1 ，即  2  2  ，同理  2  2  ， 3 3. 可得  2   2  (   )2  2 . 所以. .   2 2. . .   2 2.  3(    )  6 。. 1 10 10  。 3 3 9 10 1 98 (4)  4   4  ( 2   2 )2  2 2  2  ( )2  2( )2  。 3 3 9. (3)  3   3   ( 2   2 )  . 38.

(6) 【定理】 1. 牛頓定理(有理根判定法)：設 f ( x)  cn x n  cn 1x n 1    c1x  c0 是整係數多項式， a, b 是互質的整數。若 b f ( )  0 ，則 a 是 cn 的因數， b 是 c0 的因數。 a 註： b 若 a 是 cn 的因數， b 是 c0 的因數時， f ( ) 不一定等於零。 a 證明： b b b b f ( )  0 ，即 cn ( )n  cn 1 ( ) n 1   c1 ( )  c0  0 ， a a a a n n 1 n 等號兩端同乘 a ，得 cn b  cn 1ab   c1a n 1b  c0 a n  0 ，. 等號左端留下 cn b n ，其餘移項到右端，並提出 a ，即得 cn b n  a (cn 1b n 1  cn  2 ab n  2   c1a n  2b  c0 a n 1 ) ，故 a 是 cn b n 的因數。又由 a 與 b 互質知， a 與 bn 互質，所以 a 是 cn 的因數。同理可證 b 是 c0 的因數。【說明】 1. 當 p ， q 都是非 0 的整數，要判斷 px  q 是否為 f ( x) 的因式時，我們可以將 p ， q 各除以 p ， q 的最大公因數，其結果依序為 p ， q ；然後檢驗 px  q 是否為 f ( x) 的因式就可確定 px  q 是否為 f ( x) 的因式。 2. 整係數一次因式檢驗法(即牛頓定理)，只要能理解其意涵，並能應用即可；證明過程只要求能理解即可。 3. 牛頓定理推論過程中，運用了整數論中的性質： a ， b ， c 為整數，「當 a 是 n n bc 的因數且 a ， b 互質，則 a 是 c 的因數」。此性質當作可用的性質即可，不必探究。 4.. a ， b 為整數， a  0 ，若 a 不是 an 的因數或 b 不是 a0 的因數，則. b 不可能是 a. 整係數 n 次式 an xn  an1 x n1   a0  0 的根。【問題】 1. 設 f ( x)  2 x 4  7 x3  4 x 2  2 x  3 ，試求方程式 f ( x)  0 的所有有理根。解答：考慮有理根. b ，其中 a 是正整數， b 是整數，且 a, b 互質， a. 由牛頓定理知， a 是 2 的因數，故 a 可能為 1, 2 ；而 b 是 3 的因數，故 b 可能為 1,  3 。 b 1 1 3 3 b b 有 8 個可能：即 a  1 時，  1,  1, 3,  3；a  2 時，  ,  , ,  。 a 2 2 2 2 a a b 將這 8 個數逐一代入 f ( x) ，計算 f ( ) 是否為 0 ， a 或用綜合除法，檢驗 f ( x) 除以 ax  b 是否為 0 (因式定理)，. 於是. 結果 1,  1 都不合，而. 39.

(7) 2 7 4 2 3 6 3 3 3. 3. 2 1 1 1  0. 得 x  3 是一個有理根，且 f ( x)  ( x  3)(2 x3  x 2  x  1) 。 1 2. 接著繼續檢驗 1,  是否為 2x3  x2  x  1  0 的有理根， 1 2. 其中 1 已知不合，故檢驗  即可，結果發現 1 2  1  1 1  2  1 1 1 2 2 2 0. 故 2 x3  x 2  x  1  (2 x  1)( x 2  x  1) ，得 f ( x)  ( x  3)(2 x  1)( x 2  x  1) ，而 x2  x  1  0 已無有理根， 1 2 3 13 解方程式 x 4  x3  2 x 2  x  3  0 。 2 2. 故 f ( x)  0 的有理根為 3,  。 2.. 解答：原方程式可化為 2x4  3x3  4x2  13x  6  0 ， b ，其中 a 是正整數， b 是整數，且 a, b 互質。 a b 1 3 於是  1,  2,  3,  6,  ,  。 a 2 2. 考慮有理根. 首先， 2 3 4 13 6 6 9 15 6 2  3 5. 3. 2 0. 原式成為 ( x  3)(2 x  3x  5 x  2)  0 ，接著， 3. 2. 2 3 5 2 1  1 1 2 2 2 2 4 0. 原式再化為 ( x  3)(2 x  1)( x 2  x  2)  0 ，於是 x  3  0 或 2 x  1  0 或 x2  x  2  0 ，得 x  3,. 1 1 1  7i 1  7i ，其中 3, 是有理根，另兩根是虛根。 , 2 2 2 2. 【方法】 1. 找 a  0 的即可。 2. 找到某些根後可以先降次。 3. 可以配合 (a  b) | f (1), (a  b) | f (1) 作因式分解。 4. 一次因式檢驗定理的逆敘述不成立，即若 a | a n , b | a 0 ，則 ax  b 是 f (x) 的因式不一定成立。 5. 目的在於希望將多項式分解成一次因式或二次因式的乘積。 6. 同義敘述：若 a | a n 或 b | a 0 ，則 ax  b | f ( x) 。 40.

(8) 【討論】整係數方程式可以找有理根，但是未必存在有理根。那麼一般實係數多項式方程式要如何求解呢？原則上，只要能將其中多項式分解成一次式﹑二次式的乘積，便能求解。至於不易分解的方程式，通常較難求解。但在數學的應用上，往往能求得方程式實根的近似值便可。由於多項式函數 y  f (x) 的 y 值隨 x 值連續變化，當 y 值隨 x 值的漸增由負值轉為正值，或由正值轉為負值時，一定歷經 y  0 。【定理】 1. 勘根定理：設 f ( x)  0 是實係數多項式方程式，且實數 a  b ，若 f (a) f (b)  0 ，則方程式 f ( x)  0 在 a 與 b 之間至少有一個實根。註：若在 a 與 b 之間至少有一個實根時， f (a) f (b) 不一定小於零。. (a，f(a)). (b，f(b)) b x. a. a. b. (a，f(a)). x. (b，f(b)) f(a) f(b)<0 a,b 間有三實根. f(a) f(b)<0 a,b 間有一實根. (a，f(a)). (a，f(a)). (b，f(b)). (b，f(b)) a. b. x. a. b. (a，f(a)) f(a) f(b)>0 a,b 間無實根. x a. b. (b，f(b)). f(a) f(b)>0 a,b 間有二實根. f(a) f(b)>0 a,b 間有一實根. 註： 1. 要講至少一實根，不能講恰有一實根。 2. 利用整係數一次因式檢驗定理，可解決有理根的問題，但是就一般的方程式而言，並非全是有理解，此時要找出解，尤其是高次的方程式，通常不是一件容易的事情，此時可以利用勘根定理。當多項式方程式之實根不能用因式分解的方法求得時，我們用勘根定理求其近似根。 3. 當 f (a) f (b)  0 時，在 a 與 b 之間至少有一實根，並非只能有一實根；而 f (a) f (b)  0 時， a 與 b 之間不一定沒有實根，但如果有實根，必是偶數個。 4. 定理的反方向不一定成立，即方程式 f ( x)  0 在 a 與 b 之間至少有一個實根時，則 f (a) f (b)  0 不一定成立。 5. 牛頓法(整係數一次因式檢驗法)在於求求有理根，或整係數一次因式。而勘 41.

(9) 根定理在求根的範圍或近似根。 6. 基本上對於一個多項式，先用牛頓法找出所有可能的一次因式後(有時可以配合勘根定理求出有理根的範圍，縮小找根的範圍)，剩下的部分則一定是無理根或者是虛根，此時利用勘根定理可以求出無理根的近似值到所要求的小數點位數(配合十分逼近法或二分逼近法)，至於虛根部分除非題目有所提示或者已經分解到剩下一次因式或二次因式的連乘積，否則不容易求出來。【方法】勘根定理配合二分逼近法(或十分逼近法)可以求實根範圍，並可將誤差縮小到任意要求的範圍。註：十分逼近法並不是就非要十等份，而是以十進位進位點(例如 0.1,0.2,0.3,) 配合勘根定理使用之。【問題】 1. 設 f (x) 是一個實係數多項函數， a, b 是兩個相異實數，若 f (a) f (b)  0 ，則方程式 f ( x)  0 在 a 與 b 之間至少有一個實根？ 2. 實係數奇數次的方程式，至少有一個實根？ 3. 討論 n 次方程式是否有解？有多少解？如何找出解？ 4. 設 a 是一個固定的正數，試證明：方程式 x n  a ( n 為自然數)恰有一正實根。註：要證明存在性以及唯一性。證明： (1)存在性：設 f ( x)  x n  a ， a 是一個固定的正數，則 f (0) f (a  1)  (a )((a  1) n  a )  0 (因 (a  1) n  a  (a  1)  a  0 ) (2)唯一性：設  ,  為 f ( x)  0 之相異根，  n  a 則 n ，得  n   n  0 ，    a 故  n   n  (   )( n   n 1      n )  0 ，又  n   n 1      n  0 ，得     0 ，即    。 5. 試證方程式 x3  2x2  5x  7  0 在 1 與 2 之間有一個實數根。解答：令 f ( x)  x 3  2 x 2  5 x  7 ，則 f (1)  1  2  5  7  0 ， f (2)  8  8  10  7  3  0 ，由勘根定理知此方程式在 1 與 2 之間有實數根。由 f (1)  1  0, f (2)  3  0 知方程式 f ( x)  0 有一實根  ， 1    2 。可以計算 f (1.1), f (1.2),, f (1.9) 的值如下表： x 1 1 .1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 f ( x) 1 0.411 0.152 0.683 1.176 1.625 2.024 2.367 2.648 2.861 3 其中可見 f (1.1)  0.411  0, f (1.2)  0.152  0 ，故 1.1< <1.2 ，即   1.1 ，若再計算 f (1.11), f (1.12), , f (1.19) 的值，就可得到  的第 2 位小數，如此繼續下去，  的近似值就越加精確。 6. 十分逼近法在應用時先從左右那邊開始？準確度為何？何時停止？如何能改進此法的速度？ 42.

(10) 7. 使用勘根定理時，何時可以停止？解答：例如：找出方程式 12x 3  8x 2  23x  12  0 在哪兩個連續整數之間有實根？利用綜合除法得下表 x 2 1 0 1 2 f (x)  70 15 12  7 30 可知 f (2) f (1)  0 ， f (0) f (1)  0 ， f (1) f (2)  0 ，故 f ( x)  0 在  2 和  1 之間， 0 和 1 之間， 1 和 2 之間各有一實根，註：商及餘式的係數為全正時。 12  8  23  12  24  64  82  2 12  32  41  70 由綜合除法可知 f ( x)  ( x  2)(12x 2  32x  41)  70 當 x  2 時， f (x)  (負)  (正)+(負)，故必為負。註：商及餘式的係數為正負相間時。 12  8  23  12  24  32  18 2 12  16  9  30 由綜合除法可知 f ( x)  ( x  2)(12x 2  16x  9)  30 當 x  2 時， f (x)  (正)  (正)+(正)，故必為正。也就是 x 1 2 x  2  2  1 0 x2 f (x) 必為負  70 15 12  7 30 必為正註：在做題目時，利用綜合除法除後，若商與餘數之那排之係數全為正，則表示除式 x  b 時，只要 x  b 之值代入全為正。若商與餘數之那排之係數為正負相間，則表示除式 x  a 時，只要 x  a 之值代入全為負。. 43.

(11) 【討論】 1. 正 n 次方根的存在性及唯一性：設 a 是一個正實數，若 n 是一個正整數，則存在唯一正實數 t ，使 t n  a 。證明： (存在性) 令多項式函數 f ( x)  x n  a ，則 f (0)  a  0 ， f (a  1)  (a  1) n  a  (a  1)  a  1  0 。故由勘根定理知，有一實數 t ， 0  t  a  1 ，使 f (t )  0 ，即 t n  a  0 ，亦即正實數 t 使 t n  a 。給定正實數 a 及正整數 n ，就有正實數 t ，使 t n  a ， (唯一性) 又假設正實數 s ，使 sn  a 。由三一律知 t  s, t  s, t  s 三者中恰一成立。若 t  s ，則 t n  s n  a ，不合；若 t  s ，則 t n  s n  a ，也不合，故 t  s 。由此可知，滿足 t n  a 的正實數 t ，恰有一個，我們將此正實數以 n a 表示。例如： 3 8 表示那個 3 次方後等於 8 的正實數，就是 2 ，即 3 8  2 。而 5 8 表示那個 5 次方後等於 8 的正實數。【定義】 1. 正 n 次方根：設 a 是一個正實數，若 n 是一個正整數，且存在唯一的正實數  ，使  n  a 。其中  表為 n a ，即   n a 。【性質】 1. 證明任意正整數的 n 次方根的乘法性質，即 n a  n b  n ab 恆成立，其中 a, b 為非負實數。 2. 當 a, b 為任意實數， n 為奇數時， n a  n b  n ab 也恆成立。 3.. a  0, b  0 ，且 a, b 為任意正整數，. n. a. n. b. n. a 亦恆成立。 b. 【問題】 1. 設 a, b 是正實數，試證： 3 a  3 b  3 ab 。證明：. (3 a  3 b )3  (3 a  3 b )(3 a  3 b )(3 a  3 b )  (3 a )3  (3 b )3  ab ，又 3 a  0 ，且 3 b  0 ，故 3 a  3 b  0 。因此 3 a  3 b  3 ab 。 2. 求 x3  2  0 的所有根，並用勘根定理求實根至小數點後第一位。解答： 3 3 由 x3  2  0 得 ( x  3 2 )(x 2  3 2 x  3 4 )  0 ，故 x  3 2 或 x   2  3 4i 。 2 3 f ( x )  0 令 f ( x )  x  2 ，則可知的實根在 1 與 2 之間， f (1.1)  0, f (1.2)  0, f (1.3)  0 ，因此，可知 f ( x)  0 在 1.2 與 1.3 之間有一實根，即 x3  2  0 的實根 3 2  1.2 。. 44.

(12) 【定理】 1. 虛根成對定理：設 f (x) 是實係數多項式，  是虛數，若 f ( )  0 ，則 f ( )  0 。註：由此定理知實係數多項式方程式的虛根都是成對共軛，如果有虛根，一定是偶數個。因此，奇次實係數多項式方程式必有奇數個實根。證明：令 f ( x)  an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 ，其中 an , an1, , a1, a0 是實數， n. 則 f ( )  an   an1. n 1. .  an n  an 1 n 1 .  a1  a0  an  n  an 1 n 1 .  a1  a0.  a1  a0  f ( )  0  0 。. 註：實係數多項式方程式，虛根成對出現。即設 f ( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0  R[ x] ， (1)設 z  C ，則 f ( z)  f ( z) 。 (2)設 a, b  R ，若 f (a  bi)  0 ，則 f (a  bi)  0 。 (證明) (1) f (z )  an z n  an1 z n1    a1 z  a0.  an z n  an1 z n1    a1 z  a0  an z n  an1 z n1    a1 z  a0  a n ( z ) n  a n 1 ( z ) n 1    a1 ( z )  a0.  f (z ) (2) f (a  bi)  f (a  bi)  f (a  bi)  0  0 。 2. a  b 形式的無理根成對性質：有理係數多項方程式，若有無理根，則成對出現。有理係數多項式方程式，無理根成對出現。設 f ( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0  Q[ x] ，設 a, b  Q, b  Q ，若 f (a  b )  0 ，則 f (a  b )  0 。 (證明) 令 g (x)  ( x  (a  b ))(x  (a  b ))  x 2  2ax  (a 2  b) ，設 f ( x)  g ( x)q( x)  (rx  s) ，其中 r, s  Q 則 f (a  b )  r (a  b )  s  0  ra  s  r b  0 ， ra  s 若 r  0 ，則 b    Q ，矛盾。 r 故 r  0 ，代回，得 s  0 ，故 f ( x)  g ( x)q( x) ∴ f ( a  b )  0  q( a  b )  0 。註：其他形式的無理根不一定成對，例如 f ( x)  x 3  2 為一個無理根與兩個虛根，因 x 3  2  ( x  3 2 )( x 2  3 2 x  3 4 ) 。. 45.

(13) 3. 實係數一元 n 次方程式，當 (1) n 為奇數時，有奇數個實根(即必有實根)。 (2) n 為偶數時，有偶數個實根或者沒有實根。註：我們一般在分解時，會將方程式化成一次因式或二次因式的連乘積，再利用公式求出所有解。 4. 實係數的代數基本定理：設 n 是一個正整數，若 f (x) 是實係數 n 次多項式，則存在複數  ，使 f ( )  0 。註： (1) 設 n 是一個自然數，則每一個複係數 n 次多項式方程式，至少有一個複數根。進一步可知每個複係數 n 次多項式方程式都恰有 n 個複數根。 (2) 一般實係數多項式方程式不一定有實數根，但都有複數根。 (3) 利用代數基本定理，我們可以說：任意實係數多項式可分解為一次與二次實係數多項式之積，這是存在性的問題，至於如何分解，則是另一層次的問題。【討論】設 f ( x) 是實係數 n 次多項式，若複數  滿足 f ( )  0 ，則  可能是實數，也可能是虛數，分別討論如下： 1.  是實數，由因式定理知， x   是 f ( x) 的因式，令 f ( x)  ( x   ) g ( x) ，其中 g ( x) 是實係數 n  1 次多項式。.  是虛數，由虛根成對定理知 f ( )  0 ，所以 ( x   )( x   )  x 2  (   ) x   是 f ( x) 的實係數二次因式，令 f ( x)  [ x 2  (   ) x   ]g ( x) ，其中 g ( x) 是實係數 n  2 次多項式。無論是上面哪一種情形，又存在複數  ，使 g (  )  0 ， 2.. g ( x) 就又可分解出實係數一次或二次因式，. 重複這樣的步驟，便可以將 f ( x) 完全分解成實係數一次﹑二次多項式的乘積。由此可知，實係數 n 次方程式恰有 n 個複數根(重根重複計算)，其中若有虛根，則為偶數個。也就是說，若 f ( x) 為實係數 n 次多項式，則 f ( x) 可分解形如 f ( x)  a( x  1 )( x   2 ). ( x   r )( x  1 )( x  1 )( x   2 )( x   2 ). ( x   k )( x   k ) ，. 其中 1 , 2 , , r 是實數，1 , 2 , , k 是虛數， r , k 是非負整數，且 r  2k  n 。 f ( x) 也可表成實係數一次﹑二次多項式的乘積，即 f ( x)  a( x  1 )( x   2 ). ( x   r )[ x 2  (1  1 ) x  11 ][ x 2  ( 2   2 ) x   2  2 ] . [ x 2  ( k   k ) x   k  k ] 。. 【結論】 1. 實係數 n 次多項式方程式恰有 n 個複數根(重根重複計算)，其中若有虛根，則為偶數個。 2. 實係數多項式必可分解成實係數一次、二次多項式的乘積。. 46.

(14) 【問題】 1. 設 a, b 是實數，已知方程式 x4  x3  x2  ax  b  0 有一根為 1  2i ，求 a, b ，並解此方程式。解答：此方程式是實係數，虛根成對共軛，故 1  2i 也是一根，因此 [ x  (1  2i )][ x  (1  2i)]  x 2  2 x  5 是 x4  x3  x2  ax  b 的因式，由長除法 1 1  2 1  2  5 1 1 1 1 2 5. a. 1 4. a. 1 2. 5. b.  2  (a  5). b. 2.  10. 4. (a  9)  (b  10). 餘式應為 0 ，故 a  9  0, b  10  0 ，得 a  9, b  10 。原方程式化為 ( x 2  2 x  5)( x 2  x  2)  0 ，即 ( x 2  2 x  5)( x  2)( x  1)  0 ，得 x  1  2i,  2, 1 。 2. 設 f ( x)  2 x 4  7 x3  4 x 2  13 x  10，已知 f (2  i)  0 ，試將 f ( x) 分解成實係數一次﹑二次多項式的乘積。解答：令虛數   2  i ，則   2  i ， ( x   )( x   )  [ x 2  (   ) x   ]  x 2  4 x  5 ，得知 x2  4x  5 是 f ( x) 的因式，再用長除法將 f ( x) 除以 x2  4x  5 ，得商式為 2x2  x  2 （餘式為 0），於是 f ( x)  ( x 2  4 x  5)(2 x 2  x  2) ， 1  17 1  17 )( x  )， 4 4 1  17 1  17 2 得到 f ( x)  2( x  )( x  )( x  4 x  5) 。 4 4 設 a, b, c, d 為實數且 x3  ax 2  bx  c  0 有 di 的根，且 d  0 ，證明： ab  c 。. 又 2 x 2  x  2  2( x . 3.. 解答： di 為方程式之根，因此 (di)3  a(di)2  b(di)  c  0 ，整理得 (c  ad 2 )  d (b  d 2 )i  0 ，其中 d  0 ，故 c  ad 2  0 且 b  d 2  0 ，即得 c  ad 2  ab 。. 47.

(15) 【結論】 1. 複數系的擴充是為了使任意實係數方程式必有根存在。一般而言，複數系中，我們不比較兩不同複數的大小。因此，複數系中不處理不等式的問題。 2. 根與係數的關係可擴展到 n 次多項式方程式的情形，其中 n 為任意大於等於 2 的整數，且可以是複係數多項式方程式，但這裡，只討論二次式的情況。 3. 代數基本定理可擴展到複係數方程式，即任意 n 次複係數方程式至少有一複數根，其中 n 為任意正整數。這裡只探討實係數方程式與實係數多項式的問題。. 48.

(16)