1-3-4多項式-多項式函數

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(1)1-3-4 多項式-多項式函數【定義】 1. 多項式函數：變數 y 是變數 x 的函數，且 y 可以用 x 的多項式表示，即 y = f (x ) ，稱多項式函數。 2. 線型函數：形如 f ( x ) = ax + b 的多項式函數，稱線型函數，其圖形為一直線，其中 a 為斜率， b 為 y 軸截距。 3. 零次函數： f ( x ) = c, c ≠ 0 。 4. 零函數： f ( x) = 0 。註： y = ax + b 稱為線型函數，因為其圖形都是直線， (1)若 a ≠ 0 時，為一次函數。 (2)若 a = 0 時， (i)若 b ≠ 0 時，為零次函數。 (ii)若 b = 0 時，為零函數。 5. 函數值： f (a ) 稱為 f (x ) 在 x = a 的函數值。 6. 函數的圖形： y = f (x ) 的圖形是由點 ( x, f ( x )) 所形成的圖形，即 Γ = {( x, f ( x )) | x ∈ A} 。 7. 嚴格遞增函數：若 x1 < x2 ，則 f ( x1 ) < f ( x2 ) 。 8. 嚴格遞減函數：若 x1 < x2 ，則 f ( x1 ) > f ( x2 ) 。【性質】二次函數：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ，是一個二次函數，圖形為一拋物線。 1. 頂點： b 2 b 2 − 4ac 2 ， f ( x) = ax + bx + c = a ( x + ) − 2a 4a b b 2 − 4ac 頂點是 (− ,− )。 2a 4a 2. 對稱軸： b b 2 − 4ac ， f ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x + ) 2 − 2a 4a b = 0。對稱軸是直線 x + 2a 3. 與 y 軸交點： (0, c) 。.

(2) 二次函數的極值：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ， b b 2 − 4ac ,− )； 2a 4a b b 2 − 4ac 2. a < 0 時開口向下，最高點為 (− ,− )。 2a 4a 註：有範圍求極值時，極值只可能產生在頂點或端點。. 1. a > 0 時開口向上，最低點為 (−. a>0 x+. a<0. b =0 2a. (0, c). (−. b b 2 − 4ac ) ,− 4a 2a. x. x (0, c). (−. b b − 4ac ) ,− 4a 2a 2. x+. b =0 2a. 二次函數與 x 軸交點數(實根數)：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ， 1. 若 b 2 − 4ac > 0 ，二次函數與 x 軸交於相異兩點，表示有兩個相異實根； 2. 若 b 2 − 4ac = 0 ，二次函數與 x 軸交於一點，表示有兩相等實根(重根)； 3. 若 b 2 − 4ac < 0 ，二次函數與 x 軸無交點，表示沒有實根。二次函數恆正或恆負的判別：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ， 1. a > 0 時，若 b 2 − 4ac < 0 ，表示開口向上且與 x 軸無交點，則二次函數之值恆正； 2. a < 0 時，若 b 2 − 4ac < 0 ，表示開口向下且與 x 軸無交點，則二次函數之值恆負。. a<0. a>0 x (−. b b − 4ac ) ,− 4a 2a 2. (−. b b 2 − 4ac ) ,− 4a 2a. x. n 次函數： n 次函數的圖形與 x 軸至多有 n 個交點。【問題】 1. 試問二次函數的頂點、對稱軸、開口大小由誰決定？解：數個二次函數的要比較開口的大小時，需要放在同一個頂點上才能比較，且 | a | 越大，開口越大。 2. 試問 a, b, c, D = b 2 − 4ac 分別對圖形有何影響？ 3. 試問 y = a ( x − h) 2 + k 中， a, b, c, d 分別對圖形的平移、旋轉、伸縮、對稱之含意為何？.

(3) 【討論】二次函數圖形的平移、旋轉、伸縮、對稱有如下關係： —――――→ y = a ( x − h) 2 + k y = ax 2 + k 右移 h 單位 ↑ ↑ ‫׀‬ ‫׀‬ 上移單位 k ‫׀‬ ‫׀‬上移 k 單位 ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ ‫׀‬ —――――→ y = ax 2 y = a ( x − h) 2 右移 h 單位各係數的影響：二次函數 y = a ( x − h) 2 + k 中， 1. h 表示左右平移。 2. k 表示上下平移。 3. a 為正時，表示對於 x 軸作伸縮； a 為負時，表示對於 x 軸作伸縮及對稱。【理論】變數變換的方法： 1. 將函數中 ( x, y ) 以 ( x − 1, y ) 代入，表將圖形右移 1 單位，也就是 y = f (x) 變數變換成為 y = f ( x − 1) ，即 y = ax 2 → y = a( x − 1) 2 表將圖形右移 1 單位。 (證明) 若 ( x 0 , y 0 ) ∈ y = ax 2 ⇔ y 0 = ax0. 2. ⇔ y 0 = a (( x0 + 1) − 1) 2 ⇔ ( x0 + 1, y 0 ) ∈ y = a( x − 1) 2 2.. 即將 y = ax 2 的圖形右移 1 單位會得到 y = a ( x − 1) 2 的圖形。將函數中 ( x, y ) 以 ( x, y − 1) 代入，表將圖形上移 1 單位，也就是 y = f (x) 變數變換成為 y − 1 = f ( x) ，或表為 y = f ( x) + 1 ，即 y = ax 2 → y = ax 2 + 1 表將圖形上移 1 單位。 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = ax 2 ⇔ y 0 = ax0. 2. ⇔ ( y 0 + 1) − 1 = ax 0. 2. ⇔ ( x0 , y 0 + 1) ∈ y − 1 = ax 2 即將 y = ax 2 的圖形上移 1 單位會得到 y − 1 = ax 2 的圖形，也就是 y = ax 2 + 1 的圖形。.

(4) 3.. 將函數中 ( x, y ) 以 ( x,2 y ) 代入，表將圖形沿著 y 軸方向向 x 軸伸縮. 1 倍， 2. 1 f ( x) ， 2 a 1 即 y = ax 2 → y = x 2 表將圖形沿著 y 軸方向向 x 軸伸縮倍。 2 2 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = ax 2 也就是 y = f ( x) 變數變換成為 2 y = f ( x) ，或表為 y =. ⇔ y 0 = ax0. 2. y0 2 = ax 0 2 y ⇔ ( x0 , 0 ) ∈ 2 y = ax 2 2. ⇔ 2×. 即將 y = ax 2 的圖形沿著 y 軸方向向 x 軸伸縮也就是 y =. 4.. 1 倍會得到 2 y = ax 2 的圖形， 2. a 2 x 的圖形。 2. 將函數中 ( x, y ) 以 (2 x, y ) 代入，表將圖形沿著 x 軸方向向 y 軸伸縮也就是 y = f (x) 變數變換成為 y = f (2 x) ，即 y = ax 2 → y = a(2 x) 2 表將圖形沿著 x 軸方向向 y 軸伸縮. 1 倍， 2. 1 倍。 2. (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = ax 2 ⇔ y 0 = ax0. 2. 1 ⇔ y 0 = a(2 × ( x0 )) 2 2 1 ⇔ ( x0 , y 0 ) ∈ y = a(2 x) 2 2 即將 y = ax 2 的圖形沿著 x 軸方向向 y 軸伸縮. 1 倍會得到 y = a(2 x) 2 的圖形。 2.

(5) 5.. 將函數中 ( x, y ) 以 ( x,− y ) 代入，表將圖形對 x 軸作對稱，也就是 y = f (x) 變數變換成為 − y = f (x) ，即 y = ax 2 → − y = ax 2 表將圖形對 x 軸作對稱。 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = ax 2 ⇔ y 0 = ax0. 2. ⇔ −(− y 0 ) = ax 0. 2. ⇔ ( x0 ,− y 0 ) ∈ − y = ax 2 6.. 即將 y = ax 2 的圖形對 x 軸作對稱會得到 − y = ax 2 的圖形。將函數中 ( x, y ) 以 (− x, y ) 代入，表將圖形對 y 軸作對稱，也就是 y = f (x) 變數變換成為 y = f (− x) ，即 y = ax 2 → y = a(− x) 2 表將圖形對 y 軸作對稱。 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = ax 2 ⇔ y 0 = ax0. 2. ⇔ y 0 = a(−(− x0 )) 2 ⇔ (− x0 , y 0 ) ∈ y = a(− x) 2 即將 y = ax 2 的圖形對 y 軸作對稱會得到 y = a(− x) 2 的圖形。 7.. 將函數中 ( x, y ) 以 (− x,− y ) 代入，表將圖形對原點作對稱，也就是 y = f (x) 變數變換成為 − y = f (− x) ，即 y = ax 2 → − y = a(− x) 2 表將圖形對原點作對稱。 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = ax 2 ⇔ y 0 = ax0. 2. ⇔ −(− y 0 ) = a(−(− x0 )) 2 ⇔ ( − x 0 ,− y 0 ) ∈ − y = a ( − x ) 2 即將 y = ax 2 的圖形對原點作對稱會得到 − y = a(− x) 2 的圖形。.

(6) 【討論】二次函數的假設法： 1. 過已知不共線的三點，可設為 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 。 2. 已知頂點 (h, k ) 時，可設為 y = a( x − h) 2 + k 。 3. 已知與 x 軸交點 (α ,0), ( β ,0) 時，可設為 f ( x) = a( x − α )( x − β ) 。 4. 已知對稱軸為 x = h 時，可設為 y = a( x − h) 2 + k 。【方法】求極值常用的方法有： 1. 配方法、用算幾不等式、用科西不等式、用定義域的範圍、用值域的範圍、用三角函數的範圍、用指對數的範圍。 2. 沒有範圍限制時，只有最大值或最小值，但有範圍求二次函數的極值時，極值產生在頂點或端點。【結論】 b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac = 0 b 2 − 4ac < 0 極值 f ( x) = ax 2 + bx + c 相異實根相等實根共軛虛根 a>0 開口向上. f (x) 恆非負. a<0 開口向下. f (x) 恆非正. 有最小值. f (x) 恆正有最大值. f (x) 恆負零個. 與 x 軸交點數兩個一個【討論】三次或三次以上多項式函數的圖形描繪，要配合微積分的方法(一次微分可判別遞增遞減，二次微分可判別凹口方向)，才可以描繪出其圖形的大致形狀，一般是以電腦軟體繪製圖形。【性質】高次多項式函數圖形的性質： 1. 圖形為連續不斷的。註：連續的定義為 lim f ( x) = f (a) 。 x →a. 2. 3.. 當首項係數為正，則圖形最右邊向上；當首項係數為負，則圖形最右邊向下。 n 次多項式函數的圖形與 x 軸至多 n 個交點。註：實係數多項式方程式的虛根成對，故奇數次實係數多項式函數的圖形與 x 軸至少有一個交點，偶數次實係數多項式函數的圖形與 x 軸不一定有交點。.

(7) 【方法】如圖，試討論三次實係數多項式函數 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 中，各係數的正負：. x. 1.. 2.. 3.. 方法一：若已知圖形與 x 軸的交點為 (α ,0), ( β ,0), (γ ,0) ，則可利用 f ( x) = a( x − α )( x − β )( x − γ ) ，將其展開，並利用圖形最右側向上或向下判別首項係數的正負後，就可以知道其它係數的正負。方法二：若已知圖形與 x 軸的交點為 (α ,0), ( β ,0), (γ ,0) ，利用圖形最右側向上或向下判別首項係數的正負後，再利用三次方程式根與係數關係： b ⎧ α + β +γ = − ⎪ a ⎪ c ⎪ 若三次方程式的三根為 α , β , γ ，則 ⎨αβ + βγ + γα = ， a ⎪ d ⎪ α × β ×γ = − ⎪ a ⎩ 可判別 a, b, c, d 的正負。方法三：若不知圖形與 x 軸的交點，則可利用圖形與 y 軸的交點 (0, d ) 處之圖形性質判別如下： (1) a ：由圖形最右側向上或向下判別。 (2) b ：由圖形 (0, d ) 處的凹口方向判別。 (二次導數 f ' ' ( x) = 6aax + 2b ，故 f ' ' (0) = 2b ) (3) c ：由圖形 (0, d ) 處的遞增或遞減判別。 (一次導數 f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c ，故 f ' (0) = c ) (4) d ：由圖形與 y 軸交點的位置判別。.

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