1-2-3多項式方程式

(1)

高中基礎數學補充教材第一冊2-3 數學科教學研究會

2－3 多項式方程式

【1】下列何者是方程式 32x4_＋24x3_－44x2_{－6x＋9＝0 的有理根？(A)} 2 3 － _(B) 4 3 － (C) 2 1 － (D) 2 3 　(E) 4 3 [解答]：(A)(C)(E) 【2】關於三次方程式 f(x)＝ax3_＋bx2_{＋cx＋d＝0，下列敘述何者是正確的？} (A) f(x)＝0 至少有一實根　(B) f(x)＝0 至少有一複數根　 (C)若 f(x)＝0 有一根 1＋i，則必有一根 1－i　 (D)若 a，b，c，d



Z 且 f(x)＝0 有一根 1＋ 2 ，則必有一根1－ 2　 (E)若 a，b，c，d



Z 則 f(x)＝0 至少有一實根。 [解答]：(B)(D)(E) 【3】已知方程式 x4_－_3x3_＋_6x2_＋_{2x－60＝0 有一根 1＋3i，則其餘各根為　　　　　。} [解答]：1－3i，－2，3 【4】設 1 為 x4_－5x3_＋ax2_{＋bx＋c＝0 之三重根，則另一根為　　　，b＋c＝　　　。} [解答]：2，－5

【5】a，b



R，若 2i－1 為 x4_＋3x3_＋(a＋1)x2_{＋ax＋b＝0 之一根，則數對(a，b)＝}

。

[解答]：(7，5)

(2)

高中基礎數學補充教材第一冊2-3 數學科教學研究會【6】已知方程式 x4_＋ax3_＋2x2_{－3x－2a＝0 在－2 與－1 之間，1 與 2 之間都恰有一個} 實根，則實數a 的範圍為　　　　　。 [解答]：2＜a＜3 【7】設 2x3_－_5x2_－_{3x＋k＝0 有一根} 2 13 1 _且_{k 為整數，則 k＝　　，另兩根為　　。} [解答]：9； 2 13 1－ _， 2 3 【8】解方程式(x2_－_3x)2_－_2(x2_－_{3x)－8＝0。} [解答]：－1，1，2，4 【9】若 f (x)為實係數三次多項式，f (i)  0，i  1，則y  f (x)的圖形與 x 軸有若干交點？ (A) 0　(B) 1　(C) 2　(D) 3　(E)因 f (x)不同而異 【解答】(B) 【10】已知 y  x(x  1)(x  1)的圖形如下圖，今考慮 f (x)  x(x  1)(x  1)  0.01，則方程式 f (x)  0 (A)有三個實根　(B)當 x   1 時，恰有一實根　(C) 當  1  x  0 時，恰有一實根　(D)當 0  x  1 時，恰有一實根　(E)當 1  x 時，恰有一實根 16

(3)

高中基礎數學補充教材第一冊2-3 數學科教學研究會【解答】(A)(B) 【11】設 f(x)＝3x5_－_{5x＋2，g(x)＝8x}4_－_{7，求證：存在實數 a，0＜a＜1 使 f(a)＝} g(a)。【12】方程式 12x3_－_8x2_－_{23x＋11＝0 在下列那一個區間內有實根？} (A)(－3，－2)　(B)(－2，－1)　(C)(－1，0)　(D)(0，1)　(E)(1，2) [解答]：(B)(D)(E) 【13】(1)已知8_x3 _14_x2 _21_x_27_0_{三根成等比，求}_x __? (2)已知_x3 _15_x2 _26_x__k_0_{三根成等差，求}_x __? [解答]：（1） 4 9 , 2 3 , 1  x （2）x  2,5,12 【14】解方程式 x5_＋2x4_－5x3_＋5x2_{－2x－1＝0。} [解答]：1，－2 3， 2 3 1 i 17

(4)

高中基礎數學補充教材第一冊2-3 數學科教學研究會【15】方程式 6(x＋ x 1 )2_＋7(x－ x 1 )－48＝0 的解為　　　　　。 [解答]：－3， 2 1 － _， 3 1 ，2 【16】複數₁ ₂ ₃ 2 ₄ 3 10 i i i i －＋－的共軛複數為a＋bi，a，b 為實數，則數對(a，b)＝。 [解答]： ) 2 5 2 5 ( ，【17】設 2＋i 為方程式 x2_{＋x＋a＝0 之一根，求 a 及另一根。} [解答]：a＝－5－5i；另一根為－3－i 18