第四章 研究結果與分析
第五節 不同能力學生的「去絕對值運算」概念之資料分析
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T：為什麼要代-1？
S01：因為就代代看阿！
T：為什麼不代-2？
S01：因為代-2 就不會是 4 啦！
【8(4) x5 1，x= 。】
S01：x-5 一定要是 1，4 減 5，-1，出絕對值就是 1，也有可能是 6，6-5 是 1 出 來也是 1。
T：那你為什麼當初沒有寫 6 這個答案？
S01：忘記了！
小結
在本向度正負數運算中，高能力學生能正確使用算術概念解題，同時亦能活 用幾何觀點，相較之下，中低能力之學生在此幾何與算術概念間轉換困難。錯誤 概念中有 2 名學生誤認為當一個括號外有一個負號時，此數值即為負數；低能力 學生更是誤用絕對值之算術定義，在逆操作絕對值運算時發生以偏概全的現象。
第五節 不同能力學生的「去絕對值運算」概念之資料分析
因本向度設計去絕對值運算相關試題時，考量學生在具體數字運算偏向以嘗 試錯誤，用湊的方式解題，因此題型較多為未知數符號之運算，故在研究顯示，
中能力的學生對於文字符號的運用及理解程度比高能力學生弱，而低能力學生甚 至是發生無法作答的現象。整體表現中高能力之學生在第 6 題第 1 小題、第 9 題第 1 小題、答對率高於 9 成；此外，第 7 題 A 選項能答對之學生在正式施測 的全體表現中只有 2 成，在訪問中發生錯誤的學生皆表示因為「無論絕對值內是 正數或負數出來都是正數」，所以解題當下做了錯誤判斷，某些學生在提問之下 多數能發現忽略絕對值可以是 0 的事實。不同能力學生在去絕對值運算概念之答 對率統計表，見下頁表 4-5-1。
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S13：如果它們相減等於 0 的話。
T：那 0 是正數還負數？
S13：都不是。
T：所以這句話說|x-5|一定是正數正確嗎？
S13：不正確。
T：那時候怎麼沒想到？
S13：就沒想到 0。
【7C. x5 1】
S13：因為如果|x-5|要等於 1 的話，那 x 就一定要等於 6，但是他沒有說 x 一定等 於 6。
學生 S34 在此向度中概念十分完整，能明確指出錯誤部分，並且充分瞭解未 知數的表徵及正負判斷：
【7A. x5 一定是正數】
S34：恩，A 選項，恩…喔，因為它有可能是 0。
【7C. x5 1】 S34：因為不一定是 1。
【9(1)假設k為正整數，那 k 可以化簡為 。】
【9(2)假設k為負整數，那 k 可以化簡為 。】
S34：喔，如果 k 是正數，它就是正的，就可以去絕對值就是 k，那如果是負數 的話，那答案就是，去絕對值之後應該要，前面要加一個負，那就是-k。
【9(3)假設k為任意數，那 k 可以化簡為 。】
S34：那第 3 題……ㄟ…老師…那如果是 0 的話，我要寫出正負 0 嗎？
T：妳覺得 0 應該是正數還是負數？
S34：0 喔~我覺得都不是。
T：所以我寫+0 或-0 的時候，會不會有不同？
S34：不會。
T：所以當我寫+0 的時候就符合 k，-0 的時候也符合 k。
S34：喔…那這題我是想任意數有可能是正的或是負的，所以我寫正負 k。
該生會特別注意當 0 出現的情況，並提出討論，但是在牽扯到未知數之表示時，
對於 0 應該放在正 k 或是負 k 產生疑惑。
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第 9 題的第 3 小題在全部施測學生的答題情況中，高能力學生 S48 答題與其 他所有人不同，能回答出正確答案者多是以k表示，而該生的答案則是 k2 ， 其訪問內容如下：
【9(3)假設k為任意數，那 k 可以化簡為 。】
S48：這個實數可能是正或負或 0，但是如果平方的話就是變成正的，然後之後 再開根號。
由此發現，該生能完整分辨實數分類，並且活用平方的概念將絕對值化簡為其它 式子。
二、 中能力學生之答題情形
研究發現，中能力學生處理本題型之過程裡，皆能想到使用去絕對值運算，
但是對於未知數的正負判讀易產生錯誤。第 7 題 A 選項，在訪問中發生錯誤的 學生皆表示因為「無論絕對值內是正數或負數出來都是正數」，所以解題當下做 了錯誤判斷，某些學生在提問之下能發現忽略 0 的絕對值是非負數。
以 S45 為例，該生在具體數字去絕對值運算中，能以距離之觀點進行說明，並且 對於某些題目能提出錯誤原因，但是在第 9 題第 2 小題誤用未知數之表徵，訪問 內容如下：
【6(1) 712 (□7)
(□12 )= 。】T：第 6 題你是怎麼填正負的？
S45：它等式前面的是 7 到 12 的距離等於 5，要-7 跟-12 的距離才會是 5。
【6(2)已知 x 為大於 3 的任意數，則 x1 (□x )
(□1)= 。】S45：因為 x>3，所以脫掉絕對值的話就直接是正的，不用變號。
【7A. x5 一定是正數】
S45：絕對值 x-5 就是代表距離，距離沒有負的嘛，就是一定是正數。
【7C. x5 1】
S45：不選 C 的原因是 x 可以是任意數，不一定會等於 1。
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【9(1)假設k為正整數，那 k 可以化簡為 。】
T：第 9 題你有做過嗎？
S45：有，好像老師教過，也在講義寫過。
T：那你怎麼想的？
S45：第 1 題，正整數的話出來不會變號，一樣是正整數。
【9(2)假設k為負整數，那 k 可以化簡為 。】
S45：再來如果是 k 為負整數的話，那絕對值脫掉就要變成正數的，就不是原本 的 k，要多上一個負號，才可以讓它變成原來的 k 為負整數，那個怎麼辦。
T：你解釋一下阿?為什麼寫-(-k)？
S45：呃…我好像只想，如果是正的數 k 的話，我是用代的。
T：怎麼代的？
S45：如果把正整數 k 帶進去的話，把它冠上一個負號就變成負的，再給它一個 負號就變成正 k，然後，那如果它是負整數，本身就是負的，代進去的話就是正 k 再給它一個負號就變成-k。
T：可是這樣|k|出來不是要正數嗎？
S45：恩！
T：那你剛剛那樣代的話都是正數嗎？你說負數，不就矛盾。
S45：那是我想錯了，我把這個 k 想成出來的 k，不是裡面的 k！
學生 S28 亦能經由提問發現忽略 0 的絕對值為非負數，但在未知數之正負表 徵上無法正確表達，與Ｓ45 相同，因此在第 9 題誤用未知數之表徵，將答案都 填上「k(k皆為正整數)或是(k皆為正數)」，其訪問內容如下：
【9(1)假設k為正整數，那 k 可以化簡為 。】
T：第 9 題，為什麼妳的答案都是 k，然後後面都有括號寫正整數？
S28：因為絕對值可以讓負數變成正數。
T：可是妳這裡寫的 k 跟前面的 k 有沒有一樣？
S28：k 值是一樣的，只不過它是正整數。
T：所以應該要怎麼表示，才能用 k 這個符號表是正整數？
S28：負 k………喔~~那第 3 小題應該要寫正負 k。
中能力學生 S41 對於化簡一詞解釋，認為若是題目條件有給予不等式範圍，
則就應同樣化簡出以不等號表示之範圍，並且在未知數的使用上發生困難，重複 使用與題目相同之符號，而產生混淆，其訪問內容如下：
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圖 4-5-1 S41(男)解決題目 6(2)實際作答圖
T：你在第六題的第二小題，答案為什麼要寫x2呢？
S41：因為它就是說x 大於 3 的任意數，那x1就是正數，絕對值就可以去掉，
那它既然是 x -1 的話就代表說減 1 就是範圍減 1，就變小，就變成 x 大於 2。
T：這樣題目的x 跟你寫的 x ？
S41：不一樣，這邊的是x 大於 3，這邊的是 x 大於 2。
T：那你剛說題目是x 大於 3，這邊你答案寫出來的是 x 大於 2，它們的含意不一 樣？
S41：對阿~因為這裡的含意是所有的任意數都減掉 1…恩…好像不能說用一樣的 符號，是嗎？
T：所以你覺得這裡的符號應該要怎麼表示會比較適當？
S41：恩…應該說…x1大於 2 比較好…對…阿…要同時相減，要x1大於 2。
該生於【9(4)已知 x 為任意數，並且1x6，那麼 x3 x10可以化簡 為 。】也發生相同的問題：
T：第 4 小題你化簡出一個範圍，為什麼你這樣寫？
S41：這跟前面那題一樣耶，我把符號重複使用了。
T：那如果是這樣的話，你可以再算一次嗎？
S41：就，它說 x+3，……類似這種(在紙上運算)…可是…怪怪的。
T：哪裡怪？
S41：因為加起來 x 就突然消掉了…就變成 13，8<13<18，單純變成一個範圍。
T：你覺得什麼是化簡？
S41：化簡感覺就是把它精簡化，我好像沒有。
T：那我們來看一下，第 6 題和第 9 題都是要處理化簡問題，你在 6 的第 2 小題 和 9 的第 4 小題都寫的是範圍，其它都是數字或是以未知數表示，為什麼有這樣 的區別？
S41：因為我不知道它的值在哪裡，所以我只能用範圍去表示。
T：好。
S41：又或者是我覺得題目有給我範圍，所以我可以化簡成一個範圍？
T：那如果我們要你化簡成一個單純的一元一次這類的式子，你可以做得到嗎？
S41：恩，可以…那這樣就有值的，答案就變成 13。
T：為什麼就變成 13？
S41：因為 x 剛好就消掉，它給我們 x 的範圍是 1 到 6，那如果減掉 10 的話，就 代表是負數，所以應該要加一個負號。
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T：你是根據什麼性質要加一個負號？
S41：根據絕對值出來一定要是正數的性質，所以它如果是負數的話，一般我們 都是要括弧在前面加一個負號才對。
三、 低能力學生之答題情形
研究發現，低能力學生處理本題型之過程裡，無法直接運用去絕對值之運算，
且對於未知數的判讀，產生錯誤，此外，低能力學生在判斷未知數的正負時，多 半無法認知未知數是任意數，未知數可能為正數也可能為負數，因此誤認 x 為正 數而 x 必為負數。例如：【9(3)假設k為任意數，那 k 可以化簡為 。】
T：第 9 題為什麼要這樣寫+k？
S01：因為 k 是正整數，所以絕對值後也是正的，然後負的出絕對值也是正的，
任意實數的話出絕對值也是正的，所以都是正的。
T：所以你都寫+k？
S01：對！
T：那你有沒有看到這幾個條件，如果考慮進去，這個+k 是什麼意思？
S01：就是正的阿！
以 S05 為例，該生在具體數字去絕對值運算中，能用嘗試錯誤的方式湊出答 案，但是對於題目中含未知數的條件無法正確具體化，以絕對值之算術概念解題，
所以出現整數解的答題情況。該生訪問內容如下：
【6(2)已知 x 為大於 3 的任意數，則 x1 (□x )
(□1)= 。】T：6(2)為什麼妳答案是 3？
S05：因為他說 x 大於 3，所以我就用 4 阿，代 4 進去 4-1=3，所以就是 x=4，減 掉 1 就是 3。
T：妳覺得還有別的答案嗎？
S05：有阿~妳說的是像是 5 之類的嗎?只是我不知道怎麼寫。
T：妳覺得答案會有幾個？
S05：很多個阿，像是分數或是其它的正數。
T：那有沒有什麼方法可以表示很多數？
S05：應該是可以，但是我現在還沒有想到，是像一元一次不等式嗎？
T：可以是一元一次式嗎？
S05：ㄟ…不知道。
T：那我可不可以用未知數來表示？
S05：可是它用過 x 啦…呵呵…我真的不知道。
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T：那我寫成 x-1 可以嗎？
S05：為什麼阿？
T：妳看如果我代 x=3、x 代 9.9…代任何數都可以符合題目的要求。
S05：喔！
T：妳對於未知數有什麼感覺？
S05：有時候很簡單，有時候很難。
T：什麼時候簡單？
S05：就是計算題的時候比較簡單，但是看到應用題就很難，可能被國文檔掉就 很難！
【9(1)假設k為正整數，那 k 可以化簡為 。】
S05：因為我不知道它是要我代數字還是什麼的，我就寫 k 了。
【9(2)假設k為負整數，那 k 可以化簡為 。】
【9(2)假設k為負整數，那 k 可以化簡為 。】