國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
第一章 緒論
本研究在探討學生學習絕對值之錯誤原因。本章緒論分別說明研究動機、研 究目的，提出待答問題，並針對本研究相關名詞進行解釋，依結論提出本研究之 貢獻，最後指出研究中的範圍限制。
第一節 研究動機
自人類有史以來，數學便在歷史上留下濃厚的一抹重量，從古中國的「周髀 算經」到第一部集大成的數學書籍「九章算術」，而後魏晉趙爽作「勾股方圓圖 注」、南北朝祖沖之（429-500）發現圓周率、李治與朱世傑所發明的代數方法「天 元術」、「四元術」；西方畢達哥拉斯學派的畢氏定理、歐幾里得著「幾何原本」， 乃至近代的牛頓、高斯、萊布尼茲等等的重大發現，都為現代科學帶來的最牢固 的根基。
審視台灣歷年來的國民教育，不管課綱怎麼修正、課程如何變化，數學始終 都是最為重要的一門課程，但卻很少人能從學習數學中得到樂趣，研究者身為
“學生最害怕、最不喜歡的科目－數學”的教學者，常思索著該如何讓孩子從討 厭到接受甚至喜歡數學，進而真正學到東西，這不單只是教學者自我的反思，更 一直都是外界最關注的課程議題，也是目前所推行的 12 年國教中最重要的課題 之一。研究者發現，討厭數學的學生多數是低成就表現的孩子，因為在成績上沒 有獲得直接的回饋，容易因此自我嫌棄或是從他人評價裡產生挫折感，漸漸對於 數學產生抗拒與排斥，可惜的是，每當老師與家長看見學生成績表現不理想時，
常給予學生的意見不外乎是要求他們練習更多題目，而忽略了在學習的歷程中，
學生是否產生迷思與誤解，使得他們形成錯誤概念，即便做了再多的題型，學生 依舊無法正確靈活使用解題策略，因此在求新求變的同時，教學者能精確地掌握 學生學習歷程，和明確瞭解學生易發生錯誤概念的關鍵，才能更貼近學生的學習
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
困難、適時給予幫助，如此一來可減少學生產生迷思(Almog & Ilany, 2012)，並 能達到即時補救教學的效果，而學生也能從中累積成就感與自信，接納並愉快地 學習數學。
在研究者的 8 年教職生涯裡，發現有些國九學生無法靈活運用絕對值概念，
或是在處理含未知數符號的絕對值運算上有所障礙，以致於對目前學習的章節造 成部分學習困難，追根究柢，這些學生在最一開始的絕對值學習中就產生錯誤概 念，或是對於概念模擬兩可，進而每當遇到與絕對值相關的概念時，無法做正確 的連結。觀看國中三年的教材中，絕對值在其定義及運算較其他單元來的容易，
但研究者發現學生對於絕對值的解題卻無法完全掌握，大多數學生在絕對值中僅 含數字的運算上都能正確解答，例如7 7、37 4 4，一旦在絕對值運 算上牽扯到含未知數之文字符號時，多半學生會產生錯誤及困難，例如： x 為任 意數，無論 x 大於或是小於 0 的時候，學生會出現x一定會等於 x 的迷思，或是 當題目為『已知 x 為任意數，當x3，則 x10可化簡為 。』
學生經常出現錯誤答案 x10 x10；甚至少數學生使用將 x 代入某個整數，
再取其絕對值答案的錯誤方式，例如取x2，則 x10 210 8。可見，雖 然絕對值看似容易，但其中所隱含之概念與應用轉化，對於學生學習而言並不如 想像中簡單，這使研究者對於探求學生在解絕對值相關概念的困難產生好奇。
目前絕對值在國中教材中並未獨立出一個完整的章節，但其在數學課程中卻 占有一席之位，從國七第一章介紹絕對值基本概念，延伸至根式運算、直線方程 式、不等式…等等，都會接觸到絕對值的相關問題，從計算規則角度看是代數，
但在解析幾何中又是不容忽視的存在。
金玉麒於 1987 年曾研究國中一、二年級學生絕對值及不等式概念的錯誤分 析及補救教學，將學生在絕對值的概念錯誤情形進行統計，之後利用問卷調查請 教師針對各題目選出最佳教學方法；洪碧芳（2003）探討國中生絕對值的發展與
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
學習特性，進而了解迷思概念的成因，結果發現對於受測者來說，含有未知數的 絕對值運算遠比只含數字的運算困難，而且他們可以用絕對值表示兩量的差或兩 點距離，但卻不容易建立相關的方程式，由此可見學生對於絕對值的相關概念必 定存在某些關鍵迷思，以至於在學習上難以建構正確的概念。
金玉麒（1987）建議國中課本有關絕對值問題部分，應多加日常生活問題，
多使用數線的方式提供學生理解概念。因當時所之使用國立編譯館版本，採取較 為制式的符號教學，雖引進數線進行說明，但所占篇幅不多且不詳細，而目前九 年一貫版本的教材活潑度提升，並且在絕對值概念中，類題舉例說明增加，以南 一版國中數學第一冊為例，該版本將住家以數線表示，舉出與生活相關的例子並 搭配圖示讓學生探索出絕對值與距離的關係，使得概念更容易被連結。然在改編 版本過後，對於絕對值的錯誤類型研究不多，大多數絕對值概念研究偏向測驗基 本概念、代數運算及運用上的錯誤，較少與解析幾何作連結，因此，研究者以絕 對值為研究主題，除了基本代數觀點之外，增加利用平面幾何的觀點，了解並分 析歸納學生在學習過後所可能產生的錯誤之原因，供教師們教學時的參考。
第二節 研究目的
基於上述之研究動機，本研究除了絕對值概念外，學生須具備直角坐標幾何 及函數圖形概念，故鎖定研究者任教之九年級學生為研究對象，目的在研究國中 學習歷程中經過多次螺旋式概念架構建立後，學生在絕對值的概念中仍存在哪些 錯誤，期望能找出學生在處理絕對值相關概念時易發生的錯誤，及分析形成錯誤 概念的原因，進一步希望能對學生及數學教師在實質上提供幫助和教學方面的參 考。根據以上構思，本研究目的如下：
一、了解九年級學生在處理絕對值相關概念問題的解題表現及錯誤原因。
二、綜合研究結果，提出結論和建議，供教師未來教學及研究的依據。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
第三節 待答問題
根據前述兩個主要研究的目的，本研究提出研究問題，作為研究探討之方向。
一、對於絕對值相關概念之試題本來說，學生在絕對值中的「無向距離」方面是 否有困難，如果有，困難為何？
二、對於絕對值相關概念之試題本來說，學生在絕對值中的「長度」方面是否有 困難，如果有，困難為何？
三、對於絕對值相關概念之試題本來說，學生在絕對值中的「正負數運算」方面 是否有困難，如果有，困難為何？
四、對於絕對值相關概念之試題本來說，學生在絕對值中的「去絕對值運算」方 面是否有困難，如果有，困難為何？
五、對於絕對值相關概念之試題本來說，學生是否能運用絕對值的意義，判斷出 含絕對值的函數圖形？如果無法正確運用，其困難為何？
第四節 名詞解釋
本研究所涉及的重要名詞，說明如下：
一、絕對值：在數線上，一個數a所表示的點
A (a )
與原點的距離，稱為這個數a 的絕對值，以符號 a 來表示。二、絕對值之幾何概念：使用距離來解決絕對值之相關問題，即 a 可表示為在 數線上，一個數a所表示的點
A (a )
與原點的距離；ab 可表示為在數線上，一個數a所表示的點點
A (a )
與一個數 b 所表示的點B(b)之兩點距離。三、絕對值之算術概念：使用絕對值基本算術運算來解決絕對值之相關問題。例 如： 5 5、 28 6等。
四、含一個絕對值一元一次方程式與不等式：一次方程式與不等式中只含有一個
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
絕對值且絕對值中只含一個未知數。方程式以等號連接，例如 x4 2。
而不等式以不等號（、、<、>）連接，例如 x4 2。
五、含兩個絕對值的一元一次方程式與不等式：一次方程式與不等式中只含有兩 個絕對值且絕對值中只含一個未知數。方程式以等號連接，例如
2 1 4
x
x 。而不等式以不等號（、、<、>）連接，例如 8
1 4
x
x 。
六、錯誤概念：在學生學習一項新知識的過程中，原先本身已具有的或是自行 發展而產生某些想法，但與學者專家所公認的概念不一致。
七、錯誤類型：依據數學運算式中產生錯誤答案的關鍵步驟，歸納分類出各種類 型(Taria, 1987)。本研究所指的錯誤類型，是經由本研究之「絕對值相關概 念」正式施測試卷的資料分析所得到的錯誤類型。
第五節 本研究的貢獻
近幾年國內文獻中，對於絕對值的研究，仍為高中職教材中的複數絕對值單 元為多數，相對研究國中生在學習基礎概念的錯誤類型少之又少；再者，目前沒 有研究從幾何方面深入探討學生在絕對值概念的整體表現及概念建構中可能產 生的錯誤原因，因此本研究希望能增加文獻中未探討的部分。
第六節 研究範圍限制
本研究僅以台北市某國中之九年級學生為樣本，故所得到的研究結果只能推 論當相同地區或是類似樣本，能否推及其他地區或不同條件的學生，則應特別嚴 謹詳慮，並有待進一步研究。另外，因部分錯誤類型牽扯學生於其他單元的概念 學習，例如直角坐標平面、函數，故其所影響之錯誤類型未加以詳細分析討論，
建議未來可深入討論。