絕對值的字義起源及其意義

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第二章 文獻探討

本研究首先探究絕對值的字義起源及其意義，釐清絕對值在學生學習數學中 所應備的能力，進而深入探討學生解決絕對值問題時，所遇到的困難及其原因。

第二節就目前國中教科書相關概念內容進行整理分析，並於第三節探討絕對值相 關概念之研究。

第一節 絕對值的字義起源及其意義

絕對值是目前國中生學習代數學之先備概念之一，而「absolute value」這個 名詞是由 Karl Weierstrass (1815-1817)提出，取自拉丁字 absolvere，意思是 to free from『免除』之意（引自洪碧芳，1990）。

為什麼要叫「絕對值」？而不是「相對值」或是使用其他名詞？研究者首先 探究「絕對」 (absolute)的字義解釋，以釐清絕對值所隱含的意義。

一、在牛津字典中解釋為獨立存在並且和其他事物不相關聯；非相對或比較 (Viewed or existing independently and not in relation to other things; not relative or comparative )，或者以哲學的觀點為可以解釋為一個值或是原則是普遍成 立的或是被視為和其他事物沒有相關 (A value or principle which is regarded as universally valid or which may be viewed without relation to other things )。

二、教育部重編國語辭典修訂本中解釋「絕對」一詞為不依靠任何條件而獨立存 在，且恆定不起變化。凡事物有對待關係的稱為「相對」；僅有單方面的稱 為「絕對」。那相對又是甚麼意思呢？指依靠一定條件而存在，隨著一定條 件而變化，例如相對高度、相對壓力…等（周何，1987）。

以上解釋中有一詞「非相對」，至於相對一詞表示在描述一個事物特性無法 僅從此事物本身出發，必須使用其他事物來做比較(Considered in relation or in proportion to something else )。故絕對與相對就如同獨立與相依，其分界可用是否

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與一事物相較；在絕對值的運算中，任何一實數a的絕對值取其大小相同的正數，

此時，研究者產生一個疑問：負數是相對而來的嗎？

早在兩千多年前的「九章算術」中出現負數概念的引入，九章算術卷八「方 程章」第八題：

今有賣牛二、羊五，以買十三豕，有餘錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，

錢適足。賣羊六、豕八，以買牛五，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？

書中解法：

術曰：如方成，至牛二、羊五正、豕十三負，餘錢數正；次置牛三正、羊九負、

豕三正；次置牛五負、羊六正、豕八正，不足錢負。以正負術入之。

劉徽的九章算術注說明正負術：「今兩算得失相反，要令正負以名之」

由解法中，可以清楚見到該書引入「負」的概念來解題，賣出的數量為正數、

買入數量為負數；餘錢用正數、不足錢用負數；而劉徽對正負術作注說明了在列 方程時，由於「得」、「失」的意義相反，要用正負來表示。由此可知其正負的相 對性，用正負數表示相反意義的量。另外印度數學家婆羅門笈多(Brahmagupta, 約 598~665)開始認識負數，他對負數的解釋是負債與損失。歐洲第一個正確使用負 數的概念也同為錢財問題，把負數表示為賠錢，正數表示為賺錢（趙文敏，1985）。

『負數是相對而來的嗎？』這無疑是可以得到肯定的答案；由數學史中的考 證負數是人類在發展活動時，為了方便表示其情況所造出來的數，從發現使用到 真正被承認經過許多爭論，大多數歐洲數學家還不承認負數是個「數」，其間荷 蘭人 Albert Girard 對於負數有一個很進步的概念，他指出：負數能看成是與正數 相反方向的數，在幾何上，負數可以表示後退，而正數表示前進，這樣的看法正 是數線的模型（趙文敏，1985）。

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那麼「絕對值」(absolute value)一詞又是如何解釋的呢？

一、在牛津字典中解釋為一個實數的大小無關於它的符號 (The magnitude of a real number without regard to its sign )。

二、中學數學實用辭典中解釋絕對值是如此說明：『實數 a 的絕對值用表示 a 。 他的意義是：當是 a 正數時， a a；當 a 是零時， a 0；當 a 是負數

時， a a。實數 a 的絕對值之幾何意義是指實數 a 在數軸上所對應的點 到原點的距離。』

綜合來看，性質符號「＋」、「－」的使用是一種相對概念，是將一個量做為 區分，經由約定而形成的相對關係，例如：賺到 100 元以＋100 元表示，100 是 一個量、虧損 80 元以－80 元表示，80 也是一個量，這個「量」不依靠任何條件 獨立存在，和人類所賦與的相對關係(此例中的盈虧兩條件)不相關，故『絕對值』

的意義指的應是其數量上的意義， a 指的是 a 這個數值的量、 a5 視為 a 與 5 的差距或稱a 與 5 相差多少，不論 a 比 5 大或比 5 小，其差距（相差）是絕對 的。

以數學史的發展來看，當數學家承認負數後，將正負數對應至數線上，給與 其相對的位置，套入方向的概念，而距離是一個「絕對」的概念，沒有方向的相 對關係，換句話說，距離是一種長度，代表兩個位置的差距，所以絕對值的意義 可視為「無向距離」這個觀點(Ahuja, 1976)。

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Brumfiel (1980)提出 5 種對於實數絕對值的定義，並將此 5 種定義細分為幾 何的定義及算術的定義：

幾何定義：

一、設 x 為任意實數，在數線上有一點 X 的坐標為 x ，那麼 x為 X 與原點的無 向距離。

二、設r為任意實數，取任意兩數 x 、 y 使得xyr，在數線上有兩點 X、Y 的坐標分別為 x 、 y ，那麼 xy 為 X 與 Y 的無向距離。

算術定義：

一、 x 是 x 、 x 兩者間比較大的數，可寫成 x Max{x,x}，而0 0。

二、 x  x²

三、當x0，那麼 x x；當x0，那麼 x x。