第二章 文獻探討
第二節 國內教科書絕對值相關概念之內容分析
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Brumfiel (1980)提出 5 種對於實數絕對值的定義，並將此 5 種定義細分為幾 何的定義及算術的定義：
幾何定義：
一、設 x 為任意實數，在數線上有一點 X 的坐標為 x ，那麼 x為 X 與原點的無 向距離。
二、設r為任意實數，取任意兩數 x 、 y 使得xyr，在數線上有兩點 X、Y 的坐標分別為 x 、 y ，那麼 xy 為 X 與 Y 的無向距離。
算術定義：
一、 x 是 x 、 x 兩者間比較大的數，可寫成 x Max{x,x}，而0 0。
二、 x x2
三、當x0，那麼 x x；當x0，那麼 x x。
第二節 國內教科書絕對值相關概念之內容分析
九年一貫之後，開放教科書版本，雖然出版編輯者不同，但仍依循著教育部 所發布之課程綱要進行教材的編製，其中絕對值的能力指標及分年細目在中華民 國 92 年 11 月 14 日台國字第 0920167129 號發布數學領域能力指標（以下稱為 92 課綱）與中華民國 101 年 5 月 15 日臺國（二）字第 1010074428C 號令修正發 布「國民中小學九年一貫課程綱要」（以下稱為 97 課綱）略有不同，研究者針對 兩者分別就絕對值概念相關之能力指標及分年細目整理如下頁表 2-2-1
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
關於絕對值的應用問題方面，97 課綱提出在國中階段有兩個比較重要的應 用：一個是用來比較負數的大小，另一個是用絕對值來表達數線上的兩點距離，
（7-n-08 能理解數線，數線上兩點的距離公式，及能藉數線上數的位置驗證數 的大小關係。）由此可知雖其對應之分年細目略有不同，但絕對值在距離上的理 解及應用仍是未刪減，並且在細目詮釋上強調數線是學生首次學習代數與幾何結 合的題材，教師在安排教學內容時應包括這類的題材。
研究者將目前之國中絕對值教材地位及絕對值應用單元教材內容進行整理，
如圖 2-2-1。
圖 2-2-1 國中絕對值教材分析圖
從國中端延伸至高中，依照教育部 97 年 1 月 24 日發布的普通高級中學數學 課程正式綱要中，將絕對值歸為數線中的幾何，內容包含絕對值的一元一次方程 式與不等式，除了原先的一個絕對值的方程式及不等式之外，還增添具備處理含 兩個絕對值的一元一次方程式及不等式的能力，並且介紹三角不等式的概念做為
國小先備知識 正數與數線、
正數比大小、
正整數的加減 正整數的乘法 正整數的除法
數的大小關係 正負數與數線
相反數的意義
指數律 絕對值
分數的運算 整數的加減乘除
數線上兩點距離 根式運算
坐標平面上兩點距離
一元一次不等式
三角形邊長關係
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
學習解析幾何的準備，甚至，未來學習微積分的第一堂課，多數要先解決實數系 中絕對值相關的問題。Hoch 與 Dreyfus (2006)指出學生若對絕對值概念有完整 的瞭解，在解決絕對值不等式時，可用直觀的想法解之，不必進行代數操作解題；
Nava 與 Bat (2012)於研究中亦發現當學生使用代數方式處理絕對值不等式的問 題時，多半是因為在絕對值相關概念有錯誤迷思。由此讓研究者體認國中階段的 絕對值學習，關係著未來銜接深入探討的能力，更加深研究者對於學生在絕對值 相關概念之理解的好奇心。
詳看國中數學教科書，雖皆依據相同能力指標來編排絕對值的教材，但不同 編輯者對於同一單元的內容安排及呈現方式難免有所差異。以下針對國中階段絕 對值相關概念，選擇了部編、翰林、康軒與南一四個版本的教科書內容來綜合分 析，研究者發現絕對值概念的建立，以目前教材內容皆以數線為引入主軸，且學 生在處理絕對值相關概念時對於正負號的混淆時為常見，故研究者亦將這兩部分 教材之鋪陳列入探討說明。
一、負數
各版本在介紹絕對值概念之前，皆先進行負數之教學，以生活中學生易 接觸到的情境，例如收入與支出、往東與往西、進步與退步、零下溫度…等 相對意義或相反的量作為範例，讓學生充分瞭解數系中負數的意義。在定義 負數方面，康軒版以性質符號「＋」、「－」說明正負數，數字前有帶「－」
者即為負數；部編版、翰林版、南一版在定義負數時，皆強調比 0 大的數稱 為正數；比 0 小的數稱為負數。
二、數線
在國小階段學生已經學過將所有正數標記在數線上，於是在負數引進之 後，數線更趨完整，在銜接上翰林版、康軒版以拓展數線的方式，介紹數線：
「很像把數線向左延伸，再將負數標示在向左延伸的數線上。」；南一版以 與介紹負數之同一例題（住家東西向道路）引進，以此東西向道路為基礎，
套入數線概念。以上三個版本皆在建構負數後，直接介紹數線及坐標點之描
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
繪，接著以數線概念進行相反數、絕對值的教學，然而部編版之教材編排呈 現與其他版本迥然不同，編者選擇先以負數的大小、絕對值、相反數之順序 進行教學，而後再安排數線概念的引進及坐標點之描繪，並緊接著介紹距離 與絕對值關係。僅只有部編版有在數線概念中提及點坐標向左向右移動後之 位置。
三、絕對值
在定義絕對值時，翰林版、康軒版及南一版皆以『點A(a)與原點之間 的距離稱為 a 的絕對值』之幾何觀點賦予絕對值的意義，其中康軒版特別說 明「不考慮方向」；南一版則用一貫之住家東西向道路範例，提出往東或往 西走的距離都一樣，當指考慮數值，而不需要前面的「＋」、「－」號時，便 可使用絕對值符號『 』來表示，相較之下翰林版無安排生活情境範例先 行說明，開門見山直接給與絕對值定義。部編版舉例以進出貨之相對意義說 明絕對值，進出貨相同件數以符號個別表示，意義不同，但必須搬運的數 量相同，依此部編版對於絕對值之定義使用代數觀點：一個數的絕對值就是 不考慮他前面的「＋」、「－」號所得到的數。因此南一版與部編版的說明方 式較為雷同，以相對量之意義切入絕對值，不計方向（符號意義），不同 的是南一版對於絕對值的定義採取以幾何定義來做結論，而部編版則以代數 定義來做結論。
研究者將各版本絕對值相關概念比較整理為下頁表 2-2-2。