第三章 研究方法
第三節 研究工具
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第三節 研究工具
本研究共使用研究工具有三種，分別為「絕對值相關概念試題」、「絕對值相 關概念訪問流程記錄表」及「學生背景資料問卷」，分別說明如下：
一、 絕對值相關概念試題本
本研究工具為研究者自編之「絕對值相關概念試題本」預試試題本（見附錄 一），其題型先請任教年資超過 10 年之數學老師審查，針對題本中文字描述之語 意及題目條件不清之地方進行修改，再請任教年資超過 10 年之國文老師，針對 語意不流暢的地方進行修飾，最後再請指導教授進行審核，以建立專家效度。題 型設計來自於與三位數學科教師討論之教材脈絡及絕對值相關文獻研究，期望能 從中瞭解學生在學習絕對值相關概念之困難。以下就其設計研究工具詳細說明：
1. 教材脈絡
研究者發現，不同老師對於絕對值定義會有不同的解讀，即便是教科書上明 定出相同的一種定義，但教學者常會因本身之解題策略，提示學生使用某一種幾 何定義或算術定義來解決問題，因此每一個學生對於絕對值的解讀不是一致的，
洪碧芳（2003）的研究發現，學生最常從兩個角度來看待絕對值：一是去負號（把 負變成正），一是距離。為瞭解學生對於絕對值的概念理解採取哪一向度為主要 解題策略，本研究設計第一部分開放式問題：
1.你認為什麼是「絕對值」？請詳細說明，並舉例。
2.你認為 3 是什麼？請詳細說明。你覺得 3 可以在數線上解釋嗎?
怎麼解釋? 你認為 3 和 3 有哪些關連性？
3.你認為 26 是什麼？請詳細說明。你覺得 26 可以在數線上解 釋嗎?怎麼解釋?你認為 -26 和 26 有哪些關連性？
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目前現行版本中在絕對值的概念陳述上皆以數線之幾何觀點進行教學說明，
即數線上一個數所表示的點坐標與原點之距離，稱為此數的絕對值，因此 5 為 數線上5到原點的距離，故 5 5，待學生熟悉單一數字的絕對值意義之後，
推廣到兩個數字的絕對值： 117 可視為數線上11和7的距離，因此『距離』
為絕對值相關概念之向度之一。而『距離』是不考慮兩者之相對位置，因此這裡 的距離說是無方向性，有時，我們亦稱兩量之「相差」為距離，因此研究者將「相 差」這一個概念列入距離的子向度之一，在此稱為『長度』。
在瞭解絕對值之基本定義後，對於含單一數字的絕對值，及含兩個數之加減 的絕對值，會進行去絕對值的運算之教學，多數教學者會歸納出若絕對值內為正 數，則直接去掉絕對值；反之，若絕對值內為負數，則去掉絕對值要加一個負號
（或變號），這樣的運算規則包含了正負數的運算及相對方向的觀點，在國中教 材裡，對於正負數的加減法則，教科書中提供了數線上點移動後位置的概念：
6
2 在數線上的位置可視為點2向右移動6個單位後，到達點8，所以得到 8
6
2 ；反之，26則為點2向左移動6個單位後，到達點4，因此264。 將此運算逆推，由研究者定義數線上點 a 到點b的距離為 ba ，例如：
數線上點2到點8的距離為 82 6，若以移動的觀點：
點2向右移動到點8的長度為 82 6單位長，換句話說， 82 等於數線上 點2向右移動到點8的長度。數線上點7到點3的距離為點7向左移動到點3的 長度，若我們將向右移動設為正向，則可利用對稱的想法，使點7與點3在數線 上對原點作對稱，得到點7對稱至點7與點3對稱至點3，則點7到點3的距 離 37 等於點7到點3的距離，故可得 37 3(7)，再利用正負數的
6 2 8
２ ８
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運算得到3(7)374。推及含文字符號之去絕對值法則，舉例來說，
當x3時， x7 可視為點7到點 x 的距離，因x3，所以點 x 在點7的左邊，
依上述規則，點7到點 x 的距離為點7向左移動到點 x 的長度，利用對稱想法得 到點7對稱至點7與點 x 對稱至點 x ，因此 x7 x(7)x7， 綜合以上幾何的觀點，研究者將去絕對值的運算法則亦歸類為數線上的方向向度，
其方向向度之含義為絕對值的逆操作運算，依此想法研究者設計有關正負數運算 及去絕對值運算法則相關之題型如下。
1. 關於 27 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打(可複 選)
□Ａ. 27 5 5
□Ｂ. 27 27
□Ｃ. 27 (27)
□Ｄ. 27 72
□Ｅ. 27 5或 5
2. 關於 116 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打(可 複選)
□Ａ. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離
□Ｂ. 116 等於數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度
□Ｃ. 116 等於數線上坐標-6 向左移動到坐標-11 的長度
□Ｄ. 116 等於數線上坐標 11 向左移動 6 單位後與原點的距離
□Ｅ. 116 等於數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置
□Ｆ. 6 和 11 相差的值可以用 116 來表示 3. 請計算下列各絕對值：
(1) 10 。 (2) 209 。
4. 請完成計算絕對值的過程：請於□中填入、 (1) 712 (□ 7 )(□12)
(2) 已知x為大於 3 的任意數，則 x1 (□x)(□1)= 。
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2. 絕對值相關文獻研究探討題型
金玉麒（1987）在「國中生絕對值及不等式概念的錯誤分析及補救教學」的 研究中，認為許多學生對於絕對值與不等式的概念尚未完全徹底瞭解，研究指出 許多學生犯了 x x的錯誤，相同地洪碧芳（2003）發現對於學生而言含有未知 數的絕對值運算遠比只含數字的運算困難，因此，含有文字符號之絕對值概念對 於學生無疑是一個困難點。然而在其含有文字符號之絕對值的研究中，距離及去 絕對值運算並未做完整的測驗，因此本研究針對含文字符號的絕對值在距離及去 絕對值運算法則，設計以下試題：
1. 關於 x5 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打
□Ａ. x5 一定是正數
□Ｂ. x5 5x
□Ｃ. x5 1
□Ｄ. x5 等於數線上某一點坐標為x移動到坐標 5 的長度
□Ｅ. x5 等於數線上坐標-5 移動到某一點坐標為x的長度
□Ｆ. x5 等於數線上某一點坐標為x與原點的距離
□Ｇ. x5 等於數線上某一點坐標為x與-5 的距離
□Ｈ. x5 等於數線上某一點坐標為x向左移動 5 個單位後與原點的 距離
2. 請根據以下各題所給的方程式，求出所有符合之x的數值:
(1) x 2， x = 。 (2) x5 0， x = 。 (3) x5 1， x = 。(4) x3 4， x = 。
3. 請化簡下列各題(化簡指的是不使用絕對值來表示，可以使用未知數之 式子形式表現)：
(1) 假設 k 為正整數，那 k 可以化簡為 。 (2) 假設 k 為負整數，那 k 可以化簡為 。 (3) 假設 k 為任意實數，那 k 可以化簡為 。 (4) 已知x為任意實數，且1x6，則 x3 x10可以化簡
為 。
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Parish (1992)提出處理絕對值方程式或不等式時，可以使用二維數線來解題，
可以有效改善學生對於「或」與「且」的混淆情況。因此運用代數意義與幾何意 義交互引證（金玉麒，1987），有助於釐清學生對於絕對值相關概念的迷思，此 外，Ozmantar 與 Roper (2004)研究顯示，教材中未呈現的較艱深之絕對值函數圖 形，例如， f(x) ，可適當地利用教學鷹架，讓學生理解，也能讓學生瞭解其 抽象化之概念。然而目前國內關於絕對值相關概念學生之錯誤概念的研究當中，
缺少在函數圖形與絕對值相關概念之連結，因此本研究工具增加絕對值函數圖形 部分，目的是為了從圖形概念中發現學生在絕對值相關概念之迷思，因國內教材 安排函數概念於七下後期，為了減少函數錯誤概念可能影響之變因，及顧及學生 認知發展需具抽象思考能力，故在選擇九年級學生為研究對象，題型設計以較為 簡單的絕對值函數圖形為主，並在題幹說明時多加條件解釋，此外函數圖形之作 圖，在國中教材中先以描出多個點作為引入，往後再進一步討論不同函數其圖形 具有之性質，但因國中教科書中並未提及絕對值函數圖形，依研究目的，僅著重 在學生是否能應用所學之絕對值相關概念，藉此判斷解題策略，並由學生答題表 現瞭解學生在絕對值的錯誤原因，因此，研究者設計本題選項時特意安排使用刪 去法即可得出最佳的答案。以上述之理念，編製圖形向度之題型，請見下頁：
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1. ( )已知y f(x)x的圖形如右，
則yg(x) x的圖形應為下列哪一個？
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
請說明選擇此選項的原因：
y
O x
O y
x y
x O
x y
O
y
x O
y
x O
y
x O
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之題型特別做區分，希望透過學生在次向度中的表現及訪問想法，判斷學生是否 具備該向度之能力，進一步了解學生在絕對值相關概念之錯誤原因，其預試題本 第二部分雙向細目表如表 3-3-1。
表 3-3-1「絕對值相關概念試題」預試題本第二部分雙向細目表
向度 問題情境 題號 題數
距離
無向距離
數字 4D、5A、5F 3
7 符號 8B、8F、8G、10(4) 4
長度
數字 5B、5D、5C、5E 4
7 符號 8D、8E、8H 3
方向
正負數運算
數字 4A、4C、4E
6(1)、6(2) 5
9 符號 9(1)、9(2)、
9(3)、9(4) 4
去絕對值 運算法則
數字 4B、7(1) 2
8 符號 7(2)、8A、8C、
10(1)、10(2)、10(3)、 6 圖形 去絕對值
運算法則 絕對值函數圖形 11、12 2 2
經過預試的施測，計算試題的難易度、鑑別度後，再根據上述不理想的題目 進行編修及刪減，設計為本研究的正式試卷。
本研究之預試對象，為台北市某兩間國中八年級學生共 70 人，刪除完全空 白與作答規律等無效題本後，有效樣本為 69 人，預試試題分析結果如下表 3-3-2
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在信度方面，經檢測求得 Cronbach’s Alpha 值為 0.824，顯示具有內部一致 性。在試題難度方面，試題難度依P值而定，共可分四大類：容易（.75P1）、 中偏易（.50P.75）、中偏難（.25P.50）與困難（0P.25），當P值 越大代表試題的難度越低，試題越容易。
在預試試題本學生表現結果中，第 4 題 A、B、D、E 選項含兩個數字差的 絕對值問題與第 6 題第 1 小題，其難度均大於.97，因此將本題刪除，並將原第 4 題 C 選項 27 (27)修改合併至第 5 題G 選項 116 611(611)； 依據預試老師反應學生對於第 5 題之 B、E 選項及第 8 題之 E 選項文字描述有語 意上誤解，故將文字敘述略作修改：B. 116 等於數線上坐標 6 向右移動到 坐標 11 的長度修改為數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度可以寫成
6
11 、E. 116 等於數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置修改為數線 上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置坐標等於 116 ；第 8 題 A 選項 x5
一定是正數難度.147 表示此題對於學生較為困難，使得高分組與低分組的差異 不大，研究者希望能從學生的答題狀況，瞭解學生錯誤原因，因此將此題保留。
第 8 題 F 選項與 G 選項容易引導學生在兩個選項中猜測答案應為二選一，故將 F
第 8 題 F 選項與 G 選項容易引導學生在兩個選項中猜測答案應為二選一，故將 F