• 沒有找到結果。

國中學生在絕對值相關問題之概念錯誤研究 - 政大學術集成

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "國中學生在絕對值相關問題之概念錯誤研究 - 政大學術集成"

Copied!
146
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)國 立 政 治 大 學 應 用 數 學 系 數 學 教 學 碩 士 在 職 專 班 碩士學位論文. 政 治 大. 立. ‧ 國. 學 ‧. 國中學生在絕對值相關問題之概念錯誤研究. n. al. er. io. sit. y. Nat. An investigation into junior high school students’ conceptual errors on absolute value Ch. engchi. i n U. v. 碩專班學生: 郭 盈 瑜. 撰. 指導教授:. 博士. 中華民國. 譚 克 平. 103 年. 6 月. 30 日.

(2) 誌. 謝. 多年來,為了兼顧國中行政、導師職務及政大數學教育在職專班的課業,雖 然相當地忙碌與辛苦,但在過程中也體會到成長的喜悅、更加瞭解自我。這段不 短的日子以來,要感謝的人很多,希望在此表達我的謝意。 本論文能順利的完成,首先要感謝我的指導教授譚克平老師,在我陷於自我 的迷惘時,老師的睿智使我正向面對自己,即便花了一段時間,老師仍不斷循循 善誘、諄諄教誨,使我在這段人生的旅程中成長茁壯,也在研究上獲得前所未有. 政 治 大. 的成果及視野;感謝口試委員宋傳欽教授及楊凱琳副教授提供的寶貴建議及指導,. 立. 協助本論文的修改更加完善,也十分感謝張宜武副教授鼓勵我堅持到最後。. ‧ 國. 學. 其次感謝研究所同學瑾儀老師,總是在我身旁關心我的進度、給我鼓勵,並 且提供我很多實質的支持及幫助;感謝校內長官、同事在公務上的協助,令我無. ‧. 後顧之憂可以兼顧研究所課業,也感謝與我一同討論的夥伴:耀文老師、媛婷老. y. Nat. n. al. er. io. 建議及勉勵。. sit. 師賢伉儷、怡如老師、曉君老師、人祝老師、順盈主任…等,謝謝你們時常給我. i n U. v. 最後感謝我親愛的家人們無時無刻地關懷及鼓勵,時而溫柔地陪伴及安撫我. Ch. engchi. 高高低低的心情起伏,時而堅定地支持著我堅持下去;謝謝我的另一半燿宇,與 我度過這豐盛的研究所生涯,從結婚到迎接新生命,對我無微不至地照顧。多年 來,這些點點滴滴在心頭,感恩身旁所有善知識及貴人相助,非常感謝您們。. i.

(3) Abstract This study aims to explore the kinds of difficulties encountered by junior high school students in solving problems related to absolute value as well as analyzing and identifying the probable causes of such difficulties. It is hoped that the results from this attempt can provide teachers with useful information regarding how to improve their instructional practices and plan remedial instruction, thereby enhancing their teaching effectiveness.. 政 治 大 interviews that allowed for立 in-depth information collection regarding problem solving The main methodology for this study is survey design supplemented with clinical. ‧ 國. 學. strategies and difficulties from selected respondents. During the first stage, a literature review was conducted on research studies that focused on absolute values. This was. ‧. followed by discussions with several junior high school mathematics teachers relating. sit. y. Nat. to learning difficulties they observed. Subsequently, a paper and pencil test instrument. n. al. er. io. on absolute values with three main dimensions was compiled by the author to test the. i n U. v. learning status of the participating students. Their performances would form the basis. Ch. engchi. for selecting them to participate in the second stage of the study, namely, the interview phase. All clinical interviews were unstructured and they were recorded and transcribed into verbal records. Analyses were then performed to identify the presence of conceptual misunderstandings and explored the causes of such difficulties.. It was found that students’ conceptual errors on absolute values can be classified into five different types, namely, oversimplifying the definition of absolute value into mnemonic phrases, inability to perform inscriptional transformation between geometric properties and arithmetical concepts of absolute values, incomprehension ii.

(4) of the relationships among the synonyms related to the concept of absolute value, over-generalizing the definition of absolute values and difficulties in understanding the connotation behind letter symbols. Several suggestions regarding instructional practices as well as future direction of research based on the present findings were provided at the end of this study.. Keywords: absolute value, conceptual error, survey research, unstructured interview. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iii. i n U. v.

(5) 中文摘要 本研究的目的主要為探討學生在解決絕對值相關題目時所遇到的困難,進而 瞭解學生在解此類問題時出現錯誤之原因,希望研究的結果能夠提供教師作為補 救教學或改進教學策略的依據,增進教學成效,並作為未來教學及研究的參考。. 本研究採調查法,並輔之以訪談蒐集資料。第一階段為問卷調查,經由對絕 對值相關概念作文獻探討,以及與多位數學教師討論之後,研究者以自編之絕對 值相關概念試題本進行施測,藉此瞭解學生在各向度的答題情況,並且作為選擇. 政 治 大 解題策略,所有訪談皆全程錄音,並轉錄成文字檔後進行內容分析,進一步瞭解 立 訪談對象的依據。第二階段為無結構開放式訪談,主要訪談學生作答時之想法與. ‧. ‧ 國. 學. 學生在概念上錯誤的內涵,以及探討解題困難產生的原因。. 研究結果發現,學生在絕對值相關概念之錯誤可歸納出五大原因:過度簡化. sit. y. Nat. 絕對值定義之口訣、無法進行絕對值概念中「幾何概念」與「算術概念」之間的. al. er. io. 轉化、不瞭解絕對值概念中各同義詞之間的關係、以偏概全絕對值之定義以及文. v. n. 字符號概念之理解困難。文後尚有提供絕對值相關教學改善的建議。. Ch. engchi. i n U. 關鍵詞:絕對值、錯誤概念、調查法、無結構性訪問. iv.

(6) 目. 次. 第一章 緒論………………………………...………………………..1 第一節 研究動機……………………………………………………………..1 第二節 研究目的……………………………………………………………..3 第三節 待答問題……………………………………………………………..4 第四節 名詞解釋……………………………………………………………..4 第五節 本研究之貢獻………………………………………………………..5. 政 治 大. 第六節 研究範圍限制………………………………………………………..5. 立. ‧ 國. 學. 第二章 文獻探討……………………...……………………………..6 絕對值的字義起源及其意義………………………………………..6. ‧. 第一節. y. Nat. 第二節 國內教科書絕對值相關概念之內容分析…………………………..9. er. io. sit. 第三節 與絕對值相關概念之研究………………………………………….15. al. n. v i n Ch 研究方法……………………………...…………..………….23 engchi U. 第三章. 第一節 研究設計…………………………………………………………….23 第二節 研究對象…………………………………………………………….24 第三節 研究工具…………………………………………………………….26 第四節 研究過程…………………………………………………………….37. 第四章 研究結果與分析……………………………………….…….38 第一節 絕對值定義概念資料分析………………………………………….38 第二節 不同能力學生的「無向距離」概念之資料分析………………….50 v.

(7) 第三節 不同能力學生的「長度」概念之資料分析……………………….61 第四節 不同能力學生的「正負數運算」概念之資料分析……………….73 第五節 不同能力學生的「去絕對值運算」概念之資料分析……….……84 第六節 不同能力學生的「絕對值函數圖形」概念之資料分析……...…..94 第七節 絕對值相關概念態度量表資料分析…………….……………...…107 第八節 綜合資料相關分析…………….……………...............................…111. 政 治 大 研究結果討論……………………………………….…………...…113 立. 第五章 研究討論與建議……………………..………..……………113 第一節. ‧ 國. 學. 第二節 正式研究試題之反思……………………………….…………..….117 第三節 研究者的成長……………………………………….……………...117. ‧. 第四節 建議…………………………………………………….………..….118. er. io. sit. y. Nat. n. al 附錄……………………………………………….……………..…….120 iv 附錄一. n U engchi 絕對值相關概念預試試題……………………….………………..…….120. Ch. 附錄二 絕對值相關概念正式試題………………………….…………..……….123 附錄三 學生背景資料問卷………………………………………...…………….130 附錄四 絕對值相關概念晤談流程記錄表………………….......……………….131. 參考文獻……………………………………..…………………….….135 英文文獻………………………………………………………..……………..135 中文文獻………………………………………………………..……………..136. vi.

(8) 表 次 表 2-2-1. 絕對值之能力指標與其對應之分年細目….................……………….10. 表 2-2-2. 各版本絕對值相關概念比較…...…………..........……................…….14. 表 3-2-1. 參與訪問學生之能力分組編號對照表.…………...... ..... .......……….24. 表 3-2-2. 各能力學生之背景資料.……………....... ..........….. ...................…….25. 表 3-3-1. 絕對值相關概念試題預試題本第二部分雙向細目表.……………….33. 表 3-3-2. 絕對值相關概念試題預試題本之難易度、鑑別度………….……….34. 表 3-3-3. 預試編修及刪減形成正式題本過程.………………………………….36. 表 4-1-1. 各能力學生在絕對值定義解釋表現.………………………………….39. 表 4-1-2. 政 治 大 整體低能力學生在絕對值定義及數線上表示絕對值之相關表現.….41 立 整體中能力學生在絕對值定義及數線上表示絕對值之相關表現.….43. 表 4-1-4. 整體高能力學生在絕對值定義及數線上表示絕對值之相關表現.….45. 表 4-1-5. 參與晤談之學生在絕對值定義及數線上表示絕對值之相關表現.….45. 表 4-2-1. 不同能力學生在無向距離概念之答對率統計表.…………………….50. 表 4-3-1. 不同能力學生在長度概念之答對率統計表.……………………….....61. 表 4-4-1. 不同能力學生在正負數運算概念之答對率統計表.………………….73. 表 4-5-1. 不同能力學生在去絕對值運算概念之答對率統計表.……………….85. 表 4-6-1. 不同能力學生在絕對值函數的答題情形.………………………..…...95. 表 4-7-1. 不同能力的學習態度平均數……..………………………………..….108. 表 4-7-2. 不同能力的概念理解平均數………..………..……………………….109. 表 4-7-3. 不同能力的國文程度及瞭解題意程度平均數……..……………..….110. 表 4-8-1. 絕對值相關概念之相關………..………………………….……….….111. 表 4-8-2. 參與晤談學生測驗成就與態度之相關………..…………….….....….112. ‧. ‧ 國. 學. 表 4-1-3. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v.

(9) 圖 次 圖 2-2-1. 國中絕對值教材分析圖………...……………………………….…….11. 圖 4-1-1 S05(女)絕對值定義概念實際作答圖…………………………..,…….40 圖 4-2-1 S13(女)解釋題目 9(4)之實際圖解………….…………………..,…….51 圖 4-2-2. S05(女)解釋題目 9(4)之實際作答圖…………………………..,……..61. 圖 4-5-1 S41(男)解決題目 6(2)之實際作答圖…………………………..,……..89 圖 4-6-1 S26(男)解決題目 10 之實際作答圖……….…………………..,……..98. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. viii. i n U. v.

(10) 第一章. 緒論. 本研究在探討學生學習絕對值之錯誤原因。本章緒論分別說明研究動機、研 究目的,提出待答問題,並針對本研究相關名詞進行解釋,依結論提出本研究之 貢獻,最後指出研究中的範圍限制。. 第一節 研究動機 自人類有史以來,數學便在歷史上留下濃厚的一抹重量,從古中國的「周髀. 政 治 大. 算經」到第一部集大成的數學書籍「九章算術」,而後魏晉趙爽作「勾股方圓圖. 立. 注」 、南北朝祖沖之(429-500)發現圓周率、李治與朱世傑所發明的代數方法「天. ‧ 國. 學. 元術」 、 「四元術」 ;西方畢達哥拉斯學派的畢氏定理、歐幾里得著「幾何原本」, 乃至近代的牛頓、高斯、萊布尼茲等等的重大發現,都為現代科學帶來的最牢固. ‧. 的根基。. y. Nat. sit. 審視台灣歷年來的國民教育,不管課綱怎麼修正、課程如何變化,數學始終. n. al. er. io. 都是最為重要的一門課程,但卻很少人能從學習數學中得到樂趣,研究者身為. i n U. v. “學生最害怕、最不喜歡的科目-數學”的教學者,常思索著該如何讓孩子從討. Ch. engchi. 厭到接受甚至喜歡數學,進而真正學到東西,這不單只是教學者自我的反思,更 一直都是外界最關注的課程議題,也是目前所推行的 12 年國教中最重要的課題 之一。研究者發現,討厭數學的學生多數是低成就表現的孩子,因為在成績上沒 有獲得直接的回饋,容易因此自我嫌棄或是從他人評價裡產生挫折感,漸漸對於 數學產生抗拒與排斥,可惜的是,每當老師與家長看見學生成績表現不理想時, 常給予學生的意見不外乎是要求他們練習更多題目,而忽略了在學習的歷程中, 學生是否產生迷思與誤解,使得他們形成錯誤概念,即便做了再多的題型,學生 依舊無法正確靈活使用解題策略,因此在求新求變的同時,教學者能精確地掌握 學生學習歷程,和明確瞭解學生易發生錯誤概念的關鍵,才能更貼近學生的學習 1.

(11) 困難、適時給予幫助,如此一來可減少學生產生迷思(Almog & Ilany, 2012),並 能達到即時補救教學的效果,而學生也能從中累積成就感與自信,接納並愉快地 學習數學。 在研究者的 8 年教職生涯裡,發現有些國九學生無法靈活運用絕對值概念, 或是在處理含未知數符號的絕對值運算上有所障礙,以致於對目前學習的章節造 成部分學習困難,追根究柢,這些學生在最一開始的絕對值學習中就產生錯誤概 念,或是對於概念模擬兩可,進而每當遇到與絕對值相關的概念時,無法做正確 的連結。觀看國中三年的教材中,絕對值在其定義及運算較其他單元來的容易,. 政 治 大 含數字的運算上都能正確解答,例如  7  7 、 3  7   4  4 ,一旦在絕對值運 立 但研究者發現學生對於絕對值的解題卻無法完全掌握,大多數學生在絕對值中僅. ‧ 國. 學. 算上牽扯到含未知數之文字符號時,多半學生會產生錯誤及困難,例如: x 為任 意數,無論 x 大於或是小於 0 的時候,學生會出現 x 一定會等於 x 的迷思,或是 。』. Nat. sit. y. ‧. 當題目為『已知 x 為任意數,當 x  3,則 x  10 可化簡為. io. al. er. 學生經常出現錯誤答案 x  10  x  10 ;甚至少數學生使用將 x 代入某個整數,. v. n. 再取其絕對值答案的錯誤方式,例如取 x  2 ,則 x  10  2  10  8 。可見,雖. Ch. engchi. i n U. 然絕對值看似容易,但其中所隱含之概念與應用轉化,對於學生學習而言並不如 想像中簡單,這使研究者對於探求學生在解絕對值相關概念的困難產生好奇。 目前絕對值在國中教材中並未獨立出一個完整的章節,但其在數學課程中卻 占有一席之位,從國七第一章介紹絕對值基本概念,延伸至根式運算、直線方程 式、不等式…等等,都會接觸到絕對值的相關問題,從計算規則角度看是代數, 但在解析幾何中又是不容忽視的存在。 金玉麒於 1987 年曾研究國中一、二年級學生絕對值及不等式概念的錯誤分 析及補救教學,將學生在絕對值的概念錯誤情形進行統計,之後利用問卷調查請 教師針對各題目選出最佳教學方法;洪碧芳(2003)探討國中生絕對值的發展與 2.

(12) 學習特性,進而了解迷思概念的成因,結果發現對於受測者來說,含有未知數的 絕對值運算遠比只含數字的運算困難,而且他們可以用絕對值表示兩量的差或兩 點距離,但卻不容易建立相關的方程式,由此可見學生對於絕對值的相關概念必 定存在某些關鍵迷思,以至於在學習上難以建構正確的概念。 金玉麒(1987)建議國中課本有關絕對值問題部分,應多加日常生活問題, 多使用數線的方式提供學生理解概念。因當時所之使用國立編譯館版本,採取較 為制式的符號教學,雖引進數線進行說明,但所占篇幅不多且不詳細,而目前九 年一貫版本的教材活潑度提升,並且在絕對值概念中,類題舉例說明增加,以南. 政 治 大 搭配圖示讓學生探索出絕對值與距離的關係,使得概念更容易被連結。然在改編 立 一版國中數學第一冊為例,該版本將住家以數線表示,舉出與生活相關的例子並. 版本過後,對於絕對值的錯誤類型研究不多,大多數絕對值概念研究偏向測驗基. ‧ 國. 學. 本概念、代數運算及運用上的錯誤,較少與解析幾何作連結,因此,研究者以絕. ‧. 對值為研究主題,除了基本代數觀點之外,增加利用平面幾何的觀點,了解並分. n. al. er. io. sit. y. Nat. 析歸納學生在學習過後所可能產生的錯誤之原因,供教師們教學時的參考。. i n C h第二節 研究目的 engchi U. v. 基於上述之研究動機,本研究除了絕對值概念外,學生須具備直角坐標幾何 及函數圖形概念,故鎖定研究者任教之九年級學生為研究對象,目的在研究國中 學習歷程中經過多次螺旋式概念架構建立後,學生在絕對值的概念中仍存在哪些 錯誤,期望能找出學生在處理絕對值相關概念時易發生的錯誤,及分析形成錯誤 概念的原因,進一步希望能對學生及數學教師在實質上提供幫助和教學方面的參 考。根據以上構思,本研究目的如下: 一、了解九年級學生在處理絕對值相關概念問題的解題表現及錯誤原因。 二、綜合研究結果,提出結論和建議,供教師未來教學及研究的依據。 3.

(13) 第三節 待答問題 根據前述兩個主要研究的目的,本研究提出研究問題,作為研究探討之方向。 一、對於絕對值相關概念之試題本來說,學生在絕對值中的「無向距離」方面是 否有困難,如果有,困難為何? 二、對於絕對值相關概念之試題本來說,學生在絕對值中的「長度」方面是否有 困難,如果有,困難為何? 三、對於絕對值相關概念之試題本來說,學生在絕對值中的「正負數運算」方面 是否有困難,如果有,困難為何?. 政 治 大 面是否有困難,如果有,困難為何? 立. 四、對於絕對值相關概念之試題本來說,學生在絕對值中的「去絕對值運算」方. ‧ 國. 學. 五、對於絕對值相關概念之試題本來說,學生是否能運用絕對值的意義,判斷出 含絕對值的函數圖形?如果無法正確運用,其困難為何?. ‧. Nat. sit. n. er. io. 本研究所涉及的重要名詞,說明如下:. al. Ch. y. 第四節 名詞解釋. i n U. v. 一、絕對值:在數線上,一個數 a 所表示的點 A(a) 與原點的距離,稱為這個數 a. engchi. 的絕對值,以符號 a 來表示。. 二、絕對值之幾何概念:使用距離來解決絕對值之相關問題,即 a 可表示為在 數線上,一個數 a 所表示的點 A(a) 與原點的距離; a  b 可表示為在數線上, 一個數 a 所表示的點點 A(a) 與一個數 b 所表示的點 B(b) 之兩點距離。 三、絕對值之算術概念:使用絕對值基本算術運算來解決絕對值之相關問題。例 如:  5  5 、 2  8  6 等。 四、含一個絕對值一元一次方程式與不等式:一次方程式與不等式中只含有一個 4.

(14) 絕對值且絕對值中只含一個未知數。方程式以等號連接,例如 x  4  2 。 而不等式以不等號(  、  、<、>)連接,例如 x  4  2 。 五、含兩個絕對值的一元一次方程式與不等式:一次方程式與不等式中只含有兩 個絕對值且絕對值中只含一個未知數。方程式以等號連接,例如. x  4  x  1  2 。而不等式以不等號(  、  、<、>)連接,例如 x  4  x 1  8 。 六、錯誤概念:在學生學習一項新知識的過程中,原先本身已具有的或是自行. 政 治 大 七、錯誤類型:依據數學運算式中產生錯誤答案的關鍵步驟,歸納分類出各種類 立 發展而產生某些想法,但與學者專家所公認的概念不一致。. ‧ 國. 念」正式施測試卷的資料分析所得到的錯誤類型。. 學. 型(Taria, 1987)。本研究所指的錯誤類型,是經由本研究之「絕對值相關概. ‧. Nat. sit. y. 第五節 本研究的貢獻. n. al. er. io. 近幾年國內文獻中,對於絕對值的研究,仍為高中職教材中的複數絕對值單. i n U. v. 元為多數,相對研究國中生在學習基礎概念的錯誤類型少之又少;再者,目前沒. Ch. engchi. 有研究從幾何方面深入探討學生在絕對值概念的整體表現及概念建構中可能產 生的錯誤原因,因此本研究希望能增加文獻中未探討的部分。. 第六節 研究範圍限制 本研究僅以台北市某國中之九年級學生為樣本,故所得到的研究結果只能推 論當相同地區或是類似樣本,能否推及其他地區或不同條件的學生,則應特別嚴 謹詳慮,並有待進一步研究。另外,因部分錯誤類型牽扯學生於其他單元的概念 學習,例如直角坐標平面、函數,故其所影響之錯誤類型未加以詳細分析討論, 建議未來可深入討論。 5.

(15) 第二章. 文獻探討. 本研究首先探究絕對值的字義起源及其意義,釐清絕對值在學生學習數學中 所應備的能力,進而深入探討學生解決絕對值問題時,所遇到的困難及其原因。 第二節就目前國中教科書相關概念內容進行整理分析,並於第三節探討絕對值相 關概念之研究。. 第一節. 絕對值的字義起源及其意義. 絕對值是目前國中生學習代數學之先備概念之一,而「absolute value」這個. 治 政 名詞是由 Karl Weierstrass (1815-1817)提出,取自拉丁字 大 absolvere,意思是 to free 立 from『免除』之意(引自洪碧芳,1990)。 ‧ 國. 學. 為什麼要叫「絕對值」?而不是「相對值」或是使用其他名詞?研究者首先. ‧. 探究「絕對」 (absolute)的字義解釋,以釐清絕對值所隱含的意義。. sit. y. Nat. 一、在牛津字典中解釋為獨立存在並且和其他事物不相關聯;非相對或比較. n. al. er. io. (Viewed or existing independently and not in relation to other things; not relative. v. or comparative ),或者以哲學的觀點為可以解釋為一個值或是原則是普遍成. Ch. engchi. i n U. 立的或是被視為和其他事物沒有相關 (A value or principle which is regarded as universally valid or which may be viewed without relation to other things )。 二、教育部重編國語辭典修訂本中解釋「絕對」一詞為不依靠任何條件而獨立存 在,且恆定不起變化。凡事物有對待關係的稱為「相對」;僅有單方面的稱 為「絕對」。那相對又是甚麼意思呢?指依靠一定條件而存在,隨著一定條 件而變化,例如相對高度、相對壓力…等(周何,1987)。 以上解釋中有一詞「非相對」,至於相對一詞表示在描述一個事物特性無法 僅從此事物本身出發,必須使用其他事物來做比較(Considered in relation or in proportion to something else )。故絕對與相對就如同獨立與相依,其分界可用是否 6.

(16) 與一事物相較;在絕對值的運算中,任何一實數 a 的絕對值取其大小相同的正數, 此時,研究者產生一個疑問:負數是相對而來的嗎? 早在兩千多年前的「九章算術」中出現負數概念的引入,九章算術卷八「方 程章」第八題: 今有賣牛二、羊五,以買十三豕,有餘錢一千。賣牛三、豕三,以買九羊, 錢適足。賣羊六、豕八,以買牛五,錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何? 書中解法: 術曰:如方成,至牛二、羊五正、豕十三負,餘錢數正;次置牛三正、羊九負、. 政 治 大 劉徽的九章算術注說明正負術:「今兩算得失相反,要令正負以名之」 立 豕三正;次置牛五負、羊六正、豕八正,不足錢負。以正負術入之。. ‧ 國. 學. 由解法中,可以清楚見到該書引入「負」的概念來解題,賣出的數量為正數、 買入數量為負數;餘錢用正數、不足錢用負數;而劉徽對正負術作注說明了在列. ‧. 方程時,由於「得」 、 「失」的意義相反,要用正負來表示。由此可知其正負的相. sit. y. Nat. 對性,用正負數表示相反意義的量。另外印度數學家婆羅門笈多(Brahmagupta, 約. io. er. 598~665)開始認識負數,他對負數的解釋是負債與損失。歐洲第一個正確使用負. al. 數的概念也同為錢財問題,把負數表示為賠錢,正數表示為賺錢(趙文敏,1985)。. n. v i n C 這無疑是可以得到肯定的答案;由數學史中的考 『負數是相對而來的嗎?』 hengchi U. 證負數是人類在發展活動時,為了方便表示其情況所造出來的數,從發現使用到 真正被承認經過許多爭論,大多數歐洲數學家還不承認負數是個「數」,其間荷 蘭人 Albert Girard 對於負數有一個很進步的概念,他指出:負數能看成是與正數 相反方向的數,在幾何上,負數可以表示後退,而正數表示前進,這樣的看法正 是數線的模型(趙文敏,1985)。. 7.

(17) 那麼「絕對值」(absolute value)一詞又是如何解釋的呢? 一、在牛津字典中解釋為一個實數的大小無關於它的符號 (The magnitude of a real number without regard to its sign )。 二、中學數學實用辭典中解釋絕對值是如此說明: 『實數 a 的絕對值用表示 a 。 他的意義是:當是 a 正數時, a  a ;當 a 是零時, a  0 ;當 a 是負數 時, a  a 。實數 a 的絕對值之幾何意義是指實數 a 在數軸上所對應的點 到原點的距離。』. 政 治 大. 綜合來看,性質符號「+」 、 「-」的使用是一種相對概念,是將一個量做為. 立. 區分,經由約定而形成的相對關係,例如:賺到 100 元以+100 元表示,100 是. ‧ 國. 學. 一個量、虧損 80 元以-80 元表示,80 也是一個量,這個「量」不依靠任何條件 獨立存在,和人類所賦與的相對關係(此例中的盈虧兩條件)不相關,故『絕對值』. ‧. 的意義指的應是其數量上的意義, a 指的是 a 這個數值的量、 a  5 視為 a 與. y. Nat. n. al. er. io. 的。. sit. 5 的差距或稱 a 與 5 相差多少,不論 a 比 5 大或比 5 小,其差距(相差)是絕對. Ch. i n U. v. 以數學史的發展來看,當數學家承認負數後,將正負數對應至數線上,給與. engchi. 其相對的位置,套入方向的概念,而距離是一個「絕對」的概念,沒有方向的相 對關係,換句話說,距離是一種長度,代表兩個位置的差距,所以絕對值的意義 可視為「無向距離」這個觀點(Ahuja, 1976)。. 8.

(18) Brumfiel (1980)提出 5 種對於實數絕對值的定義,並將此 5 種定義細分為幾 何的定義及算術的定義: 幾何定義: 一、設 x 為任意實數,在數線上有一點 X 的坐標為 x ,那麼 x 為 X 與原點的無 向距離。 二、設 r 為任意實數,取任意兩數 x 、 y 使得 x  y  r ,在數線上有兩點 X、Y 的坐標分別為 x 、 y ,那麼 x  y 為 X 與 Y 的無向距離。 算術定義:. 政 治 大. 一、 x 是 x 、  x 兩者間比較大的數,可寫成 x  Max{x, x} ,而 0  0 。. 立. ‧ 國. 學. 二、 x  x. 2. 三、當 x  0 ,那麼 x  x ;當 x  0 ,那麼 x   x 。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. 第二節. Ch. engchi. i n U. v. 國內教科書絕對值相關概念之內容分析. 九年一貫之後,開放教科書版本,雖然出版編輯者不同,但仍依循著教育部 所發布之課程綱要進行教材的編製,其中絕對值的能力指標及分年細目在中華民 國 92 年 11 月 14 日台國字第 0920167129 號發布數學領域能力指標(以下稱為 92 課綱)與中華民國 101 年 5 月 15 日臺國(二)字第 1010074428C 號令修正發 布「國民中小學九年一貫課程綱要」 (以下稱為 97 課綱)略有不同,研究者針對 兩者分別就絕對值概念相關之能力指標及分年細目整理如下頁表 2-2-1 9.

(19) 表 2-2-1 絕對值之能力指標與其對應之分年細目 92 課綱. 97 課綱. N-4-05 能認識負數、相反數、絕 對值的意義。 N-4-07 能將負數標記在數線上,理 解正負數的比較與加、減運算在數 線上的對應意義,並能計算數線上 兩點的距離。 對應之分 7-n-05 能認識絕對值符號,並理解 7-n-05 能認識絕對值,並能利用 絕對值在數線上的圖義。 絕對值比較負數的大小。 7-n-06 能用絕對值的符號表示數 7-n-08 能理解數線,數線上兩點的 年細目 線上兩點間的間隔(距離)。 距離公式,及能藉數線上數的位 7-n-07 能運算絕對值並熟練其應 置驗證數的大小關係。 用。 能力指標 N-3-10 能理解絕對值的意義。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 由上表 92 課綱中的分年細目詮釋(教育部,2003)之內容可知,學生必須 能認識絕對值符號,知道一數加上絕對值後,取其正值,如:  5  5、 5  5 ,. ‧. 並能認識在數線上一數的絕對值等於此數與原點的距離,例如,點  2 至原點的. y. Nat. io. sit. 距離為 2 ,而  2 的絕對值  2  2 ,利用距離的概念能理解使用絕對值的符號. n. al. er. 表示數線上兩點間的間隔(距離),例如,數線上兩點如 2 、  3 其距離為 5 ,. Ch. 亦可以用  3  2 或 2  (3) 表示。. engchi. i n U. v. 此外學生亦被要求必須能運算絕對值並熟練其應用,在不牽涉到方根或方程 式解題技巧,可熟練一些運算。 例: 甲  7 ,甲  7 。相較之下 97 課綱建議 採用較直接且直觀的方式教學進行絕對值的教學,其嚴謹的定義不一定需要在國 中階段出現,例如:一個正數的絕對值就是它自己,一個負數的絕對值就是把它 的負號去掉後的數,而 0 的絕對值還是 0,所以  1 1. 1 1 ;  1 (把負號去掉) 3 3. 1 1  1 ,而當學生學會負數的加減計算後,應該要理解有絕對值算式的計算, 3 3. 例如: 10   6 和 10  (6) 的不同。 10.

(20) 關於絕對值的應用問題方面,97 課綱提出在國中階段有兩個比較重要的應 用:一個是用來比較負數的大小,另一個是用絕對值來表達數線上的兩點距離, (7-n-08 能理解數線,數線上兩點的距離公式,及能藉數線上數的位置驗證數 的大小關係。)由此可知雖其對應之分年細目略有不同,但絕對值在距離上的理 解及應用仍是未刪減,並且在細目詮釋上強調數線是學生首次學習代數與幾何結 合的題材,教師在安排教學內容時應包括這類的題材。 研究者將目前之國中絕對值教材地位及絕對值應用單元教材內容進行整理, 如圖 2-2-1。. 政 治 大 圖 2-2-1 國中絕對值教材分析圖 立. ‧ 國. 數線上兩點距離. 國小先備知識. 坐標平面上兩點距離. n. al. 絕對值. Ch. engchi. 正整數的乘法. 整數的加減乘除. 正整數的除法. 指數律. er. io. sit. 相反數的意義. y. 根式運算. Nat. 正整數的加減. ‧. 數的大小關係. 正數與數線、 正數比大小、. 學. 正負數與數線. i v一元一次不等式 n U 三角形邊長關係. 分數的運算. 從國中端延伸至高中,依照教育部 97 年 1 月 24 日發布的普通高級中學數學 課程正式綱要中,將絕對值歸為數線中的幾何,內容包含絕對值的一元一次方程 式與不等式,除了原先的一個絕對值的方程式及不等式之外,還增添具備處理含 兩個絕對值的一元一次方程式及不等式的能力,並且介紹三角不等式的概念做為 11.

(21) 學習解析幾何的準備,甚至,未來學習微積分的第一堂課,多數要先解決實數系 中絕對值相關的問題。Hoch 與 Dreyfus (2006)指出學生若對絕對值概念有完整 的瞭解,在解決絕對值不等式時,可用直觀的想法解之,不必進行代數操作解題; Nava 與 Bat (2012)於研究中亦發現當學生使用代數方式處理絕對值不等式的問 題時,多半是因為在絕對值相關概念有錯誤迷思。由此讓研究者體認國中階段的 絕對值學習,關係著未來銜接深入探討的能力,更加深研究者對於學生在絕對值 相關概念之理解的好奇心。 詳看國中數學教科書,雖皆依據相同能力指標來編排絕對值的教材,但不同. 政 治 大 對值相關概念,選擇了部編、翰林、康軒與南一四個版本的教科書內容來綜合分 立. 編輯者對於同一單元的內容安排及呈現方式難免有所差異。以下針對國中階段絕. 析,研究者發現絕對值概念的建立,以目前教材內容皆以數線為引入主軸,且學. ‧ 國. 學. 生在處理絕對值相關概念時對於正負號的混淆時為常見,故研究者亦將這兩部分. y. Nat. 一、負數. ‧. 教材之鋪陳列入探討說明。. er. io. sit. 各版本在介紹絕對值概念之前,皆先進行負數之教學,以生活中學生易 接觸到的情境,例如收入與支出、往東與往西、進步與退步、零下溫度…等. al. n. v i n 相對意義或相反的量作為範例,讓學生充分瞭解數系中負數的意義。在定義 Ch engchi U. 負數方面,康軒版以性質符號「+」、「-」說明正負數,數字前有帶「-」 者即為負數;部編版、翰林版、南一版在定義負數時,皆強調比 0 大的數稱 為正數;比 0 小的數稱為負數。 二、數線 在國小階段學生已經學過將所有正數標記在數線上,於是在負數引進之 後,數線更趨完整,在銜接上翰林版、康軒版以拓展數線的方式,介紹數線: 「很像把數線向左延伸,再將負數標示在向左延伸的數線上。」;南一版以 與介紹負數之同一例題(住家東西向道路)引進,以此東西向道路為基礎, 套入數線概念。以上三個版本皆在建構負數後,直接介紹數線及坐標點之描 12.

(22) 繪,接著以數線概念進行相反數、絕對值的教學,然而部編版之教材編排呈 現與其他版本迥然不同,編者選擇先以負數的大小、絕對值、相反數之順序 進行教學,而後再安排數線概念的引進及坐標點之描繪,並緊接著介紹距離 與絕對值關係。僅只有部編版有在數線概念中提及點坐標向左向右移動後之 位置。 三、絕對值 在定義絕對值時,翰林版、康軒版及南一版皆以『點 A(a) 與原點之間 的距離稱為 a 的絕對值』之幾何觀點賦予絕對值的意義,其中康軒版特別說. 政 治 大 西走的距離都一樣,當指考慮數值,而不需要前面的「+」 、 「-」號時,便 立 明「不考慮方向」;南一版則用一貫之住家東西向道路範例,提出往東或往. ‧ 國. 』來表示,相較之下翰林版無安排生活情境範例先. 學. 可使用絕對值符號『. 行說明,開門見山直接給與絕對值定義。部編版舉例以進出貨之相對意義說. ‧. 明絕對值,進出貨相同件數以  符號個別表示,意義不同,但必須搬運的數. sit. y. Nat. 量相同,依此部編版對於絕對值之定義使用代數觀點:一個數的絕對值就是. al. er. io. 不考慮他前面的「+」 、 「-」號所得到的數。因此南一版與部編版的說明方. v. n. 式較為雷同,以相對量之意義切入絕對值,不計方向(  符號意義),不同. Ch. engchi. i n U. 的是南一版對於絕對值的定義採取以幾何定義來做結論,而部編版則以代數 定義來做結論。 研究者將各版本絕對值相關概念比較整理為下頁表 2-2-2。. 13.

(23) 表 2-2-2 各版本絕對值相關概念比較. 情境. 正數與負數 →數線(僅介紹 坐標點) →數的大小 →相反數 →絕對值 →整數加減 →數線上兩點 的距離. 立. io. al. n. 概念 澄清 及例 題說 明. 政 治列舉數線上整 大 數點坐標,不考. 列舉數線上整 數點坐標,說明 與原點的距離 即為絕對值。. 數線上一個數 所表示的點坐 標與原點之距 離,稱為此數的 絕對值。 1. 有無某數的 絕對值為負 數或 0。 2. 只含數字的 絕對值運算 3. 利用絕對值 比大小 4. 絕對值方程 式與不等式 的應用 5. 在數線上描 繪符合絕對 值方程式與 不等式的點 坐標. Ch. 慮方向,說明與 原點的距離即 為其絕對值。. 數線上一個數 所表示的點坐 標與原點之距 離,稱為此數的 絕對值。 1. 有無某數的 絕對值為負 數或 0。 2. 只含數字的 絕對值運算 3. 利用絕對值 比兩負數的 大小 4. 絕對值方程 式與不等式 的應用. engchi. 14. 將生活情境畫 作數線上坐 標,行走方向以  符號個別表 示,其意義不 同,但必須行走 的距離相同。 數線上一個數 所表示的點坐 標與原點之距 離,稱為此數的 絕對值。 1. 正負數的絕 對值區分 2. 利用絕對值 比大小 3. 比較多個數 的大小與其 絕對值的大 小之異同 4. a 、 b 與 a 、 b 之. ‧. 說明. 正數與負數 →數線(僅介紹 坐標點) →數的大小 →相反數 →絕對值 →整數加減 →數線上兩點 的距離. Nat. 意義. 正數與負數 →數線(僅介紹 坐標點) →數的大小 →相反數 →絕對值 →整數加減 →數線上兩點 的距離. 學. 引進. 正數與負數 →負數的大小 →絕對值 →相反數 →數線(坐標 點、移動、距離 與絕對值) →整數加減 →數線上兩點 的距離 進出貨之相對 意義,進出貨相 同件數以  符 號個別表示,意 義不同,但必須 搬運的數量相 同。 一個數的絕對 值就是不考慮 他 前 面 的 「+」 、 「-」號 所得到的數。 1. 只含數字的 絕對值運算 2. 絕對值方程 式的應用 (非以未知 數呈現) 3. 利用絕對值 比較兩負數 的大小 4. 澄清 a、 a 的正負關係. y. 概念. 南一版. sit. 順序. 康軒版. er. 呈現. 翰林版. ‧ 國. 教材. 部編版. i n U. v. 間的大小關 係 5. 絕對值方程 式的應用 (非以未知 數呈現).

(24) 第三節. 與絕對值相關概念之研究. 距離這一個概念在連結人類日常生活是相當普遍的,然而學生在絕對值相關 概念的理解與解決問題卻無法完整掌握(洪碧芳,2003),其中一個主要原因來 自學生對於絕對值的形式定義不了解(Parish, 1992),因此教師在教材教學方面是 否為真正建立強而有力的連結,使學生在學習絕對值時,減少錯誤概念之迷失, 本研究針對目前對於絕對值相關概念之研究進行整理,冀提供教學者作為參考, 縮短學生在絕對值相關概念迷思資料之蒐集時間,提高有效教學之成效,本節研 究者就學生在絕對值相關概念之錯誤類型與學習困難之原因、教學上的研究兩方. 政 治 大 一、學生對於絕對值相關概念之錯誤類型及原因, 立. 面分別匯總如下,其中錯誤類型及原因之分類為研究者整理歸納而出:. ‧ 國. 學. 數線上兩數距離概念之錯誤. 1.. 因學生在學習絕對值時,由於部分教科書定義絕對值的意義是某數. ‧. 與原點的距離,此時他們會瞭解一般我們所指的「距離」是不會有負的,. sit. y. Nat. 所以絕對值才不會有負號;但學生會混淆「距離」與「坐標」的意義,. al. er. io. 忽略坐標上有方向之區分,誤認為在原點左方的數若與原點相距 N 單位,. n. 則坐標為 N ,而不是  N (張立群,2003)。 i.. Ch. engchi. i n U. v. 錯誤使用距離非負數的觀念,而忽略在數線上的坐標因方向的差異 會有產生正負符號的表徵(張立群,2003)。例如:高雄台南在台 南方 50 公里,以台南為原點,向北為正,2 公里為一單位,學生 認為距離沒有負數,因此高雄代表的數為 25。. ii.. 當學生接觸的練習題量多的時候,學生會發現某些題型有一定的作 答方法可循,產生過度依賴以往作答經驗作答,於是面對題型相似 的題目,錯誤解答的學生有時希望用曾做過的方法來解題,或是希 望直接使用算術的運算方式,組合題目中的數字,以獲得答案(李 靜瑤,1994)。例如:高雄台南在台南方 50 公里,以台南為原點, 15.

(25) 向北為正,2 公里為一單位,則學生認為高雄所代表的數為:52 (50+2)、48(50-2)、25(50÷2)或 100(50×2)(張立群,2003)。 iii.. 概念不清楚,將片面知識混用,例如:解決絕對值方程式 x  3  5 時,學生的答案為 x  8 (金玉麒,1987)。 有些學生可以將兩數差的絕對值視為兩點間的距離,但卻無法將兩. iv.. 個已知數和的絕對值視為兩點間的距離(洪碧芳,2003)。例如:  2  4 表示 (A)點-2 與 4 的距離 (B) 點-2 與-4 的距離 (C) 點-3. 與原點的距離 (D)點(-2+4)與原點的距離 (E)其他。. 立. 文字判讀與了解題意方面. 學. ‧ 國. 張景媛(1994)提出,學生對於某些關鍵字不瞭解,會造成學生解 題上的困擾,而有時解題也會受前一題題型的影響,誤用解題策略,或. ‧. 者是題目的描述語言及語意結構亦會影響學生的判斷(楊瑞智,1990),. y. Nat. 受相似題目混淆干擾,誤認為「絕對值等於 5 的數」與「絕對值小. io. i.. sit. 金玉麒(1987)的研究也指出,學生因為不了解題意,而無法正確作答。. n. al. er. 2.. 政 治 大. i n U. v. 於或等於 5 的數」題目相同(張立群,2003)。例如:絕對值等於. Ch. engchi. 5 的數,學生的答案是「0、  1、  2、  3、  4」或「0、  1、  2、  3、  4、  5」。 ii.. 誤認為題目中只要有「絕對值」的詞彙,答案就應該要加上絕對值 (張立群,2003)。例如:哪些整數的絕對值小於 4?學生回答是  4 、  3 、  2 、 1 、 0 、 1 、 2 、 3 、 4 。. iii.. 受題目所給予的其他條件影響,誤將絕對值錯認為其他條件(張立 群,2003)。例如,題目先問-12 的相反數,再問 8 的絕對值,學 生的答案是 8 的相反數-8。. 16.

(26) 概念建構不完整,忽略答案完備性. 3.. 數學教材在國中階段開始循序漸進建構出數系,於是題型變化增加, 經常出現給予不同的數系範圍,可能是限制答案的範圍或個數,或者是 增加答案的範圍或個數,而缺乏完整概念之學生在解題時,常會忽略題 目的條件或是答案的完備性。 i.. 忽略絕對值內的數字可以為任意數,尤其是負整數或 0(張立群, 2003;Almog & Ilany, 2012)。例如,絕對值等於 5 的數,學生的答 案只有 5 或-5 其中之一;哪些整數的絕對值小於 4?學生僅回答出. 政 治 大.  1、  2、  3 及  4;解絕對值不等式 x  0 時,學生認為 x 可為. 立. 任意實數 R ,忽略當 x  0 時, x  0 。. ‧ 國. 學. ii.. 忽略絕對值的數值可能為 0。(張立群,2003;Almog & Ilany, 2012),. ‧. 例如;解絕對值不等式 x  0 時,學生認為 x 無解,因該生對於絕. io. y. sit. 只考慮整數解(金玉麒,1987;Almog & Ilany, 2012)。. er. iii.. Nat. 對值的認知為「一個數的絕對值一定比 0 大」。. 例如:若 x  2 ,則求 1  1  x 之值。題目設計循序漸進之小題. n. al. (1) 1  x =. Ch. engchi. i n U. 、 (2)1  1  x =. v. 、 (3) 1  1  x. =. 。. 產生錯誤之學生僅能計算數字之絕對值,一旦題目再加上 x  2 之 條件,便無法使用正確解答策略,於是僅以數字代入答案,對不等 式概念不清,例如學生以 x  3 代入,得到 1  x  1  (3)  2 ; 1  1  x  1  1  (3)  1  2  1 ,則 1  1  x. =1。. 另一例子:解絕對值不等式 x  3 時,學生錯誤類型有二,其一錯 誤解為 x  4 或 x  4 ,學生忽略 3 與 4 之間存在其他非整數解; 另一錯誤解為 x  4,5,6 或 x  4,5,6 ,學生誤認為舉出數個符合 17.

(27) 此不等式之整數解即可,因此以最接近  3 且符合的數個整數為解 答,完全忽略非整數之解。 以偏概全,將絕對值與相關觀念混淆. 4.. 在學生學習一個概念時,常會與先前所學過的概念做比較,歸納出 符合個人想法的結論,因此常出現錯誤的歸納,亦或是如刺激反應連結 論中所主張:學得的經驗會彼此干擾,而造成觀念的混淆。 i.. 誤認為比較絕對值的數值大小就是比較其數的大小(金玉麒,1987; 張立群,2003)。例如:  7  2 ;如數線所示:比較|甲|、. 政 治 大. |乙|、|丙|的大小. 立. 丙. 0. 甲. 乙. ‧ 國. 學. 學生的解題想法就是比較甲、乙、丙的大小,因此學生的答案是乙 >甲>丙。. ‧. ii.. 誤認為比較絕對值的大小就是將此數到原點之距離「由近至遠」或. sit. y. Nat. 「由遠至近」寫出,將距離的大小與數線上的位置混淆(張立群,. al. n. 丙. er. io. 2003)。例如:如數線所示:比較|甲|、|乙|、|丙|的大小. Ch. 0. 甲. engchi. i n U 乙. v. 學生誤認為就是比較甲、乙、丙的大小。學生會認為要比較 |甲|、|乙|、|丙|的大小就是將甲、乙、丙與原點之距離「由 近至遠」排序,所以答案是甲>乙>丙;或「由遠至近」寫出來, 答案是丙>乙>甲。 iii.. 忽略絕對值,而誤將絕對值當作括號來處理(金玉麒,1987;洪碧 芳,2003;張立群,2003)。例如:  7  7;  5  1  5  1  6 ;  6   4  6  4  2 。. iv.. 誤用絕對值為非負數的值,認為絕對值內的值必為非負數(金玉麒,. 18.

(28) 1987;Almog & Ilany, 2012),例如:解 x  y  1  z  2  0 ,學 生沒有 x  0 的概念,只是很直覺地想到 0+0+0=0,而寫出答案; 解絕對值不等式 x  0 時,學生認為絕對值必為非負數,故 x  0 之 解為 x  0 。此時,學生無法分辨絕對值內的值與絕對值外的值之 差異。 數的絕對值是本身及相反數(金玉麒,1987;洪碧芳,2003),例. v.. 如 2  2 ;  5  1  6 vi.. 政 治 大. 認為正數的絕對值是負數(洪碧芳,2003),或是存在某數的絕對. 立. 值為負數(張立群,2003)。例如, 乙  1 ,學生的答案乙  1. ‧ 國. 學. 或者是乙  1 、-1。. 錯誤使用去絕對值運算規則,即當 x  0 ,則 x   x. ‧. vii.. sit. y. Nat. ( -5  (5)  +5 ) ,學生自我加強了「絕對值內為負的,就要變. n. al. er. io. 號」這樣的運算規則,因此將所有看見的『-』變號為『+』,將. i n U. v. 其絕對值內性質符號變號或減法換成加法,例如: 4  3  4  3  7. Ch. engchi. (洪碧芳,2003)。. 5.. 無法正確使用未知數之表徵 根據皮亞傑的發展認知理論,國中生屬於具體運算階段(concrete operational stage)(7~12 歲)與形式運算階段 (formal operational stage) (12~15 歲)之間,學生漸能將具象思維提升到抽象思維,然而對於初 學者,帶有未知數之符號文字仍是一個具有難度的課題。洪碧芳(2003) 指出,學生反應絕對值內有帶有未知數的題型相較於只含數字的絕對值 運算要難的多,且在作答時沒有辦法與所得的經驗相連結。 19.

(29) i.. 對於一個已知負數屬於具體數值,當學生看見一個未帶有性質符號 負號『-』的數字時,便可直接判斷此為非負數,因此容易套用此 規則至文字符號上,把 x 當作正數,把  x 當作負數,故誤認為 x  x (Sink, 1979;金玉麒,1987;洪碧芳,1990、2003;Almog. & Ilany, 2012),例如:解 x  8  7 時,學生認為 x  8 為正數,因 此只考慮 x  8  7 的狀況。 ii.. 金玉麒(1987)的研究顯示很少人答對 1  -x  3 的解,一是絕. 政 治 大 無法根據情境,列出相關的絕對值方程式,並解決問題(洪碧芳, 立. 對值與不等式概念混和,另一方面是 -x 更使學生覺得迷糊。 iii.. ‧ 國. 學. 2003)。例如:阿珠重 63.5公斤,阿花重 y 公斤,兩人相差幾公 斤? (A) 63.5 + y (B) y − 63.5 (C) 63.5 – y (D) 63.5 y (E) 63.5  y. ‧. (F)其它;台中某日由上午6點到下午6點氣溫的變化是,先上升攝. y. Nat. io. sit. 氏3度後再下降5度,那麼上午 6 點與下午 6 點的溫差應該如何計. er. 算? (A) 5-3 (B) 3-5(C) 3+5 (D) 3  5 (E)其它 。. al. n. v i n Ch 複雜的文字符號干擾絕對值概念,因此在增加條件限制之下,學生 engchi U. iv.. 更容易出錯(金玉麒,1987),例如:. 設 a 、 b 為任意非零的實數,令 K . a b c   a b c. (1)當 a  0 、 b  0 時, K 的值是 (2)當 a  0 、 b  0 時, K 的值是 (3)當 a  0 、 b  0 時, K 的值是 (4)當 a  0 、 b  0 時, K 的值是 學生在(1)、(2)、(3)小題的錯誤率較高,而做對者大多以數字 代入而求出答案。 20.

(30) 二、教學上的研究 絕對值相關概念對學生來說是一個全新的符號概念,在學習的當下是比較困 難的,因此國內外有些教學上的研究與建議,從瞭解學生錯誤概念,修正教師教 學策略: 1.. 重視正向遷移對學生學習之影響 由認知心理學的觀點來看,學生會受先前學習知識的影響而主動建構或 「發明」知識,因此學生先前學習的知識對於當下所接觸的新概念,可能有 正向之影響,稱為正向遷移;但也有可能造成干擾,稱為反向遷移。數學的. 政 治 大 因此原有概念的重要性不言而喻,張立群(2003)建議在教授新概念時,教 立. 學習是新知識不斷與舊經驗的聯結(Siegel, 1981;Shuell, 1990;蘇慧娟,1998),. 師應使用適當的教學策略重新喚起學生對此部分的觀念,並適時修正先前學. ‧ 國. 學. 習中不正確的觀念。 以具體解釋抽象. ‧. y. Nat. 金玉麒(1987)、洪碧芳(2003)指出運算性質的認識,教學上要從日. io. sit. 常生活中,取具體問題為教材,從具體引導至抽象的數,再延伸到符號化的. er. 2.. 式,以建立完整的學習歷程。Sink (1979)也發現對於學生在學習絕對值內為. al. n. v i n x <0 時,  x 為正數』之 文字符號方面容易產生混淆,因此進行教學『當 Ch engchi U. 概念時,教師應特別注意舉實際數字為範例進行說明,例如:當 x  4 時,.  x  (4)  4 ,故  x 為正數。 善用數線之表徵,運用代數意義與幾何意義交互引證,金玉麒(1987) 指出在學生常犯的絕對值錯誤中,多數都能以實際的數在數線上說明絕對值 的意義,像是學生犯了  2  2、 0  0 等錯誤時,可引導學生畫出數線, 並將點坐標標上,強調一個數的絕對值就是該數與原點的距離概念,加深學 生概念建立之基礎。Parish (1992)亦提出不同於代數思維,對於絕對值方程 式或不等式,可以使用二維數線來解題,可以有效改善學生的錯誤概念,並 21.

(31) 且對於『或』(or)與『且』(and)混淆的學生而言是個不錯的教學策略。此外, Ozmantar 與 Roper (2004)探討鷹架在抽象過程中的作用,研究顯示,學生可 經由適當引導進行較艱深的教材教學,或是由一套循序漸進的教材習得更進 階之知識。 避免學生出現習慣僵化的現象 王克先於學習心理學一書中說明:所謂「習慣僵化」,當個人多次練習 同一類型的題目後,反而有礙於處理之後的題目,亦即多做某一類題目後會 產生一種「心向」(mental set),培養出一種趨勢,往一特定的方向去反應,. 政 治 大 決新問題的新方法,反而阻礙了這個新問題的解決速度。這種現象稱為「功 立. 這種心向會延續到接著做下去的新題目上,反而無法發展出以更快而有效解. 能固著」(functional ixedness)或稱習慣僵化(habitual rigidity)。. 學. ‧ 國. 在學生絕對值相關概念之錯誤中,誤將絕對值當成括號來處理,或誤認. ‧. 為「絕對值等於5 的數」,與「絕對值小於(或小於等於)5 的數」題目相. y. Nat. 同,皆屬於習慣僵化的情況,由此發現學生對於此種題目的練習量夠多,導. io. sit. 致於遇到相似的題型時,便會不加思索的寫出錯誤的答案,造成學習的負效 果,導致學生的負遷移(negative transfer)。. al. er. 3.. n. v i n 當然,不可否認的,學好數學的一種方法就是多練習;但若是盲目而毫 Ch engchi U. 無目的地,認為有題目可以做就是正確的,便失去了練習的意義。練習的目. 的在於使學生對於概念能更熟悉,概念的連結更完整。因此張立群(2003) 建議教師若能在教學或評量時,對同一種概念或題型以多樣的呈現方式,例 如:「寫出絕對值等於5的數」,變化為「寫出絕對值小於5的數」、「寫出 絕對值小於等於5的數」,提供機會讓學生多比較思考,當可起舉一反三之 效,協助學生經驗的類化,增進遷移的效果。洪碧芳(2003)也提出教學者 須多注意學生的基本認識及先備能力,引導學生作反思內化,以建立踏實的 基本概念,不要把學生引到解難題、演練技巧的方向。. 22.

(32) 第三章. 研究方法. 本章介紹本研究所採用的研究方法以回答第一章所提出的研究問題,第一節 先介紹本研究的研究設計與構想,第二、三、四節分別說明研究對象、研究工具 與研究過程。. 第一節 研究設計 本研究的目的主要為探討學生在解決絕對值相關試題時所遇到的困難,進而 了解學生在解絕對值相關試題時分不清如何求出正確絕對值之原因,希望能夠提. 政 治 大. 供教師作為補救教學或改進教學策略的依據,增進教學成效。. 立. 為能確實瞭解學生在絕對值相關概念的錯誤原因,本研究採調查法,並輔之. ‧ 國. 學. 以訪問蒐集資料。首先,研究者與三位具教學經驗之教師及指導教授進行討論, 分析絕對值之概念與教學脈絡,作為絕對值相關概念試題編製的主軸,以此自編. ‧. 之試題本作為調查工具讓學生填寫,然後根據學生的答題情況選擇訪問對象,接. y. Nat. sit. 著以開放無結構性訪問進一步瞭解學生答題時的想法。本研究所有訪問皆有全程. n. al. er. io. 錄音,研究者再將其錄音內容轉錄成文字稿,以方便進一步分析學生在學習絕對. i n U. v. 值相關概念時所遇到的是什麼困難,以及探討困難產生的原因。. Ch. engchi. 本研究所採取的分析方法為個案研究法,質性為主,量化為輔,主要以訪問 學生所表達之想法做為分析方向,然而訪問對象的選擇是以口語能力較好的學生 為優先考量,因此其訪問學生是否能代表整體學生之表現,有待周詳之評估,故 研究者佐以量化資料提供正式施測學生的整體答題表現,作為分析之參考。. 23.

(33) 第二節 研究對象 根據本研究者的研究目的,本研究所考慮的研究對象其範圍設定為已經學過 絕對值、直角坐標系及基本函數觀念之學生。為了開發研究工具並進行效化的過 程,本研究之研究對象分為兩類:第一類是預試對象;第二類是正式施測對象及 訪問對象,皆為常態分班、男女合班之學校學生。 一、預試樣本 本研究之預試對象,為台北市某兩間願意合作研究的國民中學,此兩校 學生程度皆中等以上,抽樣是藉由方便取樣方式,委託在該兩所學校任教之. 政 治 大 生 33 人及乙校兩個班級共 立 37 人,去除無效樣本 1 人,總共 69 人。. 兩位老師所任教的八年級學生進行測驗。參與對象分別來自甲校一個班級學. ‧ 國. 學. 二、正式施測樣本. 因考量訪問之便利性,本研究之正式施測對象為研究者所任教的九年級. ‧. 學生,該校位於台北市,其學生程度屬於中等以上,大多數家庭社經背景為. sit. y. Nat. 中等小康狀況,對於學生教育頗為關注。. al. er. io. 本研究正式施測紙筆測驗對象,有效樣本人數男生 20 人、女生 34 人。. v. n. 第二階段訪問對象,則由參加第一階段紙筆測驗的學生中,根據第一階段紙. Ch. engchi. i n U. 筆測驗的答題表現分為三個組別,成績前 27%的學生為高能力組、成績中間 46%為中能力組、成績後 27%的學生為低能力組,每組抽取男女生各 2 人, 共 12 位學生進行訪問,因考慮訪問之成效,選取語言表達能力不是太差之 學生作為訪問對象。下表 3-2-1 為本正式研究 12 位訪問學生之能力分組編 碼對照表,S 後數字代表學生編號,本編號採男女混合隨機編碼。 表 3-2-1. 參與訪問學生之能力分組編號對照表. 高能力. 中能力. 低能力. 學生 男:S26、S48. 男:S41、S45. 男:S01、S07. 編號 女:S13、S34. 女:S28、S32. 女:S05、S30. 24.

(34) 因本研究正式訪問的樣本很小,故將本研究結果推及全體情況時必須要 特別小心,下表 3-2-2 交代本研究正式訪問之 12 位學生之背景資料,包含 該生父母親職業與該生在國中階段參加數學科校外補習(或個別家教指導) 的每周平均時數。 表 3-2-2. 各能力學生之背景資料. 高能力 高能力 高能力 中能力 中能力 中能力 低能力 低能力 低能力 男生. 女生. 父親職業 商(1) (人數). 學生. 自由(1) 商(1). 男生. 女生. 學生. 男生. 服務(1) 服務(1) 服務(2) 商(1). 金融(1) 醫生(1) 自由(1) 金融(1) 商(1) 醫生(1). 商(1). 女生. 學生. 資訊(1) 商(1). 待業(1) 待業(1) 資訊(1). 金融(1). 治 政 大 商(2) 母親職業 家管(1) 商(1) 商(1) 服務(1) 金融(1) 服務(1) 立教職(1) 資訊(1) 商(1) 商(1) (人數) 金融(1) 教職(1). 待業(2). 金融(1). 金融(1). 資訊(1). 0. 1.625. 3. 0. 1.5. 商(3). 家管(1) 家管(1). 2. 0. 1. ‧. n. al. er. io. sit. y. Nat. 平均時數. 3.25. 家管(1). 商(1). 學. 參加數學 科校外補 習的每周. ‧ 國. 金融(1). i n U. v. 由表可知,本次研究訪問對象裡,中、高能力的男生每周平均多花了 3 到 4. Ch. engchi. 小時參加課外補習,而恰好參與訪問的全部女生均無參加校外補習。其中低 能力的四位學生中,只有一位男生每周平均多花 4 小時進行校外補習。. 25.

(35) 第三節 研究工具 本研究共使用研究工具有三種,分別為「絕對值相關概念試題」 、 「絕對值相 關概念訪問流程記錄表」及「學生背景資料問卷」,分別說明如下:. 一、 絕對值相關概念試題本 本研究工具為研究者自編之「絕對值相關概念試題本」預試試題本(見附錄 一) ,其題型先請任教年資超過 10 年之數學老師審查,針對題本中文字描述之語 意及題目條件不清之地方進行修改,再請任教年資超過 10 年之國文老師,針對. 政 治 大 型設計來自於與三位數學科教師討論之教材脈絡及絕對值相關文獻研究,期望能 立 語意不流暢的地方進行修飾,最後再請指導教授進行審核,以建立專家效度。題. ‧ 國. 1.. 學. 從中瞭解學生在學習絕對值相關概念之困難。以下就其設計研究工具詳細說明: 教材脈絡. ‧. 研究者發現,不同老師對於絕對值定義會有不同的解讀,即便是教科書上明. sit. y. Nat. 定出相同的一種定義,但教學者常會因本身之解題策略,提示學生使用某一種幾. al. er. io. 何定義或算術定義來解決問題,因此每一個學生對於絕對值的解讀不是一致的,. v. n. 洪碧芳(2003)的研究發現,學生最常從兩個角度來看待絕對值:一是去負號(把. Ch. engchi. i n U. 負變成正),一是距離。為瞭解學生對於絕對值的概念理解採取哪一向度為主要 解題策略,本研究設計第一部分開放式問題:. 1.你認為什麼是「絕對值」?請詳細說明,並舉例。 2.你認為  3 是什麼?請詳細說明。你覺得  3 可以在數線上解釋嗎? 怎麼解釋?. 你認為 3 和  3 有哪些關連性?. 3.你認為  2  6 是什麼?請詳細說明。你覺得  2  6 可以在數線上解 釋嗎?怎麼解釋?你認為 - 2  6 和 2  6 有哪些關連性?. 26.

(36) 目前現行版本中在絕對值的概念陳述上皆以數線之幾何觀點進行教學說明, 即數線上一個數所表示的點坐標與原點之距離,稱為此數的絕對值,因此  5 為 數線上  5 到原點的距離,故  5  5,待學生熟悉單一數字的絕對值意義之後, 推廣到兩個數字的絕對值: 11  7 可視為數線上 11 和 7 的距離,因此『距離』 為絕對值相關概念之向度之一。而『距離』是不考慮兩者之相對位置,因此這裡 的距離說是無方向性,有時,我們亦稱兩量之「相差」為距離,因此研究者將「相 差」這一個概念列入距離的子向度之一,在此稱為『長度』。. 政 治 大 的絕對值,會進行去絕對值的運算之教學,多數教學者會歸納出若絕對值內為正 立 在瞭解絕對值之基本定義後,對於含單一數字的絕對值,及含兩個數之加減. 數,則直接去掉絕對值;反之,若絕對值內為負數,則去掉絕對值要加一個負號. ‧ 國. 學. (或變號),這樣的運算規則包含了正負數的運算及相對方向的觀點,在國中教. ‧. 材裡,對於正負數的加減法則,教科書中提供了數線上點移動後位置的概念:. y. Nat. 2  6 在數線上的位置可視為點 2 向右移動 6 個單位後,到達點 8 ,所以得到. er. io. sit. 2  6  8;反之,2  6 則為點 2 向左移動 6 個單位後,到達點  4,因此 2  6  4。 將此運算逆推,由研究者定義數線上點 a 到點 b 的距離為 b  a ,例如:. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 數線上點 2 到點 8 的距離為 8  2  6 ,若以移動的觀點: 82  6 2. 8. 點 2 向右移動到點 8 的長度為 8  2  6 單位長,換句話說, 8  2 等於數線上 點 2 向右移動到點 8 的長度。數線上點 7 到點 3 的距離為點 7 向左移動到點 3 的 長度,若我們將向右移動設為正向,則可利用對稱的想法,使點 7 與點 3 在數線 上對原點作對稱,得到點 7 對稱至點  7 與點 3 對稱至點  3 ,則點 7 到點 3 的距 離 3  7 等於點  7 到點  3 的距離,故可得 3  7  3  (7) ,再利用正負數的 27.

(37) 運算得到  3  (7)  3  7  4 。推及含文字符號之去絕對值法則,舉例來說, 當 x  3 時, x 7 可視為點 7 到點 x 的距離,因 x  3,所以點 x 在點 7 的左邊, 依上述規則,點 7 到點 x 的距離為點 7 向左移動到點 x 的長度,利用對稱想法得 到點 7 對稱至點  7 與點 x 對稱至點  x ,因此 x  7   x  (7)   x  7 , 綜合以上幾何的觀點,研究者將去絕對值的運算法則亦歸類為數線上的方向向度, 其方向向度之含義為絕對值的逆操作運算,依此想法研究者設計有關正負數運算 及去絕對值運算法則相關之題型如下。. 1.. 關於 2  7 的敘述,你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打(可複 選) □A. 2  7   5  5. 立. □B. 2  7   2  7 □C. 2  7  (2  7) □D. 2  7  7  2 □E. 2  7  5 或  5 關於 11  6 的敘述,你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打(可 複選) □A. 11  6 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離 □B. 11  6 等於數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度 □C. 11  6 等於數線上坐標-6 向左移動到坐標-11 的長度 al v i □D. 11  6 等於數線上坐標 11 向左移動 6 單位後與原點的距離 n Ch n向左移動 gchi U □E. 11  6 等於數線上坐標e11 6 單位後的位置 □F. 6 和 11 相差的值可以用 11  6 來表示 請計算下列各絕對值: (1)  10  。 (2) 20  9  。 請完成計算絕對值的過程:請於□中填入  、  (1) 7  12  (□ 7 )  (□ 12 ) (2) 已知 x 為大於 3 的任意數,則 x 1  (□ x )  (□ 1 )= 。. ‧. ‧ 國. 學. 2.. 政 治 大. n. er. io. sit. y. Nat. 3.. 4.. 28.

(38) 2.. 絕對值相關文獻研究探討題型. 金玉麒(1987)在「國中生絕對值及不等式概念的錯誤分析及補救教學」的 研究中,認為許多學生對於絕對值與不等式的概念尚未完全徹底瞭解,研究指出 許多學生犯了 x  x 的錯誤,相同地洪碧芳(2003)發現對於學生而言含有未知 數的絕對值運算遠比只含數字的運算困難,因此,含有文字符號之絕對值概念對 於學生無疑是一個困難點。然而在其含有文字符號之絕對值的研究中,距離及去 絕對值運算並未做完整的測驗,因此本研究針對含文字符號的絕對值在距離及去 絕對值運算法則,設計以下試題:. 1.. 政 治 大. 關於 x  5 的敘述,你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打 □A. x  5 一定是正數 □B. x  5  5  x □C. x  5  1 □D. x  5 等於數線上某一點坐標為 x 移動到坐標 5 的長度 □E. x  5 等於數線上坐標-5 移動到某一點坐標為 x 的長度 □F. x  5 等於數線上某一點坐標為 x 與原點的距離. 立. ‧. ‧ 國. 學. sit. er. n. 3.. io. 2.. y. Nat. □G. x  5 等於數線上某一點坐標為 x 與-5 的距離 □H. x  5 等於數線上某一點坐標為 x 向左移動 5 個單位後與原點的 距離 請根據以下各題所給的方程式,求出所有符合之 al v x 的數值: i (1) x  2 , x = 。 n x= C h 。 (2) x  5 U0 , e。(4) n g cxh 3i  4 , x = (3) x  5  1 , x = 。 請化簡下列各題(化簡指的是不使用絕對值來表示,可以使用未知數之 式子形式表現): (1) 假設 k 為正整數,那 k 可以化簡為 。 (2) 假設 k 為負整數,那 k 可以化簡為 。 (3) 假設 k 為任意實數,那 k 可以化簡為 。 (4) 已知 x 為任意實數,且 1  x  6 ,則 x  3  x  10 可以化簡 為 。. 29.

(39) Parish (1992)提出處理絕對值方程式或不等式時,可以使用二維數線來解題, 可以有效改善學生對於「或」與「且」的混淆情況。因此運用代數意義與幾何意 義交互引證(金玉麒,1987),有助於釐清學生對於絕對值相關概念的迷思,此 外,Ozmantar 與 Roper (2004)研究顯示,教材中未呈現的較艱深之絕對值函數圖 形,例如, f ( x ) ,可適當地利用教學鷹架,讓學生理解,也能讓學生瞭解其 抽象化之概念。然而目前國內關於絕對值相關概念學生之錯誤概念的研究當中, 缺少在函數圖形與絕對值相關概念之連結,因此本研究工具增加絕對值函數圖形 部分,目的是為了從圖形概念中發現學生在絕對值相關概念之迷思,因國內教材. 政 治 大 認知發展需具抽象思考能力,故在選擇九年級學生為研究對象,題型設計以較為 立 安排函數概念於七下後期,為了減少函數錯誤概念可能影響之變因,及顧及學生. ‧ 國. 學. 簡單的絕對值函數圖形為主,並在題幹說明時多加條件解釋,此外函數圖形之作 圖,在國中教材中先以描出多個點作為引入,往後再進一步討論不同函數其圖形. ‧. 具有之性質,但因國中教科書中並未提及絕對值函數圖形,依研究目的,僅著重. sit. y. Nat. 在學生是否能應用所學之絕對值相關概念,藉此判斷解題策略,並由學生答題表. al. er. io. 現瞭解學生在絕對值的錯誤原因,因此,研究者設計本題選項時特意安排使用刪. v. n. 去法即可得出最佳的答案。以上述之理念,編製圖形向度之題型,請見下頁:. Ch. engchi. 30. i n U.

(40) ( )已知 y  f ( x)   x 的圖形如右,. y. 則 y  g ( x)   x 的圖形應為下列哪一個? O. (A). y. y. (B). (D). x. x. O. O. O. 政 治 大 (F). (E). y. 立. O. y. y. O. x. 學. x. ‧. 請說明選擇此選項的原因:. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 31. x. y. (C). x. ‧ 國. 1.. i n U. v. O. x.

參考文獻

相關文件

The study applies Discriminate Analysis to discuss the aspects of Junior high school students living Adjustment Scale and then develops a scale to be the standard of Junior

In order to serve the fore-mentioned purpose, this research is based on a related questionnaire that extracts 525 high school students as the object for the study, and carries out

The purposes of this research was to investigate relations among learning motivation, learning strategies and satisfaction for junior high school students, as well as to identify

The purpose of the study aims at discussing the important factors of affecting junior high school students in aboriginal areas in terms of learning mathematics.. The research

This purpose of study was to realize, as well as the factors of influence of information technology integrated in teaching by junior high school special education teachers in

This study was conducted to understand the latest situation between perception of principal‘s leading role and school effectiveness in junior high schools, and

It aims to understand the authentic English learning adjustment of junior high school students in remote area and to compare the difference between the family background and

The purpose of this study was to investigate the current situation of multicultural literacy and intercultural sensitivity of junior high school teachers in Taichung