與絕對值相關概念之研究

國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第三節 與絕對值相關概念之研究

距離這一個概念在連結人類日常生活是相當普遍的，然而學生在絕對值相關 概念的理解與解決問題卻無法完整掌握（洪碧芳，2003），其中一個主要原因來 自學生對於絕對值的形式定義不了解(Parish, 1992)，因此教師在教材教學方面是 否為真正建立強而有力的連結，使學生在學習絕對值時，減少錯誤概念之迷失，

本研究針對目前對於絕對值相關概念之研究進行整理，冀提供教學者作為參考，

縮短學生在絕對值相關概念迷思資料之蒐集時間，提高有效教學之成效，本節研 究者就學生在絕對值相關概念之錯誤類型與學習困難之原因、教學上的研究兩方 面分別匯總如下，其中錯誤類型及原因之分類為研究者整理歸納而出：

一、學生對於絕對值相關概念之錯誤類型及原因，

1. 數線上兩數距離概念之錯誤

因學生在學習絕對值時，由於部分教科書定義絕對值的意義是某數 與原點的距離，此時他們會瞭解一般我們所指的「距離」是不會有負的，

所以絕對值才不會有負號；但學生會混淆「距離」與「坐標」的意義，

忽略坐標上有方向之區分，誤認為在原點左方的數若與原點相距N單位，

則坐標為N ，而不是N（張立群，2003）。

i. 錯誤使用距離非負數的觀念，而忽略在數線上的坐標因方向的差異 會有產生正負符號的表徵（張立群，2003）。例如：高雄台南在台 南方 50 公里，以台南為原點，向北為正，2 公里為一單位，學生 認為距離沒有負數，因此高雄代表的數為 25。

ii. 當學生接觸的練習題量多的時候，學生會發現某些題型有一定的作 答方法可循，產生過度依賴以往作答經驗作答，於是面對題型相似 的題目，錯誤解答的學生有時希望用曾做過的方法來解題，或是希 望直接使用算術的運算方式，組合題目中的數字，以獲得答案（李 靜瑤，1994）。例如：高雄台南在台南方 50 公里，以台南為原點，

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

向北為正，2 公里為一單位，則學生認為高雄所代表的數為：52

（50+2）、48（50-2）、25（50÷2）或 100（50×2）（張立群，2003）。

iii. 概念不清楚，將片面知識混用，例如：解決絕對值方程式x3 5 時，學生的答案為x8（金玉麒，1987）。

iv. 有些學生可以將兩數差的絕對值視為兩點間的距離，但卻無法將兩 個已知數和的絕對值視為兩點間的距離（洪碧芳，2003）。例如：

4 2

 表示 (A)點-2 與 4 的距離 (B) 點-2 與-4 的距離 (C) 點-3 與原點的距離 (D)點(-2+4)與原點的距離 (E)其他。

2. 文字判讀與了解題意方面

張景媛（1994）提出，學生對於某些關鍵字不瞭解，會造成學生解 題上的困擾，而有時解題也會受前一題題型的影響，誤用解題策略，或 者是題目的描述語言及語意結構亦會影響學生的判斷（楊瑞智，1990），

金玉麒（1987）的研究也指出，學生因為不了解題意，而無法正確作答。

i. 受相似題目混淆干擾，誤認為「絕對值等於 5 的數」與「絕對值小 於或等於 5 的數」題目相同（張立群，2003）。例如：絕對值等於 5 的數，學生的答案是「0、^1、^2、^3、^4」或「0、^1、^ 2、^3、^4、^5」。

ii. 誤認為題目中只要有「絕對值」的詞彙，答案就應該要加上絕對值

（張立群，2003）。例如：哪些整數的絕對值小於 4？學生回答是

4、3、2、1、 0 、 1 、 2 、 3 、 4 。

iii. 受題目所給予的其他條件影響，誤將絕對值錯認為其他條件（張立 群，2003）。例如，題目先問-12 的相反數，再問 8 的絕對值，學 生的答案是 8 的相反數-8。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

3. 概念建構不完整，忽略答案完備性

數學教材在國中階段開始循序漸進建構出數系，於是題型變化增加，

經常出現給予不同的數系範圍，可能是限制答案的範圍或個數，或者是 增加答案的範圍或個數，而缺乏完整概念之學生在解題時，常會忽略題 目的條件或是答案的完備性。

i. 忽略絕對值內的數字可以為任意數，尤其是負整數或 0(張立群，

2003；Almog & Ilany, 2012)。例如，絕對值等於 5 的數，學生的答 案只有 5 或-5 其中之一；哪些整數的絕對值小於 4？學生僅回答出

1、2、3 及4；解絕對值不等式 x 0時，學生認為 x 可為

任意實數 R ，忽略當x0時， x 0。

ii. 忽略絕對值的數值可能為 0。(張立群，2003；Almog & Ilany, 2012)，

例如；解絕對值不等式 x 0時，學生認為 x 無解，因該生對於絕 對值的認知為「一個數的絕對值一定比 0 大」。

iii. 只考慮整數解(金玉麒，1987；Almog & Ilany, 2012)。

例如：若x2，則求 1 1x 之值。題目設計循序漸進之小題

（1） 1x = 、（2）1 1x = 、（3） 1 1x = 。 產生錯誤之學生僅能計算數字之絕對值，一旦題目再加上x2之 條件，便無法使用正確解答策略，於是僅以數字代入答案，對不等 式概念不清，例如學生以x3代入，得到 1x  1(3) 2；

1 2 1 ) 3 ( 1 1 1

1 x        ，則 1 1x =1。

另一例子：解絕對值不等式 x 3時，學生錯誤類型有二，其一錯 誤解為x4或x4，學生忽略 3 與 4 之間存在其他非整數解；

另一錯誤解為x4,5,6或x4,5,6，學生誤認為舉出數個符合

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

此不等式之整數解即可，因此以最接近3且符合的數個整數為解 答，完全忽略非整數之解。

4. 以偏概全，將絕對值與相關觀念混淆

在學生學習一個概念時，常會與先前所學過的概念做比較，歸納出 符合個人想法的結論，因此常出現錯誤的歸納，亦或是如刺激反應連結 論中所主張：學得的經驗會彼此干擾，而造成觀念的混淆。

i. 誤認為比較絕對值的數值大小就是比較其數的大小（金玉麒，1987；

張立群，2003）。例如： 7  2 ；如數線所示：比較｜甲｜、

｜乙｜、｜丙｜的大小

學生的解題想法就是比較甲、乙、丙的大小，因此學生的答案是乙

＞甲＞丙。

ii. 誤認為比較絕對值的大小就是將此數到原點之距離「由近至遠」或

「由遠至近」寫出，將距離的大小與數線上的位置混淆（張立群，

2003）。例如：如數線所示：比較｜甲｜、｜乙｜、｜丙｜的大小

學生誤認為就是比較甲、乙、丙的大小。學生會認為要比較

｜甲｜、｜乙｜、｜丙｜的大小就是將甲、乙、丙與原點之距離「由 近至遠」排序，所以答案是甲＞乙＞丙；或「由遠至近」寫出來，

答案是丙＞乙＞甲。

iii. 忽略絕對值，而誤將絕對值當作括號來處理（金玉麒，1987；洪碧 芳，2003；張立群，2003）。例如：7 7；51516；

2 4 6 4

6    

 。

iv. 誤用絕對值為非負數的值，認為絕對值內的值必為非負數(金玉麒，

丙 ０ 甲 乙

丙 ０ 甲 乙

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

1987；Almog & Ilany, 2012)，例如：解 x  y1 z2 0，學 生沒有 x 0的概念，只是很直覺地想到 0+0+0=0，而寫出答案；

解絕對值不等式 x 0時，學生認為絕對值必為非負數，故 x 0之 解為x0。此時，學生無法分辨絕對值內的值與絕對值外的值之 差異。

v. 數的絕對值是本身及相反數（金玉麒，1987；洪碧芳，2003），例 如 2 2；51 6

vi. 認為正數的絕對值是負數（洪碧芳，2003），或是存在某數的絕對 值為負數（張立群，2003）。例如， 乙 1，學生的答案乙1 或者是乙1、-1。

vii. 錯誤使用去絕對值運算規則，即當x0，則 x x

（－5 (5)＋5），學生自我加強了「絕對值內為負的，就要變 號」這樣的運算規則，因此將所有看見的『－』變號為『＋』，將 其絕對值內性質符號變號或減法換成加法，例如： 43 437

（洪碧芳，2003）。

5. 無法正確使用未知數之表徵

根據皮亞傑的發展認知理論，國中生屬於具體運算階段(concrete operational stage)（7~12 歲）與形式運算階段 (formal operational stage)

（12~15 歲）之間，學生漸能將具象思維提升到抽象思維，然而對於初 學者，帶有未知數之符號文字仍是一個具有難度的課題。洪碧芳（2003）

指出，學生反應絕對值內有帶有未知數的題型相較於只含數字的絕對值 運算要難的多，且在作答時沒有辦法與所得的經驗相連結。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

i. 對於一個已知負數屬於具體數值，當學生看見一個未帶有性質符號 負號『－』的數字時，便可直接判斷此為非負數，因此容易套用此 規則至文字符號上，把 x 當作正數，把 x 當作負數，故誤認為

x

x  (Sink, 1979；金玉麒，1987；洪碧芳，1990、2003；Almog

& Ilany, 2012)，例如：解 x8 7時，學生認為x8為正數，因 此只考慮x87的狀況。

ii. 金玉麒（1987）的研究顯示很少人答對1 －x 3的解，一是絕 對值與不等式概念混和，另一方面是 －x 更使學生覺得迷糊。

iii. 無法根據情境，列出相關的絕對值方程式，並解決問題（洪碧芳，

2003）。例如：阿珠重 63.5公斤，阿花重y 公斤，兩人相差幾公 斤？ (A) 63.5 + y (B) y − 63.5 (C) 63.5 – y (D) 63.5 y (E) 63.5y (F)其它；台中某日由上午6點到下午6點氣溫的變化是，先上升攝 氏3度後再下降5度，那麼上午 6 點與下午 6 點的溫差應該如何計 算？ (A) 5－3 (B) 3－5(C) 3＋5 (D) 35 (E)其它 。

iv.

複雜的文字符號干擾絕對值概念，因此在增加條件限制之下，學生 更容易出錯(金玉麒，1987)，例如：

設 a 、b為任意非零的實數，令

c c b b a

K  a  

（1）當a0、b0時， K 的值是

（2）當a0、b0時， K 的值是

（3）當a0、b0時， K 的值是

（4）當a0、b0時， K 的值是

學生在（1）、（2）、（3）小題的錯誤率較高，而做對者大多以數字 代入而求出答案。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

二、教學上的研究

絕對值相關概念對學生來說是一個全新的符號概念，在學習的當下是比較困 難的，因此國內外有些教學上的研究與建議，從瞭解學生錯誤概念，修正教師教 學策略：

1. 重視正向遷移對學生學習之影響

由認知心理學的觀點來看，學生會受先前學習知識的影響而主動建構或

「發明」知識，因此學生先前學習的知識對於當下所接觸的新概念，可能有 正向之影響，稱為正向遷移；但也有可能造成干擾，稱為反向遷移。數學的 學習是新知識不斷與舊經驗的聯結(Siegel, 1981；Shuell, 1990；蘇慧娟，1998)，

因此原有概念的重要性不言而喻，張立群（2003）建議在教授新概念時，教 師應使用適當的教學策略重新喚起學生對此部分的觀念，並適時修正先前學 習中不正確的觀念。

2. 以具體解釋抽象

金玉麒（1987）、洪碧芳（2003）指出運算性質的認識，教學上要從日 常生活中，取具體問題為教材，從具體引導至抽象的數，再延伸到符號化的 式，以建立完整的學習歷程。Sink (1979)也發現對於學生在學習絕對值內為 文字符號方面容易產生混淆，因此進行教學『當 x ＜0 時， x 為正數』之 概念時，教師應特別注意舉實際數字為範例進行說明，例如：當x4時，

4 ) 4 ( 





x ，故 x 為正數。

善用數線之表徵，運用代數意義與幾何意義交互引證，金玉麒（1987）

指出在學生常犯的絕對值錯誤中，多數都能以實際的數在數線上說明絕對值 的意義，像是學生犯了2 2、 0 0等錯誤時，可引導學生畫出數線，

並將點坐標標上，強調一個數的絕對值就是該數與原點的距離概念，加深學

並將點坐標標上，強調一個數的絕對值就是該數與原點的距離概念，加深學

在文檔中 國中學生在絕對值相關問題之概念錯誤研究 - 政大學術集成 (頁 24-32)