第四章 研究結果與分析
第三節 不同能力學生的「長度」概念之資料分析
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一、 高能力學生之答題情形
高能力學生在本向度達到完全正確的程度，研究發現高能力學生能明確表達 出長度及距離的同義關係，也能將移動後的長度視為位移（無方向性）以下舉高 能力學生 S13 為例：
【4B 數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度可以寫成 116 】
S13：如果要從坐標 6 移動到坐標 11 的那個長度就一定是 11 跟 6 的距離，所以 我覺得這也可以這樣寫。
【4C. 116 等於數線上坐標-6 向左移動到坐標-11 的長度】
S13：C，我想說-6 跟-11 的距離是 5，那 11-6 的絕對值也是 5，所以也可以這樣 解釋。
【4D 116 等於數線上坐標點 11 向左移動 6 單位後與原點的距離】
S13：D，我覺得說 11-6 的絕對值是 5，然後如果從數線上 11 往左移動到 6，也 是到 5，5 到原點的距離也是 5。
【4E 數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置坐標等於 116 】
S13：E 的話，坐標 11 往左移動到 6，那就覺得就是 11-6 那個坐標就是 5。
T：那妳覺得這一整題，妳解題的關鍵是什麼？
S13：我有幾個選項是直接算出它們的值。
T：那其他選項咧？
S13：就是用那個點跟點的距離。
而對於未知數文字符號的表徵，高能力學生也能確實瞭解其涵意，並且能舉 出反例，或是將敘述用正確的式子表示之：
【7D x5 等於數線上某一點坐標為 x 移動到坐標 5 的長度】
S13：我覺得|x-5|就很像就在數線上 x 移動到 5 的，就是它們兩點的距離。
T：所以妳的意思是說，移動到什麼位置的長度，跟它們兩個的距離是一樣的嗎？
S13：恩！
【7E 數線上坐標-5 移動到某一點坐標為 x 的長度可以寫成 x5 】
S13：我覺得如果從-5 移動到 x 的話應該要是相減，那如果要寫的話，要寫|x-(-5)|。
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【7G x5 等於數線上某一點坐標為 x 向左移動 5 個單位後與原點的距離】
S13：我覺得 x-5 應該是數線上 x 往左移動 5，然後移動 5 之後的那個坐標，與原 點的距離就是一樣的。
學生 S26 對於解題能用絕對值距離方式表達移動的長度，與其他訪問學生較 為不同的是，該生多採用數字驗算之方法：
T：嗯哼，你覺得你在判斷這個選項的時候，是用到哪一些概念？
S26：沒有甚麼概念，就是移動跟計算的意義。
T：就是計算他的絕對值然後去比對對不對?
S26：對!就是移動了之後的結果跟計算之後的結果是不是一樣的。
【7D x5 等於數線上某一點坐標為 x 移動到坐標 5 的長度】
S26：坐標 x 如果是大於 5 的話，那它減掉 5 的話，算出來是正數，本來就應該 是，該怎麼說，就是把 5 到 x 的距離畫出來，再把 x 到 5 的距離畫出來，那如果 x 是正數的話，本來就是 x 到 5 的那段距離，那如果 x 是負數的話，x-5 雖然會 是負數，但是加上絕對值就會是正數，那就剛好會是 x 到 0 的距離加上 0 到 5 的 距離。
【7E 數線上坐標-5 移動到某一點坐標為 x 的長度可以寫成 x5 】 S26：因為，假設 x 坐標隨便代一個數字進去的話，假設是 1 好了，
T：恩！
S26：那 1-5 的話，算出來是 4，但是 1 到-5 的距離是 6，應該是 x-(-5)，才會是 我們要的。
二、 中能力學生之答題情形
在研究中發現，對於點與點移動的長度判別，中能力的學生也能瞭解移動的 長度與距離同義，但若是將移動的長度及與原點的距離放在一起，學生便會發生 錯亂的現象，其中一個原因是學生在未知數的文字符號上發生困難，例如：中能 力學生 S28 之訪問過程：
【4B 數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度可以寫成 116 】
S28：B…因為坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度就是等於它們兩個之間的距離所 以呢，也可以寫成|11-6|一樣會等於 5。
T：那妳接下來的解題想法是一樣的嗎？
S28：恩！
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T：都是用什麼想法或是解題策略？
S28：它們的距離會相同，加上絕對值也會相同。
【7D x5 等於數線上某一點坐標為 x 移動到坐標 5 的長度】
S28：就跟 B 選項的時候一樣，用距離表示。
（B 選項之訪問：
S28：距離…呃…恩…就假如 x 在某一點，就跟 5 的距離會相等，就不管在哪邊 跟 5 的距離會相同，所以 x-5 就會等於 5-x。
T： x-5 就會等於 5-x？
S28：的絕對值。）
【7E 數線上坐標-5 移動到某一點坐標為 x 的長度可以寫成 x5 】 S28：也一樣。
T：妳有確定一樣嗎?
S28：是阿…(看了一下)…ㄟ…可是，也是有可能的。
T：怎麼說有可能，妳可以寫在旁邊？
S28：ㄟ…不可以能，這裡是-5……我算一下。
S28：因為如果-5 的位置是在這，離-5，如果 x 是負數的話，離-5 就會等於 x+5，
或是-5-x，不可能得出 x-5，如果 x 是正數的話，這樣 x 只能減-5，也是 x+5，不 可能得出 x-5。
T：所以妳覺得這是錯的。
【7G x5 等於數線上某一點坐標為 x 向左移動 5 個單位後與原點的距離】
T：G 呢?為什麼認為它錯？
S28：有可能向右，不一定向左。
T：為什麼有可能向右？
S28：恩……喔，假如這個是-5 的點，那 x 不知道哪個點，ㄟ，寫錯了是 5，那 跟 x 的距離…不一定是 x-5 與原點的距離。
T：那妳看一下 4D，妳覺得有相似嗎，妳剛剛有解釋說是對的。
S28：喔~~~也跟上面一樣！
S28：我看不懂題目。
T：那為什麼上面哪題妳可以看懂？
S28：因為這個多了一個 x。
T：所以在未知數出現的時候會發生問題？
S28：有的時候會發生問題。
T：為什麼？
S28：因為不知道 x 是什麼，假設會很多。
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另一種是學生 S41 在解讀題目時，因為受到前面類似題型的干擾，而做了錯 誤的解讀：
【4D 116 等於數線上坐標點 11 向左移動 6 單位後與原點的距離】
T：第 4 題 D 你沒勾選的原因是什麼？
S41：因為它是 11 到 6 的距離，並不是說 11 移動 6 之後跟原點的距離，ㄟ，是 嗎？
T：你再解釋一次？
S41：等一下(看了一下)…ㄟ…好像可以耶！
T：為什麼？
S41：11-6 等於 5 嘛，所以它的確是它到原點的距離，所以應該是正確的。
T：恩！
S41：我好像當初被那個兩個點的那個…
T：被兩個點什麼?
S41：我一開始想成 11 跟 6 的距離，所以那個講法不通，可是我現在想過一遍之 後就發覺好像它講的並沒有錯。
【4E 數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置坐標等於 116 】 S41：E 是…向左移動…好像也沒錯。
T：為什麼又突然沒錯？
S41：11-6 它的坐標的確是 5，就等於 11-6 的絕對值。
T：那你當初為什麼沒有勾選呢？
S41：我好像一直被兩個坐標的那個…
T：那個是？
S41：那個兩個坐標的距離就是相減，我那時候就是只是這樣想，所以題目沒有 看得很清楚。
【7G x5 等於數線上某一點坐標為 x 向左移動 5 個單位後與原點的距離】
T： 你看一下 7G 和 4D 這兩題的敘述，有什麼不同？
S41：恩…問的好像是一樣的。
T：為什麼 7G 和 4D 你的答案不一致？
S41：因為上面我就一直想成距離，這裡我是用代數字，所以就覺得是對的。
至於中能力學生 S32，則是在解讀題目時，認為題目多加一些不必要的條件，
如果去掉條件也能成立，或是過度的解讀，自行創造出某種對應之關係，所以認 為此選項有問題，因此在訪問過程中更改了自己原本的答案：
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【4D 116 等於數線上坐標點 11 向左移動 6 單位後與原點的距離】
S32：恩…它是等於這裡到這裡的距離沒有錯，那我為什麼沒有勾，我可以補嗎？
T：所以妳現在認為它對了？
S32：對，因為它是可以當作距離來講沒有錯。
【4E 數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置坐標等於 116 】
S32：坐標 11 向左 6 單位後的坐標位置是這個沒錯，但是我覺得用絕對值的表示 感覺不太對。
T：為什麼不太對？
S32：因為如果我換個數字像是坐標-11 移動 6 單位後是負的，就不能用絕對值表 示。
T：恩，那題目上的這句話是對的嗎？
S32：對阿，只是我覺得應該不用加絕對值就會對了。
【7D x5 等於數線上某一點坐標為 x 移動到坐標 5 的長度】
S32：然後這個沒有錯，因為它也可以解釋成距離。
【7E 數線上坐標-5 移動到某一點坐標為 x 的長度可以寫成 x5 】 S32：坐標-5 移動到某一點坐標為x 的長度可以寫成|x-5|，好像可以耶！
T：為什麼可以？
S32：因為-5 移動到 x…ㄟ…不對…是-5-x。
T：所以?
S32：這題答案應該是-x-5 的絕對值。
【7G x5 等於數線上某一點坐標為 x 向左移動 5 個單位後與原點的距離】
S32：(念過題目後)恩…跟原點的距離吧…對！
T：妳這裡都把 EFG 的答案改過，是為什麼？
S32：想到的東西不一樣。
T：什麼不一樣？
S32：那時候是直接想 x-5 就好，可是它好像…因為它是-5，沒有注意到負號，
如果還要加負的話就變正。
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三、 低能力學生之答題情形
在研究中發現，對於點與點移動的長度判別，低能力的學生容易與向左或向 右的方向混淆，例如，學生 S05 容易產生『向右為正（用加法），向左為負（用 減法）』的移動觀點，因而錯誤解釋移動後的距離，並且容易忽略距離是單指兩 數或兩位置間的長度，或兩數間相差的值，因此遇到負數的移動，或是與負數的 距離之相關題目，該生便容易產生抗拒，以下是與學生 S05 的訪問內容：
【4B 數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度可以寫成 116 】 S05：是一樣的，只是看到數字會猶豫吧！
【4C. 116 等於數線上坐標-6 向左移動到坐標-11 的長度】
S05：我看不懂，只要是代上負號的我通常很多東西都會看不懂。
T：為什麼？
S05：會有點緊張。
T：那妳現在多給妳時間再思考一下。
S05：我覺得不對是因為我覺得它是正的，它是負的，因為-6 到-11 就是要減阿，
負 5 阿，它算出來是加 5 不就是正 5 嗎，所以我覺得應該是錯的。
T：所以妳覺得-6 向左移動到-11 應該是負 5，為什麼是負 5?
S05：移動到他那邊，如果加 5 的話就是-1，如果是減 5 的話就是-11。
T：所以是減 5 的意思？
S05：恩恩？？
T：那妳看這個有兩個字叫長度，什麼是長度?
S05：反正就不是負數，就是有小數點、分數都沒關係。
T：所以如果我們只看後面這一句「數線上坐標-6 向左移動到坐標-11 的長度」
妳覺得是什麼？
S05：-5 阿！
T：妳剛剛說長度不是負數。
S05：喔~~是正的，我以為跟理化很像，向西方就是減的感覺。
【4D 116 等於數線上坐標點 11 向左移動 6 單位後與原點的距離】
S05：我那時候覺得 CD 這兩題很像。
T：那妳再看一下。
S05：我比較不清楚與原點的距離。
T：那我們分段看~移動 6 單位後的位置到哪？
S05：5。
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T：那 5 跟原點的距離是多少？
S05：5，喔~~我懂了！
【7D x5 等於數線上某一點坐標為 x 移動到坐標 5 的長度】
S05：D 選項之前在學距離的時候說過，兩個東西相減再掛上絕對值就是可以表 示它的長度。
T：所以呢?
S05：所以我就給他打勾了。
由此發現該生在處理正數的兩點距離問題時，較有信心答對，且能做正確判斷。
由此發現該生在處理正數的兩點距離問題時，較有信心答對，且能做正確判斷。