第四章 研究結果與分析
第一節 絕對值定義概念資料分析
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第四章 研究結果與分析
本研究依「絕對值相關概念試題本」結果將學生分為三類，分別為高、中、
低能力組，每組選取男女生各 2 名學生，共 12 名學生進行開放式無結構訪問，
藉由與學生訪問之內容，瞭解學生想法，及分析在絕對值相關概念中錯誤的原因。
本章將分為絕對值定義概念資料分析、各向度不同能力學生之資料分析、學生態 度量表資料分析及綜合資料相關分析共八小節。
第一節 絕對值定義概念資料分析
本研究設計絕對值相關概念試題本之第一部分為開放式問題，以瞭解學生對 於絕對值的概念理解採取哪一向度為主要解題策略，在正式測驗中，學生對於絕 對值定義的解釋方式，包含第 2 題第 2 小題：在數線上解釋 3 及第 3 題第 2
小題：在數線上解釋 26 中，研究者將學生的解釋方式分為以下幾種，其中 A、B、C 為研究者之歸納，D 為學生的用語：
A. 在數線上某數到原點的距離 B. 數線上兩數間的距離
C. 任意數的絕對值為正數（或非負數）
D. 用以去掉負號的值（符號）
E. 無法回答或空白
其中 A、B 研究者分屬於絕對值之幾何概念；C、D 屬於絕對值之算術概念，
以下研究者以整體分組表現及參與訪問之分組表現各別進行說明分析：
一、 絕對值定義之整體分組表現
在參與測驗之有效樣本 54 位學生中，約有 4 成的學生可以使用絕對值之幾 何定義解釋絕對值，其中多數學生採取「A.絕對值就是在數線上某點到原點的距
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離」來解釋，佔 4 成中的 78%；而約有 5 成 5 的學生可以使用絕對值之算術定義 來解釋絕對值，其中 90%的學生採取「B.任意數的絕對值為正數（或非負數）」
來解釋，且使用此選項的學生多以『不管絕對值內為正數或負數，加上絕對值後 變成正數』此類敘述呈現；以「D.用以去掉負號的值」來解釋者，僅有 0.5%； 無 法回答或空白之學生也占 0.5%。
本研究發現，在所有不同能力分組的學生當中，能力高之學生雖然多數是使 用幾何觀點來解釋絕對值，但仍擁有正確絕對值算術法則一定之程度，中、高能 力兩組的學生中，各有 1、3 位學生在解釋絕對值時有多重解釋表現：高能力組 S24 解釋絕對值為「與原點的距離、正數或負數的絕對值都為正數」、中能力組 S28 解釋絕對值為「讓負數和正數變為正數、兩者為相反數放入絕對值會變成同 樣的正數、可當作距離」、中能力組 S32 解釋絕對值為「在絕對值之內的數出來 必為正數、通常用以表示距離」，以及中能力組 S45 解釋絕對值為「與原點的距 離或是兩數間的距離」；反之，能力越低的學生越是偏用算術觀點來解釋絕對值，
甚至低能力組的學生沒有人使用距離之幾何觀點解釋絕對值。其各能力學生在絕 對值定義說明表現歸納如下表 4-1-1。
表 4-1-1 各能力學生在絕對值定義解釋表現 組別 統計
數值
A B C D E A、C A、B
小計
高能力 現(人數) 全組表 8 1 3 1 0 (S24) 1 0 14
中能力 現(人數) 全組表 6 3 12 1 1
2
(*S28、
*S32)
1
(*S45) 26
低能力 現(人數) 全組表 0 0 11 1 2 0 0 14
合計 總表現 14 4 26 3 3 3 1 54
*代表為有參與訪問之學生
本開放式問題當中有兩小題設計為解釋絕對值在數線上的表示法，在第 1
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題的統計中，研究發現低能力組學生在解釋絕對值時，皆使用算術定義來說明，
因此研究者特別關注學生在解釋絕對值定義及在數線上表示絕對值之表現，研究 者將學生在數線上表示絕對值的情況分類如下：
F. 能將 3 解釋為在數線上原點 0 與-3 的距離、 26 解釋為在數線上-2 與-6 的距離
G. 能將 3 解釋為在數線上原點 0 與-3 的距離、 26 解釋為在數線上 6 與 2 的距離
H. 將 3 解釋為在數線上點 3 的位置、 26 解釋為在數線上點 4 的位置
I. 將 3 解釋為在數線上原點 0 與 3 的距離、 26 解釋為在數線上原點 0 與 4 的距離
J. 無法解釋或空白
低能力學生在解釋絕對值定義時，皆以「在絕對值之內的數出來必為正數」
的算術觀點理解絕對值（目前暫不討論此種說法概念之缺陷），因此在第 2 題及 第 3 題中在數線上解釋 3 及 26 中，無人正確使用距離的想法來解釋，例 如 S05 的實際作答情形如下圖 4-1-1。
圖 4-1-1 S05(女)絕對值定義概念實際作答圖
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S07：一樣阿！
T：為什麼？一樣的點在哪？
S07：就是正的嘛！
T：什麼是正的？
S07：數字阿～-3 加絕對值就變成正 3。
T：還有嗎？
S07：距離是正的。
T：還有嗎？
S07：ㄟ…沒有…………現在一片空白。
T：好，沒關係，我們看一下你第 2 題解釋|-2+6|是怎麼作的 S07：就是這個算出來變成 4 阿！
T：恩恩！
S07：所以 0 到 4 之間就是 4 格的距離。
從資料中研究者發現中能力的學生，有超過一半的人將 3 解釋為在數線
上點 3 的位置、 26 解釋為在數線上點 4 的位置，且以此解釋的學生當中有 四分之三的人在第 1 題解釋絕對值時是以算術概念為方法，因此中能力學生中，
仍有多數學生在距離的解釋上有所困難；然而能知道某數的絕對值就是該點與原 點的距離之學生多半能正確解釋數線上單一數字的絕對值，但當絕對值內含兩個 數字相加減時，此兩點距離之概念易混淆或其概念不完整，例如，以下學生均可 以解釋 3 為數線上原點 0 與-3 的距離，但在數線上無法把 26 視為兩點距 離：S18 把 26 解釋為在數線上點 4 及點-4 的位置、S49 解釋 26 在數
線上點 4 的位置，因為他認為 26 就是 0 為原點，先往後 2 格再往前 6 格，
該生雖正確解釋了-2+6 在數線上移動的涵意，卻沒有將絕對值之『與原點的距 離』概念作結合、S33 將 26 解釋為在數線上-2 到 6 的距離，表示該生應 具有絕對值可表示為兩點距離的能力，但是卻忽略距離的算法是相減後加絕對值，
須將-2+6 化成-2-(-6)，而非直接由數字（-2）與（+6）取距離。另外認為絕對值 就是把任意數化為正數的學生中，有兩位學生（S21、S39）無法利用數線解釋 3 ，
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能力學生為佳。本研究雖在「絕對值相關概念試題本」中，能用正確幾何概念表 達之學生未達 5 成，但詳細分析學生之答題表現時，發現兩名學生應可歸屬在具 有能力之範圍中，其一：S22 能將 3 解釋為數線上原點 0 與-3 的距離，也能將
6 2
解釋為 0 與 4 的距離，但在數線上無法卻正確標示出來，其二：S48 在
解釋 3 與 26 時空白未作答，該生恰好為參與訪問學生之一，在訪問中 該生表示當時懶得寫，所以選擇空白，但該生在訪問中明確表達出數個正確的兩 點距離關係，其訪問過程如下：
T：你在試題中是怎麼解釋絕對值的？
S48：就像上面寫的阿！在數線上 0 與某數之間的距離。
T： 那麼第 2 題你怎麼沒有解釋絕對值-3？
S48：因為我懶得寫。
T： 那你現在用說的好了。
S48：絕對值-3 等於絕對值 0 減 3，所以就是 0 跟 3 的距離。
T：恩！
S48：絕對值-2+6 就是 0 跟-2+6 的距離。
T：有沒有別的距離表示法，不是跟 0 的距離？
S48：就是用兩數相減，2 跟 6 的距離。
T：還有嗎?
S48：-2 跟-6 的距離。
因此，若將以上兩位學生列入在具有解釋絕對值之幾何概念的能力範圍中，則有 5 成之高能力學生能使用正確的距離概念，整體高能力學生在絕對值定義及數線 上表示絕對值之相關表現，如下頁表 4-1-4。
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在訪問過程中，研究者針對學生在絕對值概念的描述進行再次釐清，並且詢 問訪問學生能否以不同於紙筆測驗中之方法解釋絕對值，中、高能力組 8 位學生，
均可以明確說出其它解釋，S26、S48、S45、S28 原試題上以「在數線上某數到 原點的距離」解釋絕對值，在訪問中均使用到「任意數的絕對值為正數（或非負 數）」之概念；S34、S32 原試題上以「數線上的兩點距離」來解釋，而在訪問中 補充解釋，能正確使用移動後與原點的距離如下：
T:你在解釋絕對值的時候只寫了絕對值ａ，為什麼？
S34：沒想這麼多。
T:那如果現在要你解釋你會怎麼說？
S34：就是兩個數的距離。
T:你可以舉例嗎?
S34：那就用這個 0 跟-3 的距離就是絕對值-3。
T:那如果你這樣解釋的話，絕對值-3 跟絕對值 3 用距離來解釋呢?
S34：呃…距離…它們的距離是一樣的，恩，雖然他們是不同的點，但是他們跟 0 的距離是相同的。
T:可以再說清楚一點嗎？
S34：絕對值-3 是-3 到 0 的距離，絕對值 3 是 3 到 0 的距離。
T:第 3 題的例子絕對值-2+6，你是用距離嗎？
S34：不是，我就直接算出答案，就是 4。
T: 那如果用距離來解釋，可以嗎？
S34：-2+6 是正數，所以直接直接把絕對值拆開就是 6-2，那就是坐標 6 向左移 2 個距離就是 4。
T:那你覺得你現在這個講法跟剛剛跟絕對值-3 的講法一樣嗎?
S34：不一樣。
T:可以用一樣的講法嗎?就是你剛剛說的兩點間的距離。
S34：喔～我知道了，就是 6 跟 2 之間的距離是 4，對對對。
S32：恩，像這個|-1|跟|1|在數線上距離是一樣的，如果取這裡是 0，當絕對值裡 面的是正的時候，就是正向，如果裡面是負的話就是反向，因為它們兩個的距離 出來還是一樣的數字。
T：所以妳的意思是說絕對值 1 就是 0 的右邊距離 1？
S32：對！
T：絕對值-1 就是？
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S32：0 的左邊距離 1。
T：好，那妳|-3|是這樣解釋的？
S32：對！
T：那妳說|-2+6|是以原點而言，反向走 2 單位再正向走 6 單位的位移？
S32：對，所以它的總位移是 4。
T：那妳可不可以不用位移，而用距離的想法來寫？
S32：就是從原點來說，在負向距離 2 的地方再往正向走 6 步，然後最後距離原 點的位置吧！
至於高能力學生 S13、中能力學生 S41 在原試題中解釋絕對值為「任意數的 絕對值為正數（或非負數）」，在訪問中 2 位學生均能說出絕對值之幾何解釋，且 其中 S41 皆能正確說出絕對值內含單一數字及絕對值內含兩數加減之距離關係，
反觀 S13 對於絕對值內只有一個數在數線上的解釋可以很快反應，但是在兩點間 的距離時，直覺反應出現了錯誤，將 26 誤認為是-2 跟 6 的距離，在先前中 能力學生中亦有 3 位學生發生同樣的錯誤狀況，可見學生在判斷兩數和的絕對值 時，易發生此類錯誤，訪問過程如下：
T：你認為無論什麼數值放進去都會變成正的，這個的數值指的是什麼？
S13：無論是分數，恩，正數或是負的。
S13：無論是分數，恩，正數或是負的。