第四章 研究結果與分析
第二節 不同能力學生的「無向距離」概念之資料分析
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【7 B. x5 5x 】
S13：B 的話感覺就好像再問說|x-5|就是 x 跟 5 的距離，然後|5-x|就是 5 跟 x 的距 離。
T：嗯哼！
S13：然後都加了絕對值都一樣。
【7 F. x5 等於數線上某一點坐標為 x 與-5 的距離】
S13：如果是|x-5|我覺得應該是 x 跟 5 的距離。
【9(4)已知 x 為任意數，並且1x6，那麼x3 x10可以化簡為 。】
S13：這題我是用拆絕對值的方法做的。
T：那請妳說一下妳是怎麼解的？
S13：因為 x 大於 1，所以 x+3 就是正的，所以就直接可以把絕對值拆掉，然後 因為 x 小於 6，所以 x-10 是負數，所以要多加括號及一個負號，式子就變成 x+3-(x-10)，所以答案就是 13。
T：那你可以用距離想法去解這題嗎？
S13：…是兩點距離嗎?x 到 10 的距離，和 x 到-3 的距離…如果畫在數線上，x 介 在 1 和 6 之間，所以跟-3 的距離是|x-(-3)|，跟 10 的距離是|x-10|…所以就可以發 現距離是 13 (學生解法畫圖如下圖 4-2-1)。
圖 4-2-1 S13(女)解釋題目 9(4)之實際圖解
此外，高能力學生能明確地了解題目所用到的概念，也能明確舉出敘述的反 例，或是敘述出通用的式子及正確的解題策略，並且運用代入適當的數字作為檢 視驗算。以 S26 為例：
【4A. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離】
S26：就是….我不知道該怎麼解釋耶！
T：你怎麼想就直接說就好，你是怎麼想就把它寫出來。
S26：就是，一個數減一個數的絕對值就是兩個數之間的距離。
【4F. 6 和 11 相差的值可以用 116 來表示】
S26：相差的值應該不會用負的來表示，所以，就是用大數減小數的絕對值跟小 數減大數的絕對值，這樣算出來的值就是相差值。
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【7 B. x5 5x 】
S26：兩個數如果都不改變…就是…A-B 的絕對值會等於 B-A 的絕對值。
T：為什麼？
S26：恩…不知道該怎麼說為什麼…也不是誰跟我講的啦，我通常都是習慣就是 代數字進去算阿，就是我正數已經帶進去算了，是對的，然後代負數也是一樣的。
T：所以你都是代數字？
S26：對阿，通常這種題目都是代一正一負進去看看是不是，成不成立。
【7 F. x5 等於數線上某一點坐標為 x 與-5 的距離】
S26：就是假設 x 坐標是 2 好了，它與-5 的距離應該是 7，可是|x-5|算出來只有 3 而已，所以這個距離不會相等。
【9(4)已知 x 為任意數，並且1x6，那麼x3 x10可以化簡為 。】
S26：因為 x 大於 1 小於 6，所以 x+3 一定是正數那絕對值就直接去掉，然後 x-10，
因為 x 小於 6，所以 x 小於 10，所以 x-10 絕對值中算出來是負數，如果要把絕 對值去掉的話，就要把兩個數字改成大的減小的。
在高能力組中，此向度僅只有一人未全答對，訪問中該生表示，在閱讀題目 過程中，因為在文字敘述上斷章取義，而造成錯誤，以下是 S48 之訪問過程：
【4A. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離】
T：請你解釋下面各選項你是怎麼判斷對錯的?從 A 選項開始。
S48：我再看一下…恩…為什麼我不勾耶？
T：什麼意思？
S48：我現在認為它是對的，應該是那時候沒看清楚。
【4F. 6 和 11 相差的值可以用 116 來表示】
T：F 為什麼勾了又畫掉？
S48：相差的值有可能是…ㄟ相差的值是正的，我那時候可能想說因為是差，所 以要減，有可能是 6-11。
T：那你現在覺得？
S48：相差的值就是那個，就是正的。
【7 B. x5 5x 】
S48：就是用原點的距離跟絕對值的想法去做。
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【7 F. x5 等於數線上某一點坐標為 x 與-5 的距離】
S48：對阿…因為有可能 2-3 跟 3-2 的絕對值都是一樣。
【9(4)已知 x 為任意數，並且1x6，那麼x3 x10可以化簡為 。】
S48：就 x 是正數，所以就把絕對值拆掉，阿它又小於 6 所以 x-10 要顛倒過來才 會是正的。
經由訪問釐清學生想法後，此向度高能力學生幾乎達完全能掌握概念之程度，
從以上高能力學生的解題策略來看，在第 9 題的第 4 小題，高能力學生都是選擇 使用去絕對值的運算法則處理，而非使用兩點間之距離來說明，但因高能力學生 具備絕對值的幾何概念，故在訪問中要求學生以距離觀點重新解釋時，學生能很 快反應（見高能力學生 S13 之訪問過程）。
二、 中能力學生之答題情形
在中能力 4 位學生的表現中，S45 及 S41 在解釋絕對值幾何概念中的無向距 離想法較為正確，雖不如高能力學生在表達上流暢，但在給予充分的時間或是引 導，這兩位學生大致上都可以描述不同題目之共通點，及正確的概念。以 S45 為例，訪問過程如下：
【4A. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離】
S45：|11-6|是 11 到 6 的距離，而它後面寫的可解釋 6 到 11 的距離，距離是一個…
一個…怎麼講，距離都是 5。
T：恩！
S45：然後 6 到 11 的距離也是 5，所以我打勾。
【4F. 6 和 11 相差的值可以用 116 來表示】
S45：解釋跟上面蠻接近的。
T：所以你覺得相差的值跟什麼蠻接近的？
S45：距離，所以也是可以用這個吧！
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【7 B. x5 5x】
S45：呃…x-5 就是 x 到 5 的距離，所以會等於 5 到 x 的距離，裡面的距離是一樣 的，可是意思不一樣。
【7 F. x5 等於數線上某一點坐標為 x 與-5 的距離】
S45：喔…這跟上面的一樣，應該是 x 到 5 的距離，或者是-5 到-x 的距離。
至於另 2 位中能力學生在第一部分開放式問題中，皆回答出多重解釋：「絕 會值就是與原點的距離」及「無論絕對值內為正數或負數，出來的值都是正數」， 但這 2 位學生在訪問中明顯採取不同的概念策略，S28 偏向依照題目的敘述，利 用算術的方式處理問題，S32 則是偏向使用解釋基本的距離概念，例如，第 4 題 A 選項中 S32 採取距離的方式解釋；而 S28 則用算術規則判斷正確與否，其訪問 比較內容如下：
【4A. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離】
S32：因為對我來說絕對值就是距離的意思，所以|11-6|就是可以當作是 6 跟 11 的距離… (看了 20 秒)…呵呵…沒看到。
T：怎麼了?
S28：是對的。
T：為什麼？
S28：因為|11-6|=5，6 到 11 的坐標也等於 5。
【7 B. x5 5x 】
S32：然後他們兩個的距離其實是一樣的。
T：是誰跟誰的距離？
S32：x-5 的距離跟 5-x 的距離，就是它可以是 x 走到 5 也可以是 5 走到 x，就是 正向和反向，所以距離是一樣。
S28：這個，如果 x 都代同樣的數字進去的話，假如代 2，|2-5|=3，5-2 的絕對值 也等於 3，所以它就是對的。
T：那妳可以用距離來解釋嗎？
S28：距離…呃…恩…就假如 x 在某一點，就跟 5 的距離會相等，就不管在哪邊 跟 5 的距離會相同，所以 x-5 就會等於 5-x。
T： x-5 就會等於 5-x？
S28：的絕對值。
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【7 F. x5 等於數線上某一點坐標為 x 與-5 的距離】
S32：然後，F 也不對，應該是 x 與 5 的距離吧！
S28：…嘿嘿…應該我看錯了！
T：哪裡看錯？
S28：這個就跟上一題問得很像。
然而這 2 位中能力學生 S32、S28 都對於「相差」的概念不甚瞭解，她們都 認為只要是「相差」就要使用減法，但是對於是否要用絕對值表示，產生困擾，
因為以往經驗都是以大數減小數，因此在結合新的絕對值概念時無法做適當連結，
認為只要拿兩數相減即可。
【4F. 6 和 11 相差的值可以用 116 來表示】
S32：他們兩個差的值，加絕對值也對啦，只是我覺得不加絕對值也可以耶！
T：那我加了絕對值之後，這句對不對嗎？
S32：還是對啦！
T：那如果我改個敘述，6 和 11 相差的值可以用 6-11 來表示，這樣對嗎？
S32：差的話通常是大的減小的。
T：為什麼是大的減小的？
S32：…恩…(無法回答)…所以它的差也可以是-5 嗎？
T：妳覺得咧？
S32：好像可以。
T：所以我也可以小減大？
S32：恩！
T：F 為什麼沒有打勾呢？
S28：6 跟 11 的相差如果是用 6-11 的話就是-5，就不可以用|11-6|來講，因為|11-6|=5，
兩個相差是-5。
T：所以妳覺得相差是-5？
S28：恩！
由上述訪問內容中發現，S32 在概念上是模擬兩可的狀態，並不瞭解「相差」
為什麼是「大數減小數」的規則，而 S28 認為兩數相差的值就是拿前面的數減去 後面的數，所以相差的值會有正負之區分，當題目問「6 和 11 相差的值」就應
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該用 6-11 來算，該生在相差的概念想法明顯是錯誤的。
此向度的最後一題，第 9 題的第 4 小題，中能力學生與高能力學生的解題測 略大同小異，其中有 3 位中能力學生（S41、S45、S32）與高能力學生採取相同 的「去絕對值法則」進行運算，舉例如下：
【9(4)已知 x 為任意數，並且1x6，那麼x3 x10可以化簡為 。】
S45：這題因為1x6，正的可以直接去掉絕對值，負的要顛倒減，所以我把 它化簡成 x+3+10-x 就等於 13。
而學生 S28 因偏用算術策略，因此她採取代入多個數，此題以嘗試錯誤的方式計 算，發現只要符合範圍，無論 x 代入什麼數，皆可使 x3 x10都得到相同的 答案，因此該生便認為此數即為所求，但此方法是極端作法，對於所以相同類型 的題目，並非通解，所以當再次遇到這樣的題型時，該生的策略便無法適用。
【9(4)已知 x 為任意數，並且1x6，那麼x3 x10可以化簡為 。】
T：這題為什麼妳寫答案是 13？
S28：因為它說 x 大於小於 6，所以我就代 2345 進去，發現出來都是 13，所以答 案就是 13。
T：如果我把題目的問題改成x3 x1，然後這個1x6條件不變，那你會怎 麼做？
S28：恩…一樣代看看…恩 (代了 2345 進去)…呃…跟剛剛不一樣。
T：那你解得出來嗎？
S28：有點難，不知道怎麼辦。
T：那你可以利用距離的方法去算嗎？
S28：…ㄟ…也有點難。
在此題中 S28 無法判斷絕對值內含兩個數字和或兩個數字差的幾何概念（兩 點間的距離），再加上未知數的干擾，讓學生不知如何下手解題。
三、 低能力學生之答題情形
研究中發現低能力學生 S05 產生判斷策略的障礙，在於解釋兩點間的距離時，
對於相似題目的轉換會受以往經驗之干擾，對於解決問題，該生有將做過的題目 強記的傾向，所以在與該生進行訪問時，該生時常出現：以前看過或是以前教過
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這類的反應，因此對於題目敘述改變，該生即會產生困擾，可見兩點間的無向距 離，對於該生具有一定的困難度：
【4A. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離】
S05：我記得我之前就是這樣算出來的。
T：怎麼叫做算出來？
S05：因為我覺得我國文可能理解能力有問題吧，所以我一開始看不是很懂。
T：哪裡看不懂？
S05：可能就是說坐標 6 跟坐標 11 阿，它就用 11-6，不過我會想說，有時候不是 可以用 6-11 嗎?有時候我會搞混之類的。
T：妳覺得什麼時候用 6-11 什麼時候用 11-6？
S05：就是有時候數字可能是大的減小的，可是在學的時候又有小的減大的，可 能我就會搞錯吧！
T：那如果我把 A 選項改成 11-6 解釋坐標 11 跟坐標 6 的距離，妳覺得對嗎?
S05：如果是我，我會覺得是對的。
T：那坐標 11 跟坐標 6 的距離和坐標 6 跟坐標 11 的距離有不一樣嗎?
S05：沒有吧！
T：是一樣的嗎？
T：是一樣的嗎？