第四章 研究結果與分析
第六節 不同能力學生的「絕對值函數圖形」概念之資料分析
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學生錯誤判斷未知數的正負之原因，多數來自誤認為一個式子最前面出現負 號時，此式子的值就是負號，且此情形在未知數中更為明顯，因為多半無法理解 未知數是任意數，未知數可能為正數也可能為負數，因此誤認 x 為正數而 x 必 為負數。各能力學生皆容易忽略 0 的絕對值是非負數，誤用了「無論絕對值內是 正數或負數出來都是正數」之概念，所以解題當下做了錯誤判斷，某些學生在提 問之下能發現忽略 0 的絕對值是非負數。
第六節 不同能力學生的「絕對值函數圖形」概念之資料分析
針對絕對值的綜合概念運用，研究者設計以絕對值函數圖形為判斷學生在絕 對值概念中，是否達到各層面之能力。函數圖形之作圖，在國中教材中先以描出 多個點作為引入，往後再進一步討論不同函數其圖形具有之性質， 因此發現多 數學生在無法直接判斷用何種概念解題時，會使用描點的方式過濾選項或是找出 符合之選項。另外，學生亦會使用絕對值為非負數的概念，使用刪去法刪去不可 能的答案，此法雖不是絕對值函數作圖之正解，但是依研究目的，研究者設計本 題選項時，僅著重在學生是否能應用所學之絕對值相關概念，藉此判斷解題策略，
並由學生答題表現瞭解學生在絕對值的錯誤原因。
在研究中顯示，中、高能力學生在此向度之答題正確率較低能力學生來得高，
選擇錯誤選項有可能是因為未注意到題目中的限制條件，因此高能力學生在答題 表現中，較接近正確答案；另一部分原因來自低能力學生在絕對值算術概念不夠 完善，因此增加圖形及未知數干擾下，低能力學生無法使用正確概念或判斷出圖 形不符合絕對值之處。不同能力學生在絕對值函數的答題情形及答對率統計表，
請見下頁表 4-6-1。
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【10. 已知y f(x)x的圖形如右，則y g(x) x 的圖形應為下列哪一 個？】
T：第 10 題妳是用代點的方式作的？
S13：恩！
T：妳確定答案嗎？
S13：確定！
T：如果我們不要用代點的方式的話，妳可不可以判斷出圖形？
S13：…（想了一下）可以！
T：怎麼解釋？
S13：因為他說 f(x)=-x，然後第二個是 g(x)=|-x|，那如果在絕對值裡面的-x 改成 f(x)的話，看旁邊的圖就可以了。
T：怎麼看的？
S13：因為 f(x)=-x，那放到絕對值裡面之後，都會變成正的，在右邊的圖裡面，
把右下角的那條會變成負的，把它往上調就可以了。
由此可見此學生在絕對值圖形中，能明確瞭解絕對值為非負數，並且將圖形利用 正負含數值對稱之想法進行解題。
【11. 請問y f(x) x5，並且符合x2的圖形最有可能為下列哪一個？】 T： 好的，11 題，妳也代點之後就選 L，為什麼？
S13：因為題目說 x 小於等於 2，所以我就從 2 往下代，就算完之後就選 L。
T：那我好奇耶，為什麼不選 F？
S13：喔…我沒有看到。
T：妳當初沒有看到這個選項喔？
S13：恩。
T：那妳覺得哪個比較正確？
S13：F。
T：為什麼？
S13：因為 F 在最右下角那裏有一點，往左上延伸，就代表往右下就沒了，但是 往左就都可以繼續代其他點。
T：恩。
S13：但是 L 的話就是那幾個點了。
T：是的，那如果不描點的話妳可以找到答案嗎？
S13：可以，因為題目說ｘ小於等於 2，所以要從 2 往左畫，然後因為它有絕對 值，所以都是正的。
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學生 S34 以描點方式進行解題，但在第 10 題的描點中只將 x 代入 0 及負數，
因此認定此圖形必為一直線，因此判斷錯誤；而 11 題因完整考慮到題目所給的 限制，因此依照絕對值為非負數的概念即推出正確解答，其訪問內容如下：
【10. 已知y f(x)x的圖形如右，則y g(x) x 的圖形應為下列哪一 個？】
T：第 10 題為什麼妳選擇 A？
S34：我先找圖形點(1,-1)，因為它的方程式是這個。
T：恩。
S34：那所以說，-x，假設 g，喔它一定會通過原點(0,0)，所以就…恩…等下…所 以如果 x=1 的話，y 就等於絕對值-x，-x 就是-1，所以說絕對值-1 就等於 1，所 以先找有沒有這個相符的，然後這個沒有這個沒有這個也沒有(用刪去法刪去 DEF)。
T：恩。
S34：然後…這應該要怎麼說…恩…它一定是一條直線。
T：為什麼妳覺得是一條直線？
S34：因為它就是 x 一個數字就是一個解。
T：恩，一個數字就是一個解，所以就是一條直線？
S34：對，所以刪掉 BC，就只剩下 A。
T：那我問一下，妳覺得只代一個點夠精準嗎？
S34：ㄟ…阿…我想錯了… 我看看，如果 x=-1 的話，阿，對應該是 B。
T：為什麼又突然改答案了？
S34：因為我剛代-1 的時候，y=1，所以說它的點可能是在這裡，所以只有這個 答案符合。
T：那有沒有可能有別的想法，不代點用數字算，而得到答案？利用到題目給妳 的圖形。
S34：恩…我想一下。
T：好。
S34：可以，g(x)=絕對值-x，就是這個不管怎麼解都是正數，所以 y 一定是正數 所以只要 y 坐標有到負的就不行，所以就是 B。
而高能力學生 S48 能使用幾何對稱觀點，利用題目所給的已知條件精準地選 出正確選項，代表該生在絕對值相關概念非常熟練：
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【10. 已知y f(x)x的圖形如右，則y g(x) x 的圖形應為下列哪一 個？】
S48：就 y=g(x)就是它一定是正的，因為它掛上絕對值，所以 y 一定是正數，就 這樣。
T：那你可以用 f(x)的圖形去做這題嗎？
S48：ㄟ…把負的變成正的，把原來-x 算出來的負數，掛上絕對值就變成正的。
T：恩。
S48：所以對稱摺上去。
T：把哪裡對稱摺上去？
S48：就是 y 是負的地方。
【11. 請問y f(x) x5，並且符合x2的圖形最有可能為下列哪一個？】 S48：這個加上絕對值之後，最小的數就是 3，就是 x 帶入 2，就是 x 代 2，y 最 小是 3，然後 x 越小，y 就會越大。
T：嗯哼！
S48：所以要選 F。
至於學生 S26，在之前的向度中，該生多偏向使用代入數字的算術策略解釋 題目，因此在研究中顯示該生無法靈活直接使用未知數思考，因此在判別時容易 出現困難。訪問過程中，多次未經過研究者提問，該生就能發現自己的錯誤，因 此若是給予充裕的時間，該生較能正確處理此類型題目，與學生 S26 訪問內容如 下所示，該生作答情形如圖 4-6-1：
圖 4-6-1 S26(男)解決題目 10 實際作答圖
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S26：我覺得選錯了。
T：為什麼？
S26：我不太會寫這題。
T：那如果你再想一次，你會選什麼？
S26：看一下…我覺得應該是 B，但是不知道應該怎麼解釋。
S26：我看一下…恩…呃…不太知道…我看不太懂題目說什麼。
T：請你再把題目念一遍。
S26：（念過一遍後）… x 是可以隨便代一個數字進去嗎？
T：我們以前在畫函數圖形的時候，不就是舉好幾個 x 的數值進去算出 y 的嗎?
S26：恩，對…所以我覺得答案是 B。
T：為什麼？
S26：因為-x 的絕對值根本不可能是負數，所以 y 不可能小於 0。
T：那你當初為什麼寫|-x|=x？
S26：因為|-x|代出來會跟 x 一樣。
T：真的嗎？
S26：ㄟ…不是嗎?喔…不是喔…那 x 是正數的時候是對的，但是 x 是負數的時候 不成立。
T：為什麼那時沒想到？
S26：當初想太急了。
【11. 請問y f(x) x5，並且符合x2的圖形最有可能為下列哪一個？】 T：從上一題到這裡，你會想改 11 題的答案嗎？
S26：11 題喔，會，但是我不知道這個虛線是什麼意思。
T：這是由點所構成的圖形，因為只有某些特定的 x、y 的解才符合函數，所以畫 出這個點點的圖。
S26：就不是線型函數。
T：恩。
S26：我覺得應該是 C。
T：為什麼？
S26：因為有加絕對值，所以函數值不會有小於 0 的數，有可能等於 0 但是不可 能小於 0。
T：那你這個題目還有沒有條件沒有用到？
S26：…x 小於等於 2 的圖形…喔…所以是 F。
二、 中能力學生之答題情形
中能力學生 4 人中，兩題皆答對者只有學生 S45，該生完整地討論 x 之值域，
代入一正一負的兩個 x 值進行計算描點，再輔助絕對值為非負數之概念，因此能
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做出正確判斷，但若是要該生利用y f(x)x圖形解題，該生無法判斷絕對值 與圖形關係：
【10. 已知y f(x)x的圖形如右，則y g(x) x 的圖形應為下列哪一 個？】
S45：10 我是代兩個點，一個正一個負，就可以描點。
T：你下面解釋的原因寫絕對值出來為正數，請你解釋一下這句。
S45：因為 y 出來的值一定都是正數，所以圖形一定都是在上面，一定是 B。
T：你都沒有用到 f(x)給你的圖形，有沒有可能用到圖形解釋呢？
S45：呃…暫時想不到。
【11. 請問y f(x) x5，並且符合x2的圖形最有可能為下列哪一個？】 S45：其實是點的話就可以全部刪掉，因為它沒有說分數或小數點都不行，所以 一定是一直線。
T：恩。
S45：然後有限制是從 x<=2，一定有個點開始，所以是 EF，然後 y 是正的所以 是 F。
此外，中能力學生 S32、S28 處理第 10 題時，多數直觀產生x x之錯誤 概念，並且誤認為 x 為正數而 x 必為負數，因此判斷只要將圖形改變斜率（或 是學生所說的直線走向），並且研究發現中能力學生容易混淆想法，而忽略絕對 值均為非負數之算術概念。以 S32 為例：
【10. 已知y f(x)x的圖形如右，則y g(x) x 的圖形應為下列哪一 個？】
T：10 題妳選 A 是為什麼？
S32：我記得暑假有教到方程式前面的 a 如果是正數的話，圖形就往上走，是負 數的話就往下走，他說這個 f(x)是-x，所以它是負數往下走，加絕對值就是正數，
所以往上。
T：妳說的加絕對值變正數的意思是什麼？
S32：是|-x|出來變成 x，是正的，所以往上走。
T：所以妳的意思是 x 是正數，-x 是負數？
S32：對。
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T：那妳想想如果我們今天 x 代-1。
S32：…咦…什麼？
T：妳剛剛說 x 是正的，可是 x 是不是可以代-1，那 y 不就是變成 1？
S32：那就變成正的啦。
T：所以我們不能說看到 x 就說是正數，-x 是負數。
S32：咦…那我不能說 x 是正數嗎？
T：x 是不是一個變數，它可以是 0，那麼對應到的點就是(0,0)？
S32：恩！
T：x 是-1，那對應到的就是點(-1,1)。
S32：對喔！x 可以變…恩！
T：那答案要選哪一個？
S32：還是 A。
T：為什麼？
S32：那就處理那個負號就好，圖形就是反的。
T：妳試試看描點代數字看看，盡量考慮到正負數跟 0。
S32：這是原本的，那如果這樣出來就會…ㄟ…不管怎樣都會是正的。
T：恩。
S32：就是 B。
T：為什麼會這樣？
S32：因為我忘記 y 都要是正數。
T：妳有發現哪裡有問題嗎？
S32：有！
T：哪裡？
S32：因為他出來都不會是負數，可是 A 的 y 有負值。
T：妳看妳把|-x|化成 x 是不是就會有問題？
S32：恩。
【11. 請問y f(x) x5，並且符合x2的圖形最有可能為下列哪一個？】 S32：11 題我好像就代數字，代 x=2,10,-1,-2，算出來是 34567，可是我只有代整 數，可是還有其他的，所以不會是點點的，所以點的就先不要理它。
T：恩。
S32：所以畫出圖來就是 F。
T：那第 10 題的時候怎麼沒有想要代點？
S32：當初覺得這個比較簡單，就沒有想要描點。
S32：當初覺得這個比較簡單，就沒有想要描點。