第五章 研究討論與建議
第四節 建議
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第四節 建議
一、 教學上的建議
1. 加強絕對值之幾何概念
現行國內國中教科書中，絕對值概念介紹所佔之篇幅非常小，而在課程內容 豐富的狀況下，安排絕對值相關例題的空間有限，研究者發現目前教科書皆以幾 何觀點解釋絕對值，但在研究中顯示，普遍學生在數線上表示距離的能力遠低於 絕對值的計算能力，而幾何概念清晰的學生在解決絕對值相關類型時，有較佳的 表現。因此建議教師在進行絕對值的教學時，增加學生在數線上表示距離的練習，
並加強在數線上表示距離的呈現方式，包含與原點的距離、兩點間的距離及變化 點移動後的距離…等牽扯到方向變化的題目，加強學生幾何概念，並協助學生釐 清「移動後的長度」、「移動後的位置與原點的距離」及「相差」與「距離」之同 義關係。
2. 加強絕對值之幾何概念及算術概念間的轉化
從研究發現，多數中低能力學生對於絕對值幾何及算術定義無法活用，針對 不同題型進行轉化，而傾向使用單一算術概念，以至於無法解決所有絕對值相關 概念之題型。金玉麒（1987）也指出運用代數意義與幾何意義交互引證，有助於 釐清學生對於絕對值相關概念的迷思，因此建議教師在教學時多強調不同題目的 算術解法與幾何解法多元觀點，讓學生熟悉兩者間的轉換，亦可多給予學生練習 分辨的機會。
3. 使用最正確之教學口訣幫助學生建立正確概念
學生容易依本身舊經驗結合新概念或自行發現的解題技巧，而將概念定義簡 化為容易記頌的口訣，因此產生錯誤之迷思概念，因此在教學中協助學生使用正 確口訣，將會讓學生減少錯亂的現象，例如：多數學生認知絕對值就是「無論絕
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對值內是正數或負數出來都是正數」，可改為「任何數的絕對值為非負數」，並加 強非負數指的是所有正數及 0。
4. 訓練學生以解釋概念舉出正例與反例
在訪問過程中，研究者發現能明確舉出題目反例的學生，代表該生真正瞭解 此概念，並且能正確判斷題幹說明，因此，多鼓勵學生解釋概念並舉出正反例有 助於幫助學生隨時釐清概念。
5. 提高提問技巧
因本研究採取訪問之質性方法蒐集資料，因此與學生多次的訪問中發現，學 生會從教師的提問用詞及語調，臆測老師想要獲得什麼答案，而選擇回答方式，
因此在教學現場中，若要更精準瞭解學生真實想法，對於不同的教學目的，教師 需使用不同的提問方式，如此一來可達到最大成效；例如採用開放式問句，你認 為如何？或是適當使用具有提示效果的問法，當然提問方式會因為各種外在因素 而異，並非適用所有情境，例如學生個人與教師之間關係、學生對語意的解讀等，
有賴教師本身視情況而定。
二、研究上的建議
1. 本研究對象僅包含研究者個人所任教之九年級學生，建議可擴大研究對 象人數，或是對於各年級分別進行討論，更能代表全體學生在此單元之 表現。
2. 因本研究僅討論學生在絕對值相關概念中所可能發生的錯誤概念，建議 未來可加入更多向度的分析，例如函數概念、文字符號等不同因素對學 生判斷解題之影響。
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附錄一
絕對值概念預試試題本
班 號 姓名：
作答說明：
1. 這份測驗的主要目的是想了解你對於『絕對值』概念的學習情況，在試題中 都留有空白空間，希望你利用此空間寫下所有計算過程，讓我們能清楚了解 你的解題過程。
2. 請勿塗改任何過程，若有寫錯的地方請直接劃掉或打『×』，例如：1234。
3. 本試題共 36 題，請同學每題都作答，盡量不要空白。感謝你的協助！
第一部分暢所欲言
1. 你認為什麼是「絕對值」？請詳細說明，並舉例。
「絕對值」就是：
2. 你認為 3 是什麼？請詳細說明。你覺得 3 可以在數線上解釋嗎?
怎麼解釋?
你認為 3 和 3 有哪些關連性？
3 就是：
3 □可以 □不可以 在數線上解釋(請在□打) 如果可以請解釋：
3 和 3 有哪些關連性？
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3. 你認為 26 是什麼？請詳細說明。你覺得 26 可以在數線上解 釋嗎?
怎麼解釋?你認為 -26 和 26 有哪些關連性？
第二部分 計算思考題
4. 關於 27 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打(可複 選)
□Ａ. 27 5 5
□Ｂ. 27 27
□Ｃ. 27 (27)
□Ｄ. 27 72
□Ｅ. 27 5或 5
6 2
就是：
6 2
□可以 □不可以 在數線上解釋(請在□打) 如果可以請解釋：
6 2
- 和 26 有哪些關連性？
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5. 關於 116 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打(可 複選)
□Ａ. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離
□Ｂ. 116 等於數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度
□Ｃ. 116 等於數線上坐標-6 向左移動到坐標-11 的長度
□Ｄ. 116 等於數線上坐標 11 向左移動 6 單位後與原點的距離
□Ｅ. 116 等於數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置
□Ｆ. 6 和 11 相差的值可以用 116 來表示 6. 請計算下列各絕對值：
(1) 10 。 (2) 209 。
7. 請完成計算絕對值的過程：請於□中填入、
(1) 712 (□ 7 )(□12)
(2) 已知x為大於 3 的任意數，則 x1 (□x)(□1)= 。 8. 關於 x5 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打
□Ａ. x5 一定是正數
□Ｂ. x5 5x
□Ｃ. x5 1
□Ｄ. x5 等於數線上某一點坐標為x移動到坐標 5 的長度
□Ｅ. x5 等於數線上坐標-5 移動到某一點坐標為x的長度
□Ｆ. x5 等於數線上某一點坐標為x與原點的距離
□Ｇ. x5 等於數線上某一點坐標為x與-5 的距離
□Ｈ. x5 等於數線上某一點坐標為x向左移動 5 個單位後與原點的 距離
9. 請根據以下各題所給的方程式，求出所有符合之x的數值:
(1) x 2，x = 。 (2) x5 0，x = 。 (3) x5 1，x = 。 (4) x3 4，x = 。
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10. 請化簡下列各題(化簡指的是不使用絕對值來表示，可以使用未知數之 式子形式表現)：
(1) 假設 k 為正整數，那 k 可以化簡為 。
(2) 假設 k 為負整數，那 k 可以化簡為 。
(3) 假設 k 為任意實數，那 k 可以化簡為 。
(4) 已知x為任意實數，且1x6，則 x3 x10可以化簡 為 。
11. ( )已知y f(x)x的圖形如右，
則y g(x) x 的圖形應為下列哪一個？
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
請說明選擇此選項的原因：
y
O x
O y
x y
x O
x y
O
y
x O
y
x O
y
x O
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12. ( )請問y f(x) x5，且x2的圖形最有可能為下列哪一 個？
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
(G) (H) (I)
(J) (K) (L)
請說明選擇此選項的原因：
y
O x x
y
O
O y
x y
x O
y
O x
y
x O
y
x
O x
y
O
y
O x y
O x
y
O x
y
x O
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附錄二
絕對值概念正式試題本
班 號 姓名：
作答說明：
1. 這份測驗的主要目的是想了解你對於『絕對值』概念的學習情況，在試題中 都留有空白空間，希望你利用此空間寫下所有計算過程，讓我們能清楚了解 你的解題過程。
2. 請勿塗改任何過程，若有寫錯的地方請直接劃掉或打『×』，例如：1234。
3. 本試題共 30 題，請同學每題都作答，盡量不要空白。感謝你的協助！
第一部分暢所欲言
1. 你認為什麼是「絕對值」？請詳細說明，並舉例。
「絕對值」就是： 舉例：
2. 你認為 3 是什麼？請詳細說明。你覺得 3 可以在數線上解釋嗎?
怎麼解釋?
你認為 3 和 3 有哪些關連性？
3 就是：
3 □可以 □不可以 在數線上解釋(請在□打) 如果可以請解釋：
3 和 3 有哪些關連性？
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3. 你認為 26 是什麼？請詳細說明。你覺得 26 可以在數線上解 釋嗎?
怎麼解釋?你認為 -26 和 26 有哪些關連性？
6 2
就是：
6 2
□可以 □不可以 在數線上解釋(請在□打) 如果可以請解釋：
6 2
- 和 26 有哪些關連性？
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第二部分 計算思考題
4. 關於 116 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打(可 複選)
□Ａ. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離
□Ｂ. 數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長度可以寫成 116
□Ｃ. 116 等於數線上坐標-6 向左移動到坐標-11 的長度
□Ｄ. 116 等於數線上坐標點 11 向左移動 6 單位後與原點的距離
□Ｅ. 數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位置坐標等於 116
□Ｆ. 6 和 11 相差的值可以用 116 來表示
□Ｇ. 116 611(611)
5. 請計算絕對值： 920 。
6. 請完成計算絕對值的過程：請於□中填入、，並寫出化簡後的答 案。
(1) 712 (□ 7 )(□12)= 。
(2) 已知x為大於 3 的任意數，則 x1(□x)(□1)= 。 7. 關於 x5 的敘述，你認為下列哪些是正確的?正確請在□內打
□Ａ. x5 一定是正數
□Ｂ. x5 5x
□Ｃ. x5 1
□Ｄ. x5 等於數線上某一點坐標為x移動到坐標 5 的長度
□Ｅ.數線上坐標-5 移動到某一點坐標為x的長度可以寫成 x5
□Ｆ. x5 等於數線上某一點坐標為x與-5 的距離
□Ｇ. x5 等於數線上某一點坐標為x向左移動 5 個單位後與原點的 距離
8. 請根據以下各題所給的方程式，求出所有符合之x的數值:
(1) x 2，x = 。 (2) x 40，x = 。 (3) x3 4， x = 。 (4) x5 1， x = 。
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9. 請化簡下列各題(化簡指的是不使用絕對值來表示，可以使用未知數之 式子形式表現)：
(1) 假設 k 為正整數，那 k 可以化簡為 。 (2) 假設 k 為負整數，那 k 可以化簡為 。 (3) 假設 k 為任意數，那 k 可以化簡為 。 (4) 已知x為任意數，並且1x6，那麼 x3 x10可以化簡
為 。
10. ( )已知y f(x)x的圖形如右，
則y g(x) x 的圖形應為下列哪一個？
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
請說明選擇此選項的原因：
y
O x
O y
x y
x O
x y
O
y
x O
y
x O
y
x O
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向度 問題
情境 作答錯誤題號 錯誤題數
距離 無向距離 數字 4A 、 4F
符號 7B 、 7F 、 9(4)
學生答題情況 訪問記錄
4Ａ. 116 可以解釋為數線上坐標 6 和坐標 11 的距離
4Ｆ. 6 和 11 相差的值可以用 116 來 表示
7Ｂ. x5 5x
7Ｆ. x5 等於數線上某一點坐標為
x與-5 的距離
9(4)已知x為任意數，並且1x6， 那麼 x3 x10可以化簡
為 。
向度 問題情境 作答錯誤題號 錯誤題數
距離 長度 數字 4B 、 4C 、 4D 、 4E 符號 7D 、 7E 、 7G
學生答題情況 訪問記錄
4B 數線上坐標 6 向右移動到坐標 11 的長 度可以寫成 116
4Ｃ. 116 等於數線上坐標-6 向左移 動到坐標-11 的長度
4D 116 等於數線上坐標點 11 向左 移動 6 單位後與原點的距離
4E 數線上坐標 11 向左移動 6 單位後的位 置坐標等於 116
7D x5 等於數線上某一點坐標為
x移動到坐標 5 的長度
7E 數線上坐標-5 移動到某一點坐標為x
的長度可以寫成 x5
7G x5 等於數線上某一點坐標為
x向左移動 5 個單位後與原點的距離
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向度 問題情境 作答錯誤題號 錯誤題數
方向感 正負數運算 數字 4G 、 5
符號 8(1) 、 8(2) 、 8(3) 、 8(4)
學生答題情況 訪問記錄
4Ｇ. 116 611(611) 5. 920 。 8(1) x 2，x= 。 8(2) x 40，x= 。 8(3) x3 4，x= 。 8(4) x5 1，x= 。
向度 問題情境 作答錯誤題號 錯誤題數
方向 去絕對值 運算法則
數字 6(1)
符號 6(2)、7A、7C、9(1)、9(2)、9(3)
學生答題情況 訪問記錄
6(1) 712 (□7)(12)
= 。
6(2)已知x為大於 3 的任意數，則
1
x (□x)(□1)
= 。
7Ａ. x5 一定是正數 7Ｃ. x5 1
9(1)假設k為正整數，那 k 可以化簡 為 。
9(2)假設k為負整數，那 k 可以化簡 為 。
9(3)假設k為任意數，那 k 可以化簡 為 。
向度 問題情境 題號 錯誤題數
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圖形 去絕對值運算法則 絕對值函數圖形 10 、 11
學生答題情況 訪問記錄
10.已知y f(x)x的圖形如右，
則yg(x) x 的圖形應為下列哪一個?
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
11.請問y f(x) x5，且x2的圖形最有可能為下列哪一 個？
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
(G) (H) (I)
(J) (K) (L)
x
x x
y
x
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參考文獻 一、 英文文獻
Ahuja, M. (1976). An approach to absolute value problems. The Mathematics
Ahuja, M. (1976). An approach to absolute value problems. The Mathematics