第四章 研究結果與分析
第四節 不同能力學生的「正負數運算」概念之資料分析
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【4G. 116 611(611)】
S13：G，因為 11-6 跟 6-11 加了絕對值之後出來都一樣，然後-(6-11)也是 5，我 也覺得是對的。
【8(1) x 2，x= 。】
S13：絕對值要是 2 的話，絕對值裡面就是正 2 或負 2。
【8(2) x 40，x= 。】
S13：因為絕對值出來的數不會有負的，所以這題無解。
【8(3) x34，x= 。】
S13：絕對值 x+3 要是 4 的話，絕對值裡面就是正 4 或負 4。
【8(4) x5 1，x= 。】
S13：絕對值 x-5 要是 1 的話，絕對值裡面就是正 1 或負 1。
T：恩！
S13：然後-1 找不到。
T：找不到？
S13：ㄟ，有ㄟ，那個時候我好像有點想錯…我也不知道那時候怎麼了？
T：是為什麼？
S13：好像有點緊張。
T：喔，那妳看看未知數會緊張覺得很難嗎？
S13：還好。
而另一位高能力學生 S34 在解釋此向度概念時，與學生 S13 策略不同，該 生使用去絕對值的運算法則解釋，雖基本中心概念同為「無論正負數的絕對值一 定為正數」，但其策略相異：
T：第 8 題妳解題的策略是什麼？
S34：把絕對值直接把可能性用出來，可能是正的可能是負的，像是絕對值 x-5 等於 1，那 x-5 是正的就是 x-5=1，如果是負的，就-(x-5)=1，再把它推出來。
至於高能力學生 S48 在同一題的想法，是逆操作絕對值之「與原點的距離」
具方向概念，來解決問題：
【8(1) x 2，x= 。】
S 48：與 0 之前的距離是 2，所以是 2 和負 2。
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【8(2) x 40，x= 。】
S48：第 2 題絕對無解，因為 0 或正數加上正數不可能是 0。
而該生對於第 4 題的題目敘述中第三個式子產生疑問，原因來自過度的解讀，
自行創造出某種對應之關係：
【4G. 116 611(611)】
S48：G……好像也對…但是又覺得怪怪的。
T：哪裡怪？
S48：數字算出來是對的，但是它好像只能用…就是如果改成-(11-6)那就不行。
T：可是題目現在是這樣寫嗎？
S48：不是阿，但是我心裡覺得怪怪的。
T：所以這樣寫是對的嗎？
S48：對阿？
高能力學生 S26 在解決本向度問題時，明確地表示出絕對值的幾何概念，並 且能使用算術方式驗算自己的想法，在第 8 題的部分也採取方向概念－逆操作絕 對值之「與原點的距離」作為解題策略：
【4G. 116 611(611)】
S26：11-6 的絕對值是 5，6-11 是-5，絕對值後也是 5，那 6-11 是-5 可是加一個 負號是 5，所以三個答案都是 5。
T：嗯哼，你覺得你在判斷這個選項的時候，是用到哪一些概念？
S26：沒有甚麼概念，就是移動跟計算的意義。
T：就是計算他的絕對值然後去比對對不對？
S26：對!就是移動了之後的結果跟計算之後的結果是不是一樣的。
【8(1) x 2，x= 。】
S26：就是正 2 跟負 2 的絕對值都是 2，就是到原點的距離是一樣的。
T：那你是用距離看的嗎？
【8(2) x 40，x= 。】
S26：就是，老師就是教絕對值的時候，就是因為絕對值沒有負數，所以用距離 來解釋的，然後因為某數的絕對值應該大於 0 或是等於 0，所以加上一個正數後，
不可能等於 0。
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二、 中能力學生之答題情形
中能力學生 S28 皆以算術概念進行解題，再進一步詢問能否使用距離概念解 題，該生之答題情形反應出該生具有絕對值距離之逆操作能力，能在數線上表示 距離相同但方向相反之兩數；其中第 5 題的錯誤，該生表示是因為看錯題目，與 該生之訪問內容如下：
【4G. 116 611(611)】 T：G 呢?妳是怎麼判斷的？
S28：我就把三個都算出來，三個同樣都等於 5。
【5. 920 。】
T：第 5 題為什麼寫錯？
S28：我看錯了。
【8(1) x 2，x= 。】
S28：恩，這個，它說 x 的絕對值是 2，因為只有 x，所以 x 可以代-2 等於 2 也可 以代 2 也等於 2，所以 x 有兩種可能。
【8(2) x 40，x= 。】
S28：再來這個，怎麼解都不會等於 0，因為後面有加 4。
【8(3) x34，x= 。】
S28：再來有兩種可能，…恩…這題我好像是代數字去算。
T：怎麼代？
S28：直覺反應。
T：怎樣的直覺反應？
S28：就是 x+3=4，就是 1 或-7，恩，就是一定要絕對值裡面的數，算出來一定 要是 4 或-4。
T：所以就是絕對值裡面的數要是 4 或-4？
S28：恩恩！
【8(4) x5 1，x= 。】
T：妳後面哪題也是這樣做的嗎？
S28：對！
T：那妳可以用距離來解題嗎？
S28：可以。
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T：怎麼解釋？
S28：畫數線出來，x 有可能是正數或負數，然後這個，它要求出的是 1，那 x-5 要等於 1 的話就是前面一格數，它跟它的距離就會等於 1，就是 6 跟 4，因為兩 個跟 5 的距離都是 1。
反觀中能力學生 S41，在第 8 題各小題中，雖然全部答對，但請該生使用距 離解釋之，該生反應無法與距離作連結：
T：第 8 題的部分我看你都是用解方程式的方法?那你剛剛有講到距離，那有沒有 可能用與上面不同的方法再解釋一次？
S41：你說這些題目。
T：對呀！
S41：感覺好像有，搞不好可以用圖形……想不太到。
中能力學生 S32 與另一位高能力學生 S34 同樣使用去絕對值的運算法則解 釋第 8 題，且該生反應經過練習，可以很快建立解題策略：
S32：根據絕對值裡面的數，不管是正還是負出來的一定是正數，所以出來要等 於 2，裡面就是本來的它或是加負號的它。
T：這個方式是妳自己想的嗎？
S32：因為之前有寫過，寫一兩題就可以反射寫。
T：妳覺得未知數對妳覺得困難嗎？
S32：要想一下。
至於第 4 位中能力學生 S45，在其他題表現與同能力學生 S28 雷同，但在 第 4 題 G 選項，該生直覺反應一個括號外有一個負號時，此數值即為負數：
【4G. 116 611(611)】 S45：喔…這錯得蠻誇張的吧！
T：為什麼？
S45：絕對值出來是正的…ㄟ…是對的…喔！
T：你發現什麼？
S45：我本來以為乍看之下-(6-11)是負的！
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三、 低能力學生之答題情形
低能力學生在本向度皆以算術概念作為解題策略，由研究發現，第 4 題 G 選項此能力學生解釋方式均相同，以試題中學生 S30 為例：
【4G. 116 611(611)】
S30：我就用算的阿~這個等於 5，這個等於 5，但是這個不是絕對值…ㄟ…我好 像算錯了。
T：算錯了嗎？
S30：恩…我算一下。
T：好。
S30：不對.它是正的，我算錯了，這是對的。
T：為什麼你當初覺得不對？
S30：恩…我看到最後一個地方直覺是負的。
該生在此題答錯的原因，是在看到一個括號前有一個負號存在，因此直覺認 為是負數，這與中能力學生 S45 犯了相同的錯誤。
研究中發現，低能力學生在絕對值算術概念不完全理解，常誤用「無論絕對 值內是正數或負數出來都是正數」這樣的概念，產生以偏概全之錯誤經驗連結，
所以無法寫出完整答案，再加上未知數符號運算的干擾，尤其是絕對值內含兩項 以上的式子時，因此對於自己所得出的答案沒有信心，以至於不敢寫上「無解」
這類不是一般數字的答案，或是任意填上一個自認為最接近的答案。：
【8(2) x 40，x= 。】
T：那第 8 題第 2 小題妳寫未知，是為什麼？
S05：因為我覺得不會有負號出現阿！
T：所以 x 有解嗎？
S05：應該無解吧！
T：妳都說無解了。
S05：對阿！
T：所以就寫無解阿！
S05：不能寫未知喔？
T：未知好像就是說我不知道的意思阿！
S05：有耶！
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【8(2) x 40，x= 。】
T：好，那第 2 小題，我看妳有圈起來，為什麼？
S30：因為我覺得怪怪的不會寫？
T：哪裡怪？
S30：一個正的加 4 不會是 0 阿！
T：恩。
S30：所以我想不到答案是什麼？
T：那妳為什麼寫 4？
S30：因為妳說盡量不要空白。
T：妳記得我們以前有學過如果沒有正確的合理答案可以怎麼寫？
S30：無解喔？
T：對阿，妳怎麼沒想到？
S30：我怎麼會沒有想到咧，對阿，我也想問自己。
【8(2) x 40，x= 。】
S01：因為要負的.所以要在絕對值外加負號。
T：你覺得你所寫的-|4|值是多少？
S01：-4。
T：所以 x 是-4 嗎？
S01：不是阿！
T：那怎麼辦?如果是這樣你再算一次會寫什麼答案？
S01：不知道。
T：為什麼不知道？
S01：不知道。
T：這時候|x|要等於多少？
S01：-4 阿！
T：你找的到|x|=-4 嗎？
S01：找不到阿！
T：所以 x 有解嗎？
S01：沒有阿！
T：所以 x 怎麼寫？
S01：就無解阿！
T：嗯哼，那時候怎麼沒有寫無解？
S01：我有想到阿，可是這個答案怪怪的。
另外，低能力學生直覺能最快找到符合絕對值方程式答案的，多半是絕對值 內為正數的解。另一方面，研究中，低能力學生無法使用絕對值幾何之距離的概
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念處理這類的題型。例如，學生 S05 在解釋第 8 題第 1 小題 x 2，很快能反應 絕對值內為正負 2，但因該生認為「無論絕對值內是正數或負數出來都是正數」，
所以在解絕對值內含兩項以上式子的方程式時，誤認為 x 的解必然是一正數及一 負數，因此在用嘗試錯誤求解的時候，找不到另一個答案，與該生訪問內容如下：
【8(3) x34，x= 。】
T：第 3 題妳的答案只有 1 個，妳覺得還有別的嗎？
S05：恩…我覺得我很難想到第二個答案。
T：為什麼…那妳為什麼第一題會有兩個答案？
S05：因為那個比較簡單，這個有加 3，然後我就開始亂七八糟了，只有單一個 數字的時候，我會覺得是最簡單。
T：恩！
S05：然後這個的話我可能覺得它又要被換來換去，換到不同的位置去，算出來 的答案可能又不一樣之類的。
T：恩。
S05：所以有時候我覺得太麻煩，我就跳過了。
T：恩，那如果我們多一點時間看，慢慢想，妳覺得還有答案嗎？
S05：喔，好像有耶！
T：好像有什麼答案？
S05：因為 x 我把它代…我想一下，-7，-7 出來以後-4，因為-7+3 變成-4，絕對 值出來之後就變成正 4。
T：所以妳少考慮？
S05：負號！
T：為什麼？
S05：恩…就直接想到什麼我就寫什麼，然後我都就是只要想出一個答案就覺得 很好了，就直接寫下一題，就會忽略掉。
【8(4) x5 1，x= 。】
T：恩，那妳再看第 4 題呢？
S05：我想一下喔，這兩個就不行了耶，因為如果 x 代負它數字就會變大，喔是 變更小，就像如果我代-7 然後就變成-12，就更小，就不會對。
T：為什麼要代-7？
S05：因為有一個 6 是正的，另一個我就代負的。
T：還有沒有別的數也可以讓 x-5 的絕對值變成 1？
S05：呃…應該沒有了吧。
T：那剛剛回到前面那題，我們把絕對值內的這堆東西遮住。
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S05：恩！
T：絕對值多少等於 4？
S05：絕對值正負 4 都會等於 4。
T：所以這一堆遮住的是正負 4，因此 x+3=4，跟 x+3=-4。
S05：恩恩！
T：那如果用一樣的想法想第 4 題呢？
S05：恩，那如果 x-5=1 跟 x-5=-1。
T：那妳寫寫看。
S05：…(在紙上算)…好了…喔！
T：有發現什麼了嗎？
S05：就是有兩個答案！
T：還有嗎？
S05：ㄟ…答案不一定是那個一正一負。
而低能力學生 S30 在絕對值概念說明時，提出：「絕對值以內任何數都是正 數」，在對於其它直述問題的解釋時，該生能正確使用絕對值之算術定義，但對 於逆操作解絕對值內的值時，就看出該生在絕對值的定義上發生問題：
【5. 920 。】
S30：我不太會用拆的.所以我都算裡面數字，再加絕對值。
T：好！
S30：所以 9-20=-11，再加負號，所以是正 11。
【8(1) x 2，x= 。】
T：第 8 題都只有一個答案為什麼？
S30：在絕對值內任何數為正數。
T：那有沒有負數的絕對值會是 2？
S30：呃…有… -2！
T：恩！
S30：對，不管是正的還是負的絕對值出來是正的…喔…對耶！
T：那妳後面兩題還會有其它答案嗎？
S30：好像不只一個耶！
S30：好像不只一個耶！