第二章 文獻探討
第三節 乘除法的結構
對於乘除法之研究，許多學者著重對於乘除法問題進行語意結構的分析，其採用的 觀點不同而有不同的模式。茲將國外、國內的研究分述如下：
一、國外的研究
如 Schwartz(1988) 是從問題中內涵量和外延量的觀點對乘除法問題進行分析；
Vergnaud(1988) 採 度 量 向 量 和 向 度 (dimension) 的 觀 點 對 乘 除 法 問 題 進 行 分 析 ； Nesher(1988)是從組成結構對乘除問題進行分析；Greer(1987) 考慮數值型態的乘除法問 題進行分析；Usiskin 和 Bell(1983) 是採乘法應用的觀點對乘除問進行分析等。以下針 對五種模式加以說明。
（一）Schwartz
Schwartz(1988) 的乘法結構是以問題中內涵量(intensive measures，以 I 表示) 和外 延量(extensive measures，以 E 表示) 來考慮。將乘除法問題分為(I , E , E ')、(E , E ' , E ")、
(I,I ', I ")、(S,E, E ')四種結構。根據外延量和內涵量的概念(I , E , E ')為例，Schwartz(1988) 將(I , E , E ')乘除問題分類如表 2-2。其他乘除類型當有(E , E ' , E ")、(I,I ', I ")、(S,E, E ') 結構(S 為一個常數)。
表2 - 2 Schwartz(I , E , E ')問題類型
表2 - 4 Vergnaud 模式之叉積關係 (M ) 2
x2 (M ) x1 1 f(x1, x2)
(M3)
而依未知數所在的位置不同，可以分為乘法問題和除法問題。
3.多重比例型(multiple proportion)
涉及到三個度量空間 M1 、M 、與 M2 3，M3度量空間與另外兩個獨立的度量空間 M 和 M 成比例關係，如表 2-5： 1 2
表2 - 5 Vergnaud 模式之多重比例型關係 (M2)
x2 x2' f(x1,x2)
x1
x1' f(x1', x2') (M1 )
(M3)
（三）Nesher
Nesher(1988) 參考 Vergnaud(1988) 和 Schwartz(1988) 乘法結構模式，將乘法問題 分類為函數規則(mapping rule)問題、比較型問題、乘法叉積問題三種：
1.函數規則問題：
例如：小青有 3 盒糖果，一盒糖果有 12 顆，請問小青共有幾顆糖果？
2.比較型問題：
例如：小青有12 顆糖果，小美的糖果是小青的 8 倍，請問小美有多少顆糖果？
3.乘法叉積問題：
例如：小青有 6 件上衣和 5 件褲子，由上衣和褲子搭配成外出服，請問小青可搭配 出幾種不同的外出服？
（四）Greer 模式
Greer(1987)是以符號 STS、SSS、SRS 之乘的結構將乘除法問題加以來分類，其中 STS 是屬於不對稱性，SSS 是屬於對稱型。
1.STS（不對稱性）
最初量S 受到一種變換 T(transformation)為造成另一個量 S。而依未知數所在位置不 同，又可以分為乘法問題(ST∣S∣)、等分除(∣S∣TS)、包含(S∣T∣S)三種類型，每一 種類型可依情境的不同分為多重群、度量的累加、常量的改變、比率和度量的換算等問 題。
2.SSS（對稱性）
由二個量結合而成為第三個量。相當於 Vergnaud(1983)叉積型和 Schwartz(1981)的 (E,E’,E”)結構，可應用於長方形的陣列(rectangular array)、組合(combinations)、面積(area)。
3.SRS
有一種關係R(relation)存在於二個量中，相當於 Schwartz(1981)的(S,E,E’)結構。
例如：小青有12 顆糖果，小美的糖果數量是小青的 8 倍，則小美有幾顆糖果？
（五）Usiskin & Bell 模式
Usiskin 和 Bell(1983)以乘法應用的觀點，將乘法的意義分成：
1.比例因子類(rate factor)或相同等集合問題(common equivalent set problem)：
此類型之基本運算為「比例因子×數量＝另一個量」，相當於 Schwartz(1988)模式 (I,E,E’)、Greer(1987)的 STS 和 Nesher(1988)函數規則問題。
例如：一枝鉛筆賣5 元，3 枝鉛筆可賣多少元？
比例因子（一枝鉛筆賣5 元）×數量（3 枝）＝另一個量（賣 15 元）。
2.交叉運作或叉積：
由兩個量交互運作之後，會得到一個具有複合單位的量，相當於 Schwartz(1988)模 式(E,E, E ')。
3.大小改變類(size change)或常量問題(scalar problem)：
基本的運算型式為：原始量×改變大小的比率＝改變後的量，相當於 Schwartz(1988) 模式(S,E,E')、Greer(1987)的 SRS 和 Nesher(1988)比較型問題。
表2 - 6 各模式之乘除類型比較
分類觀點 乘除類型
內涵量和外延量
Schwartz (E, E ', E ") (I, E, E ') (I, I ', I ") (S,E, E ') 向量和向度 叉積型 量數同構型 多重比例型
Vergnaud
組成結構 叉積型 映射規則 比較型
Nesher
數值型態
Greer SSS STS SRS
Usiskin &
Bell
比例因子型
應用 交叉運作 大小改變
相同集合
二、國內研究
而國內研究數學乘除法應用題的分類方式，一般來說可分為以下幾種，包括：
（一）依使用步驟的多寡來分（黃湘婷，2006）
1.單步驟問題(one-step word problems)
例如：小明有 3 顆糖果，小青的糖果是小明的 5 倍，問小青的糖果有幾顆？
2.二步驟問題(two-step word problems)
例如：小明有 3 顆糖果，小青的糖果是小明的 5 倍少 2 顆，問小青的
糖果有幾顆？
3.多步驟問題(multi-step word problems)
例如：小明買了 4 罐 2 公升的汽水，媽媽喝了 1 公升，爸爸喝了 1.2 公升，問還剩下多少公升的汽水？
（二）以語意結構(semantic structure)來分（林原宏、許淑萍，2002；黃月平，2004）
1.比較型
例如：小青有12 顆糖果，小美的糖果是小青的 8 倍，請問小美有多少顆糖果？
2.叉積型
例如：陳奶奶有一塊長方形的土地，長為 12 公尺、寬 6 公尺，請問陳奶奶的土地 面積是少？
3.量數同構型
例如：將 32 顆糖果，平分給 8 人，每人得到幾顆糖果？
4.多重比例型
例如：陳家有 4 人，每人每天喝了 2 公升的水，請問陳家 7 天一共喝了多少公升 的水？
（三）以情境來分（林碧珍，1991）
1.倍數
例如：小青有 12 顆糖果，小祥的糖果是小青的 4 倍，請問小祥有多少顆糖果？
2.比例尺
例如：在比例尺 1:50000 的縮圖上，東西二鎮相距 18 公分，請問東西二鎮的實際 距離？
3.陣列
例如：五年二班全班有 24 人，升旗時，老師要求全班排列整齊，直排人數一樣多
且橫排人數也一樣多，請問有多少種排法？
4.組合
例如：小圓有 6 件襯衫和 8 件裙子，由襯衫和裙子搭配成外出服，請問小圓可搭 配出幾種不同的外出服？
5.面積
例如：王爺爺家的長方形的土地，長為 22 公尺、寬 14 公尺，請問王爺爺的土地 面積是少？
表2 - 7 數學應用問題分類
分類依據 問題類型
1.單步驟問題 以解題步驟的多寡（黃湘
婷，2006） 2.二步驟問題 3.多步驟問題 以語意結構（林原宏、 1.比較型 許淑萍，2003；黃月平， 2.叉積型
2004） 3.量數同構型
4.多重比例型
以情境（林碧珍，1991） 1.倍數 2.比例尺 3.陣列 4.組合 5.面積
三、本節文獻對本研究的啟示
由以上文獻可了解到各種乘除法模式的意義是相同的，其差異在於分類的觀點有所 不同。本研究參考林原宏、許淑萍（2003）之研究，即以 Vergnaud(1988)模式為依據，
再加上Nesher(1988)比較型問題，將學生發展出的乘除法數學問題分為比較型、叉積型、
量數同構型三種題型，分析學生在「重量」、「容量」、「面積」三個數學概念中，發展問 題的類型。