以網路為媒介之國小高年級學生問題發展-以重量、容量、面積為例

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系在職進修教學碩士論文. 指導教授：馬秀蘭博士. 以網路為媒介之國小高年級學生問題發展—以重量、容量、面積為例. 研究生：陳雅苓. 撰. 中華民國九十七年五月.

(2) 以網路為媒介之國小高年級學生問題發展—以重量、容量、面積為例. 中文摘要本研究主要目的是希望藉由 31 位國小高年級學生所填寫之「察覺生活中數學之學習單」及「網路討論板—寒假生活數學日記」來了解學生的日常生活數學經驗、及期望學生在「網路討論板」上進行「問題發展」的活動，讓學生將學校數學和日常生活經驗相結合；並藉由學生自身生活經驗發展出的數學題，來探討學生常用的乘除法結構，並進一步從學生發展的問題中去研發以生活情境為主的數學解題能力測驗工具—重量、容量、面積。本研究為行政院國家科學委員會三年專題研究計劃之部分研究成果（計畫主持人：馬秀蘭（2005b、2006、2007a），計劃名稱：由實務推理的問題發展中研發生活情境的數學解題能力測驗工具之研究，計劃編號：NSC 94-2521-S-275-001 ， NSC 95-2521-S-275-001，NSC 96-2521-S-275-001）。. 根據研究結果發現：一、該數學概念存在於學生的日常生活認知中，與學生舉出實例和發展正確數學題有很顯著的正相關，但舉出生活實例與發展成正確的數學問題沒有顯著相關性，即學生舉出實例後要將其轉化成數學問題仍有困難。二、「重量」、「容量」、「面積」三種數學概念中，學生發展出正確的數學題以「重量」的題數為最多、「面積」的題數最少且較為固化。三、學生發展出的乘除題目會依不同的數學概念而有不同的類型，「重量」概念集中在「比較型」的題型、「容量」概念集中於「量數同構型」的題型、「面積」集中於「叉積型」的題型。四、學生發展情境大多集中於身邊人物，最常出現的場所也以學生最常去的場所為主。「重量」概念情境多為身邊人物體重比較、「容量」概念情境大多集中在計算飲料的容量、「面積」概念情境集中於計算土地大小。五、重量、容量、面積數學概念中，發展出的錯誤題數最多的為「面積」概念，且大多發生在「邏輯不合」。. I.

(3) 六、在食、行、育樂中有關重量、容量、長度概念的問題，是學生生活中最熟悉且最常接觸的事物。七、學生在網路上會使用注音符號、數字、英文字母加表情符號組成的火星文書寫文章，火星文已向下滲透，入侵至國小學生，「火星文」的問題不容小覷。八、學生對於這次的活動都持正面的態度，認為對於他們解決生活中或數學課中碰到的數學問題都有幫助，且提高了對於數學學習的興趣。關鍵字：乘除結構、問題發展、網路. II.

(4) The Problematic Developments of Senior Students in Elementary School through the Medium of Network - Taking the Measures of Weight, Capacity and Area for example. Abstract The main purpose is to understand students' mathematic experiences in daily lives through " the learning sheet of mathematical observation" and " an internet discussion boardthe diary of living mathematics on winter vacation " completed by 31 senior students in primary school and to expect students to combine the learned mathematics at school with life experiences from the activity of problem developing on an internet discussion board. Furthermore, we would explore the structures of multiplication and division problems in common use through the mathematic problems developed from students' life experiences and further, develop tools to test the ability of solving mathematic problems in daily lives from these developed problems. The research is about the partial outcome of three-year case study research of National Science Council. (Project host: Hsiu-Lan Ma; Project name: The research of developing the implements of testing the ability to solve mathematic problems in living situation. from. development. of. practical. reasoning. problems.;. Project. No.:NSC. 94-2521-S-275-001, NSC 95-2521-S-275-001, NSC 96-2521-S-275-001）。 Based on the result of, the researcher concludes: 1. This mathematics concept that exists in students' daily life has positive relationship with living examples and development of mathematic problems, however, there is no obvious relationship between living examples and development of mathematic problems. That means it's still difficult for students to change the given living examples to mathematic problems. 2. The most and accurate mathematics problems developed by students are about "weight" problems, and "area" problems are less and lack of variation. 3. The multiply-divide problems that students develop have distinct types depending on different mathematics conception - the conception of weight concentrated on comparison subjects, the conception of capacity concentrated on isomorphism subjects and the. III.

(5) conception of area concentrated on product of measures subjects. 4. The situations developed by students relate to people by their side mostly; the places appeared most are relying mainly on locations where students go most often. 5. In the mathematics conceptions of weight, capacity and area, the incorrect problems developed most are about the conception of area. 6. What students are familiar with and contact most are about the conceptions of weight, capacity and length in food, transportation and entertainment. 7. Students would write compositions by using Mar Languages consist of notation symbols, numbers, English and emotion icons; Students have been penetrated and affected seriously by Mar Language and the problem should not be overlooked. 8. The pupils all support and pose positive attitude to the activity because they think it's helpful to solve mathematics problems in daily life and mathematics class and it also increases their interests in learning mathematics.. Key word: multiplication and division structure, problem-developing, internet. IV.

(6) 目. 次. 中文摘要 ...........................................................................................................................I 英文摘要 ....................................................................................................................... III 第一章. 緒論.................................................................................................................. 1. 第一節. 研究動機...................................................................................................... 1. 第二節. 研究目的...................................................................................................... 4. 第三節. 名詞釋義...................................................................................................... 5. 第四節. 研究範圍與限制.......................................................................................... 7. 第二章. 文獻探討.......................................................................................................... 9. 第一節. 問題發展...................................................................................................... 9. 第二節. 量的概念.................................................................................................... 19. 第三節. 乘除法的結構............................................................................................ 24. 第四節. 問題發展與生活情境之相關研究............................................................ 31. 第五節. 電腦網路科技與次級文化........................................................................ 34. 第三章. 研究工具與流程............................................................................................ 41. 第一節. 研究對象.................................................................................................... 41. 第二節. 研究工具.................................................................................................... 43. 第三節. 資料處理與方法........................................................................................ 47. 第四節. 研究流程.................................................................................................... 51. 第四章. 研究結果與討論............................................................................................ 53. 第一節. 分析學生的日常生活經驗及其對問題發展的相關性............................ 53. 第二節. 學生在重量、容量及面積數學概念的問題發展之乘除法類型............ 61. 第三節. 由學生問題發展中研發「以生活情境為主的數學解題能力測驗工具—重. 量、容量、面積」.......................................................................................... 73 第四節第五章. 學生重量、容量及面積問題發展之錯誤類型及網路語言型態............ 82 結論與建議.................................................................................................. 89. 第一節. 結論............................................................................................................ 89. 第二節. 建議............................................................................................................ 91. V.

(7) 參考文獻 ........................................................................................................................ 93 中文部份 .................................................................................................................... 93 英文部份 .................................................................................................................... 99 附錄 ................................................................................................................................... 104 附錄一：覺察生活中數學之學習單 ...................................................................... 105 附錄二：生活情境的數學解題能力測驗工具—重量、容量、面積.................. 107 附錄三：試題修改前後對照表……………………………………………………109. VI.

(8) 表目次表 2 –1 問題發展相關研究比較............................................. 17 表 2 - 2 SCHWARTZ(I , E , E ')問題類型...................................... 25 表 2 - 3 VERGNAUD模式之量數同構型關係 ..................................... 25 表 2 - 4 VERGNAUD 模式之叉積關係........................................... 26 表 2 - 5 VERGNAUD 模式之多重比例型關係..................................... 26 表 2 - 6 各模式之乘除類型比較 ............................................ 28 表 2 - 7 數學應用問題分類 ................................................ 30 表 3 - 1 男女學生分組編碼表............................................................................................... 42 表 3 – 2 男女學生數學能力一覽 .......................................................................................... 42 表 4 - 1 寒假生活數學日記-食、衣、住、行、育樂 ......................................................... 53 表 4 - 2 寒假生活數學日記-量 ............................................................................................. 54 表 4 - 3 數學學習單分析....................................................................................................... 55 表 4 – 4 「重量」概念之存在判斷、情境舉例、發展出正確數學題相關係數 .............. 57 表 4 - 5 「容量」概念之存在判斷、情境舉例、發展出正確數學題相關係數............... 57 表 4 – 6 「面積」概念之存在判斷、情境舉例、發展出正確數學題相關係數 .............. 58 表4-7. 數學概念之存在判斷、情境舉例、發展出正確數學題相關係數 ..................... 59. 表 4 – 11 「能不能這樣寫-重量 2」題型結果分析.............................................................. 66 表 4 - 12 「神奇的空間-容量 2」題型結果分析 .................................................................. 68 表 4 - 13 「好玩的單位變化-面積 2」題型結果分析 .......................................................... 70 表 4 - 14 乘、除法題型分布情形......................................................................................... 72 表 4 – 15 試題修改前後對照 ................................................................................................ 76 表 4 – 16 二次施測的相關摘要 ............................................................................................ 80 表 4 - 17 試題難易度一覽..................................................................................................... 81 表 4 - 18 試題鑑別度一覽..................................................................................................... 81. VII.

(9) 圖目次圖 2 - 1 POLYA的解題四步驟及梁淑坤的擬題四步驟對照 ................................................ 10 圖 3 - 1 生活數學學習單學生回答—重量 ............................................................................ 43 圖 3 - 2 「生活中的數學」登入板面 .................................................................................... 44 圖 3 - 3 文脈環境－文字表現............................................................................................... 45 圖 3 - 4 生活中數學（一）之活動主題............................................................................... 45 圖 3 - 5 生活中數學（二）之活動主題............................................................................... 46 圖 3 - 6 學生寒假生活日記原案（一）............................................................................... 48 圖 3 - 7 學生寒假生活日記原案（二）............................................................................... 48 圖 3 - 8 學生寒假生活日記原案（三）............................................................................... 49 圖 3 - 9 學生寒假生活日記原案（四）............................................................................... 49 圖 3 - 10 察學生活中數學學習單之學生發表原案............................................................. 50 圖 3 - 11 研究流程 ................................................................................................................. 51 圖 4 - 1 學生寒假生活日記原案（五）............................................................................... 54 圖 4 - 2 學生寒假生活日記原案（六）............................................................................... 54 圖 4 - 3 察學生活中數學之學習單學生回答原案—面積................................................... 60 圖 4 - 4 討論區目錄............................................................................................................... 61 圖 4 - 5 教師出題範例........................................................................................................... 63 圖 4 - 6 「能不能這樣寫-重量 2」之結果分析 .................................................................. 64 圖 4 – 7 「神奇的空間-容量 2」之結果分析 ....................................................................... 67 圖 4 - 8 「好玩的單位變化-面積 2」結果分析 .................................................................. 69 圖 4 - 9 「重量」、「容積」、「面積」乘除法題數長條圖 .................................................... 71. VIII.

(10) 第一章緒論. 第一節研究動機. 研究者在教學期間發現許多學生主動學習數學的動機並不強烈，他們大多是為了取得師長讚賞或避免責罰，且愈高年級的學生所接觸到的數學愈難，得不到理想成績的學生易自我放棄。深入了解後，學生表示不知為何要學數學？覺得學了這麼多艱深的數學後並用不到，且看不懂應用題的敘述也是他們的一個困擾。Knifong 和 Burton(1985)與許多數學教師也共同觀察到，讓學生感到數學困難的原因是問題呈現的型態或主題，與學生的生活背景與興趣的相關性很低。這也讓研究者反思市面上的測驗工具這麼多，但大多為專家、學者或教師編製，是否忽略了對所謂文化認知或日常生活數學與學校數學的衝突。為了解決且避免以上的問題，對於測驗工具上文字的情境敘述，是一個值得探討、研究的議題。但如何避免文字敘述過於艱澀，而使學生不易了解題目所要表達的內容為何？如何解決學生覺得學數學無益，和生活所需能力無關的問題呢？也就是如何讓學校數學和學生生活更貼近？Skemp(1995)曾提到為了要增進學生自發性學習數學的動機及興趣，就要讓他們在真實環境中體驗數學的樂趣和力量，縮減學校數學和日常生活數學的差別。所以為了拉近學生學校數學和日常生活數學的距離，本研究期待學生藉由數學日記的紀錄，觀察自身的經驗，了解數學與生活的相關性，希望引起學生學習數學的動機。教育部歷年頒布的數學課程標準的目標中，也強調日常生活經驗的重要，例如：「輔導學生從日常生活經驗中，獲得有關數學的知識」（教育部，1976，1993）、「培養日常所需的數學素養」（教育部， 2001 ）。美國數學教師協會 (National Council Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)在 2000 年的「學校數學課程評量標準」(Principles and Standards. 1.

(11) for School Mathematics)中也提到：應鼓勵學生在日常生活中思考問題與提出問題，培養學生從他們的世界中形成數學問題的興趣，並鼓勵學生勇於探索分享失敗及成功的經驗，讓學生有機會提出具有挑戰性的問題，以增加自己的數學知識。對於數學成就高且對數學有興趣的學生，要他們多花時間去感受數學、接觸數學、學習數學，是可能的。但如何讓低數學成就的學生從只在課堂上接觸數學，到長時間接觸數學呢？馬秀蘭（2000，2001，2004）曾提到學生對於網路的興趣有助於數學學習興趣之提升，並能提高「低數學」能力學生做數學的自信心。而馬秀蘭（2005b，2006， 2007a）的國科會計畫中，則提供了一個管道，讓學生將從自己生活經驗所發展出的數學問題，藉由網路討論板與同學分享，藉此平台也讓老師進一步了解學生的生活經驗，有助於老師的佈題情境更貼進學生的生活。透過超連結及多媒體資源，網際網路為我們提供了地方、全國乃至全世界教育資源的環境。網路對於教育是一個新的學習資源，隨著資訊科技融入教學的趨勢，網路不但是老師喜愛使用的課外資源，也是未來學生學習新知一個管道，人類的學習也會因資訊科技而變得更有效率、人性化(Leidner & Jarvenpaa, 1995; Levy, 1997; Martocchio & Webster, 1992; McGregor, 2001)。利用網路討論板進行數學活動時，它被付予了教育意義(Ma, 2005; Ma & Wu, 2006)，學生可在網路討論板上表達自己的想法、看法，且透過網路討論板的學習，可改善傳統教室中時間及空間受限的不利條件，利用學生對於上網的樂趣能吸引學生長時間去做數學（馬秀蘭，2001，2004），且網路討論板的使用對國小五、六年級的學生來說是簡單易學的，故可提供學生做數學的另一個管道（馬秀蘭，2005a）。 Silver(1994) 指出問題發展是由經驗或情境中創造出新的問題，或是由給定的題目中，創造新的題目。但學生若要對乘除法算式成功的發展問題則必須具有策略性知識、基模知識、語意知識和語文知識（馬秀蘭，2007b），若問題發展者缺乏相關數學知識，是無法發展出正確的問題，故學生若要成功的發展出數學題，則必須加強自身的四種能力，擁有策略性知識才能檢視列式程序，擁有基模知識才能選擇選用哪些物件來進行問. 2.

(12) 題發展，擁有語意知識才能將問題與生活中的事物做合理的結合，而擁有語文知識，才能明確的將自己的意思表達出來，本研究希望藉由學生發展的問題中，了解學生日常生活中常用的乘除法類型，並從學生發展的錯誤類型中，了解學生缺乏的相關知識，以做為教學之參考。歷年來的研究證實，藉由問題發展活動可以培養學生從自身的生活經驗中發展出問題的能力，可幫助學生將學校數學與日常生活連結，透過文字的敘述，亦可反應出學生的生活經驗。但學生的生活經驗是否會影響問題發展的能力呢？也是值得我們去探索的。無論如何，由學生自身發展出文字題，因文字表達方式為學生所熟悉，則可避免學生誤理解問題陳述的困擾，情境與學生的生活經驗相結合，也可引起學生的興趣。發展問題活動也讓學生除了被動的接受大人們所提供且認為對他們有幫助的課程外，更提供了具有個人化意義的學習，這符合了現代學習理論中，以學生為學習活動之主體的觀點，使數學學習變得更有趣。在馬秀蘭（2005b，2006，2007a）的國科畫計畫中，台灣北部、中部、南部三區的國小高年級學生在網路討論板上，透過問題發展的活動來提供訊息，學生日常生活經驗讓教學者瞭解哪些數學觀念使用在何種情境對學生來說是有較大意義的。此國科會計畫歷時三年，第一年的計畫為讓學生熟悉網路討論板的環境，並藉由自身日常生活的推理源起、寒假生活日記的紀錄讓學生增加對生活周遭數學的敏感度。第二年的計畫期望學生藉由問題發展的活動讓學生主動於日常生活中思考問題、提出問題，培養主動學習的態度。第三年的計畫，期望更進一步藉由學生在網路「生活中數學」之重量、容量、面積、估算、比值、比率等主題中所發展的問題，研發一份能測驗學生解決生活數學問題能力的工具。市面上的測驗工具很多，但大多為專家、學者或教師編製，是否忽略了對所謂文化認知或日常生活數學與學校數學的衝突？本研究希望藉由學生自行發展的問題（貼進學生生活），研發一份解決生活中數學問題的測驗工具。但此國科畫計畫歷時三年，所蒐集到的資料很豐富，研究者受限於人力及時間上的不足，故僅以計畫中的部份研究成果（重量、容量、面積）作為本論文的研究內容。重. 3.

(13) 量、容量及面積都是用感官可觀察的，重量可比較、保存、分割、併合；容量指的是物質占滿容器的最大盛載量；面積為二維的量，由長度概念延伸而來，對於學生來說生活中皆可看到，實用性較高，故本研究乃針對這種數學概念做分析、研究。綜合以上所述，本研究的目的是藉由高年級學生發表的網路生活數學日記，來讓學生察覺生活中何時、何地、何事需要使用數學、並進而形成問題，讓學生將學校數學與日常生活做連結，並藉由個人生活經驗發展出的數學問題，來探討學生常用的乘除法結構，最後則由學生發展的問題中去研發「以生活情境為主的數學解題能力測驗工具—重量、容量、面積」。本測驗工具的編製目的主要為了了解學生解決個人生活周邊所遇數學問題的能力，故為了避免由老師佈題時忽略了學生的生活情境、學校的次級文化及學生的用語，且為了測驗工具的試題能更貼進學生的實際生活情況，故本測驗工具的試題取材來自於學生網路在「生活中數學」活動中發展出的題目。. 第二節研究目的. 根據上述的研究動機，本研究之目的有如下述：（一）分析學生的日常生活經驗及重量、容量及面積的生活經驗對問題發展的相關性。（二）探討學生在重量、容量及面積數學概念的問題發展之乘除法類型。（三）由學生問題發展中研發「以生活情境為主的數學解題能力測驗工具—重量、容量、面積」。（四）探討學生在重量、容量及面積問題發展之錯誤結構及網路語言型態。. 4.

(14) 第三節名詞釋義. 針對本研究所使用到的專有名詞，分別說明與界定如下：. 一、問題發展 (problem developing) 問題發展是指學生了解題目所要求後，根據個人的數學知識、生活經驗所想出的數學題目。本研究之問題發展，是請學生依研究者所給的數學單元（重量、容量、面積）或條件（加入生活情境），發展出的數學題目。. 二、乘除類型乘除法的結構因分類的觀點不同而有不同的模式，本研究參考林原宏、許淑萍（2003）的研究：以 Vergnaud(1988)模式為依據再加上 Nesher(1988)的比較型問題，將學生發展的乘除數學問題分為量數同構型(isomorphisms of measures)、叉積型(cross products)、和比較型(compare)三種加以探討。. 三、正確數學題依據 Reitman 的題目結構分類方式，即已知和目標定義清楚的題目，就可以稱為正確題學題。. 四、錯誤類型參考馬秀蘭、林思行（2003）的研究，將學生發展問題之錯誤類型分類為「非題目」、「邏輯不合」、「資料不足」三種錯誤類型。其中（一）未完成的題目歸類為「非題目」；（二）題意與事實不符或題目條件錯誤，產生矛盾歸類為「邏輯不合」；（三）給予的條件不夠，無法算出答案歸類於「資料不足」。. 5.

(15) 五、基模知識、語意知識、語文知識馬秀蘭在（2007b）修改 Mayer（1992）的解題五種知識成「發展乘除問題知識」，針對乘除法算式，它包括策略性知識、基模知識、語意知識和語文知識，本研究將藉「基模知識」、「語意知識」及「語文知識」來分析學生發生錯誤類型時的可能因素；其中基模知識為已知數和未知數之間的關係，語意知識為是否了解現實世界事物的知識及此事物相關的資料知識，語文知識指能用正確的用中文表達出數學問題。. 六、高、中、低數學成就學生本研究依照樣本在四年級下學期的數學學期成績分為三組，男生 16 人中，93 分以上的為高數學成就學生，89 分到 92 分為中數學成就學生，89 分以下為低數學成就學生。女生 15 人中，95 分以上為高數學成就學生，84 分到 94 分為中數學成就學生，83 分以下為低數學成就學生。. 6.

(16) 第四節研究範圍與限制. 本研究因受限於研究者本身的能力、時間與經費等客觀因素，而有以下的限制，因此若要將本研究的結果推論到研究範圍之外時必須謹慎。茲將限制說明如下：. 一、研究對象的限制本研究在取樣時，是以臺中市西屯區某國民小學高年級學生為對象，樣本維持原來班級進行研究。其他地區及其他年級不在本研究範圍。. 二、數學概念的限制本研究為探討重量、容量、面積三個數學概念所發展出來的乘除法問題，其他數學概念不在本研究的範圍內。. 三、乘除法結構的限制乘除法結構分類有很多種，有 (E,E’,E’’)、(I,E,E’)、(S,E,E’)（I 為內涵量、E 為外延量、S 為常數）、比較型、叉積型、量數同構型及多重比例型等；本研究只就量數同構型、叉積型、比較型加以探討，因此其他型式並不包括在本研究的範圍內。. 7.

(17) 8.

(18) 第二章文獻探討. 第一節問題發展一、問題發展的意義在研究文獻上有關「問題發展」出現不同的詞語，例如：擬出問題(posing problem)、形成問題(formulating problem)、找出問題(finding problem)、創造問題(creating problem)，其相同的目的就是要發展出數學問題或題目。Dillon(1982) 認為問題發展是解題之後尋找題目的過程。Silver(1994) 指出問題發展是由經驗或情境中創造出新的問題，或是由給定的題目中，創造新的題目。Stovanova 和 Ellerton (1996) 則將問題發展定義為依據數學經驗的基礎，學生建構及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。國內學者梁淑坤（1994）對問題發展下的定義是：「自己想出一個數學題目來」，在問題發展的過程中，問題發展者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，發展出一個數學題目。徐文鈺（1996）稱問題發展是一種主動建構、運用認知基模處理訊息的活動。楊惠如（2000）亦認為問題發展乃是學生根據自己所學的數學經驗，創造一個屬於個人化的數學題目。陶惠昭（1988）認為「problem posing」指的是所有的出題行為，亦即代表一個數學題目怎樣形成的過程。綜合以上所敘述，問題發展是學生根據自己的數學知識和生活經驗將情境、人物、事、數字、圖形等訊息找出關係並做組織創造出一個個人化數學題目的過程。本研究將讓學生統整自己所學數學知識和生活經驗，依特定主題，自己發展出一個或多個新的數學題目來，此即為問題發展(problem developing)（馬秀蘭，2001，2004）。. 二、問題發展在教育上的重要性教育部所頒布的九年一貫數學學習領域的基本理念（2003）中強調：教育應提供學. 9.

(19) 生做有意義及有效率學習的機會，使學生能學好重要的核心數學題材，成為「帶著走」的能力。但在制式與填鴨的學習環境中（社會環境、教學份量、學習方式），學生已習慣被教導與限制，慢慢喪失主動探究的精神（余政賢，2007）。且傳統的數學學習，偏重演算能力及解決應用問題的教學方式，學生往往不斷的大量練習，較少重視數學各表徵系統轉換的能力，而使得學生並非真正理解數學概念，呈現的只是機械式操作後的記憶表現。但是在發展問題時，為了要從已知的情境中發展出一個題目，學生必須能意識到情境中的事實與關係，才有能力將情境數學化以及以問題的型式表徵數學情境的能力。 Polya(1945)在「怎樣解題」一書中提出解題過程的四階段：理解(understand)、策畫 (plan)、實行(carry out)、回想(look back)，而 Silver 等學者更進一步提出擬題的研究，認為擬題可以讓學生結合自己的生活經驗，以自己的認知去學習數學，對學習數學有正面的幫助。梁淑坤（1994）根據 Polya 的解題模式，將「擬題」取代理解，而成為擬題四步驟：擬題、計畫、執行、回顧。如圖 2-1 所示，「擬題」取代了「理解」階段，「回顧」階段可再擬出其他題目來，若有動機去解再次擬出的題目，則要再次計劃及執行。梁淑坤（1995）認為若解題者也是「擬題」者，當然清楚題目的內容，即可以馬上做策畫的步驟，且解題者在解題之際，也有可能會發展出新的題目，然後再策畫、再解題。而再解題後可將所得到的結果整理後再發展出新的題目來，如此，可以變成永無休止的「擬題」及解題活動。擬題理解策畫. 回顧. 計畫. 實行回想圖2-1. 執行 Polya 的解題四步驟及梁淑坤的擬題四步驟對照（引自黃俊惟，2003）. 10.

(20) 近幾年來，有許多國內外研究者發現問題發展活動不僅可以提高學生的學習興趣，對於學生的數學能力亦有增進效果（楊惠如，2000；劉芳妃，1998；Skinner, 1990; Silver, 1994; English, 1997; Knuth, 2002）。梁淑坤（1994）、Brown 和 Walter(1993) 、English(1997) 則認為問題若是由解題者所發展出來，解題的興趣及動機就會很高。劉祥通（1996）、 Tsubota（1987）、Writze 和 Kahn（1982）的研究也指出問題發展可以幫助學生了解問題結構、形成數學化思考方式，將自己的數學知識和生活情境做連結，使數學意義化，並發現教材的系統性和關聯性。Knuth(2002)提及學生應擁有學習及了解數學的興趣，其中也包含在了解給定的題目後，以原來的解答或數學概念作為更進一步探討的出發點，再發展出有趣的數學題目來。從學生發展的問題中也可反應學生的認知結構，馬秀蘭（2007b）修改 Mayer（1992）的解題知識成「發展乘除問題知識」，它指出對乘除法算式，學生須具有以下四種知識才能成功的發展問題：（一）策略性知識：檢視列式一些程序的知識，如直接檢視列式、或改變運算列式、或制定子目標。（二）基模知識：考量到以哪一種情境物件或結構類型去發展問題的知識，或已知數與未知數之間的關係。（三）語意知識：了解列式的意義及現實世界事物的知識，包括以離散量事物或連續量事物表示問題，以及認識此事物相關的資料知識。（四）語文知識：能用正確的中文表示問題的知識。從學生發展的問題可檢視學生的認知結構，可做教師了解學生數學概念與文字表徵的一個參考。 Silver(1994)提及問題發展活動對學習的五項優點：（一）可以養成積極的學習態度，並且促進多樣化和靈活的思考。（二）讓學生對自己的學習負責任。（三）幫助教師和學生去察覺出錯誤概念和迷思。. 11.

(21) （四）增強學生的基本概念並提高學生的解題能力。（五）消除學生對數學的恐懼及對數學的錯誤觀點。林群雄（2004）也認為問題發展在數學教育上的重要性有以下六點：（一）可以增加解題的動機和興趣。（二）可以使數學知識結構意義化並與生活經驗相結合。（三）可以促進分析問題發展與數學思考的能力。（四）可以培養批判問題與相互欣賞的能力且能提高創造力。. 三、問題發展的方式問題發展依據的素材（圖片、文字、實物）與結果呈現之型式發展出各種不同之方法，相關理論如下：（一）Tsubota (1987) 提出七個的「擬題」方式。 1.模仿法或類題法：模仿出和學習問題相類似的題目。 2.算式法：列出一個公式，再發展出適用此公式的問題。 3.原理法：發展出所給予的四則算法和通分等原理相對的題目。 4.訂正法：一道題目，故意漏掉其中的某些必要的條件，或是給予其他不必要的條件，或給予的條件矛盾而需訂正的方法。 5.實驗法：實驗或以具體東西的操作後，再以此事項為根基發展出問題。 6.自由法：發展出以自由的題材、自由型式而成的問題。 7.題材法：給予固定題材來發展問題。. （二）Reitman (1965)將題目的結構依照已知(given)條件和目標(goal)是否定義清楚，提出四種問題的結構，如下列情況： 1.第一類型：為已知及目標均定義清楚，此類為結構題(structured problem )。. 12.

(22) 2.第二類型：為已知定義清楚，但目標定義未清楚，此類為非結構題 (ill-structured problem)。 3.第三類型：為已知定義未清楚，但目標定義已清楚，此類為非結構題。 4.第四類型：為已知及目標定義未清楚，此類為非結構題。. （三）Silver (1996)認為「擬題」可以分成兩種方式： 1.由已給定的題目中，再發展出新的題目。 2.創造由情境中或根據自身經驗中而發展出的一個新的數學題目。. （四）Stoyanove & Ellerton (1996)則將「擬題」分成三種情境： 1.第一種是結構( structured)的情境：根據現有的題目再加以改變。 2.第二種是半結構(semi- structured)的情境：利用先前所具備的數學知識、技巧、概念以及關係連結，完成一個完整結構的數學問題。 3.第三種則是自由( free) 的情境：給定一個自然情境下讓學生自由發揮。. （五）其他學者所提出的問題發展方式 1.寫問題(problem writing)：要求學生根據教師提供的算式或算式填充題寫出相對應的數學文字題，即寫出數學題目（馬秀蘭，2001，2002，2004）。 2.數學日誌(mathematical journal )：學生透過逐日的記錄回顧自己的學習成果，但較缺乏結構性（林文生、鄔瑞香，1999；鄔瑞香，1996）。 3.數學寫作(mathematical writing )：指學生將自己的數學想法、概念、技巧和解題過程透過學習日誌、報告或故事等方式呈現出來。包含數學日誌、問題發展、創作式寫作、解釋說明寫作等（劉祥通、鄔瑞香、黃瓊儀，2000）。. 13.

(23) 由上述可知，問題發展的類型很多樣貌，仔細分析比較後，可發現其相同之處。本研究採 Silver(1996) 由情境中或自身的經驗中創造一個新的數學題目，並根據 Reitman(1965)，依已知條件和目標是否定義清楚，將題目分為正確數學題與錯誤類型題。. 四、問題發展的相關研究對於問題發展之研究方式與研究對象雖然各有不同，皆為對問題發展在數學教育上之運用價值的肯定。黃月平（2004）將有關於問題發展的研究大致分為三種向度：（一）將問題發展視為教學研究活動，以瞭解問題發展教學與學習之相關，並透過問題發展活動來促進學生對數學的興趣，從事這方面的研究有： Schloemer(1994)將問題發展教學策略“What-if-not”以認知學徒制的教學方式來教導大學生學習高等代數，實驗組的學生進行問題發展教學，而控制組的學生則不進行，結果發現兩組在數學成就中並無顯著差異。根據研究者的結論，他認為實驗組可能已經習慣原來的教材，當老師進行問題發展的教學方式他們在數學態度上會產生負面的影響。所以雖然在問題發展方面，實驗組表現比控制組好；但在數學態度的表現方面，兩組的前、後測均下降。 Gonzales(1994)在美國新墨西哥州大學對職前的中小學教師，進行「擬題」教學研究計畫。以「從已知問題再擬出新問題」的方式來進行。因此，他以 Polya 解題的四個階段，增加第五階段「擬題」，成為「理解」、「策畫」、「實行」、「回想」、「擬題」，研究中發現學生常可以擬出教師意想不到的問題，或是提出一個連教師都沒想到的解法。 English(1998)研究 54 位澳大利亞國小三年級學生的問題發展能力。發現學生在許多非例行性的情境中，可以擬出多樣化的題目。但在加法和除法的問題發展中，學生所擬出來的題型傾向一致，可能是受到教材中例行性題目的影響，造成學生思考模式固化。馬秀蘭（2001）透過校內網路上的 BBS 對 24 位國小六年級學生進行數學「加減法」. 14.

(24) 運算之「問題情境」的研究，發現學生擅長發展的加減法問題為「添加型」、「物理操作的併加型」和「取走型」，且高度依賴關鍵字之使用，而發展出的問題大多為平鋪直述的題目。學生經驗物件傾向「食物」與「貨幣」，主體偏向「人名」和「親人」等。陳佩琦（2003）探討數學問題發展教學在一個國小二年級班級實施的情形。發現大多數的學生對問題發展教學都有很高的學習興趣，而且問題發展與解題時也相當有信心。學生發展的問題呈現多樣化的型態，根據研究者的分類，其特色可分為情境延伸、學生喜好、學校生活、日常生活等四類。 Whitin(2004)以數學問題發展方式教導小學四年的學生學習長方形的周長和面積概念，結果發現學生在使用數學問題發展策略後，能幫助學生以具體的圖形及生活化的例子來理解抽象的概念，也讓教師觀察到學生思考方式及面臨的困難。馬秀蘭（2004）對 30 位國小六年級學生進行研究，該研究發現學生發展出正確的乘除法問題類型中，單步驟問題以乘法的「比例因子型」和除法的「等分除」最高；在多步驟問題中，乘法的「倍數法」和「比例因子」及除法的「等分除」占多數，而「交叉運用法」幾乎沒有出現。當發展的問題情境之「物件」以食、衣、住行、育樂等來分類時，出現最多的物件為貨幣（元）和食物，最少的物件為衣、住和行。黃月平（2004）以國小六年級共 480 人為研究對象，採用自編的「擬題測驗工具」及晤談方式來探討學生將算式表徵轉換成文字表徵的數學擬題能力，並藉學生發展出的數學題目的乘除類型及錯誤類型來瞭解學生分數乘除概念的表徵轉換表現。研究結果發現：在乘除類型方面，不管是乘、除法或數字形式為何，幾乎皆集中在量數同構之「2 的規則」，其分配比率依次為「2 的規則」、「比較型」、「叉積型」、「3 的規則」；「操作物適用性」與「單位完整性」表現較佳，「情境合理性」之表現最不理想。吳進寶（2005）探討一個國小五年級的班級，實施問題發展教學的情形。其問題發展方式是採取日本學者坪田耕三的「類題法」，教材內容是整數四則混合運算。研究發現：學生喜歡問題發展教學的上課方式，他們覺得教材內容很有趣味，也顯露出樂於學. 15.

(25) 習的態度。（二）將問題發展視為分析數學能力的工具之一，相關研究有： Cai(1998)以 223 位中國六年級學生和 181 位美國六年級學生進行研究，了解其問題發展和解題的認知分析。結果發現，在問題發展方面中國和美國的受測學生有很多相似處。但在計算方面，中國學生優於美國學生。 Cai(2003)以數學問題發展及解題的方式，研究新加坡四、五、六年級學生之數學思考，結果顯示學生大部分能選擇適當解題策略及解題方法。他分析各年級學生的表現後發現，四年級和五年級學生之間數學思考程度有較明顯的差異，五年級和六年級的學生較無差異。邱瑤瑢（2006）以國小四年級共 97 位學生為研究對象，以自編的研究工具來探討學生除法式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力，並透過擬題所呈現的錯誤類型，來瞭解學生除法概念發展的情形。並以晤談的方式來了解學生擬題時的想法。研究發現：擬題能力愈好的學生，其除法能力也就愈好；學生在平分及包含除的解題表現明顯較差；「運算符號錯誤」佔所有擬題錯誤類型的比例較高。. （三）編製評量工具，探討學生問題發展之能力，相關的研究有：梁淑坤（1997）除了問題發展之研究外，並嘗試製作問題發展能力評量之工具。由於原 TAPP（Test Airthmetic Problem Posing，TAPP）只適用於算術文字題。因此，其研究建立一套延伸 TAPP 的評量工作，加上非算術的擬題測驗試題，共 18 題，統稱為數學擬題測驗（Test on General Problem Posing，TGPP），其中有「文字」、「圖片」和「答案」三種作業模式。林原宏、許淑萍（2002）編製國小高年級學生適用之「乘除法擬題能力測驗」，擬題測驗為「算式表徵轉換為文字表徵」的擬題型式，並進行實證研究。該測驗試題所涉及變項為使用「×」或「÷」的單步驟題型及「×」、「÷」混用的多步驟題型，並考慮未知. 16.

(26) 數的位置及隱含元素的位置。表 2 - 1 問題發展相關研究比較研究者. 年代. Schloemer. 1994. Gonzales. 1994. 研究結果實施問題發展教學之學生的問題發展能力佳，但數學態度上二組的表現上均下降。學生常可以發展出教師意想不到的問題，或是提出一個連教師都沒想到的解法。在非例行性的情境中，學生的發展的問題較多樣. English. 1998. 化。但在加法和除法的問題發展中，學生所發展出來的題型傾向一致。 1、學生最常發展出的數學問題是「添加型」、「物. 馬秀蘭. 2001. 理操作的併加型」及「取走型」。 2、常依賴關鍵字的使用，發展多為平鋪直述的題目。. 教. 陳佩琦. 2003. 發展的問題特色可分為情境延伸、學生喜好、學校生活、日常生活等四類。. 學研究. 1、問題發展能幫助學生以具體的圖形及生活化的例 Whitin. 2004. 子來理解抽象的概念。 2、讓教師觀察到學生思考方式及面臨的困難。 1. 單步驟問題以「比例因子型」和「等分除」出現率. 馬秀蘭. 2004. 最高。 2. 多步驟問題以「倍數法」、「比例因子」及「等分除」占多數。 1、在乘除類型方面，題型數依次為「2 的規則」、「比. 黃月平. 2004. 較型」、「叉積型」、「3 的規則」。 2、「操作物適用性」與「單位完整性」表現較佳，「情境合理性」之表現最不理想。. 分析. 吳進寶. 2005. Cai. 1998. 問題發展教學是學生希望的上課方式，他們覺得教材內容含有趣味，也顯露出樂於學習的態度。在問題發展方面中國和美國的受測學生有很多相似處。但在計算方面，中國學生優於美國學生。. 17.

(27) 數學能力編製. Cai. 2003. 邱瑤瑢. 2006. 梁淑坤. 1997. 四年級和五年級學生之間數學思考程度有較明顯的差異，五年級和六年級的學生較無差異。 1、問題發展能力愈好的學生，除法能力也就愈好。 2、學生在平分及包含除的解題表現較差。建立一套延伸 TAPP 的評量工作，加上非算術的擬題測驗試題，共 18 題，統稱為數學擬題測驗。. 評量. 林原宏、許. 工. 淑萍. 2002. 編製國小高年級學生適用之「乘除擬題能力測驗」。. 具. 五、本節文獻對本研究的啟示由上可知，問題發展不但可以提升學生學習數學的興趣、動機和自信，且學生發展的問題也可反應學生在日常生活中所接觸的數學經驗。近年來，關於問題發展的研究很多，但將學生發展出來的問題編製成測驗工具來了解學生解決問題的能力之研究卻寥若辰星，故本研究希望學生藉由生活中最熟悉的經驗所發展出來的數學題目，來了解學生問題發展的能力及學生於生活中最常使用的乘除法題型及時機，並更進一步藉由學生所發展出的題目中找出學生最常接觸的數學概念，並進一步研發出一份測驗學生解決日常生活數學問題的能力工具。. 18.

(28) 第二節量的概念在日常生活中常會運用到量的概念，量是物理世界的重要性質，其概念是由實物世界抽象而來，而數概念可視為某量與單位量之間的關係(甯自強，1993；Skemp，1978)，學生若缺乏正確的量概念，將造成解題上困難（劉秋木，1996）。. 一、量的分類量依其分類觀點不同而有不同的分類，研究者將其整理如下：（一）以課程分配的觀點（教育部，2003）在九年一貫小學的課程中所提及的七個「量」即是長度、面積、體積、角度、重量、容量、時間；另還有本國的貨幣、速度（速率）。（二）分離量與連續量可以將分離的物體一個一個分開來數，以這種方式來看東西的量便是分離量。例如一堆梨子有六個，六個便是分離量。但若算這堆梨子的重量，連續稠密的重量，就稱為連續量。簡單而言，一個一個來比較其數目稱為分離量，一堆合起來的比較其重量(或體積、長度等)稱為連續量（劉秋木，1996）。（三）外延量及內涵量像長度或重量都是愈堆積就愈多，反映在單位描述的數字就愈大，一再堆積、延長而繼續增加的量，稱為外延量，例如：長度、面積、體積、角度、重量、容量、時間七種皆為外延量(extensive quantity)，其意為範圍之量。另一種表示密度、速率、角速率等，為兩外延量的比值，稱為內涵量(intensive quantity)。內涵量的學習必需配合比例運思的發展（劉秋木，1996）。. 二、量的學習九年一貫課程（教育部，2003）希望學生能將數與「量」的概念融在日常生活或其他學習領域中，提升解決日常生活數學問題的能力。在九年一貫的課程中的七種量，長. 19.

(29) 度、面積、體積、角度、重量、容量、時間中，學生對於這些量（除了時間）的概念，在學習上大致要經歷下列五個階段：初步概念與直接比較；間接比較與個別單位；常用單位的約定；普遍單位的換算（化聚）；公式化的概念（只有面積和體積有此階段）。 1.初步概念與直接比較：首先，透過感官直接感覺該量，再將兩同類量作直接比較，最後是量的複製，此為「間接比較與個別單位」的前置經驗。另外，也包括利用測量工具之刻度直接描述該量。 2.間接比較與個別單位：對無法直接比較的兩同類量，能透過一個媒介量，分別作直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較（涉及量的守恆概念與量的遞移律）。能進行間接比較時，若能運用等量合成複製的方式，便能使用個別單位作測量 3.普遍單位的約定：認識某類量之普遍單位，並能運用此單位作量的比較及運算。 4.普遍單位的換算（化聚）：將用小單位描述的量，改用大單位來描述，這種換算叫做「聚」。如 12345 公尺可聚成 12 公里 345 公尺或 12.345 公里。反之則叫做「化」，如 1.65 公斤可化成 1650 公克。 5.公式化的概念：長度、面積、體積、角度、重量、容量、時間七個量中，除了時間以只有面積和體積兩量有此層次，此層次的主要的特點是用公式來描述一個特定的幾何形體的體積和面積量。此層次包括 2 個階段。以面積為例說明如下：（1）利用乘法簡化點算過程（一個長方形被多少個小正方單位所覆蓋？）。（2）將平行四邊形、三角形、梯形切割後重組成長方形以求算其面積（此處包含進一步將多邊形切割成幾個三角形，求算這些三角形的面積之後，算出其和)。. 三、「重量」、「容量」與「面積」的基本內涵. 20.

(30) （一）重量重量是使用具有刻度的稱重工具，來描述指涉實物的感覺存有「重」的特質。重量有可比較、可保存、可分割、可併合等性質（許天維、鍾靜，1996）。（1）普遍單位比較以公斤、公克為單位，進行實測及估測的活動：兒童能習於使用以公斤或公克為一個單位量，做單位比較的實測與估測活動。（2）重量的迷思概念(廖婉君，2002) 1.誤以為體積及材質皆相同的兩物體，顏色不同，重量就不一樣。 2.誤以為體積及材質皆相同的兩物體，形狀不同，重量就不一樣（二）容量容量指液體物質占滿容器的最大盛載量；容器內真正裝有的液體體積通常被稱為液量；而容積指容器內部空間的大小，其概念是體積的概念，而容量是液量的概念。（1）普通單位比較：全世界被普遍使用的單位，做為個別單位比較；例如：公升、分公升、毫公升和 c.c.。（2）容量的迷思概念根據張淑怡（2004）研究指出，五年級學生在容量的概念上，易有的迷思概念： 1.對於容器的概念並不清楚。 2.缺乏相互性的邏輯運思能力 3.缺乏單位換算的能力 4.估測策略除憑藉量感外，多以「單位」作為判斷標準 5.量感不足且缺乏靈活有效的估量策略（三）面積譚寧君（1995）指出面積為二維的量，面積指的是某一封閉區域的大小，亦即表示對此一特定區域被數個單位量所覆蓋的程度。故此覆蓋活動，包含了二個條件，即：A. 21.

(31) 面積是有周界的，故覆蓋物不能超過給定的邊界。B 面積是從一維到二維掃描的結果，故覆蓋物不能重疊。（1）直線測量面積概念屬於較抽象的推理層次，包括在數學上的單位相乘關係。而基本面積與單位面積則只是在單位數的累加與單位量的比較。（2）面積的迷思概念根據研究顯示，學生在面積概念上，有一些共同的迷思概念，曾千純、謝哲仁（2003）將其整理如下： 1.缺乏對被測量的認識 2.保留性的不足 3.學生對面積的了解是建立在視覺的知覺上，而非在物件的覆蓋活動 4.面積和周長的概念混淆使用 5.一維、二維單位量轉換的混淆 6.估測能力的不足 7.輕忽概念的了解其中最常被提出的迷思概念為學生對面積概念與周長概念的混淆，尤其問題中標示了物件的邊，似乎暗示了邊長的計算，由於多餘資訊的干擾，概念不清者即不易辨別。（王選發，2002）。. 四、本節文獻對本研究的啟示「量」與生活息息相關，把數學知識轉化成生活常識，不但可以提升解決問題的能力，也可避免誤用，故本研究希望藉由本活動讓學生了解生活中存在許多數學問題、並學習如何解決生活中的「量」的問題，感受到數學的趣味和作用，以期望對數學情境反應快速、敏感、準確，且能自然的運用自身的經驗發展出正確且合理的數學問題。最後. 22.

(32) 希望藉由學生的發展的問題中分析學生認為最常出現在他們生活中的「量」，再進一步藉由這些問題研發出「以生活情境為主的數學解題能力測驗工具」。. 23.

(33) 第三節. 乘除法的結構. 對於乘除法之研究，許多學者著重對於乘除法問題進行語意結構的分析，其採用的觀點不同而有不同的模式。茲將國外、國內的研究分述如下：. 一、國外的研究如 Schwartz(1988) 是從問題中內涵量和外延量的觀點對乘除法問題進行分析； Vergnaud(1988) 採度量向量和向度 (dimension) 的觀點對乘除法問題進行分析； Nesher(1988)是從組成結構對乘除問題進行分析；Greer(1987) 考慮數值型態的乘除法問題進行分析；Usiskin 和 Bell(1983) 是採乘法應用的觀點對乘除問進行分析等。以下針對五種模式加以說明。. （一）Schwartz Schwartz(1988) 的乘法結構是以問題中內涵量(intensive measures，以 I 表示) 和外延量(extensive measures，以 E 表示) 來考慮。將乘除法問題分為(I , E , E ')、(E , E ' , E ")、 (I,I ', I ")、(S,E, E ')四種結構。根據外延量和內涵量的概念(I , E , E ')為例，Schwartz(1988) 將(I , E , E ')乘除問題分類如表 2-2。其他乘除類型當有(E , E ' , E ")、(I,I ', I ")、(S,E, E ') 結構(S 為一個常數)。. 24.

(34) 表2-2. Schwartz(I , E , E ')問題類型. 類型. 關係. 範例. 說明. 乘法問題. I×E＝E '. 每人有 4 顆糖果，5 人有幾顆糖果？. I＝4 顆/人 E＝5 人求 E '＝?（顆/人）. 等分除問題. E '/E＝I. 有 20 顆糖果，分給 E '＝20 顆 5 人，每人可得幾顆 E＝5 人糖果？求 I＝?（顆/人）. 包含除問題. E '/I＝E. 有 20 顆糖果，每人 E '＝20 顆 4 顆，可以分給幾個 I＝4 顆/人人？求 E＝?（人）. （二）Vergnaud 模式 Vergnaud(1988)從度量空間和向度的觀點，將乘法的結構分為三種。 1.量數同構型涉及到二個度量空間 M 1 與 M 2 的直接比例關係，每個度量空間包含二個相異的數，M 1 包含 x 1 與 x 2，M 2 包含 f(x 1 )與 f(x 2)，故其結構是探討四個值的關係，如表 2-3；. 表2-3. Vergnaud 模式之量數同構型關係. M1. M2. x1. f(x 1 ). x2. f((x 2). 2.叉積型叉積是兩集合的積集合，由有序對(order pair) 所構成的集合。叉積型是由二個度量空間 M 1 與 M 2 的叉積合成，而產生第三個度量空間 M 3 ，屬這類的問題必須涉及到三個度量空間。其關係如表 2-4：. 25.

(35) 表2-4. Vergnaud 模式之叉積關係 (M 2 ) x2. (M 1 ). x1. f(x 1 , x 2) (M 3). 而依未知數所在的位置不同，可以分為乘法問題和除法問題。 3.多重比例型(multiple proportion) 涉及到三個度量空間 M 1 、M 2 、與 M 3，M 3度量空間與另外兩個獨立的度量空間 M 1 和 M 2 成比例關係，如表 2-5：. 表2-5. Vergnaud 模式之多重比例型關係 (M 2 ) x2. (M 1 ). x1. x 2'. f(x 1 ,x 2). x1'. f(x 1 ', x 2') (M 3). （三）Nesher Nesher(1988) 參考 Vergnaud(1988) 和 Schwartz(1988) 乘法結構模式，將乘法問題分類為函數規則(mapping rule)問題、比較型問題、乘法叉積問題三種： 1.函數規則問題：例如：小青有 3 盒糖果，一盒糖果有 12 顆，請問小青共有幾顆糖果？ 2.比較型問題：例如：小青有 12 顆糖果，小美的糖果是小青的 8 倍，請問小美有多少顆糖果？. 26.

(36) 3.乘法叉積問題：例如：小青有 6 件上衣和 5 件褲子，由上衣和褲子搭配成外出服，請問小青可搭配出幾種不同的外出服？. （四）Greer 模式 Greer(1987)是以符號 STS、SSS、SRS 之乘的結構將乘除法問題加以來分類，其中 STS 是屬於不對稱性，SSS 是屬於對稱型。 1.STS（不對稱性）最初量 S 受到一種變換 T(transformation)為造成另一個量 S。而依未知數所在位置不同，又可以分為乘法問題(ST∣S∣)、等分除(∣S∣TS)、包含(S∣T∣S)三種類型，每一種類型可依情境的不同分為多重群、度量的累加、常量的改變、比率和度量的換算等問題。 2.SSS（對稱性）由二個量結合而成為第三個量。相當於 Vergnaud(1983)叉積型和 Schwartz(1981)的 (E,E’,E”)結構，可應用於長方形的陣列(rectangular array)、組合(combinations)、面積(area)。 3.SRS 有一種關係 R(relation)存在於二個量中，相當於 Schwartz(1981)的(S,E,E’)結構。例如：小青有 12 顆糖果，小美的糖果數量是小青的 8 倍，則小美有幾顆糖果？. （五）Usiskin & Bell 模式 Usiskin 和 Bell(1983)以乘法應用的觀點，將乘法的意義分成： 1.比例因子類(rate factor)或相同等集合問題(common equivalent set problem)：此類型之基本運算為「比例因子×數量＝另一個量」，相當於 Schwartz(1988)模式 (I,E,E’)、Greer(1987)的 STS 和 Nesher(1988)函數規則問題。. 27.

(37) 例如：一枝鉛筆賣 5 元，3 枝鉛筆可賣多少元？比例因子（一枝鉛筆賣 5 元）×數量（3 枝）＝另一個量（賣 15 元）。 2.交叉運作或叉積：由兩個量交互運作之後，會得到一個具有複合單位的量，相當於 Schwartz(1988)模式(E,E, E ')。 3.大小改變類(size change)或常量問題(scalar problem)：基本的運算型式為：原始量×改變大小的比率＝改變後的量，相當於 Schwartz(1988) 模式(S,E,E')、Greer(1987)的 SRS 和 Nesher(1988)比較型問題。. 表2-6. 各模式之乘除類型比較. 分類觀點. 乘除類型. Schwartz. 內涵量和外延量. (E, E ', E "). (I, E, E '). (I, I ', I "). (S,E, E '). Vergnaud. 向量和向度. 叉積型. 量數同構型. 多重比例型. Nesher. 組成結構. 叉積型. 映射規則. 比較型. Greer. 數值型態. SSS. STS. SRS. Usiskin & Bell. 應用. 交叉運作. 比例因子型相同集合. 大小改變. 二、國內研究而國內研究數學乘除法應用題的分類方式，一般來說可分為以下幾種，包括：（一）依使用步驟的多寡來分（黃湘婷，2006） 1.單步驟問題(one-step word problems) 例如：小明有 3 顆糖果，小青的糖果是小明的 5 倍，問小青的糖果有幾顆？ 2.二步驟問題(two-step word problems) 例如：小明有 3 顆糖果，小青的糖果是小明的 5 倍少 2 顆，問小青的. 28.

(38) 糖果有幾顆？ 3.多步驟問題(multi-step word problems) 例如：小明買了 4 罐 2 公升的汽水，媽媽喝了 1 公升，爸爸喝了 1.2 公升，問還剩下多少公升的汽水？. （二）以語意結構(semantic structure)來分（林原宏、許淑萍，2002；黃月平，2004） 1.比較型例如：小青有 12 顆糖果，小美的糖果是小青的 8 倍，請問小美有多少顆糖果？ 2.叉積型例如：陳奶奶有一塊長方形的土地，長為 12 公尺、寬 6 公尺，請問陳奶奶的土地面積是少？ 3.量數同構型例如：將 32 顆糖果，平分給 8 人，每人得到幾顆糖果？ 4.多重比例型例如：陳家有 4 人，每人每天喝了 2 公升的水，請問陳家 7 天一共喝了多少公升的水？（三）以情境來分（林碧珍，1991） 1.倍數例如：小青有 12 顆糖果，小祥的糖果是小青的 4 倍，請問小祥有多少顆糖果？ 2.比例尺例如：在比例尺 1:50000 的縮圖上，東西二鎮相距 18 公分，請問東西二鎮的實際距離？ 3.陣列例如：五年二班全班有 24 人，升旗時，老師要求全班排列整齊，直排人數一樣多. 29.

(39) 且橫排人數也一樣多，請問有多少種排法？ 4.組合例如：小圓有 6 件襯衫和 8 件裙子，由襯衫和裙子搭配成外出服，請問小圓可搭配出幾種不同的外出服？ 5.面積例如：王爺爺家的長方形的土地，長為 22 公尺、寬 14 公尺，請問王爺爺的土地面積是少？. 表2-7. 數學應用問題分類. 分類依據. 問題類型. 以解題步驟的多寡（黃湘 1.單步驟問題婷，2006）. 2.二步驟問題 3.多步驟問題. 以語意結構（林原宏、. 1.比較型. 許淑萍，2003；黃月平，. 2.叉積型. 2004）. 3.量數同構型 4.多重比例型. 以情境（林碧珍，1991）. 1.倍數. 2.比例尺 3.陣列 4.組合 5.面積. 三、本節文獻對本研究的啟示由以上文獻可了解到各種乘除法模式的意義是相同的，其差異在於分類的觀點有所不同。本研究參考林原宏、許淑萍（2003）之研究，即以 Vergnaud(1988)模式為依據，再加上 Nesher(1988)比較型問題，將學生發展出的乘除法數學問題分為比較型、叉積型、量數同構型三種題型，分析學生在「重量」、「容量」、「面積」三個數學概念中，發展問題的類型。. 30.

(40) 第四節問題發展與生活情境之相關研究到底什麼是情境？「簡明心理學辭典」（國家出版社，2005）將「情境」(situation) 解為：「（1）一般指影響事物發生或對機體行為產生影響的環境條件；（2）在語言學中指某個詞句的上下文」。「心理學辭典」（五南書局，2003）則將「情境」(situation)解釋為：「（1）指一個方位、場所或位置，這個意義大都限於有界限的物理領域；（2）在時間上存在於某一點的表現多重刺激模式、事件、對象、個人和情調的一個複雜整體。」從以上對「情境」的解釋，較符合在情境學習理論的「情境」指的是刺激個體產生行為反應的環境條件。情境學習理論主張知識是學習者與情境互動的產物，是學習者運用所習得的知識，在真實活動中透過主動探究與摸索的過程而獲得的（Brown, Collins & Duguid, 1989）。情境學習將知識視為「工具」，是學習者與環境互動的產物。此與荷蘭的真實數學教育 (Realistic Mathematics Education，簡稱為 RME) 的論點相同。RME 的論點是將數學視為是人類的活動，數學是從做數學中(doing mathematics)而獲得的(Freudenthal, 1971），數學是幫助學習者與周遭環境產生意義的一種工具，而真實情境(realistic situation)是用來作為學習數學的起始點。真實的情境指的是真正發生於學生日常生活當中的故事或情節，包含了學校內、家庭、或社會。因此學習應著眼於生活情境，從問題出發，情境式問題導向學習提供學習者一個真實性及社會性的學習情境，從生活中可以接觸到的事物或現象中取材，以生活情境作為學習的起點，用問題解決的方式學習 (Brown, Collins & Duguid, 1989; Choi & Hannafin,1995)。總言之，情境模式是一種主動的建構觀。參酌國內外學者對於情境學習的論述，歸納情境學習的特性如下：1.強調情境對於學習的重要性，學習應建構在真實的活動中；2.以學習者為中心，重視主動探索及學習經驗；3.強調知識在情境中的「工具」角色，情境學習論者主張知識如同工具一般，工具的本身並不具備任何用處，唯有. 31.

(41) 透過使用才有意義；4.重視內含化(enculturation)的學習歷程，學生積極的自脈絡情境中發覺暗藏的資訊，而且要與其他人共同探究情境中的線索，共享彼此的專長與觀點；5. 強調學習是共同參與、互動與分享的社會過程（施郁芬、陳如琇，1996；楊家興，1995； Lave & Wenger,1991; Rogoff, 1984）。九年一貫課程數學學習領域綱要內容規定：「數學課程的發展應以生活為中心配合各階段學生的身心與思考型態的發展歷程，提供適合學生能力與興趣的學習方式，據以發展數學學習活動。」（教育部，2001）。事實上，人類活動與社會情境是分不開的，知識的建立是不能與社會情境脈絡分割或相脫離。例如：英文在美國環境學習比在臺灣的學習效果佳。然而，過去數學的學習經常是將人類數學學習的活動脫離社會情境脈絡，將預先要指導的各種原則性的知識（如學校中的數學知識）傳授給學習者，再讓學習者將習得的原則應用於各種情境，王春展（1996）、Winn(1993)指出這種學習方式是徒勞無益的。學生在解題、理解數學概念或規律時，經常需要置身在某經驗脈絡中，讓自己過去或其他的經驗協助學習（教育部，2003）。所以，情境教學論者主張，當學習產生於有意義的情境時，方能產生有效的學習(Choi & Hannafin, 1995)。而 RME 也主張學生不是現成數學的接收者，而是教學過程中的主動參與者，且學生在教學過程中會發展其數學工具和見解。所以學習者應置於知識產生的情境中，主動探尋藏於情境脈絡中的知識，同時觀察、模仿專家或教師，並與同儕互動合作磋商、探索現象，強調知識的形成需透過學習者再重組、統整及建構，而學習的結果也能立即應用於情境中。因此學習注重學習的環境、方法、知識的內容及學習的評量。鄭晉昌（1993）指出，運用真實情境進行教學，有以下三項教學上的功能：（1）學生可在學習活動情境中，了解知識間的關聯，進行整合式學習(integral learning)。（2）學生可預見知識的適用時機，進而促進學習的動機。（3）學生透過實際活動，可促進學習遷移，能類推遷移舊知識，適當地應用於類似的問題情境。然而學校教育最為人詬病的就是學習的內容和過程抽離實際的生活情境。現今教科. 32.

(42) 書或教師教學時關於情境佈題方面普遍存著缺失與問題，這些缺失包括：（1）情境是虛擬的，是人為包裝的，無助於數學的思考。（2）情境涉及的數字大小不合理。（3）在情境設計上沒有解題的需求感。（4）從情境本身無助於數概念的探索(林碧珍，2003）。吳柏林和謝名娟(1999)也指出僵硬的數學教學活動與生活脫節的教材等問題為中小學數學教育的缺失。雖然一個情境的真實程度決定於每個學生的個別經驗，但教師在一個班級的教學中，所要尋找的是這群學生共同的生活經驗，學生共同經驗過的情境就是真實的情境，就是教師在佈題時所要努力的目標。. 本節文獻對本研究的啟示學生在解決問題的過程，必須瞭解其先備知識，從經驗出發，以解決和學生日常生活經驗相關的數學問題為基礎，進而建構更深層的數學概念 (Vanden Heuvel-Panhuizen,1996)。所以學生在解決問題時，若問題與自身的生活經驗或未來的經驗有關，學生可利用經驗幫助學習，進而培養學生主動探索、解決問題的能力。且若學習的內容能與學生的日常生活經驗相連結，學生能預知知識的使用時機，對學生的學習愈有幫助，故本研究希望讓學生根據實際發生於自身日常生活周遭的事件來發展數學題，找出共同經驗以提供老師們佈題之依據。並藉此讓學生感受到生活周遭處處有數學、時時皆需運用到數學，讓學生體會原來數學離我們這麼近，並進一步藉由學生發展的問題中找出共同經驗以研發「以生活情境為主的數學解題能力測驗工具」。. 33.

(43) 第五節電腦網路科技與次級文化. 好的問題不是存在於課本之中，而是老師必須要了解學生的次級文化後，在問題之中融入學生的生活語言、熟悉的生活事物、契合學生的學習經驗（林文生、鄔瑞香， 1999）；因此，了解學生的次級文化將有助於一個好的問題的產生。現代網路科技發達，電腦越來越普及，學生接觸電腦的時間也相對增加，網路的使用對於學生學習也愈來愈不可忽視，故本節將分為二部份，就電腦網路科技和次級文化二方面來介紹。. 一、電腦網路科技從電腦發明以來，一直被期許著能夠成為輔助學生學習的一大利器，因此，相關研究也就不斷的被提出。Berger, Lu, Belzer 及 Voss(1994)的研究指出，以電腦為基礎的教育策略比其他方式來得更為有效。除了電腦資訊以外，網際網路的發展更是提供了有助於學習的一個利器，網路技術打破時空的隔閡，也使獲得多元資訊更為容易。網際網路所提供的是即時更新資訊，加上日益完善的教學入口網站，網路所提供的是一種多元超越的知識類型（林文生，2007）。Jonassen(1996)的研究發現電腦及網路已成為促進學生學習認知及後設認知的工具，而蔡今中（2002）的研究指出網路可視為一個「知識工具」來輔助教學。民國九十年，教育部公布「中小學資訊教育總藍圖」，在國中、小教學中明訂資訊融入各領域教學，並佔教學時數的 20%，且提出「班班有電腦」、「人人會上網」等願景，總藍圖的推動是以老師為起始點，希望藉由老師帶動學生、學生影響家長，進而提昇全民運用資訊的能力與學習素養。九年一貫課程綱要（2003）中也提及現代國民所需的基本能力包含了運用科技與資訊、主動探索與研究、獨立思考與解決問題。而培養學生「運用科技與訊息」能力和「主動探索與研究」的精神，讓學生能「獨立思考與解決問題」，. 34.

(44) 並完成「生涯規劃與終身學習」，都與訊息融入教學有關（張國恩，1999）。在國小實施訊息教育或電腦應用於教學，不應只局限於「學習電腦(learning about computer)」，而應進一步「用電腦學習(learning with computer)」（李昆翰，1998；張基成， 1997）。教育部（2003）也提及資訊教育所扮演的角色不只在課堂上，訊息教育旨在培養學生擷取資訊、應用與分析的能力，使學生具備正確資訊學習態度，包括創造思考、問題解決、主動學習、溝通合作與終身學習的能力。吳明隆（1998）也提到國中國小訊息教育主要重點在於培養學生從電腦操作學習中，體會電腦使用樂趣與功能，進而將電腦視為未來生活及學習不可或缺的工具，並應培養學生將電腦科技有效融入於學習歷程中，以提升學習效果，達到「重效率、高效能、有績效」的教育目的。林胤彤與廖本裕（2007）提到在網路教學的學習環境中，老師將教學活動的部份責任分給學生，可以相對提高學生的自主能力，也加重了學生的學習責任。學生能從傳統被動吸收老師講授的知識，轉換成主動積極建構知識的角色。尹玫君（2000）指出訊息科技確實為教學帶來諸多助益，且為當今教育的必然趨勢。 Kearsly(1996) 認為透過網路教學，學生可以從網路上學習搜尋資料或利用多媒體引起學習動機，網路環境也提供作品公開展示的空間，讓學生進行全球性的同儕合作學習。香港教育統籌局（2001）認為將資訊科技應用在教學會帶來下列優點：（一）教師方便營造適合的學習情境，進而引起學生的學習興趣，讓學生探討問題，主動學習。（二）打破時空和地域的隔閡，讓學生能快速地獲得外界的資訊與數據。（三）提供一個分享經驗與作品的平臺，培養和人溝通的能力及促進合作式學習。（四）提供一個互動式的環境，引起學生的學習興趣，讓他們更積極主動地學習。（五）增進思考、分析、解題能力。（六）促進創作及寫作能力。（七）培養終身自學的能力和態度。. 35.